Phương pháp sử dụng điểm đặc biệt trong bài toán tính khoảng cách

MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài…………………………………………………………………...2
1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………………………………………....2
1.3 Đối tƣợng nghiên cứu……………………………………………………………...3
1.4 Phƣơng pháp nghiên cứu…………………………………………………………..3
2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sơ lí luận……………………………………………………………………….4
2.2 Thực trạng của đề tài………………………………………………………………6
2.3 Biện pháp thực hiện………………………………………………………………..7
2.4 Kết quả nghiên cứu……………………………………………………………….18
3. KẾT LUẬN
Kết luận………………………………………………………………………………20
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………................20

1


1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài
Hình học khơng gian là mơn học khó đối với nhiều học sinh phổ thơng. Nhiều
học sinh thấy khó và trở nên chán nản khi học môn học này. Các em hầu nhƣ phát
biểu rằng “ Trong giờ lí thuyết em hiểu bài nhƣng lại khơng áp dụng lí thuyết vào để
tự làm đƣợc bài tập”. Vì vậy, khi dạy học sinh phần hình học khơng gian, ngƣời giáo
viên đặc biệt phải quan tâm, kiên nhẫn hƣớng dẫn các em từng bƣớc cách tìm ra
hƣớng giải cho từng loại bài tốn và để các em tự làm đƣợc chứ không áp đặt kết quả
hoặc cách làm cho học sinh.
Sách giáo khoa Hình học 11 nâng cao và cơ bản đều viết bài “ Khoảng cách”
rất đơn giản nhƣng bài tập yêu cầu với học sinh thì lại khơng đơn giản đối với học
sinh. Nếu ngƣời dạy chỉ đƣa ra định nghĩa nhƣ sách giáo khoa và cho học sinh làm bài
tập ví dụ thì chắc chắn nhiều học sinh sẽ rất lúng túng khi làm bài tập.

Trong cấu trúc đề thi trung học phổ thơng quốc gia hiện nay ln có một câu hình
học khơng gian và “ khoảng cách” là vấn đề rất hay đƣợc hỏi đến trong các đề thi này.
Điều này cũng làm cho khơng ít học sinh và giáo viên lo lắng. Đây là bài tốn tƣơng
đối khó đối với tất cả các học sinh, vì nó sử dụng kiến thức tổng hợp của bài toán giải
tam giác và các tính chất của hình học khơng gian.
Để giải quyết cho những khó khăn nêu trên, dựa trên kinh nghiệm dạy học và ơn
thi đại học nhiều năm của mình, tác giả đã đƣa ra một số định hƣớng tƣơng đối hiệu
quả và dễ hiểu cho học sinh, đó là đề tài ”Phương pháp sử dụng điểm đặc biệt
trong bài tốn tính khoảng cách”.
1.2 Mục đích nghiên cứu
Để giải bài toán này chúng ta thƣờng sử dụng các phƣơng pháp nhƣ: Phƣơng
pháp tính trực tiếp, phƣơng pháp sử dụng cơng thức tính thể tích, phƣơng pháp tọa
độ,..tuy nhiên ngƣời sử dụng các phƣơng pháp đó dƣới mỗi góc độ và cách nhìn khác
nhau. Trong các phƣơng pháp nêu trên thì phƣơng pháp tính trực tiếp là phƣơng pháp
cơ bản, sử dụng đƣợc cho cả học sinh lớp 11 và học sinh ơn thi đại học, cao đẳng. Và
để tính trực tiếp khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chúng ta thƣờng phải
xác định đƣợc hình chiếu của điểm đó lên mặt phẳng rồi tính đoạn thẳng nối từ điểm
đó đến hình chiếu của nó. Tuy nhiên, việc xác định và tính khơng phải lúc nào cũng
đơn giản, nên khi gặp bài tốn khó học sinh rất khó để định hƣớng cho việc tìm lời
giải.
Qua thực tế giảng dạy, tác giả rút ra đƣợc một số kinh nghiệm nhỏ về việc
hƣớng dẫn học sinh xác định các loại khoảng cách. Một thao tác rất quan trọng mà
học sinh cần có là tìm đúng hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng xác định,
2


gọi là “điểm đặc biệt” của bài tốn. Vì vậy, trong bài viết này tác giả giúp học sinh
phát hiện, xác định “điểm đặc biệt” của bài toán và kĩ năng quy khoảng cách cần tìm
về tính khoảng cách đối với “điểm đặc biệt”.
1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu một số vấn đề nhƣ sau:
Nêu hƣớng giải quyết các bài tốn tìm khoảng cách trong khơng gian:
1.3.1 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
1.3.2 Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
1.4.1 Tìm hiểu thực tế giảng dạy, học tập ở một số trƣờng trong tỉnh.
1.4.2 Nghiên cứu tài liệu.
1.4.3 Thực nghiệm.
1.4.4 Nhận xét.

3


2. NỘI DUNG
2.1 Cơ sở lí luận
Để đơn giản cho việc hiểu và vận dụng phƣơng pháp, trƣớc tiên bài viết xin đƣa ra
khái niệm “ điểm đặc biệt” và đƣa vào một số tính chất cơ bản nhằm sử dụng để quy
khoảng cách cần tìm về khoảng cách đối với điểm hình chiếu.
2.1.1 “Điểm đặc biệt” trong phương pháp
“ Điểm đặc biệt” của mặt phẳng ( P ) là điểm mà dễ tính đƣợc khoảng cách từ nó
đến mặt phẳng ( P ) .
Ví dụ 1: Nếu hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) vng góc với nhau thì mọi điểm
( Q ) mà khơng nằm trên ( P ) đều là điểm đặc biệt của ( P ) .

A

thuộc

Q
A

H

P

Ví dụ 2: Cho hình chóp S . A B C . Gọi H là hình chiếu của
đó H là điểm đặc biệt của mặt phẳng ( S B C ) .

S

lên mặt phẳng

(ABC )

. Khi

S

K
C

A
H
E
B

2.1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng và một mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) (hoặc đến đƣờng thẳng d ) là
khoảng cách giữa hai điểm M và H , trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng
( P ) (hoặc trên đƣờng thẳng d ).

(Định nghĩa 1- SGK Hình học nâng cao 11- trang 113).

4


M

M

H

H

P

d

2.1.3 Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa hai
mặt phẳng song song.
Khoảng cách giữa đƣờng thẳng a và mặt phẳng ( P ) song song với a là khoảng
cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng ( P ) .
(Định nghĩa 2- SGK Hình học nâng cao 11- trang 113).
B
A

a

K
H

P

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
(Định nghĩa 3- SGK Hình học nâng cao 11- trang 114).
A
B
P

H
K
Q

2.1.4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vng góc chung của
hai đƣờng thẳng đó.(Định nghĩa 4- SGK Hình học nâng cao 11- trang 115).
J

a

P

K

b

Q

2.1.5 Một số tính chất cần lưu ý
Tính chất 1:

Nếu A , B , I thẳng hàng, I thuộc mặt phẳng
d ( A , (Q ))
k d ( B , (Q )) .
5

(Q )

và

AI

k .B I

thì ta có


A

A
B

A'

A'

B'
I

I

B'

Q

Q

B

Tính chất 2:
Nếu A B song song với mặt phẳng

thì

(Q )

A

d ( A , (Q ))

d ( B , (Q ))

.

B

B'

A'
Q

Tính chất 3:
Nếu đƣờng thẳng b nằm trong mặt phẳng ( Q ) và a là đƣờng thẳng song song
với mặt phẳng ( Q ) thì d ( a , b ) d ( M , ( Q ) ) , với M là điểm tùy ý thuộc a .
a

M

b

Q

Tính chất 4:
Nếu đƣờng thẳng b nằm trong mặt phẳng ( Q ) , đƣờng thẳng a nằm trong mặt
phẳng ( Q ') và mặt phẳng ( Q ) song song với mặt phẳng ( Q ') thì d ( a , b ) d ( M , ( Q ) ) , với
M là điểm tùy ý thuộc ( Q ') .
M
Q'

b

Q

2.2 Thực trạng của đề tài
Nhƣ tác giả đã trình bày ở trên, hình học khơng gian là bài tốn khó, đặc biệt là
bài tốn tính khoảng cách. Nhiều học sinh không biết bắt đầu từ đâu, dùng phƣơng
pháp nào, tại sao lại nghĩ đến kẻ đƣờng này, vẽ đƣờng kia… Một số học sinh khá hơn
thì mày mị tìm ra đƣợc cách giải bài tốn có khi đƣợc có khi khơng. Một số học sinh
6

khác gần nhƣ khơng có “lối đi” cho loại bài toán này. Đề tài này tác giả mong muốn
giúp các em từng bƣớc giải quyết vấn đề trên.
2.3 Biện pháp thực hiện
2.3.1 Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) . Chúng ta thực hiện các
bước suy luận như sau:
Tìm điểm đặc biệt của mặt phẳng ( P ) .
Tìm cách quy việc tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( P ) về tính
khoảng cách từ điểm đặc biệt đến mặt phẳng ( P ) . (nhờ tính chất 1, 2).
Ví dụ 1:
Cho hình chóp S . A B C có đáy A B C là tam giác đều cạnh a , cạnh bên S A
vng góc với mặt đáy và cạnh bên S B tạo với đáy một góc bằng 6 0 . Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( S B C ) theo a .
Phân tích:
Trong trƣờng hợp này điểm A chính là điểm đặc biệt của mặt phẳng ( S B C ) . Nên ta
thực hiện việc xác định hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng ( S B C ) và tính. Cụ thể ta
có lời giải nhƣ sau:
Giải:
0

S

H

A

C
I
B

Gọi I là trung điểm B C , H là hình chiếu của A lên S I .
Ta có B C A I , B C S A B C ( S A I ) . Suy ra B C A H , do đó
Nên d ( A , ( S B C ) ) A H . Mặt khác do S A vng góc với đáy.
Nên

SBA

60

0

SA

A B . ta n 6 0

0

a

3

, và

AI

a

3
2

Suy ra

d ( A , ( S B C ))

AH

SA.A I
SA

2

AI

a
2

15

.

5

7

.

AH

(SBC )

Ví dụ 2: ( Đề thi đại học khối A năm 2014).
Cho hình chóp

S .A B C D

có đáy

là hình vng cạnh

ABCD

a

,

SD

3a

, hình

2

chiếu vng góc của S lên mặt phẳng ( A B C D ) là trung điểm cạnh A B . Tính theo
a khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( S B D ) .
Phân tích:
Trƣờng hợp này điểm A không là điểm đặc biệt của mặt phẳng ( S B D ) nên sẽ
gặp khó khăn cho việc tìm hình chiếu của điểm A lên ( S B D ) . Nếu gọi H là hình chiếu
của S lên ( A B C D ) , thì điểm H mới chính là điểm đặc biệt của mặt phẳng ( S B D ) . Nên

ta tìm cách quy việc tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( S B D ) về tính khoảng
cách từ điểm đặc biệt H đến mặt phẳng ( S B D ) , (nhờ tính chất 1,2). Cụ thể lời giải nhƣ
sau:
Giải:
S

K

B

C
I

H

A

D

Gọi H là trung điểm của A B , khi đó điểm H là hình chiếu của S lên
2 d ( H , ( S B D )) .
H là trung điểm của A B nên d ( A , ( S B D ) )
Gọi I là hình chiếu của điểm H lên B D , K là hình chiếu của H lên S I .
Ta có B D S H , B D H I B D ( S H I ) B D H K , do đó H K ( S B D )
Suy ra d ( H , ( S B D ) ) H K .
SD
HD
SD
(H A
AD )

a
Mặt khác: S H
2

và

HI

H B . s in 4 5

0

2

a

2
4

2

. Suy ra

2

(ABCD )

. Do

2

S H .H I

a

HK
SH

2

HI

2

. Vậy

d ( A , ( S B D ))

2a

.

3

3

Ví dụ 3: ( Đề thi đại học khối D năm 2011)
Cho hình chóp S . A B C có đáy A B C là tam giác vuông tại
mặt phẳng ( S B C ) vng góc với mặt phẳng ( A B C ) . Biết S B
Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( S A C ) theo a

8

2HK

B

,

2a

BA

3

3a , B C

và

SBC

4a

;

30

0

.

Phân tích:
Trƣờng hợp này điểm B cũng khơng là điểm đặc biệt của mặt phẳng ( S A C ) ,
nên đầu tiên ta cần tìm điểm đặc biệt của mặt phẳng ( S A C ) . Giả sử H là hình chiếu
của S lên đáy thì H là điểm đặc biệt của mặt phẳng ( S A C ) . Nên bƣớc tiếp theo ta tìm
cách quy việc tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( S A C ) về tính khoảng cách
từ H đến mặt phẳng ( S A C ) , (nhờ tính chất 1,2). Cụ thể ta có lời giải nhƣ sau:
Giải:
S

K
C

H

B

I

A

Gọi H là hình chiếu của S lên B C , do ( S B C ) ( A B C ) S H ( A B C ) .
Ta có B H B S .c o s 3 0 3 a , H C a B C 4 H C nên d ( B , ( S A C ) ) 4 d ( H , ( S A C ) ) .
Gọi I là hình chiếu của H lên A C , K là hình chiếu của H lên S I .
Ta có A C H I , A C S H
AC
(SH I )
AC
H K do đó H K
(SAC ) .

Suy ra d ( H , ( S A C ) ) H K
Mặt khác, sử dụng tính chất đồng dạng của hai tam giác H I C và A B C ta có
0

HI
AB

Vậy

HC

HI

AC

d ( B , ( S A C ))

A B .H C

3a

AC

4HK

, SH

S B . s in 3 0

0

5

6a

a

3

. Suy ra

HK

S H .H I
SH

7

2

HI

3a
2

7

.

14

.

7

Ví dụ 4:
Cho lăng trụ A B C . A ' B ' C ' có đáy là tam giác vng tại A , A B a , B C 2 a .
Hình chiếu vng góc của A ' lên mặt phẳng ( A B C ) là trọng tâm của tam giác
0
A B C , góc giữa đường thẳng C C ' với mặt đáy bằng 60 . Tính theo a khoảng cách
từ điểm B ' đến mặt phẳng ( A A 'C 'C ) .
Phân tích:
Ở ví dụ này B ' không phải là điểm đặc biệt của mặt phẳng ( A A 'C 'C ) , mà điểm đặc
biệt của mặt phẳng này là trọng tâm G của tam giác A B C . Nhƣ vậy, để tính đƣợc
khoảng cách từ B’ đến mặt phẳng (AA’C’C) ta cần thực hiện liên tiếp các bƣớc quy từ
việc tính khoảng cách điểm B’ về điểm B, rồi tiếp là về điểm đặc biệt G.
(nhờ tính chất 1, 2). Cụ thể ta có lời giải nhƣ sau:
9


Giải:
B'

C'

A'

H
B

C

M
G
I
A

Gọi G là trọng tâm của tam giác A B C , khi đó A ' G ( A B C ) .
Ta có d ( B ', A A ' C ' C ) ) d ( B , A A ' C ' C ) ) 3 d ( H , A A ' C ' C ) ) .
Gọi I là hình chiếu của G lên A C , H là hình chiếu của G lên A’I.
Khi đó A C G I , A C A ' G A C ( A ' G I ) A C G H .
Mà G H A ' I G H ( A A ' C ' C ) , suy ra d ( G , A A ' C ' C ) ) G H .
Mặt khác GI song song AB nên
Gọi M là trung điểm BC, ta có
Do CC’ song song AA’ và
Suy ra

GH

A ' G .G I
A 'G

2

GI

1

AB

3

GA

2

a
3

AM

3

A 'G

(ABC )

2a
3

.

A ' AG

60

0

A 'G

A G . ta n 6 0

0

2a
3

2a
2

GI

39
39

. Vậy

2a
d ( B ', A A ' C ' C ) )

39

3G H
13

3

.

.

Ví dụ 5: (Đề thi đại học khối D năm 2007).
S .A B C D
Cho
hình
chóp
có
đáy
là
hình
thang,
ABC
BAD
90 , BA
BC
a, AD
2 a Cạnh bên S A vng góc với mặt đáy và
.
SA
a 2 . Gọi H là hình chiếu vng góc của A lên S B . Tính theo a khoảng cách
từ H đến mặt phẳng ( S C D ) .
0

Phân tích:
Tƣơng tự nhƣ ví dụ 4, để tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) chúng ta thực
hiện liên tiếp các bƣớc quy về việc tính khoảng cách từ điểm H về điểm B, rồi tiếp
đến là về điểm đặc biệt A, nhƣng ở mức độ khó hơn ví dụ 4. Cụ thể lời giải nhƣ sau:

10

Giải:
S

H
K
A

D

M

C

B

I

Ta có
Do đó

SH
SB

S H .S B
SB

SA

2

SA

d ( H , ( S C D ))

2

2

2

2

AB

2

SH

3

d ( B , ( S C D ))

3

2

SB

3

.

.

Gọi I là giao điểm của hai đƣờng thẳng AB và CD, ta có B là trung điểm AI.
Suy ra
d ( B , ( S C D ))

1

d ( A , ( S C D ))

1

d ( H , ( S C D ))

2

Gọi M là trung điểm AD. Ta có M A M D M C
Gọi K là hình chiếu của A lên SC. Khi đó C D
Mà A K S C A K ( S C D ) , suy ra d ( A , ( S C D ) )
Mặt khác:

AC

AB

2

BC

d ( A , ( S C D ))

3

2

a

2

AK

1

SC

2

AC

CD

AC ,CD

AK
a

.

SA

CD

(SAC )

CD

AK

.

.

. Vậy

d ( H , ( S C D ))

AK

a

3

3

.

Ví dụ 6: ( Đề thi đại học khối B, năm 2011).

Cho lăng trụ A B C D . A ' B ' C ' D ' có đáy A B C D là hình chữ nhật, A B a , A D a 3 .
Hình chiếu vng góc của điểm A ' lên mặt phẳng ( A B C D ) trùng với giao điểm
của A C và B D . Tính theo a khoảng cách từ điểm B ' đến mặt phẳng ( A ' B D ) .
Phân tích:
Do mặt phẳng ( A B C D ) ( A ' B D ) nên mọi điểm nằm trong mặt phẳng đáy đều là điểm
đặc biệt của mặt phẳng (A’BD). Nên ta sẽ quy việc tính khoảng cách từ điểm B’ đến
mặt phẳng (A’BD) về một điểm nào đó trong mặt phẳng (ABCD), ở ví dụ này ta có thể
quy về tính khoảng cách từ A hoặc C đến mặt phẳng (A’BD), tác giả sẽ trình bày lời
giải quy khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) về tính khoảng cách từ điểm
C đến mặt phẳng (A’BD). Cụ thể lời giải nhƣ sau:

11


Giải:

D'

A'

C'

B'

D

A
O

E

C

B

Do B’C song song A’D nên B’C song song mặt phẳng (A’BD).
Do đó d ( B ', ( A ' B D ) ) d ( C , ( A ' B D ) ) .
Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra A ' O ( A B C D ) .
Gọi E là hình chiếu của C lên BD suy ra C E ( A ' B D ) d ( C , ( A ' B D ) )
Mà

CE

C D .C B
CD

2

CB

a
2

3

. Vậy

a
d ( B ', ( A ' B D ) )

2

3

CE

CE

.

.

2

2.3.2
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
và ' . Chúng ta sẽ
thực hiện các bước suy luận như sau:
Tìm cách quy việc tính khoảng cách giữa hai dường thẳng chéo nhau về tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ( nhờ tính chất 3,4).
Bước tiếp theo là tiếp tục cơng việc của bài tốn tính khoảng cách từ một điểm
đến một mặt phẳng như trình bày ở mục 2.3.1.
Ví dụ 7: ( Đề thi THPT Quốc gia năm 2015)
Cho hình chóp S . A B C D có đáy A B C D là hình vng cạnh a, S A vng góc
với mặt phẳng A B C D , góc giữa đường thẳng S C và mặt phẳng A B C D bằng 450.
Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng S B , A C .
Phân tích:
Đây là bài toán khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau và hai đƣờng thẳng
này khơng vng góc với nhau nên ta cần quy về bài tốn tính khoảng cách từ một

điểm đến một mặt phẳng nhờ tính chất 3 hoặc 4. Ta chọn một mặt phẳng (P) chứa SB
và song song với AC để quy bài tốn về tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(P) vì mặt phẳng (P) này có điểm đặc biệt A. Từ đó ta có lời giải cụ thể nhƣ sau:
Giải:
12


S

H
A

D

M
d
B

C

Gọi d là đƣờng thẳng qua B và song song với AC.
Ta có AC song song mặt phẳng (SB,d), suy ra d ( S B , A C ) d ( A C , ( S B , d ) )
Gọi M là hình chiếu của A lên d, H là hình chiếu của A lên SM.
Ta có S A B M , M A B M
AH
BM
AH
( S B M ) .Do đó d ( A , ( S B , d ) )
Vì
Mà

SC A

AH

45

0

nên

SA

SA

AM

0

a

2;MA

A B cos 45

0

a

a

2

10

. Vậy

a

10

d (SB , AC )

5

.

AH

2
2

SA.A M
2

A C . ta n 4 5

d ( A , ( S B , d ))

.

.

5

Ví dụ 8: ( Đề thi đại học khối A, năm 2012).
Cho hình chóp S . A B C có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vng góc
của S trên mặt phẳng A B C là điểm H thuộc cạnh A B sao cho H A 2 H B . Góc
giữa đường thẳng S C và mặt phẳng ( A B C ) bằng 600. Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng S A và B C theo a.
Phân tích:
Trƣờng hợp này ta cũng chọn một mặt phẳng (P) chứa SA và song song với BC để
quy bài toán về tính khoảng cách từ một điểm trên đƣờng thẳng BC đến (P). Vì điểm
đặc biệt của mặt phẳng (P) là điểm H nên ta có thể chọn điểm B thuộc đƣờng thẳng
BC để dễ dàng quy về điểm H. Từ đó ta có lời giải cụ thể nhƣ sau:
Giải:

13


Gọi d là đƣờng thẳng qua A và song song với BC.
Gọi N, K lần lƣợt là hình chiếu của H lên d và SN.
Theo giả thiết HA = 2HB nên

BA

3

HA

.Khi đó

d (SA, BC )

d ( B , ( S A , d ))

2

Ta có
Gọi

M

d

(SH N )

d

là trung điểm

HK

AB

HK

, có

. Suy ra

a

a

2a

,HN

A H . s in 6 0

3

Vậy

0

a

3
3

a

42

d (SA, BC )

d ( H , ( S A N ))

3

a

;MC

,HK

HK

SH

2

3

S H .H N
SH

2

HN

a
2

.

7

HC

6

Mà A H

d ( H , ( S A , d ))

2

(SAN )

MH

3

42

H C . ta n 6 0

0

a

21

.

3

.

12

.

8

Ví dụ 9:
Cho hình chóp S . A B C D có đáy A B C D là hình chữ nhật, A B a , A D a 2 . Gọi
M , N là trung điểm của A B , S D . Hình chiếu của S lên mặt phẳng A B C D trùng với
giao điểm của D M và A C . Biết góc giữa đường thẳng S A với đáy bằng 600. Tính
theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng S C và A N .
Phân tích:
Đây là bài tốn tìm khoảng cách của hai đƣờng thẳng chéo nhau SC và AN, ta cần tìm
một mặt phẳng chứa đƣờng này và song song với đƣờng kia để đƣa bài tốn về tìm
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Ở ví dụ này ta sẽ chọn mặt phẳng
(SMC) vì mặt phẳng này chứa điểm S đã biết hình chiếu và sẽ lấy điểm hình chiếu này
làm điểm đặc biệt. Lời giải cụ thể nhƣ sau:

14


Giải:
S

N

E
K

A

D
H

M
I
B

C

Gọi E là trung điểm của SC, ta có AMEN là hình bình hành, suy ra AN song song ME
nên AN song song mặt phẳng (SMC).
Do đó d ( A N , S C ) d ( A N , ( S M C ) ) d ( A , ( S M C ) ) .
Gọi H là giao điểm của AC và DM, ta có

AC

3

HC

3

d ( A , ( S M C ))

2

d ( H , ( S M C ))

.

2

Gọi I là hình chiếu của H lên MC và K là hình chiếu của H lên SI
Ta có M C H I , M C S H M C ( S H I ) M C H K H K ( S M C ) .
Suy ra d ( H , ( S M C ) ) H K .
Mặt khác:

SH

A H . ta n 6 0

0

1
a; H I

d (D , M C )
3

Suy ra

HK

H I .H S
HI

2

HS

2a
2

178

. Vậy

1 2 S DMC
3

MC

89

2

.

9

3
d ( AN , SC )

2a

3a

178

HK
2

.

89

Ví dụ 10:
Cho hình chóp tứ giác S . A B C D có đáy A B C D là hình chữ nhật,
AB
2a, BC
a . Các cạnh bên của hình chóp bằng a 2 . Gọi M , N , P lần lượt là
trung điểm của các cạnh S B , C D , S D . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường
thẳng M N và S P .
Phân tích:
Đây là bài tốn tìm khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau MN và SP, đối
với bài toán này ta cần tìm hai mặt phẳng song song lần lƣợt chứa MN và SP. Sau đó
sử dụng tính chất 4 để quy bài tốn tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau
về bài tốn tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

15


Giải:
S

P
K

M
A

I

E

D

H

N

B

C

Gọi H là giao điểm của AC và BD, do SA = SB = SC = SD nên H là hình chiếu của S
lên (ABCD).
Gọi E là trung điểm của AB, khi đó NE song song với AD, EM song song với SA.
Suy ra d ( M N , S P ) d ( ( M N E ) , ( S A D ) ) d ( H , ( S A D ) ) .
Gọi I là trung điểm của AD, K là hình chiếu của H lên SI.
Khi đó A D H I , A D S H
AD
(SH I )
AD
HK
HK
(SA D ) .
Suy ra d ( H , ( S A D ) ) H K .

Mặt khác:

SH

SA

2

AH

a

2

3

,HI

a

HK

2

Vậy

a
d (M N , SP )

21

HK

H I .H S
HI

.

7

16

2

HS

a
2

21
7


2.3.2

Bài tập đề xuất

Bài 1: ( Đề thi đại học khối B năm 2013)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
nằm trong mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a khoảng cách từ điểm

SA đến mặt phẳng (SCD).
Bài 2: ( Đề thi đại học khối A năm 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lƣợt là
trung điểm cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vng góc với
mặt phẳng (ABCD) và S H a 3 . Tính theo a khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng DM
và SC.
Bài 3: ( Đề thi khảo sát chất lượng 12 năm học 2015- 2016 của Sở GD & ĐT Thanh
Hóa)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD là đáy lớn, AD = 2a, AB
= BC = CD = a. Hình chiếu vng góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc
đoạn thẳng AC sao cho HC = 2HA. Góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng
600. Tính theo a khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng SA và CD.
Bài 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A B C 6 0 . Cạnh bên
SA vng góc với đáy, cạnh bên SC tạo với đáy một góc bằng 600. Gọi G là trọng tâm
tam giác SAB. Tính theo a khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SCD).
0

Bài 5:
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt
phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi M là trung điểm cạnh BC, N là trung điểm cạnh
CC’. Tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’N).
Bài 6:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B,

AB

2a,

BAC

60

0

,

cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và S A a 3 . Gọi M là trung điểm của AB.
Tính theo a khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng SB và CM.

17


2.4. Kết quả nghiên cứu
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy, tác giả thấy có hiệu
quả đáng kể. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch khi khảo sát tình hình giải bài tốn
tính khoảng cách trong hình khơng gian nhƣ sau:
2.4.1 Về mặt định lượng:
Trƣớc khi sử dụng phƣơng pháp điểm đặc biệt trong bài tốn tính khoảng cách
Lớp 11A2 – sĩ số 38
Số lƣợng

Phần trăm

Không giải đƣợc

28

74%

Giải đúng

10

26%

%
80
70
60
50
40

Không giải được

30

Giải đúng

20
10
0
LỚP 11A2

Sau khi sử dụng phƣơng pháp điểm đặc biệt trong giải bài tốn tính khoảng cách
Lớp 11A2 – sĩ số 38
Số lƣợng

Phần trăm

Không giải đƣợc

12

32%

Giải đúng

25

68%

18


%
70
60
50
40

Khơng giải được

30

Giải đúng

20
10
0

LỚP 11A2

2.4.2. Về mặt định tính
Tác giả thăm dò ý kiến của HS và GV sau khi sử dụng phƣơng pháp nhƣ sau:
- Các em học sinh đƣợc hỏi ý kiến đều cho biết phƣơng pháp sử dụng điểm đặc
biệt vừa dễ hiểu vừa dễ nhớ vừa tạo ra hứng thú trong học tập và rèn luyện cho các
em kĩ năng tự lập suy nghĩ giải quyết các vấn đề trong học tập.
- Các giáo viên đánh giá cao về hiệu quả của bài viết.

19


3. KẾT LUẬN
Bài viết đã đƣa ra khái niệm “ điểm đặc biệt” nhằm khắc sâu định hƣớng cho
phƣơng pháp đồng thời đƣa vào một số tính chất cơ bản nhằm sử dụng để rèn luyện kĩ
năng quy khoảng cách cần tìm về tính khoảng cách của điểm đặc biệt. Đồng thời đƣa
ra một hệ thống ví dụ với sự sắp xếp thứ tự từ các kĩ năng đơn giản đến phức tạp và
tƣơng đối đầy đủ cùng với sự phân tích, nhận xét của từng trƣờng hợp giúp cho học
sinh dễ hiểu và dễ vận dụng. Đề tài đã đƣợc tác giả áp dụng dạy ở lớp 11A2 và thấy
kết quả rất khả quan, học sinh rất hứng thú, tiếp thu nhanh và vận dụng có hiệu quả.
Đồng thời với cách định hƣớng của phƣơng pháp giúp cho bản thân tôi dễ dàng hơn
khi tiếp xúc cũng nhƣ định hƣớng cho học sinh giải các bài toán về khoảng cách. Bài
viết cũng đã đƣợc sự đồng tình và ủng hộ rất cao của các giáo viên trong tổ chuyên
môn khi triển khai trình bày ở tổ.
Do phƣơng pháp sử dụng các kĩ năng và kiến thức cơ bản nên có thể áp dụng
cho cả học sinh lớp 11 và ôn thi THPT Quốc gia cũng nhƣ tất cả các đối tƣợng học
sinh từ trung bình đến học sinh giỏi. Đồng thời dựa trên định hƣớng của phƣơng pháp
mà giáo viên có thể sáng tạo ra các bài tốn từ dễ đến khó tùy vào mức độ phức tạp
của các bƣớc quy khoảng cách cần tìm về tính khoảng cách điểm đặc biệt.
Mặc dù đã cố gắng, nhƣng chắc chắn bài viết này sẽ khơng tránh khỏi những

thiếu xót nhất định. Tác giả rất mong nhận đƣợc sự quan tâm, góp ý, bổ sung từ các
thầy cơ và bạn bè đồng nghiệp, để đề tài đƣợc hoàn thiện hơn, nhằm nâng cao năng
lực dạy toán cho học sinh.
Xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
mình, khơng sao chép nội dung của
ngƣời khác.

Trần Thị Hƣờng
Tài liệu tham khảo:
[1]. Bộ sách giáo khoa và bài tập. Hình học 11 (Ban cơ bản 2007. NXBGD).
[2]. Bộ sách giáo khoa và bài tập. Hình học 11 (Ban nâng cao 2007. NXBGD).
[3]. Các đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng từ năm 2002 đến 2015.
20