SKKN rèn luyện kĩ năng sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ

MỤC LỤC
Nội dung
A. Mở đầu
I. Lí do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Đối tượng nghiên cứu
IV. Phương pháp nghiên cứu
B. Nội dung SKKN
I) KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI QUYẾT DẠNG TỐN
NÀY
II) CÁC BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP
1. Hàm đặc trƣng có dạng hàm số đa thức bậc 2, bậc 3, bậc 4
2. Hàm đặc trƣng có dạng hàm số chứa căn thức
3. Sử dụng phƣơng pháp thế, cộng đại số sau đó kết hợp với
phƣơng pháp hàm số
IV. Hiệu quả do sáng kiến đem lại
V. Đề xuất, kiến nghị
Danh mục các tài liệu tham khảo

0


A. MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong những năm gần đây, các đề thi đại học và học sinh giỏi ln xuất
hiện bài tốn giải hệ với độ khó ngày càng tăng. Một trong những loại hệ hay
gặp trong các kỳ thi và gây cho học sinh khó khăn khi tiếp cận là loại hệ trong
đó có sử dụng phương pháp hàm số.
Do vậy, việc cần tìm ra một con đường ngắn nhất, lựa chọn hàm số thích hợp,
thực hiện các thao tác đơn giản, tiết kiệm tối đa thời gian để giải tốn là một vấn
đề tơi ln trăn trở.

Trong bài viết này tơi muốn trình bày một số kinh nghiệm tư duy áp dụng
để tìm con đường khai thơng nhằm giải quyết bài tốn một cách gọn gàng. Bằng
việc sử dụng một số bài toán ở mức độ thi đại học và thi học sinh giỏi làm ví dụ
minh họa, tơi đi sâu vào việc phân tích các khả năng tiếp cận lời giải, dẫn ra
những cách giải tương ứng, đưa ra những phân tích, nhận xét phù hợp, để từ đó
học sinh có thể nắm bắt được ý tưởng, con đường tư duy mà mỗi người làm toán
cần rèn luyện khi đứng trước một bài toán giải hệ .
II)

MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
-

Rèn luyện kĩ năng sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ .

-

Rèn luyện tư duy logic, khả năng nhìn nhận, đánh giá chung nhằm tìm

ra con đường hợp lí để có định hướng nhằm đưa ra giải pháp tốt nhất khi
gặp một bài toán cụ thể.
-

Rèn luyện các kĩ năng tổng hợp về tư duy và kĩ xảo toán học.

III) ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU:
-

Các bài tốn giải hệ có thể sử dụng phương pháp hàm số để giải quyết

-

Các dạng toán về hệ trong các kì thi HSG và Đại học trong những

năm gần đây.
IV) PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

1


-

Nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết giải bài toán hệ bằng phương

pháp hàm số
-

Nghiên cứu khả năng áp dụng trên cơ sở thực tiễn tiếp thu của các đối

tượng học sinh đã và đang được truyền thụ.
B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I)

KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI QUYẾT DẠNG TỐN NÀY
Tính chất 1: Giả sử hàm số

y

D và u ; v
Tính chất 2: Nếu hàm số y
hằng

f x

Khi gặp hệ có dạng
Xét hàm số
định của nó.
Nếu hàm số

y

f

t

đơn điệu, thì từ (1) suy ra

x

y.

Khi đó bài tốn

đưa về giải phương trình (2) theo ẩn x (hoặc y).
Nếu hàm số

y

f t

có một cực trị tại t

thiên một lần khi qua a. Từ (1) suy ra x

y

hoặc

a
x

thì nó thay đổi chiều biến
,y

nằm về hai phía của

a.
x,

f

II)

h

x

f

g

x

CÁC BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH SỬ DỤNG PHƢƠNG PHÁP
1. Hàm đặc trƣng có dạng hàm số đa thức bậc 2, bậc 3, bậc 4

Bài 1. Giải hệ :

4x2

4x2


2


Phân tích: Ta nhận thấy khó có thể bắt đầu với phương trình (2), để ý đến
phương trình (1),
thức

bậc

y3

Biểu thức
về dạng

f

chuyển

y

Giải: Điều kiện x
Xét hàm số
Ta có

3t2

f ' t

Thay

4x2

5
y

2

Phân tích: Phương trình (4) trơng khá “phức tạp” nên ta định hướng sử
dụng phương pháp hàm số để giải quyết
Nhận thấy x

Xét hàm số g

g' x

8x

Do đó

g

nghiệm duy nhất

8x

x


1
x

Bài 2. Giải hệ

2
2x3

4x2

x

2

3


Phân tích: Ta khơng thể bắt đầu với phương trình (2) vì khó có sự biến
đổi nào hợp lý ở đây. Xét phương trình (1), thực hiện cơ lập biến bằng, chia hai
vế cho

x 3ta

t

3

thấy vế trái là bậc ba đối với
, do vậy ta có

2y

x

HD: Điều kiện:

Xét thấy x = 0 không thỏa mãn hệ, nên chia hai vế của
y
2

phương trình (1) cho x

3

ta được:

1
1

x

Xét hàm số

x

3

f

Hệ có nghiệm duy nhất x

Bài 3. (Khối A năm 2012) Giải hệ:

Phân tích: Hai vế của phương trình đầu đều có
x, y), nên ta định hướng đưa phương trình đầu về dạng
hàm đặc trưng lúc đó

biến. Nhìn vào phương trình thứ 2 ta thấy đưa được về
1

suy ra

x
2

Giải: Hệ tương đương với:


4

Từ (2), suy ra

Xét hàm số

f t

nghịch biến. Do đó

Hệ có nghiệm là
Giải hệ

Bài 4.

Giải: Điều kiện
Ta có

x3

1

Xét hàm số
số

f t

đồng biến trên

f t

Do đó

3

x2

f
1x 2

Với x

0

y

Bài 5. Giải hệ :

Giải Điều kiện x
Xét hàm số

f t

Phương trình (1) có dạng:
Thay vào (2) ta được 2 x

2

f


5

2x2

6x

Đặt u

4

x

2,v

2 v 23 u v

2u2

Do v

chia hai vế phương trìn

0,

2

u
2

3

v

Vậy hệ có nghiệm

Bài 6. Giải hệ

Giải: Điều kiện: x
Xét hàm số

f t

Ta có

f '

t

3t2

Khi đó: (3) có dạng
Thế vào (2) ta được: 2 x

3

Đặt t

2x

1,t

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm
2

Bài 7. Giải hệ

Giải: Điều kiện y

trình (1) cho x

3

ta được:

x

Xét hàm số

f t


Ta có:

f

' t

6


Do đó

3

Thế y

vào (2) ta đ

x2
x

Ta có
x 21

ta được:

x

Vậy hệ có nghiệm:

Bài 8. Giải hệ
Giải: Điều kiện
Xét hàm số
Do đó,

3

Vậy hệ đã cho có nghiệm
Bài 9. Giải hệ

Giải : Điều kiện : x

Với y

x

Với 2 x

y

2 3x 1

Xét hàm số
đồng biến trên

1


Do đó

3

7


Vậy hệ đã cho có nghiệm
Bài 10. Giải hệ
Giải
Với x = 0 dễ thấy không thỏa mãn hệ trên.

Với x

Xét hàm số
f t

đồng biến trên.Do đó, (1) có dạng

Vậy hệ đã cho có nghiệm

x;y

Bài 11. Giải hệ
Giải: Với x = 0 hoặc y = 0 thì hệ khơng được thỏa mãn.

Với x

0, y

Cộng theo vế lại ta được:
Xét hàm số

y

f

Phương trình (3) có dạng

Vậy hệ đã cho có nghiệm


f y

x;y

Bài 12. Giải hệ

8


HD: Nhân hai vế của phương trình (2) với
y3
y

18

17x
1

3

Vậy hệ đã cho có nghiệm
Bài 13. Giải hệ :

Giải. Điều kiện: x
Ta
f(t)

có,
t 44 t , t

f '(

Bảng biến thiên

Ta có ( 3 )

f(

Vậy hệ có 2 nghiệm ( x ; y ) : (

Bài 14. Giải hệ
Giải. Điều kiện: 1
Ta có:

2

Xét hàm số:

f(

Nên hàm số

f


9


3

Thay 1

Do y

y4

không thỏa mãn nê

0

x

y

Với x

y,

Với x

thay vào (4) ta có: 3 x 41

3y,

cũng từ (4) ta có:

Vậy hệ đã cho có nghiệm
2. Hàm đặc trƣng có dạng hàm số chứa căn thức

Bài 1.

Giải hệ

Phân tích: Trong phương trình (2) có hai biểu thức có cùng dạng là
x 21

f u

nên gợi ý cho ta sử dụng phương pháp
f

v

. Đến

Giải: Điều kiện x

cho x 3

ta được:

Xét

hàm

f ' t

1

2y

s

t 21


Nên

f

t

Thế vào phương trình (1) ta được: g

10

là hàm số đồng biến tr


Ta có g '

x

Nên hàm số g
có nghiệm duy nhất x

Bài 2. (ĐH-A13) Giải hệ
Giải: ĐK x

Đặt

4

u

x

1,

suy

t4

2t

Xét

f

t

Do đó phương trình (3) tương đương với y
Thay vào phương trình (2) ta được: y
Hàm g
Mà g

y

1

Với y
Vậy nghiệm

Bài 3. Giải hệ

Giải: Điều kiện:
Nên nhân hai vế của phương trình (1) với

0

ta được nghiệm

x;y


Xét hàm số h

11


Ta có h '

t

Suy ra hàm số h

t

Do đó

3

Nhẩm được nghiệm x

đặt V T
Ta có:

f ( x ) ;V P

f

(x)

g (x)

1

0

Suy ra f ( x )

ng

Mà

g(

f ( 1)

Vậy nghiệm
Bài 4. Giải hệ :

2 x

x

Giải: Điều kiện:

x

6;y

1.

(2)
x2

Xét hàm số

f


f t

đồng biến trên.

Do đó,

3

12


Thay vào (1) ta được

2 x
x

2 x

2

Do x

2

suy ra

y

nên

Vậy hệ đã cho có nghiệm
x

Bài 5. Giải hệ

Giải : Điều kiện x

2

1

Xét

f

t
t

f '

Thay vào (2) ta được: y

t

1