SKKN ứng dụng định lý vi ét giai toan THCS

GIỚI THIỆU CỦA TỔ CHUN MƠN
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Bình Trị Đơng, ngày 10 tháng 11 năm 2017
TM. Tổ chuyên môn

NHẬN XÉT CỦA NHÀ TRƯỜNG
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
Bình Trị Đơng, ngày tháng

năm 2017

MỤC LỤC
Trang
1


Nhận xét
Mục lục

A. MỞ ĐẦU
B.NỘI DUNG
I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐỊNH LÍ VI-ÉT
II. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN

1 NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
2. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
3. TÌM NGHIỆM CỊN LẠI VÀ CHỈ RA HỆ SỐ CHƯA BIẾT CỦA PHƯƠNG TRÌNH
4. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
5. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHI BIẾT HAI NGHIỆM X1 VÀ X2
6. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM ĐỘC LẬP VỚI THAM SỐ
7. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
8. TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC
CHỨA NGHIỆM ĐÃ CHO
9. XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
10.
ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG GIẢI TỐN CHỨNG MINH ĐẲNG TH
11.
ÁP DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

III. BÀI TẬP TỔNG HỢP
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

C. KẾT LUẬN :

ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT GIẢI TOÁN CẤP THCS

2

A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI:
Ngày nay để theo kịp với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật thì việc nâng cao
kiến thức tốn học cho mọi người nói chung và học sinh nói riêng là vơ cùng cần thiết. Trong
chương trình Tốn 9, ở chương IV, học sinh được làm quen với phương trình bậc hai một ẩn,
cơng thức tính nghiệm phương trình bậc hai, đặc biệt là định lí Vi-ét và ứng dụng của nó trong
việc giải tốn. Ta cũng thấy, để giải được các bài tốn có liên quan đến hệ thức Vi-ét, học sinh
cần tích hợp nhiều kiến thức về đại số. Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy các em vận dụng hệ
thức Vi-ét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác và sử dụng hệ thức Vi-ét vào giải
nhiều loại bài toán. Bên cạnh đó, nội dung và thời lượng về phần này trong sách giáo khoa lại rất
ít, lượng bài tập chưa đa dạng .
Với mong muốn hệ thống những kiến thức trọng tâm về việc ứng dụng hệ thức Vi-ét để
giải các bài tốn ơn thi vào lớp 10 THPT cho học sinh lớp 9 đạt điểm số cao nhất, giúp học sinh
tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập, đồng thời làm tăng năng lực
học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng bộ mơn
tốn. Vì vậy, tơi chọn đề tài ”Ứng dụng định lí Vi-ét giải tốn cấp THCS” làm sáng kiến kinh
nghiệm của mình.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Đề tài này nghiên cứu nhằm giúp học sinh THCS có sự định hướng để giải các bài tốn
tìm điều kiện của tham số trong phương trình bậc hai, đặc biệt có lối suy nghĩ nhanh nhẹn, linh
hoạt cho các trường hợp và thấy được ứng dụng rộng rãi của định lí Vi-ét. Mỗi bài tốn có thể có
nhiều cách giải khác nhau, việc khai thác nội dung bài tốn, tìm ra phương pháp giải có tác dụng
tích cực trong phát triển tư duy lơ gíc, kĩ năng, sáng tạo góp phần nâng cao chất lượng dạy học
Tốn THCS.
III.

NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

3

Với đề tài này, theo tơi để đề tài có tính chất khả thi thì nhiệm vụ cơ bản nhất là khai thác
triệt để tiềm năng sách giáo khoa tạo tiền đề, cơ sở vững chắc về mặt kiến thức, phải nắm chắc
kiến thức cơ bản của sách giáo khoa, làm được hết tất cả các bài tập trong sách giáo khoa một
cách thành thạo, hiểu rõ các yêu cầu và biết phân dạng loại bài tập rồi từ đó khai thác các bài tập
ở các tài liệu tham khảo.
Lí thuyết: Dạng phương trình bậc hai một ẩn, cơng thức nghiệm (thu gọn) của phương
trình bậc hai một ẩn, hệ thức Vi - ét và ứng dụng, cách xác định dấu các nghiệm …
IV. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
-

Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 9 ở trường THCS đang công tác.

-

Đề tài nghiên cứu một số dạng bài ứng dụng hệ thức Vi-ét theo đúng nội dung ôn

thi vào lớp 10 THPT bao gồm cả kiến thức cơ bản và nâng cao đáp ứng nhu cầu học tập
của học sinh muốn đạt điểm cao khi thi vào các trường THPT công lập và THPT chuyên.
-

Đề tài dành cho giáo viên tham khảo, áp dụng trong giảng dạy bộ mơn Tốn và

giúp học sinh hệ thống hóa các dạng bài tập và phương pháp giải các bài toán liên quan
đến hệ thức Vi-ét . Đề tài có thể áp dụng trong các trường THCS và phạm vi toàn ngành.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
-

Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT tốn 9, tài liệu có liên quan.

-

Nghiên cứu qua theo dõi các bài kiểm tra.

-

Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập của từng đối tượng học sinh.

Phương pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu chủ yếu đó là phương pháp thực
nghiệm.
VI. CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN
1.

Khảo sát, tìm hiểu thực tế học sinh.

2.

Nghiên cứu sách giáo khoa, tài liệu hướng dẫn cần thiết.

3.

Xây dựng phương pháp khi soạn giáo án chính khố và tự chọn.

4. Áp dụng vào các tiết dạy lý thuyết cũng như các tiết luyện tập, các tiết dạy tự chọn, dạy
bồi dưỡng học sinh khá, giỏi .
5.

Hoàn thành phương pháp sau khi đã cho học sinh thực hành qua đó rút ra bài học kinh

nghiệm.

VII. NHỮNG GIẢI PHÁP MỚI CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài đề ra giải pháp gồm các nội dung sau:
-

Sắp xếp các dạng bài ứng dụng hệ thức Vi-ét theo mức độ từ dễ đến khó.
4


-

Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng bài.

-

Rèn kỹ năng làm thành thạo các bài toán ứng dụng hệ thức Vi-ét.

-

Tìm tịi những cách giải hay, khai thác bài toán.

Minh họa bài tập trong các kỳ thi học kỳ quận Bình Tân và tuyển sinh lớp 10
TP.HCM
*

Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản.

*

Đối với học sinh khá, giỏi:

Phát triển tư duy, kỹ năng giải các dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét có lồng ghép
bài tập
nâng cao.
-

Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng bài.

B. NỘI DUNG
I.

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐỊNH LÍ VI-ÉT
Trước hết trong quá trình dạy học giáo viên cần làm sao để học sinh nắm vững định lí Vi-

ét và một số trường hợp đặc biệt. Bởi vì đó là cơ sở, là tiền đề, cũng là chìa khóa để giải quyết
các bài tập:
2

Cho phương trình bậc hai: ax + bx + c = 0 (a

Có hai nghiệm

Suy ra:

x

Vậy - Tổng nghiệm là S :

- Tích nghiệm là P :
*

Hệ quả:

Xét phương trình (1) ta thấy :


a) Nếu cho x = 1 thì ta có (1)



2

a.1 + b.1 + c = 0

Như vây phương trình có một nghiệm x1



a+b+c=0


b) Nếu cho x = 1 thì ta có (1)



2

a.( 1) + b(

Như vậy phương trình có một nghiệm là

x1

Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện:

u

v

u .v

S
P

2

thì u, v là hai nghiệm của phương trình: x – Sx +

P = 0.

2

(điều kiện để có hai số u, v là: S – 4P 0).
Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của định lí Vi-ét trong giải một số dạng
tốn.
II. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ VI-ÉT TRONG VIỆC GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN
1. NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
1.1. Dạng đặc biệt:
2

a) Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a

trình có một nghiệm là: x1 = 1 cịn nghiệm kia là: x2 =
2

b) Nếu phương trình ax + bx + c = 0 (a
trình có một nghiệm là: x1 = - 1 cịn nghiệm kia là: x2 =

Ví dụ: Dùng hệ thức Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau:
1) 4 x 2
Giải
Phương trình (1) có dạng a

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệ
Bài tập áp dụng


Hãy tìm nhanh nghiệm của các phương trình sau:
1. 2 x 2
3. x 2


1.2.Sử dụng hệ thức Vi-ét
Ví dụ: Hãy nhẩm nghiệm của phương trình (pt) sau: x

2

Giải Do
Áp dụng hệ thức Vi-ét:
x1
x1.x2

Vậy pt có 2 nghiệm là: x1 = 3; x2 = 4.
Bài tập áp dụng
Tính nhẩm nghiệm phương trình sau:
2

1) x – 5x + 6 =0
2. TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG
Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :
x2

Sx

P

(điều kiện để có hai số đó là S

0

2

4P

0)

Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng a + b = 5 và tích ab = 6
Giải
Vì a + b = 5 và ab = 6 nên a, b là nghiệm của phương trình : x
Giải phương trình trên ta được x1
Vậy

2

và x 2

2

5x

6

0

3

nếu a = 2 thì b = 3
nếu a = 3 thì b = 2

Bài tập áp dụng:
1)Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P
1.
2.
2)Tìm 2 số a và b biết
2

2

1. a + b = 9 và a + b = 41
2. a
Hướng dẫn:

1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức Vi-ét thì cần tìm tích của a
v à b.
7



Từa

b

9

Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : x

2

9 x

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5
nếu a = 5 thì b = 4
2) ab = 36 , cần tìm tổng : a + b

Suy ra: a,c là nghiệm của phương trình : x

2

Do đó nếu a = 4 thì c = 9 nên b =
nếu a = 9 thì c =
3. TÌM NGHIỆM CÒN LẠI VÀ CHỈ RA HỆ SỐ CHƯA BIẾT CỦA PHƯƠNG TRÌNH :
Ví dụ: (Tuyển sinh 10 NH: 2013-2014)

Cho phương trình 8 x

2

Định m để phương trình (*) có nghiệm x
Giải
Phương trình (*) có nghiệm x =
Bài tập áp dụng
a) Phương trình x 2

2 px

b) Cho phương trình :

x

của phương trình.
Hướng dẫn:
a) Thay x1

2
1
p
4

Từx1x2

2

b) Vì vai trị của x1
x 1x 27 ,

ta giải hệ sau:

Suy ra q

x

1

x

2

4. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM
Đối các bài toán dạng phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa
tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức Vi-ét rổi tính giá trị của biểu thức
4.1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( x 1
Ví dụ :

x2

) và

x1x2

x 12

x 22

( x 12

x 13

x 23

x1

c) x 14

x 24

2

2

= (S -2P) – 2P
d)

1

x1

1

x1

e) x

1

2

x2
x

x

x2

2

x1

f)x1
x

?

2

Ta có:
x1

x2

Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau:
1.

x2
1

2.

x 13

4.2. Khơng giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm
a) Cho phương trình : x

2

3.


x

1

x

1

1

9


b) Cho phương trình x

2

Q

Hướng dẫn:

Q

Ví dụ : (Tuyển sinh 10 NH: 2014-2015)
Cho phương trình x

2

a) Chứng minh phương trình (1) ln có 2 nghiệm trái dấu
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức :

Giải
a) Ta có a.c = -1 < 0 , với mọi m nên phương trình (1) ln có 2 nghiệm trái dấu với mọi m.
b) Ta có x

mx

2

1

mx
Do đó P

Bài tập áp dụng
Cho phương trình: x

2

a) Chứng minh phương trình (1) ln có 2 nghiệm phân biệt x 1

,x

2

b) Tính giá trị của biểu thức:

5. LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI KHI BIẾT HAI NGHIỆM X1 VÀ X2
Ví dụ 1

: Cho x1

Giải
x 2S xP0

2

Ví dụ 2: Cho phương trình: x + 5x - 1 = 0

1


Khơng giải phương trình (1), hãy lập một phương trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa

bậc bốn của các nghiệm phương trình (1)
10


Giải
Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình đã cho theo hệ thức vi-ét, ta có:
x1 + x2 = -5;

y +y =x
y1..y2 = x 14 . x 24
Ta có:

x 14

2

2 2

2

2

x 24 = (x1 + x2 ) - 2x1 .x2 = 729 - 2 = 727
4

4

x 14 . x 24 = (x1.x2) = (- 1) = 1
2

Vậy phương trình cần lập là: y - 727y + 1 = 0
Bài tập áp dụng
Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm sau :
1.

x1 = 5

2.

x1 = 1

6. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM ĐỘC LẬP VỚI THAM SỐ
*Các bước thực hiện :
-

Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2
(thường là a 0 và

-

Tính S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng phương pháp cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ
giữa các nghiệm x1 và x2.
Ví dụ 1: Cho phương trình :

m

x

giữa x 1 ;
Giải

2

m

'

Ta có :

1 0

m

0

m2


11


x

x

1

.x2

x1

Đồng nhất các vế của (1) và (2) ta có:
2

x 1x 22

Nhận xét:
-

Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

Sau đó dựa vào hệ thức Vi-ét rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng
nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số.

Ví dụ 2: (Đề kiểm tra HK2- Quận Bình Tân - NH: 2014-2015)
Cho phương trình: x 2

2(m

5)x

4m

1

0

(x là ẩn số, m là tham số)

a)

Chứng minh phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b)

Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm hệ thức độc lập liên hệ giữa x1 và

x2 không phụ thuộc vào m.
Giải
a)
Ta có:

Chứng minh phương trình ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
'

(m 5)

2

Vậy phương trình đã cho ln có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
Vì phương trình ln có nghiệm với mọi m, theo hệ thức Vi-Ét:
S

2


Ta có:
P

12


b) Ta có:
Bài tập áp dụng
Cho phương trình :

x

2

hệ giữa x 1 ; x 2 sao cho x 1 ; x 2
Hướng dẫn: Dễ thấy
do đó phương trình đã cho ln có 2 nghiệm phân biệt x1 và
x2 Theo hệ thức Vi- ét ta có
x 1x 2
x1.x2

Từ (1) và (2) ta có:
x1

x2

7. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM Áp
dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta ln phân tích được:
A
C
n

Ta có:

C

C

Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình:
2

x - (2m - 1)x + m – 2 = 0
Tìm m để x12

x 22 có giá trị nhỏ nhất

Giải
2

2

2

= 4m - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m - 8m + 9 = 4(m - 1) + 5 >
0 Nên phương trình đã cho có hai nghiệm với mọi m Theo
định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2
x12

2

2

x 22 = (x1 + x2) - 2x1x2 = (2m - 1) - 2(m - 2)


13


Vậy giá trị nhỏ nhất của (x1

Cho phương trình: x 2
a)Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m.
b)Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình theo m.
c) Gọi x
1

Giải
a)Chứng minh phương trình ln có nghiệm với mọi m.
Ta có:
Vậy phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi m.
b) Vì phương trình ln có nghiệm với mọi m, theo Vi-ét:

S

Ta có:
P

c) Ta có: A
=3

Dấu "=" xảy ra khi 2 m
Vậy GTNN của A là

+

2m +


Cho phương trình: x 2
a) Tìm m để phương trình ln có nghiệm.
14


b) Tìm m để A = x1(x2 – 1) – x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải a) Tìm m để phương trình ln có nghiệm với mọi m.
Ta có:

'

Để phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi m thì:
'

b) Khi m

S

Ta có:
P

2

Ta có: A = x1(x2 – 1) – x2 = x1x2 – x1 – x2 = x1x2 – (x1 + x2) = m – 3m + 1 + 2m + 6

2

=m –m+7=

Vậy A đạt GTNN là

Cho phương trình x

2

a)
b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình.

Giải
a)
b) Do đó, theo Vi-ét, với mọi m, ta có: S =
'

(m