Tham khảo TN Toán 2010 số 12

THAM KHẢO ƠN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010
Câu I:
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số
2
2 2
1
x x
y
x
+ −
=
−
2. Tìm điểm M trên đồ thò của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm
của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.
Câu II:
1. Giải hệ phương trình :
3 3
6 6
3 3
1
x x y y
x y

− = −


+ =


2. Giải và biện luận phương trình :

2 2
2 2 2 4 2 2
5 5 2
x mx x mx m
x mx m
+ + + + +
− = + +

trong đó m là tham số.
3. Giả sử x và y thì các số thay đổi thoả mãn :x > 0 , y > 0 và x+y=1 .Hãy tìm giá
trò nhỏ nhất của biểu thức :
1 1
x y
P
x y
= +
− −
Câu III:
Các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện :

1
cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2 2 2
A B C A B C
− =
Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông
Câu IV:
Cho họ đường cong(
m
C

) có phương trình :
2 2
2 2
1
25
x y
m m
+ =
−
trong đó m là tham số ,
0m ≠
và
5m ≠ ±
1. Tùy theo các giá trò của m ,hãy xác đònh khi nào thì
m
C
là Elip và khi nào thì
m
C
là Hyperbol?
2. Giả sử A là một điểm tuỳ ý trên đường thẳng x =1 và A không thuộc trục
hoành .Chứng minh rằng với mỗi điểm A luôn luôn có bốn đường cong của họ (C
m
) đi
qua A .Hỏi trong số bốn đường cong (
m
C
) đó có bao nhiêu Elip và bao nhiêu
Hyperbol ?
Câu V:

1. Trên mặt phẳng cho thập giác lồi ( hình mười cạnh lồi )
1 2 10
....A A A
.Xét tất cả
các tam giác mà ba đỉnh của nó là đỉnh của thập giác.Hỏi trong số các tam giác đó , có
bao nhiêu tam giác mà cả ba cạnh của nó đều không phải là cạnh của thập giác ?
2. Tính tích phân :
4
6 6
0
sin 4
sin cos
x
dx
x x
π
+
∫
DAP AN
(ĐỀ SỐ 1)
CÂU I:
1) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số:
2
2 2
1
x x
y
x
+ −
=

−
• TXĐ: D = R\{1}
2
2
'
2
( 1)
0
' 0
2
x x
y
x
x
y
x
−
=
−
=

= ⇔

=

• Tiệm cận đứng:
x = 1 vì
lim
1x
= ∞

→
Ta có:
1
3
1
y x
x
= + +
−
• Tiệm cận xiên:
y = x + 3 vì
1
lim 0
1x
x
=
−
→ ∞
• BBT:
• Đồ thò:
2) Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm 2 đường tiệm
cận là nhỏ nhất.
Giao điểm của 2 đường tiệm cận là: I(1,4)
Gọi
1
1 , 4 ( )M a a C
a
 
+ + + ∈
 

 
• Xét a > 0
Ta có:
2
1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2 . 2
2 2
2 2 2
2 2 2
IM a a a a
a
a a
IM
 
= + + = + + ≥ +
 
 
= +
⇒ ≥ +
min( ) 2 2 2IM⇒ = +
khi
1 1
2 4
2
2
2
a a
a
= ⇔ =

1 1 1
4
1 , 4 2
4 4 4
2 2 2
a M
 
⇔ = ⇒ + + +
 
 
 
Do tính đối xứng nên có 2 điểm M thoả điều kiện bài toán:
1 1
4
1 , 4 2
1
4 4
2 2
1 1
4
1 , 4 2
2
4 4
2 2
M
M
 
+ + +
 
 

 
 
− + −
 
 
 
CÂU II:
1) Giải hệ:
3 3
3 3 (1)
6 6
1 (2)
x x y y
x y

− = −



+ =

Ta có (1):
( )
3 3
3 0x y x y⇔ − − − =
2 2
3 0
x y
x xy y
=


⇔

+ + − =


Với x = y thế vào (2) ta có:
1 1
6 6
2 2
1 1
6 6
2 2
x x
y y
−
 
= =
 
 
∨
 
−
 
= =
 
 
Với
2 2
3 0x xy y+ + − =

(*) . Từ (2)
, 1x y⇒ ≤
Nên (*)
2 2
1x xy y⇔ = = =
Không thỏa (2) loại trường hợp này.
Vậy hệ có nghiệm là:
1 1 1 1
, ; ,
6 6 6 6
2 2 2 2
   
− −
   
   
   
2) Giải và biện luận:
2 2
2 2 2 4 2 2
5 5 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
5 5 .5 2
2 2
2 2 2 2
5 1 5 2
x mx x mx m
x mx m
x mx x mx x mx m
x mx m

x mx x mx m
x mx m
+ + + + +
− = + +
+ + + + + +
⇔ − = + +
 
+ + + +
⇔ − = + +
 
 
 
. Nếu
2
2 0x mx m+ + >
thì vế trái < 0 và vế phải > 0
. Nếu
2
2 0x mx m+ + <
thì vế trái > 0 và vế phải < 0
Vậy phương trình
2
2 0x mx m⇔ + + =
có
2
' m m= −V
Biện luận:
3) x > 0, y > 0 và x + y = 1. Tìm giá trò nhỏ nhất.
1 1
= +

− −
x y
P
x y
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
2 1
'
3 3
2 1 2
3 3
' 0 2 2 1 2 1
3 2
8 12 6 1 0
1
2
8 8 2 0
2
1
2
−
= +
−

− +
⇒ = −
−
= ⇔ − = + −
⇔ − + − =
 
⇔ − − + =
 ÷
 
⇔ =
x x
P
x x
x x
P
x x
P x x x x
x x x
x x x
x
Bảng biến thiên:
Vậy
2
min
p =
khi
1
2
x y= =
CÂU III:

Các góc của tam giác ABC thoả mãn điều kiện:

1
cos cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2 2 2
A B C A B C
− =
(1)
Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
Ta có:
(1)