ỨNG DỤNG GIẢI THUẬT DI TRUYỀN TÌM ĐƯỜNG ĐI TỐI ƯU TRONG GIAO THÔNG ĐƯỜNG THỦY TẠI TỈNH VĨNH LONG. LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LÊ HOÀNG AN

ỨNG DỤNG GIẢI THUẬT DI TRUYỀN
TÌM ĐƯỜNG ĐI TỐI ƯU
TRONG GIAO THÔNG ĐƯỜNG THỦY
TẠI TỈNH VĨNH LONG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

Đà Nẵng, Năm 2017


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LÊ HOÀNG AN

ỨNG DỤNG GIẢI THUẬT DI TRUYỀN
TÌM ĐƯỜNG ĐI TỐI ƯU
TRONG GIAO THÔNG ĐƯỜNG THỦY
TẠI TỈNH VĨNH LONG
Chuyên ngành: Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

Người hướng dẫn khoa học: TS. PHẠM MINH TUẤN

Đà Nẵng - Năm 2017


i

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan:
- Những nội dung trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp
của TS. Phạm Minh Tuấn.
- Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực về tên
tác giả, tên cơng trình, thời gian và địa điểm công bố.
Tác giả luận văn

Lê Hoàng An


ii

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ...........................................................................................................i
MỤC LỤC ..................................................................................................................... ii
TÓM TẮT LUẬN VĂN ................................................................................................v
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT .............................................................................vi
DANH MỤC CÁC BẢNG.......................................................................................... vii
DANH MỤC CÁC HÌNH ......................................................................................... viii
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài .....................................................................................................1
2. Mục tiêu và nhiệm vụ đề tài.....................................................................................2
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ...........................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu .........................................................................................2

5. Mục đích và ý nghĩa của đề tài ................................................................................2
6. Cấu trúc của luận văn...............................................................................................3
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT .............................................................................4
1.1. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ ..........................................................................................4
1.1.1. Các khái niệm trên đồ thị ...............................................................................4
1.1.1.1. Định nghĩa đồ thị .....................................................................................4
1.1.1.2. Các thuật ngữ cơ bản ...............................................................................5
1.1.1.3. Biểu diễn đồ thị trên máy tính .................................................................7
1.1.2. Bài tốn đường đi ngắn nhất ..........................................................................9
1.1.2.1. Đặt vấn đề ................................................................................................9
1.1.2.2. Phát biểu bài tốn ....................................................................................9
1.1.3. Các thuật tốn tìm đường đi ngắn nhất ........................................................10
1.1.3.1. Thuật toán Dijsktra ................................................................................10
1.1.3.2. Thuật toán Bellman-Ford ......................................................................11
1.2. GIẢI THUẬT DI TRUYỀN ...............................................................................13
1.2.1. Giới thiệu......................................................................................................13
1.2.2. Nguyên tắc thiết kế giải thuật di truyền .......................................................13
1.2.2.1. Các toán tử di truyền .............................................................................14
1.2.2.2. Các thành phần của giải thuật di truyền ................................................14
1.2.2.3. Các bước của giải thuật di truyền ..........................................................15
1.2.3. Một số ứng dụng của giải thuật di truyền ....................................................16
1.2.3.1. Bài toán Người bán hàng du hành (TSP) ..............................................16


iii

1.2.3.2. Bài tốn lập lịch .....................................................................................18
1.2.3.3. Lập thời khóa biểu cho trường học .......................................................18
1.2.3.4. Phân hoạch đối tượng và đồ thị .............................................................19
1.3. ĐẶC ĐIỂM GIAO THÔNG ĐƯỜNG THỦY TỈNH VĨNH LONG .................19

1.3.1. Các nhân tố ảnh hưởng đến giao thông đường thủy tỉnh Vĩnh Long ..........19
1.3.1.1. Vị trí địa lý ............................................................................................19
1.3.1.2. Địa hình .................................................................................................20
1.3.1.3. Khí hậu ..................................................................................................20
1.3.1.4. Thủy văn ................................................................................................20
1.3.2. Thực trạng giao thông đường thủy tỉnh Vĩnh Long .....................................21
1.3.2.1. Q trình phát triển giao thơng đường thủy ..........................................21
1.3.2.2. Mạng lưới giao thông đường thủy tỉnh Vĩnh Long ...............................21
CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG GIẢI THUẬT DI TRUYỀN TÌM ĐƯỜNG ĐI TỐI
ƯU TRONG GIAO THÔNG ĐƯỜNG THỦY TẠI TỈNH VĨNH LONG .............26
2.1. PHÁT BIỂU BÀI TOÁN ....................................................................................26
2.2. XÂY DỰNG ỨNG DỤNG.................................................................................26
2.2.1. Khảo sát, phân tích dữ liệu ...........................................................................26
2.2.1.1. Về hệ thống sơng ...................................................................................26
2.2.1.2. Về cảng, bến hàng hóa ..........................................................................27
2.2.2. Tổ chức dữ liệu ............................................................................................27
2.2.2.1. Danh bạ các nút giao, các bến cảng, bến hàng hóa ...............................27
2.2.2.2. Khoảng cách giữa các nút giao, bến cảng, bến hàng hóa ......................28
2.2.3. Triển khai, xây dựng ứng dụng ....................................................................29
2.2.3.1. Khởi tạo quần thể ..................................................................................30
2.2.3.2. Hàm đánh giá cá thể ..............................................................................31
2.2.3.3. Lựa chọn cá thể .....................................................................................32
2.2.3.4. Lai ghép .................................................................................................32
2.2.3.5. Đột biến .................................................................................................33
CHƯƠNG 3. THỬ NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ.........................................................34
3.1. GIAO DIỆN CHƯƠNG TRÌNH ........................................................................34
3.2. THỬ NGHIỆM, ĐÁNH GIÁ .............................................................................37
3.2.1. Tìm đường đi qua các nút giao giữa các con sông .......................................37
3.2.1.1. Thử nghiệm lần 1...................................................................................39
3.2.1.2. Thử nghiệm lần 2...................................................................................40

3.2.1.3. Thử nghiệm lần 3...................................................................................42


iv

3.2.1.4. Thử nghiệm lần 4...................................................................................44
3.2.1.5. Thử nghiệm lần 5...................................................................................46
3.2.1.6. Thử nghiệm lần 6...................................................................................47
3.2.1.7. Thử nghiệm lần 7...................................................................................48
3.2.1.8. Thử nghiệm lần 8...................................................................................50
3.2.1.9. Một số thử nghiệm khác ........................................................................51
3.2.2. Tìm đường đi qua các nút giao, các cảng sơng, bến hàng hóa .....................57
3.2.2.1. Thử nghiệm lần 1...................................................................................58
3.2.2.2. Thử nghiệm lần 2...................................................................................59
3.2.2.3. Thử nghiệm lần 3...................................................................................59
3.2.2.4. Thử nghiệm lần 4...................................................................................60
3.2.2.5. Thử nghiệm lần 5...................................................................................60
KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN .................................................................62
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................63
PHỤ LỤC
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao)
BẢN SAO KẾT LUẬN CỦA HỘI ĐỒNG, BẢN SAO NHẬN XÉT CỦA CÁC
PHẢN BIỆN.


v

TÓM TẮT LUẬN VĂN
ỨNG DỤNG GIẢI THUẬT DI TRUYỀN TÌM ĐƯỜNG ĐI TỐI ƯU
TRONG GIAO THÔNG ĐƯỜNG THỦY TẠI TỈNH VĨNH LONG

Tóm tắt - Giải thuật di truyền và bài toán đường đi ngắn nhất là một trong số các vấn đề
mang tính thực tiễn cao trong tốn học và tin học. Trong đó, giải thuật di truyền là phương
pháp tìm kiếm mơ phỏng q trình sinh tồn, tiến hóa của tự nhiên. Đó là sự chọn lọc các cá
thể có độ thích nghi cao, loại bỏ các cá thể có độ thích nghi thấp tiến tới sàng lọc ra các cá thể
tốt nhất. Bài toán đường đi ngắn nhất là vấn đề tìm đường đi giữa hai đỉnh trong một đồ thị
hay giữa hai địa điểm trong mạng giao thơng với điều kiện chi phí là tối thiểu. Trên thực tế,
vấn đề này đã được giải quyết bằng một số thuật tốn cổ điển. Tuy nhiên, việc tìm đường đi
giữa hai địa điểm với ràng buộc phải qua một số địa điểm khác các giải thuật cổ điển này
chưa giải quyết được. Do đó, trong khn khổ luận văn này, tôi sẽ đề xuất giải thuật di truyền
để giải quyết bài toán vừa nêu và ứng dụng vào thực tiễn tìm đường đi tối ưu trong mạng giao
thơng đường thủy tỉnh Vĩnh Long.
Từ khóa – giải thuật di truyền, GAs, bài tốn đường đi ngắn nhất, giao thơng đường thủy.

APPLYING GENETIC ALGORITHMS TO FIND THE OPTIMAL ROUTE IN
THE WATERWAY NETWORK OF VINH LONG PROVINCE
Abstract - Genetic algorithms and shortest path problems are among the most practical issues
in mathematics and computing. Of which, genetic algorithm is the search method to simulate
the process of survival, evolution of nature. It is the selection of highly adaptive individuals,
eliminating the low adaptability of individuals to the best individual screening. The shortest
path problem is the problem of finding a path between two vertices in a graph or between two
locations in a transport network, provided that the cost is minimal. In fact, this problem has
been solved by some classical algorithms. However, finding paths between two places with
mandatory must through some different places, these classical algorithms are not solved.
Therefore, within this thesis, I will propose genetic algorithms to solve the above mentioned
problems and apply them to the practice of navigating the waterway network of Vinh Long
province.
Key words – genetic algorithms, GAs, shortest path problem, waterway traffic.


vi

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

GAs
GTVT
ĐBSCL
UBND

giải thuật di truyền
giao thông vận tải
đồng bằng sông Cửu Long
Ủy ban Nhân dân


vii

DANH MỤC CÁC BẢNG

Số hiệu
bảng

Tên bảng

Trang

1.1.

Kết quả giải thuật Dijsktra

11

1.2.

Kết quả giải thuật Ford – Bellman

12

1.3.

Bảng thống kê các tuyến sông và cấp kỹ thuật

24


viii

DANH MỤC CÁC HÌNH

Số hiệu
hình
1.1
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8
1.9
1.1

1.1
1.1
1.1
2.1
2.2
2.3
2.4
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17

Tên hình
Ví dụ về đơn đồ thị vơ hướng
Ví dụ về đa đồ thị vơ hướng (e1 và e2 là các cạnh song
song)
Ví dụ về đơn đồ thị có hướng

Ví dụ về đa đồ thị có hướng (e1 và e2 là các cung song
song)
Ví dụ các thuật ngữ trên đồ thị vơ hướng
Ví dụ các thuật ngữ trên đồ thị có hướng
Ví dụ về đồ thị có hướng liên thơng
Đồ thị vơ hướng G và đồ thị có hướng G1
Đồ thị có hướng G
Đồ thị có hướng G và giải thuật Dijsktra
Đồ thị có hướng G và giải thuật Ford - Bellman
Lưu đồ giải thuật di truyền
Bản đồ đường sông tỉnh Vĩnh Long (Nguồn sở GTVT
Vĩnh Long)
Đồ thị có trọng số G và bài tốn đường đi ngắn nhất
Tập tin danh bạ các nút giao
Tập tin danh bạ các cảng, bến hàng hóa
Biểu diễn khoảng cách giữa các nút
Giao diện chương trình
Giao diện chọn tập tin dữ liệu vào
Cửa sổ Open
Giao diện chọn điểm bắt đầu và kết thúc hành trình
Cách chọn điểm bắt đầu và kết thúc hành trình
Giao diện chọn các nút phải đi qua
Cách chọn các nút phải đi qua
Kết quả đường đi tối ưu
Sơ đồ đường sông tỉnh Vĩnh Long
Biểu diễn các nút giao giữa các sông bằng đồ thị
Kết quả thử nghiệm lần 1, thế hệ 1
Kết quả thử nghiệm lần 1, thế hệ 4
Kết quả thử nghiệm lần 2, thế hệ 1
Kết quả thử nghiệm lần 2, thế hệ 3

Kết quả thử nghiệm lần 3, thế hệ 5
Kết quả thử nghiệm lần 3, thế hệ 6
Kết quả thử nghiệm lần 4, thế hệ 1

Trang
4
4
5
5
6
6
7
7
8
11
12
16
22
26
27
28
29
34
34
35
35
35
36
36
37

38
38
39
40
41
42
43
44
45


ix

Số hiệu
hình
3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
3.28
3.29
3.30
3.31
3.32

3.33
3.34
3.35
3.36
3.37
3.38
3.39

Tên hình
Kết quả thử nghiệm lần 4, thế hệ 7
Kết quả thử nghiệm lần 5, thế hệ 8
Kết quả thử nghiệm lần 6, thế hệ 1
Kết quả thử nghiệm lần 7, thế hệ 1
Kết quả thử nghiệm lần 7, thế hệ 5
Kết quả thử nghiệm lần 8, thế hệ 10
Biểu đồ kết quả thử nghiệm trường hợp 1
Biểu đồ kết quả thử nghiệm trường hợp 2
Biểu đồ kết quả thử nghiệm trường hợp 3
Biểu đồ kết quả thử nghiệm trường hợp 4
Biểu đồ kết quả thử nghiệm trường hợp 5
Biểu đồ kết quả thử nghiệm trường hợp 6
Biểu đồ kết quả thử nghiệm trường hợp 7
Biểu đồ kết quả thử nghiệm trường hợp 8
Biểu đồ kết quả thử nghiệm trường hợp 9
Biểu đồ kết quả thử nghiệm trường hợp 10
Biểu diễn các nút giao, cảng, bến hàng hóa bằng đồ thị
Biểu đồ kết quả thử nghiệm lần 1
Biểu đồ kết quả thử nghiệm lần 2
Biểu đồ kết quả thử nghiệm lần 3
Biểu đồ kết quả thử nghiệm lần 4

Biểu đồ kết quả thử nghiệm lần 5

Trang
46
47
48
49
50
51
52
52
53
53
54
55
55
56
56
57
58
59
59
60
60
61


1

MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Giao thông vận tải là lĩnh vực thuộc kết cấu hạ tầng, có vai trò quyết định trong
việc phát triển kinh tế vùng miền. Giao thông vận tải tạo điều kiện cho sự phát triển
kinh tế - xã hội, an ninh quốc phòng, phục vụ cho sự nghiệp Cơng nghệp hóa – hiện
đại hố đất nước. Vì lẽ đó, giao thơng vận tải được xem như là huyết mạch của mỗi địa
phương trong quá trình phát triển tồn diện tất cả các lĩnh vực kinh tế - xã hội của địa
phương đó.
Đặc điểm địa lý của Đồng bằng sơng Cửu Long (ĐBSCL) nói chung và tỉnh
Vĩnh Long nói riêng là hệ thống sơng ngịi, kênh rạch dày đặc, thuận lợi cho giao
thông đường thủy bậc nhất nước ta. Trong đó có rất nhiều tuyến sơng, kênh rạch cho
phép các tàu có trọng tải hàng trăm tấn dễ dàng đi lại. Bên cạnh đó, tất cả các sơng
chính cùng các phụ lưu và hệ thống kênh rạch đã tạo nên một mạng lưới liên hoàn
chảy qua nhiều khu công nghiệp tập trung, khu dân cư, các trung tâm kinh tế - xã hội,
…tạo nên một sự kết nối, giao thương vơ cùng thuận lợi. Ngồi ra cũng có nhiều cảng
sơng tiếp cận trực tiếp được các hệ thống giao thông đường bộ. Hầu hết các tuyến sơng
đều có vị trí tiếp cận với các cảng biển quan trọng, tạo nên những điểm nối giao lưu
giữa các phương thức vận tải. Vì vậy, việc quan tâm nghiên cứu xây dựng, phát triển
hệ thống giao thông đường thủy nhằm tối ưu khả năng khai thác vận tải trên các dịng
sơng này là điều rất cần thiết.
Để phát triển hệ thống giao thông đường thủy, người ta phải phát triển đồng bộ
nhiều yếu tố như: khả năng thông luồng giao thơng, độ sâu, độ rộng các dịng sơng;
mở rộng mạng lưới lưới bến cảng, nâng cao năng lực vận chuyển của các cảng hàng
hóa, các bến tàu khách hay các bến chun dùng, … Ngồi ra, việc có thể tìm được
một con đường tối ưu khi lưu thơng trên các dịng sơng cũng đóng vai trị cực kỳ to lớn
quyết định tính hiệu quả của việc khai thác giao thơng đường thủy.
Trên thế giới, đã có nhiều phương pháp khác nhau giải quyết việc tìm đường đi
tối ưu trong một mạng giao thơng dựa trên thuật tốn Dijsktra, thuật tốn BellmanFord, giải thuật tìm kiếm A*, thuật tốn Johnson hay Lý thuyết nhiễu. Tuy nhiên, các
thuật toán này chỉ dừng lại ở mức giải quyết tìm đường đi ngắn nhất giữa hai địa điểm
cho trước. Trong khi đó, thực tế việc tham gia trong mạng giao thông, nhu cầu đi từ
địa điểm này đến địa điểm kia và cần phải thông qua một số địa điểm khác là rất phổ

biến.
Chính vì vậy, tơi quyết định chọn đề tài “Ứng dụng giải thuật di truyền tìm
đường đi tối ưu trong giao thông đường thủy tại tỉnh Vĩnh Long” làm đề tài luận
văn thạc sĩ. Trong đề tài này, tôi đề xuất phương pháp giải quyết việc tìm đường đi tối
ưu qua các địa điểm trong mạng giao thông đường thủy tại tỉnh Vĩnh Long bằng giải
thuật di truyền với hy vọng tìm ra được giải pháp hiệu quả nhất.


2

2. MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ ĐỀ TÀI
2.1. Mục tiêu
Mục tiêu của đề tài là xây dựng chương trình cho phép tìm ra được đường đi tối
ưu đi từ địa điểm này đến địa điểm kia với điều kiện phải thông qua một số địa điểm
khác trong mạng giao thông đường thủy tại tỉnh Vĩnh Long bằng giải thuật di truyền.
2.2. Nhiệm vụ
Đề tài cần giải quyết được các vấn đề sau đây:
- Lý thuyết đồ thị và bài toán đường đi ngắn nhất,
- Giải thuật di truyền và các nguyên lý thiết kế giải thuật di truyền,
- Một số ứng dụng của giải thuật di truyền,
- Đặc điểm hệ thống giao thông đường thủy tại tỉnh Vĩnh Long,
- Đề xuất giải pháp và triển khai giải quyết vấn đề tìm đường đi tối ưu trong giao
thơng đường thủy tại tỉnh Vĩnh Long bằng giải thuật di truyền.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
3.1. Đối tượng nghiên cứu
- Lý thuyết đồ thị,
- Giải thuật di truyền,
- Hệ thống giao thông đường thủy tại tỉnh Vĩnh Long,
- Một số công trình nghiên cứu khoa học có liên quan.
3.2. Phạm vi nghiên cứu

Xây dựng giải thuật di truyền giải quyết việc chọn đường đi tối ưu đi từ địa điểm
này đến địa điểm kia với điều kiện phải thông qua một số địa điểm khác trên hệ thống
giao thông đường thủy tại tỉnh Vĩnh Long.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Tôi sử dụng kết hợp nhiều phương pháp, trong đó chủ yếu là nghiên cứu lý
thuyết và nghiên cứu thực nghiệm.
4.1. Phương pháp lý thuyết
- Thu thập, nghiên cứu các tài liệu về lý thuyết đồ thị, giải thuật di truyền,
- Nghiên cứu về giao thông đường thủy, đặc điểm hệ thống giao thông đường
thủy tại tỉnh Vĩnh Long.
4.2. Phương pháp thực nghiệm
- Khảo sát, phân tích dữ liệu về giao thơng đường thủy tại tỉnh Vĩnh Long,
- Phân tích, tổ chức dữ liệu,
- Triển khai, xây dựng ứng dụng,
- Đánh giá, thử nghiệm.
5. MỤC ĐÍCH VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI
5.1. Mục đích
Nghiên cứu giải thuật di truyền để xây dựng hệ thống tìm đường đi tối ưu qua
các địa điểm trong giao thông đường thủy tại tỉnh Vĩnh Long.


3

5.2. Ý nghĩa của đề tài
Về khoa học: Nghiên cứu giải thuật di truyền và đặc điểm hệ thống giao thơng
đường thủy, hệ thống sơng ngịi, bến bãi, cảng hàng hóa tại tỉnh Vĩnh Long, từ đó đưa
ra giải pháp tìm đường đi tối ưu đi qua các địa điểm cho trước.
Về thực tiễn: Đề tài sẽ góp phần nâng cao hiệu quả trong giao thông đường
thủy nhằm tạo tiền đề phát triển kinh tế - xã hội địa phương.
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN

Luận văn được tổ chức thành 3 chương chính như sau:
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Nội dung chương này sẽ trình bày các vấn đề cơ bản về lý thuyết đồ thị bao gồm
các khái niệm, cách biểu diễn đồ thị trong máy tính, bài tốn đường đi ngắn nhất và
các thuật tốn cổ điển tìm kiếm đường đi ngắn nhất trên đồ thị.
Bên cạnh đó, nội dung chương này cũng đề cập đến giải thuật di truyền, nguyên
tắc thiết kế giải thuật di truyền và một số ứng dụng tiêu biểu của giải thuật di truyền.
Ngồi ra, nội dung chương này cũng trình bày khái quát về các yếu tố sẽ ảnh
hưởng đến giao thông đường thủy và đặc điểm của giao thông đường thủy, đặc điểm
của hệ thống sơng ngịi tại tỉnh Vĩnh Long.
CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG GIẢI THUẬT DI TRUYỀN TÌM ĐƯỜNG ĐI
TỐI ƯU TRONG GIAO THÔNG ĐƯỜNG THỦY TẠI TỈNH VĨNH LONG
Nội dung chương chủ yếu đi vào phân tích bài tốn, các bước triển khai xây dựng
hệ thống tìm đường dựa vào giải thuật di truyền từ việc phân tích, tổ chức dữ liệu đến
việc triển khai các thuật toán cụ thể trên dữ liệu thu thập được để giải quyết bài toán.
CHƯƠNG 3: THỬ NGHIỆM VÀ ĐÁNH GIÁ
Nội dung chương chủ yếu trình bày về giao diện hệ thống tìm đường, thử nghiệm
hệ thống và đánh giá, phân tích kết quả thu được.


4

CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ
1.1.1. Các khái niệm trên đồ thị
1.1.1.1. Định nghĩa đồ thị
Đồ thị là một cấu trúc rời rạc bao gồm các đỉnh và các cạnh nối các đỉnh đó.
Gọi V
là tập đỉnh, E = {e = (u,v): u,v V} là tập cạnh, và G = (V,E) gọi là đồ thị.

Chúng ta phân biệt các loại đồ thị khác nhau bởi kiểu và số lượng cạnh nối hai
đỉnh nào đó của đồ thị. Khi đó, các loại đồ thị: đơn đồ thị vơ hướng, đa đồ thị vơ
hướng, đơn đồ thị có hướng, đa đồ thị có hướng.
a. Định nghĩa 1
Đơn đồ thị vô hướng G = (V,E) bao gồm V là tập các đỉnh và E là tập các cặp
khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh.
Ví dụ 1.1:

c. Đồ thị G3
b. Đồ thị G2
Hình 1.1. Ví dụ về đơn đồ thị vơ hướng
Trong hình 1.1, G1 là đơn đồ thị, G2 khơng là đơn đồ thị vì tồn tại 2 cặp đỉnh
có nhiều hơn một cạnh nối giữa chúng, G3 cũng không là đơn đồ thị vì có một cạnh có
điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.
b. Định nghĩa 2
Đa đồ thị vô hướng G= (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh, và E là tập các cặp
khơng có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cạnh. Hai cạnh e1 và e2
được gọi là cạnh lặp nếu chúng cùng tương ứng với một cặp đỉnh.
a. Đồ thị G1

Hình 1.2. Ví dụ về đa đồ thị vô hướng (e1 và e2 là các cạnh song song)
Như vậy, ta nhận thấy mỗi đơn đồ thị đều là đa đồ thị, nhưng không phải đa đồ
thị nào cũng là đơn đồ thị, vì trong đa đồ thị có thể có hai (hoặc nhiều hơn) cạnh nối
giữa một cặp đỉnh nào đó.
c. Định nghĩa 3


5

Đơn đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh và E là tập các cặp

có thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung.
Ví dụ 1.2:

Hình 1.3. Ví dụ về đơn đồ thị có hướng
d. Định nghĩa 4
Đa đồ thị có hướng G = (V, E) bao gồm V là tập các đỉnh và E là tập các cặp có
thứ tự gồm hai phần tử khác nhau của V gọi là các cung. Hai cung e1, e2 tương ứng
với cùng một cặp đỉnh được gọi là cung lặp.
Ví dụ 1.3:

Hình 1.4. Ví dụ về đa đồ thị có hướng (e1 và e2 là các cung song song)
1.1.1.2. Các thuật ngữ cơ bản
- Khuyên: cạnh (cung) e gọi là khuyên nếu e có dạng (v,v).
- Cạnh (cung) lặp: hai cạnh (cung) cùng tương ứng với một cặp đỉnh.
- Đỉnh kề: Nếu (u,v) là cạnh (hoặc cung) của đồ thị thì v gọi là kề của u. Trong
đồ thị vơ hướng, nếu v kề u thì u cũng kề v.
- Cạnh liên thuộc: Trong đồ thị vô hướng, cạnh e=(u,v) gọi là cạnh liên thuộc với
đỉnh u và liên thuộc với đỉnh v.
- Bậc của đỉnh: trong đồ thị vô hướng, bậc của đỉnh v là số cạnh liên thuộc với
nó. Ký hiệu deg(v)
- Đỉnh cơ lập: là đỉnh có bậc là 0.
- Đỉnh treo: là đỉnh có bậc là 1.
- Đường đi: đường đi độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v (trong đó n là số nguyên
dương) trên đồ thị vô hướng (hoặc vô hướng) G=(V,E) là dãy x0, x1,…, xn-1, xn trong
đó u = x0 , v = xn , (xi , xi+1) E, i = 0, 1, 2,…, n-1.
Đường đi nói trên cịn có thể biểu diễn dưới dạng dãy các cạnh (hoặc cung):
(x0,x1), (x1, x2), …, (xn-1, xn)
Đỉnh u gọi là đỉnh đầu, còn đỉnh v gọi là đỉnh cuối của đường đi. Đường đi có
đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức là u = v) được gọi là chu trình. Đường đi hay chu
trình được gọi là đơn nếu như khơng có cạnh nào bị lặp lại.

6

Ví dụ 1.5:
Xét đồ thị ở hình 1.5:

Hình 1.5. Ví dụ các thuật ngữ trên đồ thị vơ hướng
Ta có:
- a d, c, f, e là đường đi đơn độ dài 4.
- d, e, c, a không là đường đi, do (c,e) không phải là cạnh của đồ thị.
- Dãy b, c, f, e, b là chu trình độ dài 4.
- Đường đi a, b, e, d, a, b có độ dài là 5 không phải là đường đi đơn, do cạnh (a,
b) có mặt trong nó 2 lần.
Ví dụ 1.6: Xét đồ thị ở hình 1.6:

Hình 1.6. Ví dụ các thuật ngữ trên đồ thị có hướng
Ta có:
- a, d, c, f, e là đường đi đơn độ dài 4.
- d, e, c, a không là đường đi, do (c,e) không phải là cạnh của đồ thị.
- Dãy b, c, f, e, b là chu trình độ dài 4.
- Đường đi a, b, e, d, a, b có độ dài là 5 không phải là đường đi đơn, do cạnh (a,
b) có mặt trong nó 2 lần.
- Đồ thị liên thông: Đồ thị vô hướng G = (V, E) được gọi là liên thơng nếu ln
tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.
- Đồ thị liên thơng mạnh: Đồ thị có hướng G = (V, E) được gọi là liên thơng
mạnh nếu ln tìm được đường đi giữa hai đỉnh bất kỳ của nó.
- Đồ thị liên thơng yếu: Đồ thị có hướng G = (V, A) được gọi là liên thông yếu
nếu đồ thị vô hướng tương ứng với nó là vơ hướng liên thơng.
Ví dụ 1.7: Xét hai đồ thị có hướng ở hình 1.7:

7

Hình 1.7. Ví dụ về đồ thị có hướng liên thơng
Ta có: G là độ thị liên thơng mạng, H là đồ thị liên thông yếu
1.1.1.3. Biểu diễn đồ thị trên máy tính
a. Dùng ma trận kề
Xét đơn đồ thị G = (V,E). Ma trận A = {ai,j : i,j=1, 2,...,n} với ai, j = 0, nếu (i,j)
E và ai,j = 1, nếu (i,j) E, i, j=1, 2,...,n gọi là ma trận kề của đồ thị G.
Ví dụ 1.8:

Hình 1.8. Đồ thị vơ hướng G và đồ thị có hướng G1
Ma trận kề của G như sau:
1 2 3 4 5 6
1 0 1 1 0 0 0
2 1 0 1 0 1 0
3 1 1 0 1 0 0
4 0 0 1 0 1 1
5 0 1 0 1 0 1
6 [0 0 0 1 1 0]
Ma trận kề của G1 như sau:
1 2 3 4 5 6
1 0 1 1 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0
3 0 1 0 1 0 0
4 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 1 0 1
6 [0 0 0 0 1 0]
* Tính chất của ma trận kề của đồ thị vơ hướng

- Tính đối xứng: a[i,j ]= a[j,i], i,j = 1,2,...,n.
- Tổng các phần tử nằm trên dòng i (cột j) bằng bậc của đỉnh i (đỉnh j).
- Gọi aijp , i,j=1, 2,... ,n là phần tử của ma trận Ap =A.A...A (p thừa số). Khi đó,
aijp , i,j=1, 2,...,n là số đường đi khác nhau từ đỉnh i đến đỉnh j qua p -1 đỉnh trung gian.


8

* Tính chất của ma trận kề của đồ thị có hướng
- Khơng chắc chắn là ma trận đối xứng.
- Tổng các phần tử trên dòng i bằng bán bậc ra của đỉnh i và tổng các phần từ trên
cột j bằng bán bậc vào của đỉnh j.
- Tương tự tính chất thứ 3 của đồ thị vơ hướng.
* Ma trận kề của đa đồ thị: a[i,j] = số cạnh (cung) nối hai đỉnh i, j
Ưu điểm lớn nhất của phương pháp biểu diễn đồ thị bằng ma trận kề là khi muốn
biết hai đỉnh u,v có kề nhau trên đồ thị hay không, chúng ta chỉ thực hiện một phép so
sánh duy nhất. Nhược điểm lớn nhất của phương pháp này là không phụ thuộc vào số
cạnh của đồ thị, ta luôn phải sử dụng nxn đơn vị bộ nhớ để lưu trữ ma trận kề của nó.
b. Dùng ma trận liên thuộc
Xét G = (V, E) là đơn đồ thị có hướng. Ma trận liên thuộc có dạng:
1, nếu i là đỉnh đầu của cung ej
-1, nếu i là đỉnh cuối của cung ej
0, nếu i không là đầu mút của cung ej

aij =

Ví dụ 1.9: Xét đồ thị có hướng G ở hình 1.9:
2

e4

4

e1
1

e9
e3

e5

e8

e2

6
e7

3

e6

5

Hình 1.9. Đồ thị có hướng G
Ma trận liên thuộc của đồ thị như sau:
𝑒1 𝑒2 𝑒3 𝑒 4 𝑒5 𝑒6 𝑒7 𝑒8 𝑒9
1
1
0

0 0 0
0
0
0
1
1
1 −1 0
0
0
0
2 −1 0
𝐴 = 3
0 −1 −1 0 0 1
0
0
0
4
0
0
0 −1 0 0
0
1
1
5
0
0
0
0 1 −1 1 −1 0
[
6

0
0
0
0 0 0 −1 0 −1]
c. Dùng danh sách cạnh
Trong trường hợp đồ thị thưa (đồ thị có số cạnh m thoả mãn bất dẳng thức:
m<6n) người ta thường dùng cách biểu diễn đồ thị dưới dạng danh sách cạnh.
Trong cách biểu diễn đồ thị bởi danh sách cạnh (cung) chúng ta sẽ lưu trữ danh
sách tất cả các cạnh (cung) của đồ thị vơ hướng (có hướng). Một cạnh (cung) e=(u,v)
của đồ thị sẽ tương ứng với hai biến Dau[e], Cuoi[e]. Như vậy, để lưu trữ đồ thị ta cần
sử dụng 2m đơn vị bộ nhớ. Nhược điểm của cách biểu diễn này là để xác định những


9

đỉnh nào của đồ thị là kề với một đỉnh cho trước chúng ta phải làm cỡ m phép so sánh
(duyệt qua danh sách tất cả các cạnh của đồ thị).
Trong trường hợp đồ thị có trọng số ta cần thêm m đơn vị bộ nhớ để lưu trữ
trọng số của các cạnh.
d. Dùng danh sách kề
Trong rất nhiều vấn đề ứng dụng của lý thuyết đồ thị, cách biểu diễn đồ thị dưới
dạng danh sách kề là cách biểu diễn thích hợp nhất được sử dụng.
Trong cách biểu diễn này, với mỗi đỉnh v của đồ thị chúng ta lưu trữ danh sách
các đỉnh kề với nó, mà ta sẽ ký hiệu là: Ke(v)= { u∈ V: (v,u)∈ E}
Khi đó, để kiểm tra hai đỉnh u, v có kề nhau hay không ta chỉ cần duyệt qua
danh sách kề của u hoặc v.
1.1.2. Bài toán đường đi ngắn nhất
1.1.2.1. Đặt vấn đề
Trong đời sống, chúng ta thường gặp những tình huống như sau: để đi từ địa
điểm A đến địa điểm B trong thành phố, có nhiều đường đi, nhiều cách đi; có lúc ta

chọn đường đi ngắn nhất (theo nghĩa cự ly), có lúc lại cần chọn đường đi nhanh nhất
(theo nghĩa thời gian) và có lúc phải cân nhắc để chọn đường đi rẻ tiền nhất (theo
nghĩa chi phí), v.v...
Ta có thể đồ thị hóa bài tốn bằng cách xem các nút giao thông là đỉnh của đồ
thị, đoạn đường giữa các nút giao thông là cạnh nối giữa hai đỉnh tương ứng. Trên mỗi
cạnh của đồ thị này, ta gán một số dương, ứng với chiều dài của đoạn đường, thời gian
đi qua đoạn đường hoặc cước phí vận chuyển trên đoạn đường đó,... một đồ thị như
vậy được gọi là đồ thị có trọng số.
Đồ thị có trọng số là đồ thị G=(V,E) mà mỗi cạnh (hoặc cung) được gán một
giá trị gọi là trọng số ứng với cạnh (hoặc cung) đó.
1.1.2.2. Phát biểu bài toán
a. Đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh
Cho đơn đồ thị liên thơng có trọng số G=(V,E), tìm đường đi ngắn nhất từ một
đỉnh s cho trước đến một đỉnh f trong G.
Kết quả của bài toán này là đường đi ngắn nhất giữa một cặp đỉnh cụ thể là s
và f.
Nếu như đồ thị khơng có chu trình âm thì ta có thể chứng minh được rằng một
trong những đường đi ngắn nhất là đường đi cơ bản. Việc tìm đường đi ngắn nhất giữa
2 đỉnh s và f có thể áp dụng thuật tốn sau:
Gọi a[u,v] là trọng số của cạnh (u,v). Qui ước a[v,v]=0 với v V
Đặt d[s,v] là khoảng cánh từ s tới v. Để tìm đường đi từ s tới f ta nhận thấy
rằng luôn tồn tại f1≠ f sao cho d[s,f]=d[s,f1]+a[f1,f].


10

Đỉnh f1 đó là đỉnh liền trước trong đường đi từ s tới f. Nếu f 1≡ s thì kết thúc trái
lại ta tìm đỉnh f2 sao cho d[s,f1]=d[s,f2]+a[f2,f]. Cứ tiếp tục như vậy sau hữu hạn bước
ta xác định được đường đi ngắn nhất từ s tới f.
b. Đường đi ngắn nhất từ một định đến mọi đỉnh còn lại

Cho đơn đồ thị liên thơng có trọng số G=(V,E), tìm đường đi ngắn nhất từ một
đỉnh s cho trước đến mọi đỉnh trong G.
Đối với bài toán này, ta cần tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh đang xét s lần lượt
đến tất cả các đỉnh còn lại. Kết quả của bài toán là n-1 đường đi ngắn nhất có đỉnh bắt
đầu là s, đỉnh kết thúc lần lượt là các đỉnh còn lại trong đồ thị.
c. Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh bất kỳ
Cho đơn đồ thị liên thơng có trọng số G=(V,E), tìm đường đi ngắn nhất giữa
mọi cặp đỉnh u, v trong G.
Đối với bài tốn này, ta cần tìm đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong đồ
thị. Kết quả của bài tốn là 𝐶𝑛2 đường đi ngắn nhất có đỉnh bắt đầu và đỉnh kết thúc
khác nhau.
1.1.3. Các thuật tốn tìm đường đi ngắn nhất
1.1.3.1. Thuật toán Dijsktra
Thuật toán do E.Dijkstra, nhà toán học người Hà Lan, đề xuất năm 1959.
Giả sử đồ thị là vô hướng, các trọng số là dương. Thuật toán bao gồm các bước
như sau:
Bước 1: Khởi tạo
Xuất phát từ đỉnh s. Gọi d[v] là khoảng cánh từ s tới v khởi tạo:
1.1 d[s]=0; Free[s]=false;
1.2 d[v]:=a[s,v]; Free[v]=true (với mọi đỉnh cịn lại);
Bước 2:
2.1. Cố định nhãn: Tìm đỉnh u trong các đỉnh có nhãn tự do có d[u] là nhỏ
nhất. Cố định nhãn cho đỉnh u.
2.2. Sửa nhãn: Dùng đỉnh u xét tất cả những đỉnh tự do v và sửa lại nhãn
các d[v] theo công thức: d[v] = min(d[v],d[u]+a[u,v]), nếu d[v]=d[u]+a[u,v] thì
t[v]=u.
2.3. Lặp lại Bước 2 đến khi đỉnh f được cố định nhãn.
Thuật tốn có thể được mô tả bằng mã giả như sau:
Procedure Dijsktra;
Begin

d[s]:=0; free[s]:=false;
for ( v V) do begin d[v]:=a[s,v]; free[v]:=true; t[v]:=s; end;
repeat
u:=min(d[v], ( v V)


11

free[u]:=false;
if (u=f) or (d[u]= ∞) then break;
for ( v V) and (free[v]) do
begin d[v]:= min(d[v], d[u]+ a[u,v]);
if d[v]=d[u]+a[u,v] then t[v]:=u;
end;
until false;
End;
Ví dụ 1.10: Cho đồ thị G = (V,E). Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến F.

Hình 1.10. Đồ thị có hướng G và giải thuật Dijsktra
Ta kí hiệu t[v] là đỉnh trước của v trên đường đi từ A tới F. Minh họa kết quả
tính tốn của thuật toán Dijsktra qua bảng sau:
Bảng 1.1. Kết quả giải thuật Dijsktra
Bước
1
2
3
4
5

d[a], t[a]

0,a
-

d[b], t[b]
2,a*
-

d[c], t[c]
7,a
6,b*
-

d[d], t[d]
∞,a
∞,a
7,c*
-

d[e], t[e]
∞,a
∞,a
10,c
9,d*
-

d[f], t[f]
∞,a
∞,a
∞,a
∞,a

12,e*

Trong tường hợp tồn tại cung (u,v) có trọng số âm trong đồ thị, việc đi qua cung
(u,v) sẽ làm cho tổng trọng số đường đi giảm xuống, nghĩa là cứ mỗi lần đi qua cung
này, ta lại được đường đi tối ưu hơn, do đó vịng lặp tìm kiếm đường đi sẽ không thể
dừng. Để giải quyết vấn đề này người ta sẽ tiếp cận theo một hướng khác, đó là thuật
tốn Bellman - Ford
1.1.3.2. Thuật toán Bellman-Ford
Bước 1: Khởi tạo
Xuất phát từ đỉnh s. Gọi d[v] là khoảng cánh từ s tới v.
Khởi tạo d[s]=0; d[v]:=a[s,v].
Bước 2:
2.1. Tối ưu hóa dần d[v] như sau: Xét mọi cặp đỉnh (u,v) của đồ thị
nếu d[v]>d[u]+a[u,v] thì đặt d[v]=d[u]+a[u,v] và t[v]=u (t lưu vết
đường đi).
2.2. Lặp lại Bước 2 đến khi không thể tối ưu thêm bất kì một nhãn d[v]
nào nữa, dùng biến stop để kiểm sốt q trình này.


12

Thuật tốn có thể được mơ tả bằng mã giả như sau:
Procedure Ford_Bellman;
Begin
for ( v V) do
begin
d[v]:=a[s,v];
t[v]:=s;
end;
d[s]:=0;

repeat
stop := true;
for ( u V) do
for ( v V) and (u,v) E do
if d[v]>d[u]+ a[u,v] then
begin
d[v]:=d[u]+ a[u,v];
stop:=false;
t[v]:=u;
end;
until stop;
End;
Ví dụ 1.11: Cho đồ thị G = (V,E). Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh A đến F.

Hình 1.11. Đồ thị có hướng G và giải thuật Ford - Bellman
Ta kí hiệu t[v] là đỉnh trước của v trên đường đi từ A tới F. Minh họa kết quả
tính tốn của thuật tốn Ford-Bellman qua bảng sau:
Bảng 1.2. Kết quả giải thuật Ford – Bellman
Bước
d[a], t[a] d[b], t[b] d[c], t[c] d[d], t[d] d[e], t[e]
d[f], t[f]
0
∞,a
∞,a
∞,a
∞,a
∞,a
∞,a
1
0,a

2,a
7,a
∞,a
∞,a
∞,a
2
0,a
2,a
6,b
∞,a
∞,a
∞,a
3
0,a
2,a
6,b
7,c
10,c
∞,a
4
0,a
2,a
6,b
7,c
9,d
∞,a
5
0,a
2,a
6,b

7,c
9,d
12,e


13

Ta dễ dàng nhận ra rằng cả hai thuật toán trên đều cho ra đường đi tối ưu
nhưng chỉ giải quyết được vấn đề tìm đường giữa hai đỉnh. Để có thể giải quyết được
vấn đề tìm đường giữa hai đỉnh với ràng buộc phải đi qua một số đỉnh cho trước cần
pahri mở rộng thuật toán, tuy nhiên, thời gian tìm kiếm sẽ tương đương thuật tốn vét
cạn.
1.2. GIẢI THUẬT DI TRUYỀN
1.2.1. Giới thiệu
Giải thuật di truyền (GAs-Genetic Algorithms) là kỹ thuật phỏng theo q trình
thích nghi tiến hóa của các quần thể sinh học dựa trên học thuyết Darwin. GAs là
phương pháp tìm kiếm tối ưu ngẫu nhiên bằng cách mơ phỏng theo sự tiến hóa của con
người hay của sinh vật. Tư tưởng của GAs là mô phỏng các hiện tượng tự nhiên, là kế
thừa và đấu tranh sinh tồn.
Thuật toán di truyền được ứng dụng đầu tiên trong hai lĩnh vực chính: tối ưu
hóa và máy học. Trong lĩnh vực tối ưu hóa thuật tốn di truyền được phát triển nhanh
chóng và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như tối ưu hàm, xử lý ảnh, bài tốn
hành trình người bán hàng, nhận dạng hệ thống và điều khiển. Thuật toán di truyền
cũng như các thuật tốn tiến hóa nói chung, hình thành dựa trên quan niệm cho rằng,
q trình tiến hóa tự nhiên là q trình hồn hảo nhất, hợp lý nhất và tự nó đã mang
tính tối ưu. Quan niệm này có thể xem như một tiên đề, không chứng minh được,
nhưng phù hợp với thực tế khách quan. Q trình tiến hóa thể hiện tính tối ưu ở chỗ,
thế hệ sau bao giờ cũng tốt hơn (phát triển hơn, hoàn thiện hơn) thế hệ trước nhờ tính
kế thừa và đấu tranh sinh tồn.
1.2.2. Nguyên tắc thiết kế giải thuật di truyền

Khác biệt quan trọng giữa tìm kiếm của GAs và các phương pháp tìm kiếm
khác là GAs duy trì và xử lý trên một tập các lời giải ứng viên, gọi là quần thể
(population). Trong GAs, việc tìm kiếm lời giải thích hợp được bắt đầu với một quần
thể, hay một tập hợp có chọn lọc của các giả thuyết ban đầu của lời giải. Các cá thể
của quần thể hiện tại khởi nguồn cho quần thể thế hệ kế tiếp bằng các hoạt động lai
ghép và đột biến ngẫu nhiên – được lấy mẫu sau các q trình tiến hóa sinh học. Ở mỗi
bước, các giả thuyết trong quần thể hiện tại được ước lượng bằng hàm đánh giá độ
thích nghi. Các giả thuyết phù hợp nhất được chọn cho việc sản sinh thế hệ kế tiếp, gọi
là cá thể (individual). Cá thể nào phát triển hơn, thích ứng hơn với môi trường sẽ tồn
tại và ngược lại sẽ bị đào thải. GAs có thể dị tìm thế hệ mới có độ thích nghi tốt hơn.
GAs giải quyết các bài tốn quy hoạch tốn học thơng qua các q trình cơ bản: lựa
chọn (selection), tái sinh (reproduction), lai ghép (crossover) và đột biến (mutation)
cho các cá thể trong quần thể. GAs bao gồm các bước: khởi tạo quần thể ban đầu, đánh
giá các lời giải theo mức độ thích nghi – hàm mục tiêu, sử dụng các toán tử di truyền
tạo thế hệ kế tiếp.


14

1.2.2.1. Các tốn tử di truyền
a. Lai ghép
Q trình này diễn ra bằng cách ghép một hay nhiều đoạn gen từ hai cá thể chamẹ để hình thành cá thể mới mang đặc tính của cả cha lẫn mẹ. Phép lai này có thể mơ
tả như sau:
- Chọn ngẫu nhiên hai hay nhiều cá thể trong quần thể. Giả sử chuỗi nhiễm sắc
thể của cha (m1) và mẹ (m2) đều có chiều dài là m.
- Tìm điểm lai bằng cách tạo ngẫu nhiên một con số từ 1 đến m-1. Như vậy,
điểm lai này sẽ chia chuỗi nhiễm sắc thể cha thành hai đoạn nhiễm sắc thể con là m11,
m12 và chuỗi nhiễm sắc thể mẹ thành m21, m22. Từ các đoạn nhiễm sắc thể này ta
ghép lại tạo thành hai cá thể con là m11+m22 và m21+m12. Sau đó, đưa hai cá thể con
vào quần thể để tiếp tục tham gia q trình tiến hóa.

b. Lựa chọn và tái sinh
Phép lựa chọn: là quá trình loại bỏ các cá thể có độ thích nghi thấp, chỉ giữ lại
những cá thể có độ thích nghi cao. Để thực hiện việc lựa chọn ngày, người ta có thể
thực hiện theo các phương pháp pháp sau:
- Lựa chọn theo tỉ lệ cho trước: số cá thể có độ thích nghi tốt được giữ lại được
lấy theo tỉ lệ cụ thể và thực hiện lấy theo thứ tự ưu tiên theo độ thích nghi.
- Lựa chọn theo ngưỡng: số cá thể được chọn sẽ có độ thích nghi đạt ngưỡng cụ
thể, ngưỡng này được tính tốn tùy thuộc vào hàm đáng giá đảm bảo sao cho số cá thể
giữ lại đủ để duy trì quần thể.
Phép tái sinh: là quá trình các cá thể được sao chép dựa trên độ thích nghi của
nó. Độ thích nghi là một hàm được gán các giá trị thực cho các cá thể trong quần thể
của nó. Phép tái sinh có thể mơ phỏng gồm các bước như sau:
- Tính độ thích nghi của từng cá thể trong quần thể,
- Lập bảng cộng dồn các giá trị thích nghi đó (theo thứ tự gán cho từng cá thể)
ta được tổng độ thích nghi. Giả sử quần thể có n cá thể. Gọi độ thích nghi của cá thể
thứ i là Fi, tổng dồn thứ i là Fti. Tổng độ thích nghi là Fm,
- Tạo số ngẫu nhiên F có giá trị trong đoạn từ 0 đến Fm,
- Chọn cá thể k đầu tiên thỏa mãn F ≥ Ftk đưa vào quần thể của thế hệ mới.
c. Đột biến
Đột biến là hiện tượng cá thể con mang một hay một số tính trạng khơng có
trong yếu tố di truyền của cá thể cha mẹ. Phép đột biến có thể mô tả như sau:
- Chọn ngẫu nhiên một cá thể bất kỳ cha – mẹ trong quần thể,
- Tạo một số ngẫu nhiên k, 1 ≤ k ≤ m,
- Thay đổi gen thứ k của cá thể này, sau đó đưa nó quay lại quần thể để tiếp tục
quá trình tiến hóa.
1.2.2.2. Các thành phần của giải thuật di truyền
Để giải một bài toán, giải thuật di truyền phải có các thành phần sau: