Ứng dụng phương pháp FDTD 2 chiều trong mô phỏng trường điện từ

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (358.39 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ứng dụng phương pháp fdtd 2 chiều
trong mơ phỏng trường điện từ
NGUYỄN HUY HỒNG, NGUYỄN VĂN TRUNG, NGUYỄN THÙY LINH
Túm tắt: Bài bỏo giới thiệu túm tắt việc ứng dụng phương phỏp sai phõn hữu hạn trong 
miền thời gian (Finite difference Time Domain - FDTD) hai chiều trong mụ phỏng trường điện 
từ với cỏc nội dung chớnh: Trỡnh bày túm tắt cỏc vấn đề về rời rạc húa cỏc phương trỡnh 
Macxoen bằng phương phỏp FDTD và điều kiện biờn hấp thụ trong mụ phỏng 2 chiều hay cũn 
gọi là lớp hấp thụ (Perfect Matched Layer - PML); trờn cơ sở đú tiến hành mụ phỏng 2 chiều 
với mụ hỡnh súng điện từ phẳng và đưa ra cỏc nhận xột từ kết quả mụ phỏng. Cỏc chương trỡnh 
mụ phỏng được thực hiện trờn phần mềm Matlab và kết quả mụ phỏng thu được phự hợp với lý 
thuyết trường điện từ.

Từ khóa: FDTD, Trường điện từ, Phương trình Macxoen, PML, Mô phỏng.

1. MỞ ĐẦU

Phương pháp FDTD được Kane Yee người Nhật giới thiệu vào năm 1966, phương
pháp này được đưa ra nhằm mục đích giải trực tiếp bằng số các phương trình Macxoen
trong các mơi trường và các miền không gian khác nhau trong miền thời gian. Trong
phương pháp này, điện trường và từ trường được rời rạc hóa trong phép lấy vi phân các
phương trình Macxoen theo phương pháp sai phân trung tâm và sau đó các giá trị rời rạc
của chúng sẽ được tính tốn bằng máy tính.

Trong các phương pháp được sử dụng để tính tốn số và mơ phỏng trường điện từ như
phương pháp mô men, phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp FDTD thì phương
pháp FDTD được sử dụng phổ biến hơn cả vì nó cho phép giải quyết được số lượng lớn
các bài toán điện từ, đặc biệt là các bài tốn liên quan đến các vật thể có cấu trúc phức tạp
(2D và 3D) hay các bài tốn có liên quan đến các vật thể có kích thước so sánh được với
bước sóng cũng như các bài toán yêu cầu miền tần số cần khảo sát lớn. Với các ưu điểm
như vậy, phương pháp FDTD hiện là một công cụ rất mạnh mẽ và hữu hiệu được ứng
dụng rộng rải khi giải các bài toán phức tạp liên quan đến điện từ trường trong nhiều lĩnh

vực như thiết kế anten, kỹ thuật siêu cao tần, radar...

Cơ sở lý thuyết và nội dung của phương pháp FDTD đã được trình bày chi tiết trong [4,
7], bài báo này tập trung vào nghiên cứu ứng dụng phương pháp FDTD để mô phỏng 2
chiều sóng điện từ phẳng trong cả 2 trường hợp khơng và có thiết lập lớp hấp thụ PML.

2. RỜI RẠC HĨA PHƯƠNG TRÌNH MACXOEN VÀ LỚP HẤP THỤ
2.1 Rời rạc hóa phương trình Macxoen z

Trong mô phỏng hai chiều ta chọn một trong hai nhóm gồm 3 vectơ sau để mơ phỏng
[6]: Trường từ ngang (TM), gồm các thành phần E~z,Hx,Hy hoặc trường điện ngang (TE)
gồm các thành phần Hz,E~x,E~y. Ta sẽ làm việc với trường TM. Với trường TM, phương

trình Macxoen [1] được tiến hành rời rạc hóa tương tự như trường hợp mô phỏng một
chiều bằng phương pháp FDTD như sau:

1/ 2 1/ 2

0 0

( 1 / 2, ) ( 1 / 2, ) ( , 1 / 2) ( , 1/ 2)

( , ) ( , ) 1

(1)

n n n n

n n

y y x x

z z H i j H i j H i j H i j

D i j D i j

t   x y

      

  



   

    

1 1/ 2 1/ 2

0 0

( , 1 / 2) ( , 1 / 2) 1 ( , 1) ( , )

(2)

n n n n

x x z z

H i j H i j E i j E i j

t   y

  

    

 

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1 1/2 1/2

0 0

( 1/ 2, ) ( 1/ 2, ) 1 ( 1, ) ( , )

(3)

n n n n

y y z z

H i j H i j E i j E i j

t   x

     

 



 

ở đây, ta vẫn sử dụng điều kiện ổn định nghiệm như trong mơ phỏng một chiều [4, 7], đó
là: tx/ c2. 0, với c0 là vận tốc ánh sáng trong chân không và để đơn giản ta
chọnyx.Các phương trình rời rạc hóa (1), (2), (3) sẽ được sử dụng để viết mã mô
phỏng FDTD 2 chiều.

2.2. Lớp hấp thụ

Giả sử ta đang mơ phỏng một sóng điện từ phát ra từ một nguồn điểm truyền trong
không gian tự do. Sóng sẽ lan truyền ra xung quanh, đến biên của vùng không gian mô
phỏng và bị phản xạ lại không như ý tại biên, lúc đó ta sẽ khơng xác định được đâu là sóng
thực và đâu là sóng phản xạ. Đây chính là lý do phải xác lập điều kiện biên hấp thụ trong
phương pháp FDTD.

Một trong những điều kiện biên hấp thụ hiệu quả và linh hoạt nhất trong mô phỏng
FDTD 2 chiều đó là tầng phối hợp trở kháng hay lớp hấp thụ (PML) do Berenger xây dựng.
Ý tưởng cơ bản để xây dựng nên PML là, khi sóng truyền từ mơi trường A sang mơi trường
B thì hệ số phản xạ của sóng sẽ phụ thuộc vào trở sóng của hai mơi trường đó [2, 3, 6]:

CA CB
CA CB

Z Z

R

Z Z






Trở sóng của mơi trường lại phụ thuộc vào hằng số điện môi và độ từ thẩm của môi
trường theo công thức:

C

Z 





Nếu ta cho



thay đổi theo



sao cho trở sóng của hai mơi trường ln bằng nhau thì sẽ
không xảy ra hiện tượng phản xạ tại mặt phân cách, hay hệ số phản xạ bằng 0. Tiếp theo ta
sẽ tạo ra một môi trường tổn hao sao cho khi sóng truyền vào sẽ bị suy giảm hồn toàn trước
khi tới được biên. Điều này được thực hiện khi chúng ta coi



và



là các số phức vì phần
ảo của chúng thể hiện sự suy giảm như đã biết từ lý thuyết trường điện từ [2].

Sau một vài phép biến đổi bằng cách sử dụng thêm các hằng số



và



ảo, ký hiệu là
*

*
*

,

Fx Fy

Fz





, hệ phương trình Macxoen [1] sẽ có dạng như sau:

* *

. ( ). ( ) . (4)
( ) '*( ). ( )

y x

z Fz Fz

z z

H H

i D x y c

x y

D E

  

   



  

   

 

 

 (5)

* *

. ( ). ( ) . z (6)

x Fx Fx

E

i H x y c

y





  



* *

. ( ). ( ) . z (7)
y Fy Fy

E

i H x y c

x

    



Các hằng số ảo



F*và



*F trong các công thức trên phụ thuộc vào cả hai hướng x, y và
chúng không ảnh hưởng đến các hằng số thực của môi trường. Đây là các đại lượng phức
và chúng có dạng như sau:

* *

0 0

;

Dm Hm

Fm Fm Fm Fm

i i











</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

trong đó,



Dm và



Hm là các tham số thỏa mãn điều kiện [6]:

0 0 0

Hm Dm D













với

D



là độ dẫn điện của môi trường đang xét; m = x hoặc y.

Ta xây dựng PML theo phương x. Sử dụng điều kiện ổn định nghiệm
2
/
1

/
)
.

(tc0 x , phương trình (4) được biến đổi thành:

1/ 2 1/ 2

( , ) 3( ). ( , )

2( ).0.5. ( 1 / 2, ) ( 1 / 2, ) ( , 1 / 2) ( , 1 / 2) (8)

n n

z z

n n n n

y y x y

D i j gi i D i j

gi i H i j H i j H i j H i j

 

 

 

         

Các tham số gi2 và gi3 có dạng sau:

0
0
0

2 ( ) (9 )

1 ( ). / ( 2 . )

3( ) (1 0 )

1 ( ). / ( 2 . )

D
D
D
g i i

i t

g i i

i t
 
 
 

 
 

 

Ta biến đổi tương tự đối với phương trình (7):
1/ 2

1/ 2

( 1 / 2, ) 3( 1 / 2). ( 1 / 2, )

2( 1 / 2).0.5. ( 1, ) ( , ) (11)

n n

y y

n n

z z

H i j fi i H i j

fi i E i j E i j



    
 
     
trong đó,
0
0
0
1

2( 1 / 2) (12)

1 ( 1 / 2). / (2. )

3( 1 / 2) (13)

1 ( 1 / 2). / (2. )

D
D
D
fi i
i t
i t
fi i

i t
 
 
 
 
  
  
 
  

Phương trình (6) được biến đổi thành:

)
2
/
1
,
(
2
).
(
.
)
2
/
1
,
(
)
2

/
1
,
(
).
(
.
.
.
)
2
/
1
,
(
)
2
/
1
,
(
2
/
1
0
0
2
/
1
0

0
0
1























j
i
I
t

x
rotE
x
t
c
j
i
H
j
i
I
t
x
x
t
c
rotE
x
t
c
j
i
H
j
i
H
n
Hx
D
n

x
n
Hx
D
n
x
n
x





Ở đây, ta ký hiệu








T
n
n
Hx
x
rotE
j
i
I
0

2
/
1
)
2
/
1
,

( . Do vậy khi viết chương trình mơ phỏng

phương trình (6) sẽ được thực hiện thơng qua các phương trình dưới đây:

1/ 2 1/ 2

1 1/ 2

( , ) ( , 1) (14)

( , 1 / 2) ( , 1 / 2) (15)

( , 1 / 2) ( , 1 / 2) 0.5. 1( ). ( , 1 / 2) (16)

n n

z z

n n

Hx Hx

n n n

x x Hx

rotE E i j E i j

I i j I i j rotE

H i j H i j rotE fi i I i j

 
 
 
  
   
     
trong đó,
0
( ).
1( )
2

D i t

fi i








Giá trị biến thiên của các tham số như sau [6]:

fi1(i) : (0 ÷ 0.333); gi2(i) : (1 ÷ 0.75); gi3(i) : (1 ÷ 0.5)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

1/ 2 1/ 2

( , ) 3( ). 3( ) ( )

2( ). 2( ).0.5. ( 1 / 2, ) ( 1 / 2, ) ( , 1 / 2) ( , 1 / 2) (17)

n n

z z

n n n n

y y x x

D i j gi i gj j D i

gi i gj j H i j H i j H i j H i j

 

 

 

         

và

1/2 1/ 2

( 1, ) ( , ) (18)

( 1 / 2, ) ( 1 / 2, ) (19)

n n

z z

n n

Hy Hy

rotE E i j E i j

I i j I i j rotE

 

 

  

   

1/ 2

( 1 / 2, ) 3( 1 / 2). ( 1 / 2, )

2( 1 / 2).0.5. 1( ). ( 1 / 2, ) (20)

n n

y y

n
Hy

H i j fi i H i j

fi i rotE fi j I i j



    

   

cuối cùng, Hx theo phương x có dạng như sau:

1/2 1/2

1/2

( , ) ( , 1)

( , 1/ 2) ( , 1/ 2)

( , 1/ 2) 3( 1/ 2). ( , 1/ 2)

2( 1/ 2).0.5. 1( ). ( , 1/ 2)

n n

z z

n n

Hx Hx

n n

x x

n
Hx

rotE E i j E i j

I i j I i j rotE

H i j fj j H i j

fj j rotE fi i I i j

 

 



  

   

    

   

Kết hợp tính tốn theo cả 2 phương x và y, ta đã có đủ các tham số của môi trường

PML với các giá trị biến thiên của các tham số như sau [6]:

fi1(i) và fj1(j): (0 ÷ 0.333); fi2(i), gi2(i), fj2(j) và gj2(j) : (1 ÷ 0.75) 
fi3(i), gi3(i), fj3(j) và gj(3) : (1 ÷ 0.5)

Lưu ý rằng ta có thể “tắt” môi trường PML trong miền không gian khảo sát bằng cách
cho hai tham số fi1 và fj1 bằng 0 cịn các tham số khác bằng 1.

3. MƠ PHỎNG SĨNG ĐIỆN TỪ PHẲNG
3.1. Mơ hình sóng điện từ phẳng

Mơ hình sóng phẳng thường được sử dụng trong mô phỏng trường điện từ [4, 7]. Nhiều
bài tốn thực tế, ví dụ như tính tốn diện tích phản xạ hiệu dụng trong radar..., sử dụng mơ
hình sóng phẳng. Hơn nữa, tại khoảng cách xa cỡ chục lần bước sóng thì trường bức xạ
của hầu hết anten có thể coi là sóng phẳng [2, 3]. Để mơ phỏng sóng phẳng trong chương
trình FDTD 2 chiều, khơng gian mô phỏng được chia làm 2 vùng: Vùng trường tổng hợp
và vùng trường tán xạ [6]. Vùng trường tổng hợp là vùng mà trong đó giá trị của trường là
sự tổng hợp của sóng tới và sóng tán xạ đi ra từ vật thể đặt trong vùng này. Vùng trường
tán xạ là vùng mà giá trị của trường chính là của sóng tán xạ ra từ vật thể đặt trong vùng
trường tổng hợp. Nếu trong vùng trường tổng hợp khơng đặt vật thể nào thì trường tổng
hợp chính là sóng tới, cịn trường tán xạ khi đó khơng tồn tại.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Hình 1 minh họa cho điều này. Sẽ có một ma trận sóng tới một chiều tạo ra sóng
phẳng, một điểm trong ma trận đóng vai trị là nguồn và trường Ez sẽ được tạo ra tại điểm
đó. Khi đó sóng sẽ lan truyền về cả hai phía khơng gian. Vì PML thực tế không lý tưởng,
nên trước khi sóng phẳng truyền đến lớp này sẽ bị làm suy giảm để sao cho khi đi vào
PML hồn tồn khơng xảy ra hiện tượng phản xạ.

Hình 2. Vùng trường tổng hợp và vùng trường tán xạ trong mơ phỏng sóng phẳng.

Minh họa trên hình 2 cho thấy, mỗi điểm trong khơng gian mơ phỏng 2 chiều chỉ có thể
nằm trong vùng trường tổng hợp hoặc ngồi vùng đó, khơng có điểm nào nằm trên biên
cả. Do đó, nếu có một điểm trong vùng trường tổng hợp sử dụng các điểm ở ngồi để tính
giá trị của nó thì điểm đó phải được tính tốn lại và ngược lại. Đây chính là nguyên nhân
phải có ma trận sóng tới, nó chứa các giá trị cần thiết để tạo ra sự thay đổi này.

Có ba vị trí cần phải tính tốn lại đó là:
- Giá trị Dz tại j = ja hoặc j = jb:

Dz(i, ja) = Dz(i, ja) + 0.5.Hxt( ja – 1/2);Dz(i, jb) = Dz(i, jb) - 0.5.Hxt( jb + 1/2)

- Giá trị Hx ngay ở ngoài j = ja và j = jb:

Hx(i, ja – 1/2) = Hx(i, ja – 1/2) + 0.5.Ezt( ja);Hx(i, jb + 1/2) = Hx(i, jb + 1/2) - 0.5.Ezt( jb)

- Giá trị Hy ngay ở ngoài i = ia và i = ib:

Hy(i – 1/2, j) = Hx(i– 1/2, j) - 0.5.Ezt( j); Hy(i + 1/2, j) = Hx(i+ 1/2, j) + 0.5.Ezt( j)

Với ja, jb và ia, ib lần lượt là giới hạn vùng không gian mô phỏng theo các trục y và x; 
còn Et và Ht là ký hiệu các thành phần của sóng tới.

3.2. Mô phỏng 2 chiều FDTD khi chưa thiết lập PML

Phần này trình bày kết quả mơ phỏng 2 chiều một xung Gauss truyền trong mơi trường
khơng khí bằng phương pháp FDTD khi chưa thiết lập PML.

Hình 3. Xung Gauss được tạo ra tại

tâm của khơng gian mơ phỏng tại T=10.

Hình 4. Xung lan truyền ra

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Các hình 3 đến hình 6 thể hiện kết quả với các chỉ số bước thời gian T khác nhau, ta
thấy rằng xung bị phản xạ lại và giao thoa với xung tới khi đi ra biên.

3.3. Mơ phỏng 2 chiều FDTD có thiết lập PML

Phần này trình bày kết quả mô phỏng 2 chiều một xung hình sin có dạng:

)

10 1500

2 sin(





dt



T

, chiều dài của lớp PML được thiết lập bằng 20 lần kích thước
cell, mơi trường là khơng khí. Kết quả mơ phỏng trong các hình 7 đến hình 10 với các chỉ
số bước thời gian T khác nhau chỉ ra rằng, xung không bị phản xạ lại khi đi ra biên mà bị
hấp thụ và suy giảm khi đi vào lớp PML và cuối cùng bị triệt tiêu tại biên.

Hình 5. Xung bắt đầu truyền

đến biên tại T=64. Hình 6. Hình ảnh xung bị giao thoa do phản xạ nếu khơng thiết lập PML tại T=100.

Hình 9. Xung truyền vào PML và khơng bị Hình 10. Xung tiếp tục truyền vào 
Hình 7. Xung được tạo ra tại tâm của

vùng không gian mô phỏng tại T=10.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

3.4. Mô phỏng 2 chiều FDTD sóng phẳng có thiết lập PML

Sóng phẳng 2 chiều được mô phỏng trong phần này có dạng:

)

10

400

2 sin(





dt



T

, truyền trong khơng khí, lớp hấp thụ PML cũng được thiết lập 
với chiều dài bằng 20 lần kích thước cell. Kết quả chỉ ra trong các hình 11 đến hình 14 với
các chỉ số bước thời gian T khác nhau, cho thấy sóng bắt đầu hình thành từ 1 biên và lan
truyền đến biên kia, khi ra biên không bị phản xạ lại mà bị hấp thụ và suy giảm khi đi vào
lớp PML và cuối cùng bị triệt tiêu.

4. KẾT LUẬN

Bài báo đã giới thiệu tóm tắt về cách rời rạc hóa các phương trình Macxoen cho mô
phỏng FDTD 2 chiều, phương pháp thiết lập PML và mơ hình mơ phỏng sóng phẳng đơn
giản. Việc thiết lập PML chủ yếu dựa vào các tham số f và g, và cách lựa chọn giá trị của 
chúng phụ thuộc vào từng bài tốn mơ phỏng cụ thể, việc thiết lập chiều dài của lớp PML
cũng đóng một vai trị quan trọng để sao cho khi sóng truyền ra biên khơng bị phản xạ lại.
Mơ hình sóng phẳng trong phương pháp FDTD 2 chiều cũng được thực hiện dựa trên sự
thiết lập PML và việc phân chia không gian mô phỏng làm 2 vùng là vùng trường tổng
hợp và vùng trường tán xạ. Để tạo ra sóng phẳng trong khơng gian 2 chiều ta chỉ đơn giản
sử dụng một ma trận sóng tới 1 chiều. Tất cả kết quả mô phỏng đều được thực hiện trên
phần mềm Matlab minh họa cho việc trường điện từ lan truyền trong khơng gian 2 chiều

Hình 11. Sóng bắt đầu hình thành

từ một biên tại T=20.

Hình 12. Sóng tiếp tục lan truyền 
đến biên kia tại T=50.

Hình 13. Sóng bị triệt tiêu khi đến 
biên tại T=120.

</div>

Ứng dụng phương pháp FDTD 2 chiều trong mô phỏng trường điện từ













,

,























































<sub></sub>





)

10

1500

2

sin(









<i>dt</i>



<i>T</i>

)

10

400

2

sin(









<i>dt</i>



<i>T</i>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về