Biến đổi tích phân fourier trong các không gian schwartz l1 rn và l2 rn và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

NGUYỆN VĂN MẠNH

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
FOURIER TRONG CÁC KHƠNG GIAN
SCHWARTZ, L1(Rn) VÀ L2(Rn) VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI - Năm 2013


Mục lục
MỞ ĐẦU

3

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

5

1 BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER

1.1 Các không gian cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Không gian Lp (Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Không gian Schwartz S(Rn ) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Biến đổi tích phân Fourier trong khơng gian Schwartz . . . . . . .
1.3 Biến đổi tích phân Fourier trong khơng gian L1 (R) . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa, một vài tính chất đơn giản và ví dụ . . . . . .
1.3.2 Bổ đề Riemann - Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier của nó
1.3.4 Công thức nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Chập của hai hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6 Tính duy nhất của biến đổi tích phân Fourier . . . . . . .
1.3.7 Định lý khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.8 Khả tích Abel và khả tích Gauss . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.9 Một vài ứng dụng của định lý khả tích . . . . . . . . . . . .
1.3.10 Tính liên tục theo chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.11 Tính khả tích theo chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.12 Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier chúng
1.4 Biến đổi tích phân Fourier trong khơng gian L1 (Rn ) . . . . . . . .
1.4.1 Bổ đề Riemann - Lebesgue, chập của hai hàm . . . . . . .
1.4.2 Định lý về tính duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Cơng thức khả tích Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Định lý khả tích Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Ứng dụng của định lý khả tích, cơng thức nghịch đảo . . .
1.4.6 Chuẩn, tính liên tục, đẳng thức Parseval . . . . . . . . . .
1.5 Biến đổi tích phân Fourier trong khơng gian L2 . . . . . . . . . . .
1.5.1 Phép biến đổi trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . .
1.5.2 Định lý Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

6
6
6
6
7
7
10
10
12
14
16
18
21
22
27
28
30
33
33
37
37
38
40
42
43
44
44
44
45

1.5.3
1.5.4
1.5.5

Tổng quát về tính khả tích . . . . . . . . . .
Biến đổi tích phân Fourier trong L2 (Rn ) . . .
Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân
chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . 52
. . . . . . . . 54
Fourier của
. . . . . . . . 58

2 ỨNG DỤNG BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER ĐỂ GIẢI
CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
2.1 Bài tốn Dirichlet trong nửa mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bài toán Neumann trong nửa mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Bài tốn Cauchy với phương trình khuếch tán . . . . . . . . . . . .
2.4 Bài tốn Cauchy với phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . .
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

65
66
68
69

74
77
78


MỞ ĐẦU
Lý thuyết biến đổi tích phân Fourier đã và đang được ứng dụng mạnh mẽ
trong Toán học hiện đại, Vật lý, Cơ học, và nhiều lĩnh vực công nghệ, kỹ thuật
khác. Đặc biệt là áp dụng biến đổi tích phân Fourier để giải phương trình đạo
hàm riêng nói chung và bài toán giá trị ban đầu hay bài toán biên nói riêng là
một trong những ứng dụng thú vị đã được nhiều nhà khoa học quan tâm. Vì
vậy, biến đổi tích phân Fourier đã được các nhà khoa học nghiên cứu rất nhiều,
các kết quả về lĩnh vực này vơ cùng phong phú và đa dạng.
Luận văn trình bày các kiến thức cơ bản về biến đổi tích phân Fourier và
ứng dụng để giải các phương trình đạo hàm riêng. Nội dung của luận văn gồm
hai chương.
1. Biến đổi tích phân Fourier
Giới thiệu phép biến đổi tích phân Fourier trong các không gian Schwartz,
L1 (Rn ) và L2 (Rn ).
2. Ứng dụng biến đổi tích phân Fourier để giải các phương trình đạo
hàm riêng
Chương này đề cập đến phương pháp sử dụng phép biến đổi tích phân
Fourier để tìm nghiệm của bài toán biên và bài toán giá trị bạn đầu của
phương trình đạo hàm riêng.
Luận văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS. Nguyễn
Minh Tuấn, Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội, người đã tận
tình hướng dẫn tác giả trong suốt q trình hồn thành luận văn này. Tác giả
xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy, thơng qua luận văn tác giả cũng xin
gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong hội đồng phản biện đã đọc và
đưa ra những ý kiến quý báu giúp bản luận văn hoàn thiện hơn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau Đại học, Khoa
Toán - Cơ - Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập tại
3


trường.
Tác giả chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Hành chính tổ chức, Khoa
Khoa học cơ bản trường Cao đẳng Thủy sản và gia đình đã ln động viên, giúp
đỡ, tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt khóa học.
Do năng lực, kinh nghiệm và thời gian cịn nhiều hạn chế nên luận văn chắc
chắn khơng tránh khỏi những thiếu sót ngồi ý muốn của tác giả. Vì vậy, tác
giả rất mong nhận được nhiều những ý kiến đóng góp của thầy cơ, bạn bè và
đồng nghiệp để bản luận văn được hoàn thiện hơn cả về nội dung và hình thức.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 28 tháng 10 năm 2013
Tác giả
Nguyễn Văn Mạnh

4


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

1. R là tập các số thực.
2. C là tập số các số phức.
3. Z+ = {0, 1, 2, ...} là tập các số nguyên không âm.
4. Zn+ = {(α1 , α2 , ..., αn )|αj ∈ Z+ , j = 1, ..., n}.
5. (α1 , α2 , ..., αn ), αj ∈ Z+ , j = 1, ..., n là đa chỉ số.
6. |α| = α1 + α2 + ... + αn .

7. (β1 , β2 , ..., βn ), α ≤ β ↔ αj ≤ βj , với mọi j .
8. xα = xα1 1 xα2 2 ...xαnn .
9. Dj =

∂
là toán tử lấy đạo hàm riêng theo xj .
∂xj

10. D = (D1 , D2 , ..., Dn ).
11. Dα = D1α1 D2α2 ...Dnαn .
12. Djαj =

∂ αj
α .
∂xj j

13. C k (Rn ) = {u : Rn → C|u khả vi liên tục cấp k}
14. C ∞ (Rn ) =
15. Γ(t) =

+∞

∞
k
n
k=1 C (R )

xt−1 e−x dx là hàm Gamma.

0

5


Chương 1

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
FOURIER
1.1
1.1.1

Các khơng gian cơ sở
Khơng gian Rn

Không gian Euclide Rn là không gian véc tơ trên trường số thực mà mỗi phần
tử của nó đều có dạng x = (x1 , x2 , . . . , xn ). Tích vơ hướng của hai phần tử x và
y , x, y ∈ Rn là một số được xác định bởi (x, y) =

n

xj yj . Chuẩn của x trong Rn

j=1

được xác định bởi
n

||x|| =

j=1

|xj |2 .

Chuẩn này gọi là chuẩn Euclide.
1.1.2

Không gian Lp (Rn )

Không gian Lp (Rn ), (1 ≤ p ≤ +∞) là tập hợp tất cả các hàm số xác định và
đo được trên Rn , sao cho
|f (x)|p dx < +∞.

(1.1)

Rn

Trong Lp (Rn ) hai hàm được gọi là đồng nhất với nhau nếu chúng bằng nhau
hầu khắp nơi, do đó các phần tử của Lp (Rn ) là lớp tương đương các hàm đo
được thỏa mãn (1.1), hai hàm tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp nơi
trên Lp (Rn ) và f ∈ Lp (Rn ), f = 0 nếu f (x) = 0 hầu khắp nơi trên Rn . Khi đó
Lp (Rn ) là khơng gian véc tơ với phép cộng hai hàm số và nhân một số với hàm

6


số. Chuẩn trong Lp (Rn ) được định nghĩa như sau
 p1

||f (x)|| = 

Rn

|f (x)|p dx .

(1.2)

Khi đó Lp (Rn ) với chuẩn (1.2) là không gian định chuẩn đầy đủ (Banach).
1.1.3

Không gian Schwartz S(Rn )

Không gian các hàm giảm nhanh S(Rn ) là tập hợp
S(Rn ) = ϕ ∈ C ∞ (Rn )| xα D β ϕ(x) < cαβ , ∀x ∈ Rn , α, β ∈ Zn+ ,

với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau.
n
n
Dãy {ϕk }∞
k=1 trong S(R ) được gọi là hội tụ đến ϕ trong S(R ) nếu
lim sup xα D β ϕk (x) − xα D β ϕ(x) = 0, ∀α, β ∈ Zn+ .

k→∞ x∈Rn

n
Khi đó ta viết lim ϕk = ϕ. Dãy {ϕk }∞
k=1 trong S(R ) được gọi là dãy Cauchy
k→∞

trong S(Rn ) nếu một trong hai điều kiện sau đây xảy ra.
1.

lim sup 1 + ||x||2

m

D β ϕk (x) − D β ϕl (x) = 0, ∀β ∈ Zn+ .

k→∞ x∈Rn
l→∞

2.
lim sup 1 + ||x||2

m

k→∞ x∈Rn
l→∞

1.2

|β|≤m

D β ϕk (x) − D β ϕl (x) = 0.

Biến đổi tích phân Fourier trong khơng gian Schwartz

Định nghĩa 1.1. Biến đổi tích phân Fourier Ff (ξ) hay f (ξ) của hàm f (x) ∈
S(Rn ) được xác định bởi
ei(x,ξ) f (x)dx,

Ff (ξ) ≡ f (ξ) :=

ξ ∈ Rn .

Rn

Nhận xét. Tích phân này là xác định vì
(1 + |x|)−m dx < +∞,

|f (ξ)| ≤ cm

với m > n.

Rn

Tiếp theo ta sẽ chứng minh các tính chất sau của biến đổi Fourier.
7


1. Ff ∈ S(Rn ).
2. Dβ f (ξ) = (i)|β| F(xβ f (x)),

ξ α f (ξ) = (i)|α| F (D α f (x)) (ξ), với α, β ∈ Zn+ .

Thật vậy, ta có
Dξβ f (ξ) =

(ix)β ei(x,ξ) f (x)dx = (i)|β| F(xβ f (x))(ξ),
Rn

do ei(x,ξ) xβ f (x) có tích phân trên Rn hội tụ đều theo ξ . Do đó Ff ∈ C ∞ (Rn ).

Mặt khác, bằng phép tính tích phân từng phần ta có
ei(x,ξ) (iDx )α f (x)dx

(−iDx )α ei(x,ξ) f (x)dx =

ξ α f (ξ) =

Rn

Rn

= (i)|α| F(Dxα f (x))(ξ).

Như vậy, với mỗi α, β ∈ Zn+ ta có
ei(x,ξ) (iDx )β ((ix)α f (x))dx.

ξ β Dξα (Ff )(ξ) =
Rn

Vì vậy
sup ξ β Dξα (Ff )(ξ)

ξ∈Rn

≤

sup Dxβ ((x)α )f (x)) (1 + ||x||)n+1

x∈Rn

Rn

≤ C sup (1 + ||x||2 )n+1+|α|
x∈Rn

γ≤β

1
dx
(1 + ||x||)n+1

|D γ f (x)|.

Từ đó, ta có Ff ∈ S(Rn ), và biến đổi tích phân Fourier là ánh xạ tuyến tính liên
tục trên S(Rn ).
2
1
Ví dụ 1.1. Tìm biến đổi Fourier của hàm f (x) = e− 2 ||x|| .
Lời giải. Theo định nghĩa ta có
2

1

ei(x,ξ)− 2 ||x|| dx

f (ξ) =
Rn

1

2

2

1

= e− 2 ||ξ||

e− 2 (||x||

−2i(x,ξ)−||ξ||2 )

dx

Rn
n

+∞

− 21 ||ξ||2

1

2

e− 2 (t−iξj ) dt.

= e

j=1−∞

z2

Để tính được tích phân cuối cùng ta xét hàm f (z) = e− 2 của biến phức z và
miền xác định DR như Hình 1.1. Ta xét hướng dương đi vịng quanh biên ∂DR .
8


Vì f (z) là hàm chỉnh hình trong miền xác định này nên theo Định lý Cauchy ta
có
z2

e− 2 dz = 0.
∂DR

Nhưng
ξj

R
2
− z2

e

2
− t2

dz =

∂DR

e

− 21 (R+iτ )2

e

dt + i

−R

dτ +

e

0

−R

Nếu R → +∞, thì

0
− 12 (t+iξj )2

1

R

2

e− 2 (−R+iτ ) dτ.

dt + i
ξj

ξj
2

1

e− 2 (±R+iτ ) dτ → 0.
0

DR
−R

t

R

Hình 1.1
Do đó

+∞

+∞
− 21 (t+iξj )2

e

t2

e− 2 dt,

dt =

−∞

j = 1, ..., n.

−∞

Sử dụng Định lý Fubini và hệ tọa độ cực ta có thể tính tích phân cuối cùng như
sau
 +∞
2
2π
+∞


−∞

t2

e− 2 dt

1

e− 2 (t

=

2

+s2 )

dtds =

0

R2
+∞

e−m dm = 2π.

= 2π
0

Vì vậy ta có
+∞
2

1

e− 2 (t+iξj ) dt =
−∞

9

√

2π,

r2

e− 2 rdr

dθ

0


và
− ||x||
2

F(e

n

2

√

− 12 ||ξ||2

)=e

n

2

1

2π = (2π) 2 e− 2 ||ξ|| .

j=1

1.3

Biến đổi tích phân Fourier trong khơng gian L1 (R)

1.3.1

Định nghĩa, một vài tính chất đơn giản và ví dụ

Định nghĩa 1.2. Biến đổi tích phân Fourier Ff (α) hay f (α) của hàm f (x)
được xác định bởi
eiαx f (x)dx,

Ff (α) ≡ f (α) :=
R

trong đó α là một số thực. Lớp hàm đơn giản nhất ta có thể làm quen là lớp
hàm Lebesgue trên L1 (R).
Nếu f (x) ∈ L1 (R) thì f (α) là tồn tại với mọi α. Chúng ta sẽ đưa ra chi tiết
một vài tính chất của f (α).
1. f (α) là bị chặn, vì |f (α)| ≤ ||f || =

R

|f (x)|dx.

2. f (α) là liên tục đều trong −∞ < α < +∞. Nếu y > 0, thì ta có.
f (x)eiαx (eiyx − 1)dx

|f (α + y) − f (α)| =
R

|f (x)|.|eiyx − 1|dx ≤

≤
R



≤ 2

−R



|f (x)|.2| sin
R

+∞

+

−∞

R

xy
|dx
2

R

 |f (x)|dx + yR

|f (x)|dx.

−R

Cho ε > 0, ta có thể chọn R đủ lớn và sau đó y đủ nhỏ sao cho biểu diễn
cuối cộng lại nhỏ hơn ε.
3. Nếu c1 và c2 là những số thực và F là toán tử tác động lên f vào trong f ,
thì ta có
F(c1 f1 + c2 f2 ) = c1 .Ff1 + c2 .Ff2 ,
và
F[f (Rx)] =

1 α
f ( ),
R R

ở đó () là biểu thị của số phức liên hợp.
10

F[f (x)] = f (−α),

4. Nếu dãy hàm fn (x) → f (x) theo chuẩn trong L1 , thì dãy các biến đổi tích
phân Fourier của chúng fn (α) → f (α) đều trong −∞ < α < +∞.
5. Nếu
Ff1 = f1 ,

Ff2 = f2 ,

thì
f2 (y)f1 (y)dy.

f1 (y)f2 (y)dy =
R

R

Do



f2 (y) 

f1 (y)f2 (y)dy =
R

R

và

|f1 (x)|.|f2 (y)|dxdy =
R R



R

eiyx f1 (x)dx dy,

|f1 (x)|dx.
R

|f2 (y)|dy < ∞,
R

áp dụng Định lý Fubini biểu thức này bằng với
(1.3)

eiyx f1 (x)f2 (y)dxdy.
R R

Tuy nhiên, tích phân hai lớp (1.3) là đối xứng với f1 (x), f2 (x), từ đó ta có
f2 (y)f1 (y)dy.

f1 (y)f2 (y)dy =
R

R

Ví dụ 1.2. Tính biến đổi Fourier của hàm f (x) = e−|x| , x ∈ R có đồ thị như

Hình 1.2.
y

1
x

0

Hình 1.2

11


Lời giải. Ta có f ∈ L1 (R), và
0
iαx −|x|

f (α) =

e

e

dx =

e

e(iα−1)x dx

dx +

−∞

R

=

+∞
(1+iα)x

0

1
2
1
+
=
.
1 + iα 1 − iα
1 + α2

Rõ ràng f (α) ∈ L1 (R). Đồ thị của f như Hình 1.3.
y

2

α

0

Hình 1.3
Ví dụ 1.3. Tính biến đổi Fourier của hàm
nếu x ≤ 0,
nếu x > 0.

0
e−x

f (x) =

Lời giải. Ta có f ∈ L1 (R), và
+∞

eiαx f (x)dx =

f (α) =

e(iα−1)x dx =
0

R

1
.
1 − iα

Ta thấy f (α) ∈
/ L1 (R).
1.3.2

Bổ đề Riemann - Lebesgue

Định lý 1.1. Nếu f (x) ∈ L1 (R), thì lim f (α) = 0.
α→∞

Định lý này luôn được biết đến như là Bổ đề Riemann - Lebesgue.
Chứng minh. Ta ký hiệu
I : a ≤ x < b.

Xét hàm
wI (x) =

1
0
12

nếu x ∈ I,
nếu x ∈
/ I.


Ta có

b

eiαx dx =

wI (α) =

eiαb − eiαa

.
iα

a

Vì vậy
wI (α) ≤

2
.
|α|

Kết quả này cố định với mỗi hàm bậc thang f (x) hàm mà là hằng số trên một
khoảng hữu hạn (bị chặn) và triệt tiêu ngồi khoảng đó, trên phép tốn của tính
chất 3 mục 1.3.1. Các hàm bậc thang này là trù mật trong không gian L1 (R),
điều này có nghĩa là, với mỗi ε > 0, tồn tại một hàm bậc thang fε thỏa mãn
||f − fε || < ε.

Bây giờ ta có,
f (α) = (f − fε )(α) + fε (α),

và
|f (α)| ≤ |(f − fε )(α)| + |fε (α)| ≤ ε + |fε (α)|.

Do đó
lim |f (α)| ≤ ε + lim |fε (α)|.

|α|→∞

|α|→∞

Biểu thức thứ hai ở vế phải bằng không với mỗi hàm bậc thang fε , nên
lim |f (α)| ≤ ε.

|α|→∞

Cho ε → 0, ta được

lim f (α) = 0.

α→∞

Chú ý. Nếu f (x) ∈
/ L1 (R), thì có thể tồn tại f (α) nhưng lim f (α)
α→∞

Ví dụ 1.4. Cho f (x) =

1 sin λx
∈
/ L1 (R), λ > 0. Khi đó ta có
π x
0

iαx sin λx

1
f (α) =
π

e

x

1
π

e

(eiαx + e−iαx )

0

1
dx +
π

eiαx

sin λx
dx
x

0
+∞

2 cos αx sin λx
dx
x

sin λx
1
dx =
x
π
0
+∞

sin(λ + α)x
1
dx +
x
π

1
π

x

−∞

0
+∞

=

+∞
iαx sin λx

1

dx =
π

R
+∞

=

0.

sin(λ − α)x
dx.
x
0

13


Mặt khác ta có

+∞

π
sin λx
dx = , (λ > 0).
x
2

I=
0

Từ đó ta có
• Nếu α = ±λ, thì f (α) =

1
π

• Nếu α > λ hoặc α < −λ, thì f (α) = 0
• Nếu α ∈ (−λ, λ), thì f (α) = 1
1.3.3

Đạo hàm của một hàm và biến đổi tích phân Fourier của nó

Mục đích của ta là sẽ chứng minh rằng nếu
eiαx f (x)dx,

f (α) =
R

thì
f (x) ∼

1
2π

e−iαx f (α)dα.
R

Nhưng trước khi chứng minh, ta có chú ý rằng.
1. Nếu f (x) có biến đổi tích phân Fourier f (α), thì f (x)eixh có biến đổi tích

phân Fourier f (α + h).
2. Nếu f (x) có biến đổi tích phân Fourier f (α), thì f (x + h) có biến đổi tích
phân Fourier f (α)e−ixh .
Hai tính chất trên chứng tỏ đã biết tính chất của nghịch đảo, từ đó ta kết
luận.
3. F[f (x).

eixh − 1
f (α + h) − f (α)
]=
, và
h
h

f (x + h) − f (x)
e−ixh − 1
] = f (α)
.
h
h
Cho h → 0 trong (3) và (4) ta nhận được một cách hình thức,

4. F[

′

5. F[f (x).ix] = f (α),
6. F[f ′ (x)] = −iαf (α).
Bây giờ ta sẽ xây dựng (5) và (6) dựa trên cơ sở chặt chẽ.
14

Định lý 1.2. (i) Nếu f (x) ∈ L1 , và p(x) = ixf (x) ∈ L1 , thì f (α) tồn tại, và
′
p(α) = f (α).
(ii) Nếu f (x) ∈ L1 , g(x) = f ′ (x) ∈ L1 , thì g(α) = −iαf (α), ngồi ra
′

+∞

f ′ (x)dx.

f (x) = −
x

Chứng minh.(i) Chúng ta có
eixh − 1
f (α + h) − f (α)
= F[f (x).
] = F[fh (x)].
h
h

Bây giờ, fh (x) → ixf (x) theo chuẩn trong L1 , bởi vì fh (x) → ixf (x) tại mọi điểm
x, và
eixh − 1
≤ |x|.|f (x)| ∈ L1 .
h

|fh (x)| ≤ |f (x)|

Áp dụng tính chất 4 trong mục 1.3.1, ta được
F[fh (x)] → F[ixf (x)] đều, khi h → 0.
′

Do đó, tại mọi điểm α, tồn tại đạo hàm f (α) theo hướng thông thường, và
′

p(α) = f (α).

(ii) Nghĩa chính xác của giả thiết là tồn tại một hàm g(x) ∈ L1 hàm mà có thể
chọn để ký hiệu bởi f ′ (x) và một tích phân xác định của nó
x

f (x) =

g(y)dy,

sao cho
f (x) ∈ L1 (R).

Bây giờ,
A

f (A) − f (a) =

g(x)dx,
a

nếu ta giữ a cố định và cho A → +∞, vì g(x) ∈ L1 , ta có

A

g(x)dx → c.
a

15


Do đó, f (A) → l, tương tự f (−A) → −m. Vì f (x) ∈ L1 (R) ta phải có l = −m = 0,
và điều này trước hết chứng minh được
+∞

f ′ (x)dx.

f (x) = −
x

Bây giờ, nếu F[f ′(x)] = g(α), thì
A

g(α) =

=

lim

A→+∞
−A

eiαx df (x)



A
−A

lim  eiαx f (x)

A→+∞



A

− iα
−A

eiαx f (x)dx .

Nhưng các giới hạn tại biên triệt tiêu bởi vì, l = −m = 0. Do đó
g(α) = −iαf (α).

Nhận xét. Có một định lý mạnh hơn bắt đầu rằng nếu f (x) ∈ L1 , và f (r) (x) ∈ L1 ,
thì f (1) (x), ..., f (r−1) (x) ∈ L1 . Chúng ta sẽ nói rõ hơn định lý này ở phần sau.
1.3.4

Cơng thức nghịch đảo

Chúng ta mong muốn đưa ra một vài điều kiện đơn giản sao cho với điều
kiện ấy thì,

f (x) =

1
2π

e−iαx f (α)dα,
R

tại điểm x cho trước, giả thiết rằng f (x) ∈ L1 (R).
Cho

+R
+R +∞
SR (x) =

1
2π

e−iαx f (α)dα =

−R

+∞ +R

1
2π

−R



−∞ −R
+∞

1
π

f (u)
−∞
+∞

=

f (u)eiαu du e−iαx dα

+∞

1
f (u)eiα(u−x) dαdu =
2π

1
=
2π

=

−∞

−∞

+∞

sin R(u − x)
1
du =
u−x
π

0

16

eiα(u−x)
f (u)
i(u − x)

f (x + t)
−∞

sin Rt f (x + t) + f (x − t)
.
dt.
t
2

2
π



sin Rt
dt
t

α=R

du
α=−R


Đặt
gx (t) :=

f (x + t) + f (x − t)
− f (x).
2

Thì

+∞

sin Rt
gx (t)dt.
t

2
SR (x) − f (x) =
π
0

Định lý 1.3. Nếu
δ

gx (t)
dt < ∞,
t
0

thì
lim SR (x) = f (x).

R→∞

Chứng minh. Cho δ > 0 cố định. Ta có
 δ
SR (x) − f (x) =

2
π



+∞

+

0

δ

= I1 + I2 .

 gx (t) sin Rtdt

Ta có, I2 = 0 bởi Bổ đề Riemann - Lebesgue, và do
(o, δ), từ đó suy ra rằng I1 = ε(δ) → 0, khi δ → 0.

t

gx (t)
khả tích tuyệt đối trong
t

Nhận xét. Định lý 1.3 chỉ ra rằng nếu f (x) ∈ L1 (R), thì sự hội tụ của SR (x) tới
f (x) tại một điểm chỉ phụ thuộc vào dáng điệu của f (x) trong lân cận của điểm
đó. Điều này là địa phương hóa của Định lý Riemann.
2
Ví dụ 1.5. Cho f (t) = e−|t| , ta có f (α) =
(Ví dụ 1.2.).
2
1+α

Vì f là trơn từng khúc nên suy ra

R
−|t|

e

1

=
lim
π R→∞

e−iαt
dα.
1 + α2

−R

Trong trường hợp này f là khả tích tuyệt đối, và ta có thể viết đơn giản
+∞

e−|t|

1
=
π

e−iαt
dα.
1 + α2

−∞

Chúng ta có thể chuyển ký tự trong cơng thức này −t và α được thay đổi với
dấu - lẫn nhau, và khi đó ta cũng thay đổi dấu của α, và ta có cơng thức (sau
17

khi nhân bởi π )
eiαt
dt.
1 + t2

πe−|α| =
R

Bằng cách này ta có thể tìm biến đổi tích phân Fourier của
để tìm nó bằng cách khác

1
, sẽ là khó hơn
1 + t2

1
(α) = πe−|α| .
2
1+t
1.3.5

Chập của hai hàm

Cho f (x), g(x) ∈ L1 (R), và cho f (α), g(α) là các biến đổi tích phân Fourier
tương ứng. Chập của f và g được xác định bởi
h(x) = f (x) ∗ g(x) :=

f (x − y)g(y)dy
R

=

f (y)g(x − y)dy,
R

ở đó tích phân thứ hai bắt nguồn từ tích phân thứ nhất nếu cho x cố định, ta
thay thế biến y bởi x − y.
Bây giờ, ta sẽ chứng minh một kết quả được xem như là biến đổi tích phân
Fourier của chập của hai hàm là tích của biến đổi tích phân Fourier của chúng.
Định lý 1.4. Nếu f, g ∈ L1 (R), thì tích phân xác định h(x) là tồn tại với mọi x,
thuộc L1 (R), và
||h(x)|| ≤ ||f (x)||.||g(x)||.

Ngoài ra, nếu h(α) là biến đổi tích phân Fourier của h(x), thì
h(α) = f (α).g(α).

Chứng minh. Trước hết ta chú ý rằng, nếu f (x) là đo được theo x, thì f (x − y)
là đo được theo (x, y). Để chỉ ra rằng
h(x) =

f (x − t)g(t)dt
R

tồn tại hầu khắp nơi, ta chú ý rằng
|f (x − t)|.|g(t)|dx = |g(t)|
R

|f (y)|dy
R

= |g(t)|.||f || ∈ L1 (R).
18


Vì vậy
dt
R

|f (x − t)||g(t)|dx
R

tồn tại. Mặt khác bởi Định lý Fubini, suy ra rằng
dx
R

f (x − t)g(t)dt
R

tồn tại, và h(x) tồn tại hầu khắp nơi, và thuộc L1 (R). Hơn nữa,
+∞

h(x).eiαx dx =

h(α) =

R
+∞

=

dx
−∞
+∞

dx.eiαx
−∞

+∞

f (x − y)g(y)dy

−∞

f (x − y)eiα(x−y)g(y)eiαy dy

−∞

+∞

g(y)eiαy dy

=

+∞

−∞

f (x)eiαx dx

−∞

= f (α).g(α),

điều này được suy ra từ Định lý Fubini với f (x − y)eiα(x−y)g(y)eiαy tương ứng với
vị trí của f (x − y)g(y) trong Định lý Fubini.

Ví dụ 1.6. Cho f (t) =

1
, có đồ như Hình 1.4, tìm chập f ∗ f .
1 + t2
y

1
x

0

Hình 1.4
Lời giải. Đặt g = f ∗ f . Việc tính chập một cách trực tiếp là rất vất vả. Thay
cho việc này, ta sử dụng Định lý 1.4. Ta bắt đầu từ thực tế rằng f (α) = πe−|α|

19