Tính ổn định của một lớp các hệ chuyển mạch tuyến tính trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phùng Hải Minh

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP CÁC HỆ
CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH
TRÊN THANG THỜI GIAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phùng Hải Minh

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP CÁC HỆ
CHUYỂN MẠCH TUYẾN TÍNH
TRÊN THANG THỜI GIAN

Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số:

60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS. ĐỖ ĐỨC THUẬN

Hà Nội - Năm 2017


i

Mục lục
Lời cảm ơn

ii

Danh mục ký hiệu

1

Lời nói đầu

2

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

5

1.1

Thang thời gian, tính khả vi, tính khả tích . . . . . . . . . . . .

5

1.2

Hàm mũ trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.3

Khái niệm tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.4

Hệ chuyển mạch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.5

Tính ổn định của hệ chuyển mạch . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Chương 2. Tính ổn định của một lớp các hệ chuyển mạch tuyến
tính trên thang thời gian

26

2.1

Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2

Trường hợp hệ con riêng ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.3

Trường hợp hệ Ac ổn định và hệ Ad không ổn định . . . . . . .

35

2.4

Trường hợp hệ Ac không ổn định và hệ Ad ổn định . . . . . . .

42

Kết luận

48

Tài liệu tham khảo

49

ii

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học
Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn của tận tình và nghiêm khắc của TS. Đỗ
Đức Thuận. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các
thắc mắc của tôi trong suốt q trình làm luận văn. Tơi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại
học, Đại học Khoa học tự nhiên, cũng như q thầy cơ tham gia giảng dạy
khóa cao học 2015-2017 đã có cơng lao giảng dạy tác giả trong suốt thời gian
học tập tại trường.
Nhận dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã ln bên tơi cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi trong suốt q trình học tập
và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2017
Học viên

Phùng Hải Minh


1

Danh mục ký hiệu
Ac

Ma trận của hệ con liên tục

Ad

Ma trận của hệ con rời rạc

Bδ

Hình cầu tâm O bán kính δ

∆f

Sai phân của hàm f

ep (t, s)

Hàm mũ suy rộng của p

f∆

∆-đạo hàm của hàm f

Hmin

Đường tròn Hilger nhỏ nhất

Hµ(t)

Đường trịn Hilger ứng với hàm hạt µ(t)

K

Lớp hàm liên tục, đơn điệu tăng ngặt

K∞

Lớp hàm liên tục, đơn điệu tăng ngặt khơng bị chặn trên

µ(t)

Hàm hạt µ(t) = σ(t) − t

Pa,b

Thang thời gian

R(T, Mn (R)) Lớp các hàm hồi quy và rd-liên tục
ρ(t)

Toán tử nhảy lùi

σ(t)

Toán tử nhảy tiến

S(T)

Miền ổn định mũ của thang thời gian T

S(T)

Miền ổn định mũ đều của thang thời gian T

Spec(A)

Phổ của ma trận A

T

Thang thời gian tổng quát

ξh (z)

Phép biến đổi trụ


2

Lời nói đầu
Lý thuyết hệ động lực trên thang thời gian bất kỳ T được quan tâm chú ý
nhiều bởi vì nó thể hiện sự tương tác giữa lý thuyết hệ liên tục và hệ rời rạc.
Nó cho phép phân tích tính ổn định của hệ động lực trên miền thời gian không
đều trong R. Khi T = R, phương trình động lực thang thời gian rút gọn thành
phương trình vi phân liên tục thông thường. Khi T = hZ (h là số thực), chúng
rút gọn thành phương trình sai phân thơng thường. Bên cạnh hai trường hợp
này, cịn có nhiều thang thời gian thú vị khác với bước thời gian khơng đều (ví
dụ thang T = {tn }n∈N gồm các số điều hịa tn =

n
1
k=1 k ).

Tính ổn định mũ đã

được tìm ra cho hệ tuyến tính sử dụng thang thời gian hàm mũ. Một số mở
rộng cho hệ động lực thời gian biến đổi, phương trình động lực với nhiễu cấu
trúc tổng quát và hệ điều khiển hữu hạn chiều phi tuyến trên thang thời gian
cũng đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, tính chất này khơng dễ dàng mở rộng
cho lớp hệ chuyển mạch.
Hệ chuyển mạch là các hệ liên quan cả động lực liên tục và động lực rời rạc.
Chúng bao gồm một số hữu hạn các hệ con và một quy tắc rời rạc để đưa ra sự
chuyển mạch giữa các hệ. Chúng đã được nghiên cứu rộng rãi trong hai thập
kỉ gần đây bởi vì chúng miêu tả một lớp rộng các hệ vật lý cũng như các hệ
thống kỹ thuật. Hầu hết các phương pháp hiện tại để phân tích tích ổn định
của hệ chuyển mạch tuyến tính khơng thể áp dụng cho hệ phát triển (evolving)
trên miền thời gian liên tục hoặc rời rạc.
Từ nhận xét bên trên, trong bài báo [9], các tác giả đã phân tích tính ổn
định cho một trường hợp đặc biệt của hệ chuyển mạch tuyến tính mà trong đó
hệ động lực chuyển mạch giữa hệ con tuyến tính liên tục và hệ con tuyến tính
rời rạc trong một chu kỳ thời gian nhất định. Có nhiều ứng dụng liên quan tới


3

những hệ chuyển mạch như vậy. Một ví dụ cụ thể là hệ khuếch đại (cascaded
system) bao gồm một bộ điều chỉnh thời gian liên tục (continuous-time plant),
một tập điều khiển thời gian rời rạc và các chuyển mạch giữa các bộ điều khiển.
Thật ra, tính chất thời gian của chúng không thể biểu diễn được bằng đường
thẳng liên tục (tức là R) hay đường rời rạc (tức là Z).
Trong một số tài liệu trước đây, một số điều kiện ổn định được đưa ra cho hệ
chuyển mạch tuyến tính mà được xác định bởi hai hệ con tiến triển trên miền

thời gian liên tục và miền thời gian rời rạc đều với chu kỳ cố định. Tính ổn
định giải tích được dựa trên cùng một hàm Lyapunov bậc 4. Tuy nhiên, sự mở
rộng cho lớp hệ lớn hơn tiến triển trên miền thời gian không đều là không tầm
thường. Để giải quyết vấn đề này, lý thuyết hệ động lực trên thang thời gian
tùy ý T dường như thích hợp. Tính giải tích của hệ chuyển mạch trên thang
thời gian tùy ý được trình bày trong [6, 1] sử dụng hàm Lyapunov chung bậc
bốn. Theo cách tương tự, tính ổn định của một lớp hệ chuyển mạch tuyến tính
mà bao gồm một tập các hệ con tuyến tính liên tục ổn định và hệ con tuyến
tính rời rạc ổn định với hàm hạt cố định được nghiên cứu trong [7]. Tuy nhiên,
việc tìm một hàm Lyapunov cho hệ chuyển mạch là khơng đơn giản. Ngồi ra,
phương pháp tiếp cận trong [6, 7] không áp dụng được nếu một hệ riêng biệt
không ổn định tiệm cận.
Do tầm quan trọng đặc biệt của lý thuyết này mà nhiều nhà toán học nước
ngoài và Việt Nam đã dành nhiều thời gian và cơng sức của mình cho việc
nghiên cứu các tính ổn định giải tích của hệ chuyển mạch. Trong khn khổ
luận văn này chúng tơi xin được trình bày đề tài: “Tính ổn định của một
lớp các hệ chuyển mạch tuyến tính trên thang thời gian”. Luận văn
được tổng hợp từ bài báo [9] của F. Z. Taousser, M. Defoort và M. Djemai cùng
với một số giáo trình về lý thuyết hệ động lực trên thang thời gian, hệ chuyển
mạch trên thang thời gian.
Mục đích của luận văn này là mở rộng các kết quả cho miền thời gian không
đều T = Pak ,bk tạo bởi hợp các khoảng rời nhau với độ dài biến thiên ak và
khoảng cách biến thiên bk . Hệ được nghiên cứu chuyển mạch giữa một hệ động
lực con liên tục và một hệ con rời rạc với hàm hạt bị chặn. Mỗi hệ con liên tục


4

hoặc rời rạc có thể khơng ổn định. Sử dụng các tính chất của hàm mũ thang
thời gian, một số điều kiện được đưa ra để đảm bảo tính ổn định mũ của lớp

hệ này dưới điều kiện hàm hạt bị chặn khi hệ con là ổn định mũ. Các kết quả
này được mở rộng khi khảo sát hệ con rời rạc không ổn định hoặc hệ con liên
tục không ổn định.
Ngoài Lời mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, bố cục của luận văn
bao gồm 2 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình bày tóm
tắt các khái niệm và nêu ví dụ về thang thời gian, ∆-đạo hàm, hàm mũ trên
thang thời gian, khái niệm hệ chuyển mạch trên thang thời gian, khái niệm
tính ổn định.
Chương 2: Tính ổn định của một lớp các hệ chuyển mạch tuyến tính trên
thang thời gian. Ở đây chúng tơi trình bày ba định lý nêu các điều kiện ổn
định mũ của hệ chuyển mạch trên thang thời gian Pak ,bk trong ba trường hợp
khác nhau. Bao gồm trường hợp khi hệ con là ổn định mũ và trường hợp hệ
con rời rạc không ổn định hoặc hệ con liên tục không ổn định.
Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề nghiên cứu khá phức tạp và
kinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn có thể vẫn cịn nhiều khiếm
khuyết. Trong quá trình đọc dịch tài liệu, viết luận văn cũng như xử lý văn bản
chắc chắn không tránh khỏi những sai sót nhất định. Tác giả rất mong nhận
được những ý kiến đóng góp của q thầy cơ và các bạn để luận văn được hoàn
thiện hơn.
Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2017
Học viên

Phùng Hải Minh


5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị

Trong Chương 1 chúng tơi trình bày một số kiến thức sơ sở liên quan hệ
chuyển mạch bao gồm khái niệm thang thời gian, ∆-đạo hàm, ∆-tích phân,
các khái niệm tính ổn định dựa vào tài liệu [2, 9]. Sau đó, dựa vào tài liệu [8],
chúng tơi trình bày lại khái niệm hệ động lực liên tục, hệ động lực rời rạc để
dẫn tới khái niệm hệ chuyển mạch cùng các định nghĩa mở rộng và tính chất
liên quan.

1.1

Thang thời gian, tính khả vi, tính khả tích

Định nghĩa 1.1.1 ([2]). Một thang thời gian T là một tập con đóng khác rỗng
tùy ý của R.
Do đó, tập số thực R, tập số nguyên Z, tập số tự nhiên N, tập số tự nhiên
không âm N0 là các ví dụ về thang thời gian. Trong khi tập số hữu tỉ Q, tập số
vô tỉ R\Q, tập số phức C, và khoảng mở (0, 1) không phải là thang thời gian.
Định nghĩa 1.1.2 ([2]). Cho T là một thang thời gian, với mỗi t ∈ T, ta định
nghĩa toán tử nhảy tiến (forward jump) và toán tử nhảy lùi (backward jump)
như sau:
1. Toán tử nhảy tiến σ(t) : T → T được định nghĩa bởi
σ(t) := inf{s ∈ T : s > t}.
2. Toán từ nhảy lùi ρ(t) : T → T được định nghĩa bởi
ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}.


6

Ta quy ước: nếu t = max T thì σ(t) = t, nếu t = min T thì ρ(t) = t.
Định nghĩa 1.1.3 ([2]). Ánh xạ µ : T → R+ xác định bởi
µ(t) = σ(t) − t,

t∈T

được gọi là hàm hạt của thang thời gian T.
Định nghĩa 1.1.4 ([2]). Điểm t ∈ T gọi là điểm:
1. cô lập phải (right-scattered) nếu σ(t) > t;
2. trù mật phải (right-dense) nếu t < sup T và σ(t) = t;
3. cô lập trái (left-scattered) nếu ρ(t) < t;
4. trù mật trái (left-dense) nếu t > inf T và ρ(t) = t;
5. điểm vừa cô lập phải vừa cô lập trái được gọi là điểm cô lập;
6. điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái được gọi là điểm trù mật.
Nếu thang thời gian T có phần tử lớn nhất m là điểm cơ lập trái thì ta đặt
Tk = T\{m}, nếu ngược lại đặt Tk = T. Chẳng hạn, [a, b]k = [a, b] nếu b là trù
mật trái và [a, b]k = [a, b) = [a, ρ(b)] nếu b là cơ lập trái.
Ví dụ 1.1.5. Ta xét hai trường hợp khi T = R và T = Z.
(i) Nếu T = R thì ta có với bất kỳ t ∈ R
σ(t) = inf{s ∈ R : s > t} = inf{t, ∞} = t
và tương tự ρ(t) = t. Cho nên mọi điểm t ∈ R là điểm trù mật. Hàm hạt
µ trở thành
µ(t) ≡ 0 với mọi t ∈ R.
(ii) Nếu T = Z thì ta có với bất kỳ t ∈ Z
σ(t) = inf{s ∈ Z : s > t} = inf{t + 1, t + 2, t + 3, . . .} = t + 1
và tương tự ρ(t) = t − 1. Cho nên mọi điểm t ∈ Z là điểm cơ lập. Hàm
hạt µ trong trường hợp này là
µ(t) ≡ 1 với mọi t ∈ Z.


7

Ví dụ 1.1.6. Cho a, b > 0 và xét thang thời gian Pa,b tạo bởi các khoảng rời

nhau với độ dài a cố định và khoảng cách b cố định
∞

Pa,b =

[k(a + b), k(a + b) + a].
k=0

Khi đó, với t ∈

∞
k=0 [k(a

+ b), k(a + b) + a) thì

σ(t) = inf{s ∈ Pa,b : s > t} = t.
Với tk = k(a + b) + a ∈

∞
k=0 {k(a

+ b) + a} thì

σ(tk ) = inf{s ∈ Pa,b : s > tk } = k(a + b) + a + b = tk + b.
Khi đó,
σ(t) =


t

nếu t ∈

t + b nếu t ∈

∞
k=0 [k(a

+ b), k(a + b) + a)

∞
k=0 {k(a

+ b) + a}

và

0 nếu t ∈
µ(t) =
b nếu t ∈

∞
k=0 [k(a

+ b), k(a + b) + a)

∞
k=0 {k(a

+ b) + a}.

Hình 1.1 minh họa tốn tử nhảy tiến của thang thời gian Pa,b .

Hình 1.1: Tốn tử nhảy tiến của thang thời gian Pa,b .


8

Định nghĩa 1.1.7 ([9]). Xét hàm số f : T → R. ∆-đạo hàm (còn gọi là đạo
hàm Hilger) của f tại t ∈ Tk là một số (nếu nó tồn tại), ký hiệu f ∆ (t), được
định nghĩa bởi
f (σ(t)) − f (s)
.
s→t
σ(t) − s

f ∆ (t) = lim

Hàm f được gọi là ∆-khả vi (nói ngắn gọn là khả vi) trên Tk nếu f ∆ (t) tồn tại
với mọi t ∈ Tk .
Ví dụ 1.1.8. Xét trường hợp T = R, theo Ví dụ 1.1.5, ta có σ(t) = t. Hàm số
f : R → R là ∆-khả vi tại t ∈ Tk = T = R khi và chỉ khi tồn tại giới hạn
f (σ(t)) − f (s)
f (t) − f (s)
f (s) − f (t)
= lim
= lim
,
s→t
s→t
s→t

σ(t) − s
t−s
s−t

f ∆ (t) = lim

tức là f khả vi (theo nghĩa thông thường) tại t, f ∆ (t) = f˙(t).
Ví dụ 1.1.9. Xét trường hợp T = Z, theo Ví dụ 1.1.5, ta có σ(t) = t+1. Cho f
là hàm bất kỳ xác định trên Z, ta luôn có f là ∆-khả vi với mọi t ∈ Tk = T = Z.
Thật vậy,
f (t + 1) − f (s)
f (σ(t)) − f (s)
= lim
s→t
s→t
σ(t) − s
t+1−s

f ∆ (t) = lim

= f (t + 1) − f (t)
= ∆f (t),
ở đây ∆ là tốn tử sai phân tiến thơng thường. Tức là với T = Z thì f ∆ (t) =
∆f (t).
Nhận xét 1.1.10 ([9]). Qua hai ví dụ trên ta thấy với việc sử dụng lý thuyết
thang thời gian, lý thuyết của phương trình vi phân và phương trình sai phân
là thống nhất.
Ví dụ 1.1.11. Cho h > 0 và
T = hZ = {hk : k ∈ Z}.
Với mọi t ∈ T ta có

σ(t) = inf{s ∈ T : s > t} = inf{t + nh : n ∈ N} = t + h


9

và tương tự ρ(t) = t − h. Cho nên mọi điểm t ∈ T là điểm cơ lập và
µ(t) = σ(t) − t = t + h − t ≡ h với mọi t ∈ T
nên hàm hạt µ là hằng số. Với hàm f : T → R ta có
f (σ(t)) − f (s) f (σ(t)) − f (t)
=
s→t
σ(t) − s
σ(t) − t
f (σ(t)) − f (t) f (t + h) − f (t)
=
với mọi t ∈ T.
=
µ(t)
h

f ∆ (t) = lim

Ta cũng có
f

∆∆

(t) =
=
=

=
=

f ∆ (σ(t)) − f ∆ (t)
µ(t)
∆
f (t + h) − f ∆ (t)
h
f (t+2h)−f (t+h)
(t)
− f (t+h)−f
h
h
h
f (t + 2h) − f (t + h) − f (t + h) + f (t)
h2
f (t + 2h) − 2f (t + h) + f (t)
.
h2
n

Ta có thể tính đạo hàm cấp cao f ∆ (t) theo cách tương tự.
Ta có tính đạo hàm của tổng, tích và thương các hàm khả vi. Điều này dựa
vào định lý sau. Chứng minh của nó có thể xem trong [2].
Định lý 1.1.12 ([2]). Cho f và g : T → R là các hàm ∆-khả vi tại t ∈ Tk .
Khi đó:
1. Hàm tổng f + g : T → R ∆-khả vi tại t và
(f + g)∆ (t) = f ∆ (t) + g ∆ (t).
2. Với hằng số c tùy ý, hàm cf : T → R ∆-khả vi tại t và
(cf )∆ (t) = cf ∆ (t).

3. Hàm tích f g : T → R ∆-khả vi tại t và
(f g)∆ (t) = f ∆ (t)g(t) + f (σ(t))g ∆ (t) = f (t)g ∆ (t) + f ∆ (t)g(σ(t)).


10

4. Nếu f (t)f (σ(t)) = 0 thì

1
∆-khả vi và
f
1
f

5. Nếu g(t)g(σ(t)) = 0 thì
f
g

∆

f ∆ (t)
(t) = −
.
f (t)f (σ(t))

f
∆-khả vi tại t và
g
∆

(t) =

f ∆ (t)g(t) − f (t)g ∆ (t)
.
g(t)g(σ(t))

Định nghĩa 1.1.13 ([2]). Một hàm f : T → R được gọi là chính quy nếu tồn
tại giới hạn bên phải hữu hạn tại tất cả các điểm trù mật phải trong T và tồn
tại giới hạn trái hữu hạn tại tất cả các điểm trù mật trái trong T.
Định nghĩa 1.1.14 ([9]). Hàm f : T → R được gọi là liên tục trù mật phải
hay rd-liên tục, nếu nó liên tục (theo nghĩa thơng thường) trên khoảng trù mật
phải bất kỳ trong T.
Định nghĩa 1.1.15 ([9]). Ma trận A(·) cỡ m × n xác định trên thang thời gian
T được gọi là rd-liên tục nếu mỗi thành phần của A(·) là rd-liên tục trên T.
Định nghĩa 1.1.16 ([2]). Một hàm liên tục f : T → R là tiền khả vi (predifferentiable) với miền khả vi D nếu các điều kiện sau đồng thời được thỏa
mãn:
i) D ⊂ Tk ,
ii) Tk \D là không quá đếm được và không chứa điểm cô lập phải nào của T,
iii) f khả vi tại mỗi t ∈ D.
Định lý 1.1.17 ([2]). Cho f là một hàm chính quy. Khi đó tồn tại một hàm
tiền khả vi F với miền khả vi D sao cho F ∆ (t) = f (t), với mọi t ∈ D.
Định nghĩa 1.1.18 ([2]). Cho f : T → R là một hàm chính quy. Bất kỳ hàm
F như trong Định lý 1.1.17 là một tiền nguyên hàm của hàm f . Ta định nghĩa
tích phân bất định của một hàm chính quy f là
f (t)∆t := F (t) + C,


11

ở đây C là một hằng số tùy ý và F là một tiền nguyên hàm của hàm f . Ta

định nghĩa tích phân Cauchy bằng
s

f (t)∆t := F (s) − F (r),

r, s ∈ T,

r

với F là một tiền nguyên hàm của f . Một hàm F : T → R được gọi là nguyên
hàm của f : T → R nếu F ∆ (t) = f (t), với mọi t ∈ Tk .
Ta xét một số trường hợp đặc biệt:
Ví dụ 1.1.19. Khi T = R thì tích phân trên thang thời gian là tích phân
thơng thường vì lúc này ∆-đạo hàm là đạo hàm thông thường, nguyên hàm
của hàm số là nguyên hàm thông thường nên ta có
b

b

f (t)∆t =
a

f (t)dt,
a

ở đây f là hàm liên tục.
Ví dụ 1.1.20. Khi T = Z, xét hàm f bất kỳ xác định trên Z. Gọi F là một
hàm tiền nguyên hàm của f . Khi đó F xác định và khả vi trên Z, F ∆ (t) =
f (t) ∀t ∈ Z. Mặt khác, theo Ví dụ 1.1.9, F ∆ (t) = F (t + 1) − F (t). Vậy
f (t) = F (t + 1) − F (t).

(1.1)

Xét tích phân của hàm f từ a đến b với a, b ∈ Z, a ≤ b, theo định nghĩa ta có
b

f (t)∆t = F (b) − F (a).
a

Ta có
f (a) = F (a + 1) − F (a)
f (a + 1) = F (a + 2) − F (a + 1)
f (a + 2) = F (a + 3) − F (a + 2)
......
f (b − 1) = F (b) − F (b − 1).

(1.2)


12

Cộng các đẳng thức trên lại ta được
b−1

F (b) − F (a) = f (a) + f (a + 1) + f (a + 2) + . . . + f (b − 1) =

f (t). (1.3)
t=a

Thay (1.3) vào (1.2) ta được

b−1

b

f (t)∆t =
a

f (t).
t=a

Tổng quát hơn, ta tính được


b−1

f (t),
nếu a < b,


 t=a
b
f (t)∆t = 0,
nếu a = b,

a



− a−1 f (t), nếu a > b,
t=b

với f là một hàm tùy ý f : Z → R.
Ví dụ 1.1.21. Cho T = Z, tính tích phân bất định
at ∆t,
trong a = 1 là hằng số. Vì
at
a−1

∆

at
=∆
a−1

at+1 − at
=
= at ,
a−1

nên ta suy ra
at
a ∆t =
+ C,
a−1
t

trong đó C là hằng số tùy ý.

1.2

Hàm mũ trên thang thời gian

Định nghĩa 1.2.1 ([2]). Với h > 0 ta định nghĩa tập số phức Hilger Ch và dải
Zh như sau:
Ch :=

z∈C:z=−

Zh = z ∈ C : −
và với h = 0, đặt C0 = C, Z0 = C.

1
h

,

π
π
< Im(z) ≤
,
h
h


13

Định nghĩa 1.2.2 ([2]). Với h > 0, ta định nghĩa phép biến đổi trụ ξh : Ch →
Zh bởi

1
log(1 + hz),

h
trong đó log là nhánh chính của logarit. Với h = 0, ta định nghĩa ξ0 (z) = z với
ξh (z) =

mọi z ∈ C.
Ta gọi ξh là phép biến đổi trụ bởi vì khi h > 0 ta có thể coi Zh là một hình
trụ nếu ta nối các đường biên Im(z) = − πh và Im(z) =

π
h

của Zh với nhau để

tạo thành một hình trụ.
Định nghĩa 1.2.3 ([9]). Hàm p : T → K được gọi là hồi quy nếu 1+µ(t)p(t) =
0, ∀t ∈ Tk .
Ký hiệu tập tất cả các hàm hồi quy và rd-liên tục là R và ký hiệu R + nếu
chúng thỏa mãn 1 + µ(t)p(t) > 0, ∀t ∈ Tk (tức là hàm hồi quy dương).
Định nghĩa 1.2.4 ([9]). Hàm ma trận A : T → Mn (R) được gọi là hồi quy,
nếu ∀t ∈ Tk , I + µ(t)A(t) là khả nghịch, trong đó I là ma trận đơn vị.
Một cách tương đương, hàm ma trận A(t) là hồi quy khi và chỉ khi tất cả
các giá trị riêng của nó là hồi quy (tức là 1 + µ(t)λi (t) = 0, ∀1 ≤ i ≤ n, ∀t ∈ Tk ,
trong đó λi (t) là các giá trị riêng của A(t)). Lớp tất cả các hàm hồi quy và
rd-liên tục A từ T tới Mn (R) được ký hiệu bằng R (T, Mn (R)).
Định nghĩa 1.2.5 ([9]). Nếu p ∈ R làm rd-liên tục và hồi quy, ta định nghĩa
hàm mũ suy rộng của p trên thang thời gian T bởi
t

ep (t, s) = exp

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ

, s, t ∈ T

s

với ξh (z) là phép biến đổi trụ được nêu trong Định nghĩa 1.2.2:

log(1 + µ(t)z)


nếu µ(t) = 0
µ(t)
ξµ(t) (z) =

z
nếu µ(t) = 0.

(1.4)

Ví dụ 1.2.6. Với T = R, theo Ví dụ 1.1.5, µ(t) = 0 ∀t ∈ T. Theo Ví dụ 1.1.19,
t

t

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ =
s

ξµ(τ ) (p(τ ))dτ.
s

14

Do µ(t) = 0, theo (1.4),
ξµ(τ ) (p(τ )) = p(τ ).
Vậy
t

ep (t, t0 ) = exp

t

ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ

= exp

t0

p(τ )dτ

.

t0

Nếu p làm hàm hằng thì
t

ep (t, t0 ) = exp

= ep(t−t0 ) .

p(τ )dτ
t0

Định lý 1.2.7 ([2]). Lấy p(t) ∈ R và t0 ∈ T, hàm mũ suy rộng ep (t, t0 ) là
nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu
x∆ (t) = p(t)x(t),

x(t0 ) = 1.

(1.5)

Ví dụ 1.2.8. Cho T = hZ với h > 0. Lấy α ∈ R là một hằng số, tức là,
α ∈ C\ −

1
h

.

Khi đó
t

eα (t, 0) = (1 + αh) h với mọi t ∈ T.

(1.6)

Để thấy điều này ta chú ý rằng vế phải của (1.6) thỏa mãn
y(0) = (1 + αh)0 = 1

và
y(t + h) − y(t)
h
t+h
t
(1 + α) h − (1 + α) h
=
h
t
(1 + α) h (1 + αh − 1)
=
h
t
= α(1 + αh) h

y ∆ (t) =

= αy(t)
t

với mọi t ∈ T. Vậy theo Định lý 1.2.7, hàm mũ suy rộng eα (t, 0) = (1 + αh) h
với mọi t ∈ T.


15

Định nghĩa 1.2.9. Cho A ∈ Mn (R), hệ phương trình
x∆ (t) = A(t)x(t)
được gọi là hệ động lực tuyến tính n chiều trên thang thời gian T.
Nếu T = R thì hệ có dạng x(t)

˙
= A(t)x(t).
x(t + h) − x(t)
Nếu T = hZ, thì hệ rút gọn thành
= A(t)x(t) hay tương
h
đương x(t + h) = [I + hA(t)]x(t).
Định nghĩa 1.2.10 ([9]). Nghiệm duy nhất của
x∆ (t) = A(t)x(t),

x(t0 ) = I,

(1.7)

với t ∈ T, A ∈ Mn (R), được gọi là ma trận chuyển tiếp, và được ký hiệu bằng
φA (t, t0 ). Nếu A là một ma trận hằng, thì hàm mũ tổng quát φA (t, t0 ) = eA (t, t0 )
là nghiệm duy nhất của (1.7).
Định lý 1.2.11 ([2]). Giả sử rằng ma trận A là hồi quy, và C : T → Mn (Rn )
là ∆-khả vi. Nếu C(t) là một nghiệm của phương trình động lực ma trận
C ∆ (t) = A(t)C(t) − C(σ(t))A(t),
thì
C(t)eA (t, s) = eA (t, s)C(s).
Hệ quả 1.2.12 ([2]). Giả sử A là hồi quy và C là ma trận hằng. Nếu C giao
hốn với A, thì C giao hốn với eA . Nói riêng, nếu A là một ma trận hằng, thì
A giao hốn với eA .

1.3

Khái niệm tính ổn định

Ta thảo luận về định nghĩa tính ổn định của hệ động lực
x∆ (t) = A(t)x(t),

A ∈ Mn (R).

(1.8)

Ở đây, chúng ta ln ln cơng thức hóa đối với gốc tọa độ, nơi được giả thiết
là trạng thái cân bằng.


16

Định nghĩa 1.3.1 ([9]). Giả sử rằng thang thời gian T có phần tử nhỏ nhất
t0 ≥ 0. Hệ (1.8) với x(t0 ) = x0 được gọi là ổn định mũ trên T nếu tồn tại hằng
số β = β(t0 ) ≥ 1 và hàm hằng âm λ ∈ R + (tức là hồi quy dương) sao cho
nghiệm tương ứng thỏa mãn
x(t) ≤ β x0 eλ (t, t0 ),

∀t ∈ T.

(1.9)

Nếu hằng số β không phụ thuộc t0 ∈ T thì hệ (1.8) được gọi là ổn định mũ
đều.
Định lý 1.3.2 ([3]). Hệ
x∆ = Ax,

A ∈ Mn (R),

ổn định mũ đều khi và chỉ khi hệ
x∆ = λx
là ổn định mũ đều với mọi λ ∈ Spec(A).
Định nghĩa 1.3.3 ([4]). Cho thang thời gian T không bị chặn trên, với bất
kỳ t0 ∈ T định nghĩa
SC (T) := {λ ∈ C : lim sup
T →∞

1
T − t0

T

lim sup
t0

s

µ(t)

log |1 + sλ|
∆t < 0}
s

và
SR (T) := {λ ∈ R : ∀T ∈ T, ∃t ∈ T với t > T sao cho 1 + µ(t)λ = 0}.
Khi đó miền ổn định mũ của thang thời gian T được định nghĩa bởi
S(T) := SC (T) ∪ SR (T).
Ví dụ 1.3.4.
1. Khi T = R thì SR (R) = ∅ và SC (R) = {λ ∈ C : Re λ < 0}.

2. Khi T = hZ thì SR (hZ) = − h1

và SC (hZ) = {λ ∈ C : |1 + λh| < 1}.


17

Đồng thời ta gọi tập
S = S(T) := {λ ∈ C : phương trình x∆ = λx là ổn định mũ đều}
là miền ổn định mũ đều của thang thời gian T.
Định lý 1.3.5 ([4]). Cho T là một thang thời gian khơng bị chặn trên và cho
A ∈ Rn×n là hồi quy. Khi đó các khẳng định sau đúng:
1. Nếu hệ x∆ = Ax ổn định mũ thì Spec(A) ⊂ S(T).
2. Nếu A chéo hóa được thì hệ x∆ = Ax là ổn định mũ khi và chỉ khi
Spec(A) ⊂ S(T).
3. Nếu mỗi giá trị riêng của A là hồi quy đều thì hệ x∆ = Ax ổn định mũ.
Định lý 1.3.6. Hệ tuyến tính (1.8) hệ số hằng số là ổn định mũ đều khi và
chỉ khi Spec(A) ⊂ S(T).
Việc xác định miền ổn định của một thang thời gian cho trước nói chung
là khơng đơn giản nếu khơng nói là rất khó khăn, điều này phần nào cho thấy
cấu trúc phức tạp của thang thời gian. Sau đây ta sẽ tìm miền ổn định mũ của
thang thời gian T trong một số trường hợp đặc biệt.
Ví dụ 1.3.7. Xét phương trình tuyến tính
x∆ =

−1 −2
1

−4

x

(1.10)

xác định trên thang thời gian T. Ta có các giá trị riêng của ma trận A là −2
và −3, nên A chéo hóa được.
Nếu lấy T = R thì Spec(A) = {−2, −3} ⊂ S(T) = {λ ∈ C : Re λ < 0} và
phương trình (1.10) là ổn định mũ.
Nếu lấy T = 2Z thì
S(T) = SC (T) ∪ SR (T) = {λ ∈ C : |1 + 2λ| < 1} ∪

−

1
.
2

Nên Spec(A) = {−2, −3} ⊂ S(T) và phương trình (1.10) không ổn định mũ.


18

Nếu lấy T = 21 Z thì
λ
S(T) = SC (T) ∪ SR (T) = λ ∈ C : |1 + | < 1 ∪ {−2} .
2
Nên Spec(A) = {−2, −3} ⊂ S(T) và phương trình (1.10) ổn định mũ.
Để nghiên cứu tính ổn định của hệ động lực trên thang thời gian, ta định
nghĩa một tập mở của mặt phẳng phức được gọi là hình trịn Hilger.
Định nghĩa 1.3.8 ([9]). Với mỗi t ∈ T, hình trịn Hilger được định nghĩa là

Hµ(t) =

z∈C: z+

1
1
<
µ(t)
µ(t)

.

Khi µ(t) = 0, ta ký hiệu
H0 = {z ∈ C : Re(z) < 0} = C− ,

là nửa trái của nửa mặt phẳng phức.
Khi tập các hàm hạt thang thời gian bị chặn trên, hình trịn Hilger nhỏ nhất
(ký hiệu là Hmin ) là hình trịn Hilger tương ứng với µ(t) = µmax = supt∈T µ(t).
Chúng ta có sự liên hệ giữa hình trịn Hilger và miền ổn định mũ. Thật vậy,
hình trịn Hilger nhỏ nhất Hmin là tập con của miền ổn định mũ.
Định nghĩa 1.3.9 ([9]). Ma trận hồi quy A(t) được gọi là Hilger ổn định nếu
Spec(A(t)) ⊂ Hµ(t) với mọi t ∈ T. Nếu A(t) ≡ A, thì điều này tương đương với
Spec(A) ⊂ Hmin (tức là tất cả các giá trị riêng của A thuộc Hmin ).
Bổ đề 1.3.10 ([4]). Cho thang thời gian T. Đặt g(λ(t), µ(t)) := 2 Re(λ(t)) +
µ(t)|λ(t)|2 . Cho A(t) ∈ Mn (R) là ma trận vng cấp n. Khi đó g(λ(t), µ(t)) < 0
với mọi t ∈ T và mọi λ(t) ∈ Spec(A(t)) khi và chỉ khi A(t) là Hilger ổn định.
Chứng minh. Cho thang thời gian T, A ∈ Mn (R), λi (t) ∈ Spec(A(t)). Cố định
t ∈ T. Chú ý rằng g(λi (t), µ(t)) < 0 khi và chỉ khi
2 Re(λi (t)) + µ(t)|λi (t)|2 < 0
2 Re(λi (t)) + µ(t)(Re(λi (t))2 + Im(λi (t))2 ) +

1
1
<
µ(t) µ(t)


19

2
1
1
Re(λi (t)) + Re(λi (t))2 + Im(λi (t))2 +
<
2
µ(t)
µ(t)
µ(t)2
2

1
1
2
+ (Im(λi (t)) − 0) <
Re(λi (t)) +
µ(t)
µ(t)2
1
1
λi (t) +

<
.
µ(t)
µ(t)
Tức là g(λi (t), µ(t)) < 0 khi và chỉ khi λi (t) thuộc Hµ(t) . Do đó g(λ(t), µ(t)) < 0
với mọi t ∈ T và mọi λi (t) ∈ Spec(A(t)) khi và chỉ khi A(t) là ổn định Hilger.

1.4

Hệ chuyển mạch

Trước khi trình bày định nghĩa hệ chuyển mạch, chúng tơi xin được trình
bày một ví dụ trong thực tiễn liên quan đến hệ chuyển mạch để thấy được sự
xuất hiện của hệ chuyển mạch trong cuộc sống hàng ngày.
Ví dụ 1.4.1. Xét mơ hình đơn giản miêu tả chuyển động của xe ơ tơ có dạng
x˙ 1 = x2
x˙ 2 = f (a, q)
trong đó x1 là vị trí của xe, x2 là tốc độ của xe, a ≥ 0 là gia tốc truyền vào, và
q = {1, 2, 3, 4, 5, −1, 0} là vị trí của cần số. Hàm f sẽ nhận giá trị âm và giảm
dần theo a khi q = −1, nhận giá trị âm và độc lập với a khi q = 0, và tăng
theo a, dương với a đủ lớn, và giảm theo q khi q > 0. Trong hệ này, x1 và x2
là các trạng thái liên tục và q là trạng thái rời rạc. Rõ ràng trạng thái rời rạc
ảnh hưởng tới quỹ đạo liên tục. Trong trường hợp truyền số tự động, sự tiến
hóa của trạng thái liên tục x2 được sử dụng để xác định chuyển tiếp rời rạc.
Trong trường hợp truyền số bằng tay, các chuyển tiếp rời rạc được kiểm sốt
bởi người lái xe.
Tiếp theo chúng tơi xin trình bày khái niệm về hệ chuyển mạch dựa theo
tài liệu [8].
Định nghĩa 1.4.2 ([8]). Hệ chuyển mạch là một hệ bao gồm một số hữu hạn
các hệ con và một quy tắc rời rạc để đưa ra sự chuyển mạch giữa các hệ con

20

đó. Hệ này được biểu diễn bởi phương trình
x∆ (t) = fk (x(t)),

(1.11)

trong đó x ∈ Rn là trạng thái liên tục, k là trạng thái rời rạc nhận giá trị trong
tập chỉ số M = {1, 2, . . . , m} và fk , k ∈ M , là các trường véctơ. x∆ là toán tử
d
đạo hàm trong trường hợp thời gian liên tục (tức là x∆ (t) = x(t)) hoặc là
dt
toán tử sai phân tiến trong trường hợp thời gian rời rạc (tức là x∆ (t) = x(t+1)).
Không gian trạng thái liên tục là không gian Euclid n chiều và không gian
trạng thái rời rạc là tập chỉ số M có hữu hạn phần tử. Tập thời gian có thể là
tập các số thực trong trường hợp thời gian liên tục, hoặc là tập các số nguyên
trong trường hợp thời gian rời rạc. Dựa vào tính chất liên tục hoặc rời rạc của
tập thời gian mà ta gọi là hệ chuyển mạch liên tục hoặc hệ chuyển mạch rời
rạc. Nếu tất cả các hệ con của (1.11) là tuyến tính thì ta gọi là hệ chuyển mạch
tuyến tính. Khi hệ có m hệ con thì hệ cịn được gọi là hệ chuyển mạch m-dạng.
Với mỗi k ∈ M , trạng thái đơn lẻ
x∆ (t) = fk (x(t))

(1.12)

được gọi là một hệ con của hệ chuyển mạch. Khi các hệ con (1.12) được cho
trước, dáng điệu của hệ chuyển mạch được quyết định bởi tín hiệu chuyển
mạch.

Tập những tín hiệu chuyển mạch hồn tồn xác định trên [t0 , +∞) được ký
hiệu bởi S[t0 ,+∞) hoặc S khi t0 = 0. Ký hiệu Υ = {Λx : x ∈ Rn } với Λx là tập
con khác rỗng của S. Tập Υ gán các tín hiệu chuyển mạch cho mỗi trạng thái
ban đầu và được gọi là tập tín hiệu chuyển mạch chấp nhận được. Tập này cảm
sinh một tập chấp nhận được những quỹ đạo trạng thái liên tục {Γx : x ∈ Rn },
trong đó Γx là tập những quỹ đạo trạng thái với trạng thái ban đầu x và tín
hiệu chuyển mạch trong Λx , tức là:
Γx = {φ(·; 0, x, θ) : θ ∈ Λx }.
Hàm giá trị thực α : R+ → R+ được gọi là thuộc lớp K nếu nó liên tục, đơn
điệu tăng ngặt, và α(0) = 0. Ngoài ra, nếu α khơng bị chặn, thì nó được gọi là


21

thuộc lớp K∞ . Hàm β : R+ × R+ → R+ được gọi là thuộc lớp KL nếu β(·, t)
thuộc lớp K với mỗi t ≥ 0 và lim β(r, t) = 0 với mỗi r ≥ 0 cố định.
t→+∞

Định nghĩa 1.4.3 (Tính ổn định, [8]). Giả sử rằng Υ = {Λx , x ∈ Rn } là tập
tín hiệu chuyển mạch chấp nhận được. Hệ chuyển mạch (1.11) được gọi là
1) ổn định trên Υ nếu tồn tại một hàm ζ ∈ K và một số thực dương δ sao
cho
|φ(t; 0, x0 , θ)| ≤ ζ(|x0 |) ∀t ∈ [0, +∞), x0 ∈ Bδ , θ ∈ Λx0
2) ổn định tiệm cận trên Υ nếu tồn tại một hàm ξ ∈ KL sao cho
|φ(t; 0, x0 , θ)| ≤ ξ(|x0 |, t) ∀t ∈ [0, +∞), x0 ∈ Rn , θ ∈ Λx0
3) ổn định mũ trên Υ nếu tồn tại các số thực dương α và β sao cho
|φ(t; 0, x0 , θ)| ≤ βe−αt ∀t ∈ [0, +∞), x0 ∈ Rn , θ ∈ Λx0 .
Tính ổn định của hệ chuyển mạch được phân ra làm nhiều kiểu khác nhau,
như tính ổn định của hệ chuyển mạch khi hệ con chuyển mạch tùy ý, tính ổn
định thời gian dừng, tính ổn định autonom, tính ổn định ngẫu nhiên. Trong

luận văn này, chúng tôi chỉ tập trung vào trình bày tính ổn định của hệ chuyển
mạch khi hệ con chuyển mạch tùy ý.

1.5

Tính ổn định của hệ chuyển mạch

Đối với hệ chuyển mạch, chuyển mạch có thể gây nên sự thay đổi khơng dự
đốn được của hệ chuyển mạch. Tính ổn định của từng hệ con khơng suy ra
tính ổn định của hệ. Có khi các hệ con riêng biệt đều ổn định nhưng hệ chuyển
mạch có thể vẫn không ổn định. Điều này được minh chứng qua các ví dụ sau.
Ví dụ 1.5.1. Giả sử hệ chuyển mạch có hai hệ con riêng biệt ổn định tiệm
cận, với quỹ đạo được minh họa trong Hình 1.2(a) và (b). Khi đó, hệ chuyển
mạch có thể ổn định (Hình 1.2(c)) hoặc khơng ổn định (Hình 1.2(d)).