(Luận văn thạc sĩ) Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THỊ TUYẾN

CẬN DƯỚI CHO GIÁ TRỊ KỲ DỊ NHỎ NHẤT CỦA
MA TRẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

BÙI THỊ TUYẾN

CẬN DƯỚI CHO GIÁ TRỊ KỲ DỊ NHỎ NHẤT CỦA
MA TRẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành:
Mã số:

Tốn ứng dụng
60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. NGUYỄN THANH SƠN

Thái Nguyên - 2016


Mục lục
Danh mục ký hiệu
Mở đầu
1

Kiến thức chung về ma trận
1.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Ma trận trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Chuẩn của véc tơ và chuẩn của ma trận . . . . . . . . . . .
1.4 Khai triển SVD (singular value decomposition) của ma trận

1

.
.
.
.
.
.

4
4
4
5
6

7
10

2

Một số cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận hằng
2.1 Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận đường chéo trội .
2.2 Cận dưới cho giá trị kỳ dị của H - ma trận . . . . . . . . . . . .

14
14
19

3

Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận phụ thuộc tham số
3.1 Ma trận affine bức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận bức affine . . . .
3.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
24
25
27

.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.

Kết luận
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29
30


Danh mục ký hiệu
Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong
bảng dưới đây:
Rn×m
ai j
AT
A−1
SVD
x
A
σi (A), i = 1, 2, · · · , n
λi (A), i = 1, 2, · · · , n

tập các ma trận thực cỡ n × m

phần tử nằm trên dòng i, cột j
ma trận chuyển của ma trận A
ma trận nghịch đảo của ma trận A
phân tích giá trị kỳ dị
chuẩn của véc tơ x
chuẩn của ma trận A
tập hợp các giá trị kỳ dị của ma trận A
tập hợp các giá trị riêng của A

R+
UA
|A|

kí hiệu phần trong của khơng gian Rn+
bao đóng của U
định thức của ma trận A

◦n

i


Mở đầu
Giá trị kỳ dị của ma trận không chỉ đóng vai trị quan trọng trong tốn học
lý thuyết mà cịn đối với tốn học ứng dụng. Trong tốn học tính tốn nó là một
phần cấu thành số điều kiện của ma trận. Đây là đại lượng quyết định tính ổn
định hay khơng ổn định của thuật tốn. Nếu ta tìm được cận dưới cho giá trị kỳ
dị nhỏ nhất của ma trận thì ta đã tìm được một cận trên cho số điều kiện của ma
trận. Đó là đại lượng không thể thiếu trong các đánh giá sai số.
Thật vậy, hãy xét hệ phương trình tuyến tính n ẩn số,

Ax = b.

(1)

Xin lưu ý rằng đây hầu như vẫn là bài tốn quan trọng bậc nhất trong tốn học
tính tốn vì để ra được kết quả cuối cùng, gần như mọi bài toán đều quy về hoặc
liên quan đến giải hệ phương trình tuyến tính. Vế phải và ma trận hệ số của (1)
thường thu được do quá trình đo đạc ngoài thực địa hoặc là kết quả của một q
trình tính tốn xấp xỉ trước đó. Dù bằng cách nào, A và b không thể tránh khỏi
những sai số mà ta lần lượt ký hiệu là ∆A, δ b. Như vậy đáng ra, ta có hệ (1) nhưng
thực tế, ta lại có hệ
(A + ∆A)x˜ = b + δ b.

(2)

Điều chúng ta quan tâm ở đây là x˜ cách x bao xa hay là độ lớn của sai số. Người
1
ta đã chỉ ra rằng nếu ∆A < −1 và b = 0 thì
A
x − x˜
cond (A)
≤
x
1 − A−1 ∆A
trong đó, cond(A) = A

∆A
δb
+
A

b

,

(3)

A−1 là số điều kiện của ma trận A. Bất đẳng thức (3)

chỉ ra rằng, sai số tương đối của nghiệm bị chặn trên bởi một đại lượng phụ thuộc
vào sai số tương đối của dữ liệu (tất nhiên!) và vào bản thân ma trận hệ số. Ta
cũng sẽ thấy rằng,
cond (A) = A

A−1 = σ1 (A)
1

1
,
σn (A)


trong đó, σ1 (A) và σn (A) lần lượt là giá trị kỳ dị lớn nhất và nhỏ nhất của ma trận
A. Nếu ta tìm được cận dưới dương α ≤ σn (A) thì ta có
cond(A) =

σ1 (A) σ1 (A)
≤
.
σn (A)
α

(4)

Thay (4) vào (3), ta thu được một cận trên mới cho sai số tương đối.
Ngồi ra, tìm cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận phụ thuộc tham
số cũng đóng vai trị quan trọng trong phương pháp giảm cơ sở. Xin xem [3] và
[5] để biết thêm chi tiết.
Chính vì tầm quan trọng của vấn đề, chúng tơi quyết định chọn đó làm đề
tài luận văn thạc sĩ. Để làm rõ chủ đề này, luận văn của chúng tôi bao gồm những
phần sau.
Chương 1. Chúng tơi trình bày một số kiến thức chung về ma trận như khái
niệm về ma trận, ma trận đơn vị, ma trận trực giao, véc tơ riêng, giá trị riêng,
chuẩn của véc tơ và chuẩn của ma trận, đặc biệt là dạng khai triển giá trị kỳ
dị SVD của ma trận. Đó đều là những kiến thức cơ bản, làm cơ sở nghiên cứu
chương sau.
Chương 2. Chúng tơi trình bày về một số cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất
của ma trận hằng. Trước tiên, chúng tôi sẽ trình bày một vài kết quả liên quan
đến cận dưới cho chuẩn của ma trận nghịch đảo. Sau đó, dựa vào mối quan hệ
của chuẩn của ma trận nghịch đảo và giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận ta thu
được cận dưới cho giá trị kỳ dị của hai lớp ma trận đặc biệt: ma trận đường chéo
trội và H−ma trận. Cuối cùng, chúng tơi đưa hai ví dụ để minh họa cho các cận
tìm được.
Chương 3. Chúng tơi sẽ trình bày một kết quả về cận dưới cho giá trị kỳ
dị nhỏ nhất của ma trận phụ thuộc tham số cùng với nó là một ví dụ minh họa.
Trong các ví dụ ở cả 2 chương, chúng tơi đều sử dụng MATLAB như một phần
mềm để tính tốn và minh họa kết quả.
Luận văn này được hồn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái
Ngun. Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin gửi lời cảm ơn
chân thành, sâu sắc tới TS. Nguyễn Thanh Sơn. Thầy là người trực tiếp hướng
dẫn, tận tình chỉ bảo, giúp đỡ và động viên tơi trong suốt q trình nghiên cứu và

2


hồn thành luận văn.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phịng Sau Đại học, q thầy
cơ trong khoa Toán - Tin, các bạn học viên lớp cao học Toán 8a đã tạo điều kiện
thuận lợi, giúp đỡ, động viên tơi trong suốt q trình học tập và nghiên cứu tại
trường.
Qua đây, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới người thân trong gia đình,
bạn bè đã ln động viên khích lệ tơi trong suốt q trình hồn thành khóa học.

Thái Ngun, ngày 7 tháng 7 năm 2016
Tác giả

Bùi Thị Tuyến

3


Chương 1
Kiến thức chung về ma trận
Để phục vụ cho Chương 2, ta sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản giúp cho
việc trình bày nội dung của Chương 2 được rõ ràng. Trước hết, ta nhắc lại các
khái niệm về ma trận. Chương này được viết chủ yếu dựa vào tài liệu [1, 2, 4].

1.1

Ma trận

1.1.1

Định nghĩa ma trận

Định nghĩa 1.1. Ma trận một bảng gồm m × n số thực được sắp xếp thành m
dòng, n cột và gọi là ma trận cấp m × n. Ký hiệu ma trận là,


a11 a12 · · · a1n

a
 21 a22 · · · a2n 
A =  ..
.. . .
. 
. .. 
 .
.
am1 am2 · · · amn
hoặc
A = (ai j )m×n .
Trong đó, ai j là phần tử của ma trận nằm trên dòng i, cột j, i = 1, 2, · · · , m, j =
1, 2, · · · , n. Các phần tử aii gọi là phần tử nằm trên đường chéo chính.
Nếu m = n thì A được gọi là một ma trận vuông.
Định nghĩa 1.2. Ma trận đơn vị là ma trận vng có mọi phần tử nằm trên đường
chéo chính bằng 1, các phần tử khác bằng 0 và có dạng sau


1 0 ··· 0
0 1 · · · 0



I =  .. .. . . .. 
. .
. .
0 0 ··· 1
4


Định nghĩa 1.3. Ma trận đường chéo là ma trận vng có các phần tử nằm ngồi
đường chéo chính bằng 0.
Ta đặc biệt quan tâm đến lớp ma trận đường chéo vng. Ma trận đường chéo có
dạng,

a11 0
0 a
22

D =  ..
..
 .
.
0
0


··· 0
··· 0 

. . . .. 
. 

· · · ann

Định nghĩa 1.4. Ma trận chuyển vị là một ma trận ở đó các hàng được thay thế
bằng các cột và ngược lại. Ma trận chuyển vị của ma trận A được kí hiệu là AT .


a11 a21 · · · am1
a

 12 a22 · · · am2 
T
A =  ..
.. . .
. 
. .. 
 .
.
a1n a2n · · · amn
Nếu A là một ma trận có kích thước m × n với các giá trị ai j tại hàng i, cột
j thì ma trận chuyển vị B = AT là ma trận có kích thước n × m với các giá trị
bi j = a ji .
Định nghĩa 1.5. Ma trận A được gọi là ma trận đối xứng nếu AT = A. Ma trận đối
xứng A được gọi là xác định dương (nửa xác định dương) nếu xT Ax > 0, ∀x = 0
(xT Ax ≥ 0).

1.1.2

Ma trận trực giao

Định nghĩa 1.6. Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu,

AT A = I,
hay dưới dạng biểu thức,
n

∑ aik a jk = σi j =
k=1

1, i = j
0, i = j

trong đó, σi j là kí hiệu Kronecker.
Tính chất 1.7.

• Ma trận trực giao A là khả nghịch và có A−1 = AT .
5


• Ma trận A trực giao khi và chỉ khi các vec tơ cột và các hàng của A tạo thành
các hệ trực chuẩn.

• Ta có
|AT A| = |I| = 1 → |A| = ±1.

1.2

Véc tơ riêng, giá trị riêng

Định nghĩa 1.8. Cho A là ma trận vuông cấp n,



a11 a12 · · · a1n
a

 21 a22 · · · a2n 
A =  ..
.. . .
. 
. .. 
 .
.
an1 an2 · · · ann
Khi đó, nếu có véc tơ x khác không và số λ sao cho Ax = λ x thì ta nói λ là một
giá trị riêng của A và x là một véc tơ riêng của A tương ứng với giá trị riêng λ .
Như đã biết, giá trị riêng và véc tơ riêng của ma trận thực có thể là phức.
Tuy nhiên, nếu A là ma trận đối xứng thì các giá trị riêng và kéo theo là các véc
tơ riêng luôn là thực.
Ta nhắc lại ở đây một kết quả quan trọng của đại số tuyến tính. Đó chính là
Định lý Courant-Fischer. Để tiện cho việc hiểu và vận dụng, chúng tơi trích một
phần của định lý. Phát biểu đầy đủ và chứng minh của định lý có thể tìm thấy
trong [4].
Định lý 1.9. (Định lý 4.2.6, [4])
Giả sử A là ma trận thực đối xứng cấp n. Gọi λn (A) là giá trị riêng nhỏ nhất theo
nghĩa đại số của nó. Khi đó,
xT Ax
λn (A) = min T .
x=0 x x
Từ định lý này, ta suy ra ngay một hệ quả sau.
Hệ quả 1.10. Nếu A là một ma trận đối xứng xác định dương (nửa xác định
dương) thì các giá trị riêng của nó đều dương (khơng âm).

6


1.3

Chuẩn của véc tơ và chuẩn của ma trận

Định nghĩa 1.11. Cho véc tơ x, chuẩn của x kí hiệu là x được xác định là một
số không âm thỏa mãn các tính chất sau,
1. x ≥ 0 và x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
2. αx = |α| x với mọi α ∈ R.
3. x + y ≤ x + y .
Kí hiệu véc tơ xT = (x1 , x2 , · · · , xn )T . Trong thực tế người ta hay sử dụng một
số dạng chuẩn sau.
Chuẩn - p
Cho p > 0 là số thực, chuẩn - p được định nghĩa là,
n

x

1

p p
p = ( ∑ |xi | ) .
i=1

Với p = 1, 2, ∞ ta được các dạng chuẩn Manhattan, Euclide và chuẩn cực đại
tương ứng theo thứ tự đó.
Với 0 < p < 1, hàm khoảng cách này không thỏa mãn bất đẳng thức tam
giác nên nó khơng phải là một chuẩn.

Chuẩn Manhattan
Trong công thức chuẩn - p, cho p = 1 ta được,
n

x

1 = ∑ |xi | .
i=1

Chuẩn này còn được gọi là chuẩn Taxicab, chuẩn Manhattan hoặc đơn giản
là chuẩn L1 . Khoảng cách tương ứng thường được gọi là khoảng cách Manhattan,
khoảng cách L1 .
Chuẩn Euclide
Trong công thức chuẩn - p, cho p = 2 ta được,
n

x

2 1/2
=
2 = ( ∑ |xi | )

x12 + x22 + · · · + xn2 =

i=1

7

√
xT x.

Chuẩn Euclide cịn gọi là chuẩn L2 .
Chuẩn vơ cực
Trong công thức chuẩn - p, cho p → +∞ ta được chuẩn cực đại,
x
Bổ đề 1.12. Cho .
c1 x
.

α

α và

≤ x
.

β

β

.

α và

≤ c2 x

α

= max(|x1 | , |x2 | , · · · , |xn |).

∞

là hai chuẩn của Rn . Khi đó, với mỗi x ta ln có

β

với c1 , c2 là hằng số. Chúng ta cũng nói rằng chuẩn

là tương đương.

Bổ đề 1.13. (Mối quan hệ giữa các loại chuẩn)
Từ định nghĩa về các loại chuẩn 1, 2, ∞ ở trên ta có mối quan hệ giữa các loại
chuẩn như sau,

√
n x
√
x ∞≤ x 2≤ n x
2≤ x

x

x

∞

1≤

≤ x

1

≤n x

2,
∞,
∞.

Ngồi các chuẩn về véc tơ, chúng tơi cũng sẽ cần chuẩn của ma trận để đánh
giá sai số trên các ma trận.
Định nghĩa 1.14. Cho ma trận A ∈ Rm×n , chuẩn của A kí hiệu A là một số
không âm thỏa mãn,
1. A ≥ 0 và A = 0 khi và chỉ khi A = 0.
2. αA = |α| A với mọi α ∈ R.
3. A + B ≤ A + B .
Không giống như chuẩn của véc tơ, các dạng chuẩn của ma trận đều được
phái sinh từ một chuẩn duy nhất là chuẩn - p. Khi đó, ta có các dạng chuẩn của
ma trận như sau.
Ta xét chuẩn toán tử của ma trận A,
A

p = max

Ax
x

x=0

8

p
p

, x ∈ Rn .


Trường hợp đặc biệt, với p = 1 thì chuẩn toán tử trở thành chuẩn cực đại theo cột,
m

A

1

= max ( ∑ ai j ).
1≤ j≤n i=1

Với p = ∞ thì chuẩn tốn tử trở thành chuẩn cực đại theo dòng,
n

A

∞ = max ( ∑ ai j ).
1≤i≤m j=1

Với p = 2 và m = n, ta được dạng chuẩn Euclide của ma trận được tính bằng
giá trị lớn nhất trong các giá trị kỳ dị của A.
A

2 = max Ax

x 2 =1

2 = max

√
xT AT Ax.

x 2 =1

Áp dụng một cách trực tiếp chuẩn -p của véc tơ đối với từng phần tử của ma
trận, ta được loại chuẩn tương đối trực quan này.
n

A

p

m

= ( ∑ ∑ |ai j | p )1/p .
i=1 j=1

Với p = 2 thì chuẩn trên được gọi là chuẩn Frobenius. Lưu ý rằng kí hiệu A

p

trong trường hợp này hoàn toàn khác với chuẩn tốn tử ở bên trên.
Bổ đề tiếp theo nhằm tóm lược các tính chất cốt yếu của chuẩn của véc tơ và
chuẩn của ma trận cái mà đã được giới thiệu trước đó. Chúng ta sẽ sử dụng các
tính chất này nhiều hơn trong các phần tiếp theo.

Bổ đề 1.15.

1. QAZ = A nếu Q và Z là các ma trận trực giao hoặc đồng

nhất cho chuẩn Frobenius và cho chuẩn toán tử .

2.

A ∞
= max ∑ |ai j | = giá trị lớn nhất trong tổng các giá trị
i
x=0 x ∞
j
tuyệt đối của phần tử theo hàng.

2. A

∞

≡ max

A 1
= AT ∞ = max ∑ |ai j | = giá trị lớn nhất trong tổng các
j i
x=0 x 1
giá trị tuyệt đối của phần tử theo cột.

3. A

1

≡ max

4. A

2

≡ max

5. A

2

x=0

= AT

A
x
2

2

=

λmax (AT A), trong đó λmax là giá trị riêng lớn nhất.

2

.

9


6. Nếu A là (n × n) - ma trận, thì n−1/2 A

2

≤ A

1

≤ n1/2 A

2.

7. Nếu A là (n × n) - ma trận, thì n−1/2 A

2

≤ A

∞

≤ n1/2 A

2.

8. Nếu A là (n × n) - ma trận, thì n−1 A

≤ A

9. Nếu A là (n × n) - ma trận, thì A

1.4

1

∞

≤ A

F

1

≤n A

≤ n1/2 A

∞.
2.

Khai triển SVD (singular value decomposition) của
ma trận

Định lý 1.16. Cho A là một (m × n) - ma trận tùy ý với m ≥ n. Khi đó, ta có
thể viết A = UΣV T , trong đó U là (m × n) - ma trận và U T U = I,V là (n × n)
- ma trận, V T V = I, và Σ = diag(σ1 , · · · , σn ), trong đó σ1 ≥ · · · ≥ σn ≥ 0. Các
cột u1 , · · · , un của U được gọi là các véc tơ kỳ dị trái. Các hàng v1 , · · · , vn của V
được gọi là các véc tơ kỳ dị phải. Giá trị σi (i = 1, 2, · · · , n) được gọi là giá trị kỳ

dị. (Nếu m < n, ta áp dụng định lý cho AT ).
Chứng minh. Giả sử rằng SVD tạo bởi (m − 1) × (n − 1) - ma trận và đặt nó là
(m × n) - ma trận. Ta giả sử A = 0, ta cần chỉ ra Σ = 0 và đặt U và V là các ma
trận trực giao tùy ý.
A
, Σ = A 2 và V = 1.
A 2
Bước tiếp theo, chọn v sao cho v 2 = 1 và A 2 = Av 2 > 0. Tức là véc tơ v
Av
tạo nên bởi định nghĩa A 2 = max Av 2 . Đặt u =
, là một véc tơ đơn
Av 2
v 2 =1
˜ là một (m × m) - ma trận bất kỳ, và V = [v, V˜ ]
vị. Chọn U˜ và V˜ sao cho U = [u, U]
Khi n = 1 (khi m ≥ n), ta viết A = UΣV T với U =

là một (n × n) - ma trận bất kỳ. Ta có,
U T AV =

uT
uT Av uT AV˜
˜
A
=
.
v
V
U˜ T
U˜ T Av U˜ T AV˜

Khi đó,
(Av)T (Av)
Av
u Av =
=
Av 2
Av

2
2

T

và U˜ T Av = U˜ T u Av

= Av

2
uT AV˜

= 0. Ta cũng có
= [σ |uT AV˜ |] > σ .

2

[1, 0, · · · , 0]U T AV 2
2
σ
0

σ 0
Vì vậy, U T AV =
=
.
T
˜
˜
0 U AV
0 A˜
10

2

= A

2

≡ σ,

= 0 vì σ = A

2

= U T AV

2

≥

Bây giờ, chúng ta có thể áp dụng cơng thức để thay A˜ bởi A˜ = U1 Σ1V1T , trong
đó U1 là (m − 1) × (n − 1) - ma trận, Σ1 là (n − 1) × (n − 1) - ma trận, và V1 là
(n − 1) × (n − 1) - ma trận. Vì vậy,
σ
0
1 0
U AV =
=
T
0 U1 Σ1V1
0 U1
T

σ 0
0 Σ1

1 0
0 V1

T

hoặc
A = (U

1 0
σ 0
1 0 T
)
(V
) .

0 U1
0 Σ1
0 V1

Đó là điều chúng ta phải chứng minh.
Ví dụ 1.17. Tìm khai triển SVD của ma trận,
A=

1 1 0
.
0 0 1

Trước tiên, ta tìm các giá trị riêng của ma trận AT A.
Ta có,




1 0
1 1 0
1 1 0
AT A = 1 0
= 1 1 0 .
0 0 1
0 1
0 0 1
Giải phương trình det(A − λ I) = 0, ta được các giá trị riêng của ma trận AT A là
λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = 0.
Với mỗi giá trị riêng λi , giải phương trình (A − λi I)x = 0, ta được các véc tơ riêng
tương ứng là,




1
1
 
− √2 
 √2 
0




1  , v2 = 0 , v3 =  1  .
v1 = 
 √ 
√ 
 2 
 2
1
0
0


Ta được ma trận,



1
1

 √2 √2 0


.
VT = 
0
0
1


 1

1
−√ √ 0
2
2
√
Các giá trị kì dị của ma trận A là σ1 = 2, σ2 = 1, σ3 = 0. Từ đó ta được ma trận,
√
2 0 0
.
Σ=
0 1 0
11


Tiếp theo ta đi tìm ma trận U. Ta có,

1
 √2 


1
1 1 1 0 
 1 = 1 ,
ui = Av ⇒ u1 = √
√ 
0
σi
2 0 0 1 
 2
0


 
0
1 1 1 0  
0
u2 =
.
0 =
1
1 0 0 1
1
⇒U =

1 0
.
0 1

⇒ Phân tích SVD của ma trận A là,


1
1
 √2 √2 0
√

2 0 0 
.
 0
0
1

0 1 0 

 1
1
−√ √ 0
2
2


A=

1 1 0
1 0
= UΣV T =
0 0 1
0 1

Định lý 1.18. Đặt A = UΣV T là một SVD của (m × n) - ma trận A, trong đó

m ≥ n.
1. Giả sử A là ma trận đối xứng với giá trị riêng λi và véc tơ riêng ui trực
chuẩn. Trong trường hợp này A = UΛU T là một dạng khai triển của A, với
Λ = diag(λ1 , · · · , λn ),U = [u1 , · · · , un ], và UU T = I. Khi đó, một SVD của
A là A = UΣV T , trong đó σi = |λi | và vi = sign(λi )ui , trong đó sign(0) = 1.
2. Giá trị riêng của ma trận đối xứng AT A là σi2 . Véc tơ kỳ dị phải vi là véc tơ
riêng tương ứng của A.
= σ1 . Nếu A là ma trận vuông và không suy biến, thì A−1
σ1
và cond(A) = A 2 . A−1 2 = .
σn

3. A

2

Chứng minh.

−1
2

= σn

1. Luôn đúng theo định nghĩa của SVD ma trận.

2. AT A = V ∑ U T U ∑ V T = V ∑2 V T . Đây là một dạng khai triển của AT A, với
các cột của V là các véc tơ riêng và các khối chéo của ∑2 là các giá trị riêng.

12

3. Đây là trường hợp đúng để chỉ ra 2−chuẩn của một ma trận đường chéo là
tổng tuyệt đối lớn nhất trên đường chéo của nó. Khi đó, từ 4 của Bổ đề 1.15
, A

2

= U T AV

2

= ∑

2

= σ1 và A−1

2

= V T A−1U

2

= ∑−1

2

=

σn−1 .

Nhận xét 1.19. Nếu A là ma trận đối xứng, nửa xác định dương thì các giá trị
riêng của A là khơng âm và theo mục 1 của Định lí 1.18 thì các giá trị riêng chính
là các giá trị kỳ dị của nó.

13


Chương 2
Một số cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ
nhất của ma trận hằng
2.1

Cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận đường
chéo trội
Trong mục này, trước hết chúng tơi sẽ trình bày một vài kết quả liên quan

đến cận dưới cho chuẩn của ma trận nghịch đảo. Dựa vào mối liên hệ của đại
lượng này với giá trị kỳ dị nhỏ nhất, ta thu được cận dưới cho giá trị kỳ dị nhỏ
nhất. Kết quả này sau đó được mở rộng lên ma trận chéo trội khối. Một số ví dụ
cũng được trình bày nhằm minh họa cho lý thuyết. Phần lý thuyết của mục này
được viết dựa theo [6].
Định nghĩa 2.1. Cho A ∈ Rn×n , A được gọi là chéo trội hàng nếu
|aii | > ∑ |ai j |, 1 ≤ i ≤ n.
j=i

Ma trận A được gọi là chéo trội cột nếu AT là chéo trội hàng.
Mệnh đề 2.2. Giả sử A ∈ Rn×n là chéo trội hàng và đặt
α = min(|aii | − ∑ ai j ).
i

j=i

Khi đó, A khả nghịch và
A−1

≤
∞

1
.
α

(2.1)

Chứng minh. Trước tiên, ta chỉ ra A khả nghịch bằng phản chứng. Thật vậy, nếu
A không khả nghịch tồn tại u ∈ Rn sao cho Au = 0. Giả sử ui là thành phần có giá
14


trị tuyệt đối lớn nhất. Ta ln có thể giả sử ui > 0 (vì nếu khơng, ta thay u bằng
−u). Khi đó, xét hàng i của tích Au, ta có
n

∑ ai j u j = 0,

j=1

aii ui = − ∑ ai j u j ,
j=i

uj
ai j .
u
i
j=i

aii = − ∑
Lấy trị tuyệt đối hai vế
|aii | ≤ ∑ |
j=i

uj
ai j | ≤ ∑ ai j .
ui
j=i

Điều này mâu thuẫn với giả thiết chéo trội hàng.
Tiếp theo ta chứng minh bất đẳng thức (2.1). Theo định nghĩa,
A−1

= sup
∞
x=0

A−1 x
x ∞

∞

= sup
y=0

y ∞
,
Ay ∞

hay
A−1

−1
∞

=

Ay ∞
1
.
= infy=0
y ∞
y ∞
sup
y=0 Ay ∞

Từ (2.2), để chứng minh (2.1) ta chỉ cần chỉ ra với mọi y, α y
vectơ y bất kỳ, giả sử y

∞

(2.2)

∞

= |yk |. Khi đó,
0 < α ≤ |akk | − ∑ |ak j |.
j=k

Nhân cả hai vế với |yk |,
0 < α|yk | ≤ |akk yk | − ∑ |ak j ||yk |
j=k

≤ |akk yk | − ∑ |ak j ||y j |
j=k

≤ |akk yk | − | ∑ ak j y j |
j=k

≤ | ∑ ak j y j | ≤ max | ∑ |ak j x j | = Ax
k

j

15

j

∞.

≤ Ay

∞.

Lấy


Kết quả trên được phát biểu cho ma trận chéo cột như sau.
Hệ quả 2.3. Giả sử A là ma trận chéo trội cột và
β = min(|akk | − ∑ |a jk |).
k

j=k

Khi đó,
A−1

1

≤

1
.
β

Mệnh đề 2.4. Với A là ma trận bất kỳ, ta ln có
2
2

A

≤ A

1

A

∞.

Chứng minh. Chứng minh này được tham khảo từ tài liệu [2]. Trước tiên, ta chỉ
ra khẳng định sau là đúng: cho A ∈ Rm×n bất kỳ. Khi đó, tồn tại z ∈ Rn , z

2

=1

sao cho,
AT Az = A

2
2 z.

Thật vậy, theo định nghĩa chuẩn, tồn tại z ∈ Rn , z
Az

2

= A

(2.3)
2

= 1 sao cho,

2.

(2.4)

Đặt
f (x) =

1 Ax 22 1 xT AT Ax
.
=
2 x 22
2 xT x

Dễ thấy khi đó z là một điểm cực đại của hàm f (x). Từ định lý về điều kiện cần,
ta suy ra
∇ f (z) = 0.

(2.5)

Bằng tính tốn cụ thể, ta thu được
n

∂ f (z)
=
∂ zi

zT z ∑ ((AT A)i j z j − (zT AT Az)z j )
j=1

(zT z)2

.

(2.6)

Điều kiện (2.5) cho (2.6) được viết gọn lại dưới dạng ma trận,
AT Az = (zT AT Az)z.
Đẳng thức (2.3) được suy ra từ (2.4) và (2.7).
16

(2.7)


Bây giờ, ta chứng minh Mệnh đề 2.4. Từ (2.3),
A

2
2

z

1

=

A

2

2 z1

1

= AT Az

1

≤ AT

A

= A

1
∞

A

z

1
1

z

1
1,

hay

A

2
2

≤ A

A

∞

1.

Định lý 2.5. Nếu A là ma trận vuông chéo trội hàng và chéo trội cột, thì
σn (A) >

αβ .

Chứng minh. Từ Mệnh đề 2.2, Hệ quả 2.3 và Mệnh đề 2.4 ta có
1
2
A−1 2 ≤ A−1 1 A−1 ∞ <
.
αβ
Từ đó,
A−1

−1
2

= σn (A) >

αβ .

(2.8)

Định lý được suy ra từ bất đẳng thức (2.8) và Định lý 1.18.
Ví dụ 2.6. Xét ma trận A ∈ R10×10 ,


70
2

3

4


1
A=
0

−1

−3

−2
−4

−2

−85
−4
−3
3
−3
2
2
4
−5

−6
8
68
−1
−5
−2
4
−5
3
3

1
6
2
65
7
4
−3
−1
−7

12

4
2
−2
4
6
−4 3
2
0
3
−2 1
4
−3 3
3 −2
6
−2 −1
73
2
5
7 −3
8 −55 4
−6 −2
2
6 −96 12 −4
0
2
8 −64 −4
4 −9
2

−8 63
10
6
9
−4 −9


7
−5

2

4


2
.
5

−3

6

13 
86

Dễ dàng nhận thấy ma trận A là ma trận chéo trội hàng và chéo trội cột. Khi đó,
bằng việc sử dụng phần mềm MATLAB ta tính được các giá trị α = 11, β =
18, σ10 (A) và lắp vào biểu thức của Định lý 2.5 ta có giá trị kỳ dị nhỏ nhất của
ma trận A là

σ10 (A) = 51, 6404 >

αβ =
17

√
11 × 18 ≈ 14, 0712.


Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu các kết quả phát biểu ở trên có thể
mở rộng ra ma trận khối. Phần trình bày dưới đây sẽ đưa ra câu trả lời khẳng
định.
Định nghĩa 2.7. Cho ma trận A ở dạng khối, A = (Ai j ) trong đó các khối Aii đều
là các ma trận vng và khả nghịch. Khi đó, A được gọi là chéo trội khối hàng
(block diagonally dominant by rows) nếu
A−1
ii

−1
∞

> ∑ Ai j

∞

.

j=i

Mệnh đề 2.8. Giả sử A là ma trận chéo trội khối hàng. Đặt,

α = min( A−1
ii
i

−1
−
∞

∑

Ai j

∞

).

j=i

Khi đó,
A−1

∞

≤

1
.
α

Chứng minh. Lặp lại chứng minh của Mệnh đề 2.2 trong đó ta thay |ai j | bởi

Ai j

∞

và |aii | bởi A−1
ii

−1
∞

và chú ý
Aii−1

−1
∞

Aii y ∞
.
y ∞

= inf

Định lý 2.9. Giả sử A thỏa mãn các giả thiết của Mệnh đề 2.8 và thêm vào đó, A
là ma trận chéo trội khối cột (block diagonally dominant by columns). Đặt
β = min( A−1
ii
i

−1
−

∞

∑

Ai j

∞

).

j=i

Khi đó,
σn (A) ≥

αβ .

Chứng minh. Chứng minh tương tự như Định lý 2.5 trong đó có sử dụng Mệnh
đề 2.4 và Mệnh đề 2.8.

18


2.2

Cận dưới cho giá trị kỳ dị của H - ma trận
Trong mục này, chúng tơi sẽ trình bày một số kết quả liên quan đến lớp H -

ma trận. Nguyên liệu cho phần trình bày này được tham khảo từ [7]. Trước tiên
ta nhắc lại một vài ký hiệu sẽ được dùng đến trong mục này.

• N = {1, 2, · · · , n}, n ≥ 2.
• Ni = N \ {i}, i = 1, 2, · · · , n.
• Rn+ = {v = (v1 , v2 , · · · , vn ), vi ≥ 0, ∀i = 1, · · · , n}.
◦n

• R+ = intRn+ = {v = (v1 , v2 , · · · , vn ), vi > 0, ∀i = 1, · · · , n}.
◦n

Ta có thể viết v > 0 thay vì viết v ∈ R+ .
Định nghĩa 2.10. Cho A ∈ Rn×n , ta định nghĩa ma trận M (A) = (αi j ) ∈ Rn×n
với,
αii = |aii |, αi j = −|ai j |, i = j, i, j ∈ N.
◦n

Tập UA ⊂ R+ được định nghĩa như sau
UA = {u > 0, M (A)u > 0 và u

∞

= 1}.

Chú ý 1. Tập UA định nghĩa ở trên có thể là tập rỗng.
Định nghĩa 2.11. Ma trận A ∈ Rn×n được gọi là một M−ma trận khơng suy biến
nếu nó khơng suy biến và mọi phần tử của A−1 là không âm. A được gọi là H ma trận không suy biến nếu, M (A) là một M - ma trận không suy biến.
Các khái niệm trong các Định nghĩa 2.10 và Định nghĩa 2.11 liên hệ với
nhau qua định lý sau đây.
Định lý 2.12. Với A ∈ Rn×n là ma trận bất kỳ thì ba phát biểu sau là tương đương,
i) A là một H- ma trận không suy biến.
ii) M (A) là một M- ma trận không suy biến.

iii) UA là khác rỗng.
19


Bây giờ, ta giả sử A là một H- ma trận khơng suy biến, theo Định lý 2.12 thì
đại lượng
fA (u) = min{(M (A)u)i } > 0, ∀u ∈ UA .
i∈N

(2.9)

Dễ thấy rằng hàm fA (.) là hàm liên tục đối với biến u trên UA và tính liên tục
này có thể mở rộng lên bao đóng của U A . Tuy nhiên, trên biên ∂UA thì fA đồng
nhất khơng. Do đó, giá trị lớn nhất của fA (.) đạt được tại một phần tử u nào đó
của UA và do vậy
ˆ uˆ ∈ UA .
0 < max{ fA (u) : u ∈ U A } = fA (u),
Giá trị đó được tìm thấy trong bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.13. Cho A ∈ Rn×n là một H− ma trận khơng suy biến. Khi đó
A−1

≤
∞

1
.
max{ fA (u) : u ∈ U A }

(2.10)

Chứng minh. Với bất kỳ u ∈ UA , ta suy ra
|aii | ui − ∑ ai j u j > 0, i ∈ N.

(2.11)

j=i

Gọi D là ma trận chéo có các phần tử chéo là u1 , u2 , · · · , un . Từ (2.11) ma trận AD
là ma trận chéo trội. Áp dụng Mệnh đề 2.2 ta suy ra
(AD)−1

∞

≤

1
,
αAD

trong đó, αAD là đại lượng được định nghĩa như ở Mệnh đề 2.2 nhưng áp dụng
cho ma trận AD. Khơng khó để nhận ra đó chính là fA (u). Tức là
(AD)−1

∞

≤

1
.
fA (u)

(2.12)

Tiếp theo ta ký hiệu A−1 = (ci j ). Khi đó,
(AD)−1 = D−1 A−1 =

ci j
ui

.

Vì thế
(AD)−1

= D−1 A−1
∞
20

= max{ ∑
∞
i∈N

j∈N

ci j
}.
ui


Nhưng ta lại có,

max{ ∑
i∈N

j∈N

ci j
}≥
ui

max{ ∑ ci j }
i∈N

j∈N

=

max{u j }
j∈N

A−1 ∞
= A−1
max{u j }

∞

.

(2.13)

j∈N

Kết hợp (2.12) và (2.13) ta thu được,
A−1

∞

≤

1
, ∀u ∈ UA .
fA (u)

và điều này suy ra khẳng định của Bổ đề 2.13.
Nhận xét 2.14. Giả sử A là ma trận chéo trội, ta suy ra nó là một H - ma trận
khơng suy biến. Chọn u = [1, 1, · · · , 1] ∈ UA . Khi đó, Mệnh đề 2.2 được suy ra từ
Bổ đề 2.13.
Để thu được kết quả tốt hơn, ta quan sát thấy rằng Bổ đề 2.13 vẫn đúng nếu
thay ma trận A bởi một ma trận bất kỳ B = (bi j ) sao cho |bi j | = |ai j |, ∀i, j. Để
trình bày ta ký hiệu,
ΩA = {B = (bi j ) : bi j = ai j , i, j ∈ N}.
Nhận định trên được viết dưới dạng,
B−1

≤
∞

1
, ∀B ∈ ΩA ,
max{ fA (u) : u ∈ U A }

và từ đó ta thu được bất đẳng thức mở rộng của Bổ đề 2.13.
sup{ B−1

∞

: B ∈ ΩA } ≤

1
.
max{ fA (u) : u ∈ U A }

(2.14)

Một câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên là liệu đẳng thức trong (2.9) có thể
xảy ra. Ta sẽ có câu trả lời trong mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 2.15. Cho A ∈ Rn×n là một H - ma trận suy biến. Khi đó,
sup{ B−1

∞

: B ∈ ΩA } = [M (A)]−1

∞

=

1
.
max{ fA (u) : u ∈ U A }

Chứng minh. Theo Định lý 2.12 thì M (A) là một M−ma trận khơng suy biến.
Đặt ζ := [1, 1, . . . , 1]T , ta định nghĩa
[M (A)]−1 ζ
.
uˆ =
[M (A)]−1 ζ ∞
21