Lời giải số của phương trình chuyển động khi phân tích động kết cấu khung ngang nhà công nghiệp một tầng bằng bê tông cốt thép (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PTNT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI

TRẦN XUÂN ĐỊNH

LỜI GIẢI SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
KHI PHÂN TÍCH ĐỘNG KẾT CẤU KHUNG NGANG
NHÀ CÔNG NGHIỆP MỘT TẦNG BẰNG BÊ TÔNG CỐT THÉP

LUẬN VĂN THẠC SĨ

HÀ NỘI, NĂM 2018


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ NÔNG NGHIỆP VÀ PTNT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦY LỢI

TRẦN XUÂN ĐỊNH

LỜI GIẢI SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG
KHI PHÂN TÍCH ĐỘNG KẾT CẤU KHUNG NGANG
NHÀ CÔNG NGHIỆP MỘT TẦNG BẰNG BÊ TÔNG CỐT THÉP

Chuyên ngành:

Kỹ thuật xây dựng cơng trình DD&CN

Mã số:

60-58-02-08

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN ANH DŨNG

HÀ NỘI, NĂM 2018


LỜI CAM ĐOAN
Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của bản thân tác giả. Các kết quả
nghiên cứu và các kết luận trong Luận văn là trung thực, không sao chép từ bất kỳ một
nguồn nào và dưới bất kỳ hình thức nào. Việc tham khảo các nguồn tài liệu đã được
thực hiện trích dẫn và ghi nguồn tài liệu tham khảo đúng quy định.
Tác giả Luận văn

Trần Xuân Định

i


LỜI CÁM ƠN
Với lịng biết ơn sâu sắc của mình, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn:
TS. Nguyễn Anh Dũng đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi
giúp em hoàn thành luận văn và nâng năng lực nghiên cứu khoa học.
Em xin cảm ơn các thầy cô trong bộ môn xây dựng cơng trình DD&CN, các thầy cơ
giảng dạy tại trường Đại học Thủy Lợi đã giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và
nghiên cứu.

Trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài tôi luôn nhận được sự động viên của
bạn bè, đồng nghiệp và người thân trong gia đình. Tơi xin chân thành cảm ơn!

ii


MỤC LỤC
DANH MỤC HÌNH ẢNH ............................................................................................... v
DANH MỤC BẢNG BIỂU .......................................................................................... vii
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT ............................................................................. viii
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
1. Tính cấp thiết của đề tài........................................................................................... 1
2. Mục tiêu của đề tài ..................................................................................................1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ...........................................................................1
4. Nội dung nghiên cứu ............................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ......................................................................................... 2
CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG KẾT CẤU CƠNG TRÌNH .......3
1.1 Các kết cấu đơn giản ............................................................................................. 3
1.2 Hệ một bậc tự do ...................................................................................................7
1.3 Quan hệ lực - chuyển vị......................................................................................... 8
1.3.1 Hệ tuyến tính đàn hồi .....................................................................................8
1.3.2 Hệ không đàn hồi.......................................................................................... 10
1.4 Lực cản nhớt ........................................................................................................12
1.5 Phương trình chuyển động: Ngoại lực ................................................................ 14
1.5.1 Sự dụng Định luật II Newton .......................................................................14
1.5.2 Động lực cân bằng ........................................................................................ 15
1.5.3 Độ cứng, giảm chấn và các thành phần khối lượng .....................................15
1.6 Hệ khối lượng - lò xo - giảm chấn.......................................................................16
1.7 Phương trình chuyển động: Động đất tác dụng ...................................................17
CHƯƠNG 2 CƠ SỞ KHOA HỌC CỦA LỜI GIẢI SỐ KHI PHÂN TÍCH ĐỘNG ....20

2.1 Phương pháp bước thời gian................................................................................20
2.2 Phương pháp sai phân trung tâm .........................................................................21
2.3 Phương pháp Newmark ....................................................................................... 25
2.3.1 Phương trình cơ bản ..................................................................................... 25
2.3.2 Trường hợp đặc biệt ..................................................................................... 25
2.3.3 Cơng thức khơng vịng lặp ...........................................................................26

iii


2.4 Sự ổn định và lỗi tính tốn .................................................................................. 30
2.4.1 Sự ổn định .................................................................................................... 30
2.4.2 Lỗi tính tốn ................................................................................................. 30
2.5 Phân tích phản ứng phi tuyến: Phương pháp sai phân trung tâm ........................ 33
2.6 Phân tích phản ứng phi tuyến: Phương pháp Newmark ...................................... 34
CHƯƠNG 3 PHẢN ỨNG ĐỘNG CỦA HỆ KẾT CẤU KHUNG NGANG NHÀ
CÔNG NGHIỆP MỘT TẦNG BẰNG BÊ TƠNG CỐT THÉP ................................... 41
3.1 Xây dựng bài tốn chuyển động cho khung ngang nhà công nghiệp một tầng
bằng bê tông cốt thép ................................................................................................ 41
3.2 Lời giải theo phương pháp sai phân trung tâm ................................................... 44
3.3 Lời giải theo phương pháp Newmark ................................................................. 54
3.4 Phân tích, so sánh kết quả tính tốn sử dụng hai phương pháp .......................... 64
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................................................... 68
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................. 69

iv


DANH MỤC HÌNH ẢNH
Hình 1.1 Giàn che tại Macuto-Sheraton gần Caracas, Venezuela đã bị phá huỷ bởi

động đất ngày 29/7/1967 [1]............................................................................................ 3
Hình 1.2 Bể chứa nước bằng bê tơng cốt thép ở độ cao 40ft trên cột đơn bê tông gần
sân bay Valdivia [1].........................................................................................................4
Hình 1.3 Các hệ lý tưởng hóa .......................................................................................... 5
Hình 1.4 Mơ hình và kết quả dao động tự do của mơ hình khung nhơm và mơ hình
khung kính nhựa dẻo [1] ..................................................................................................6
Hình 1.5 Hệ một bậc tự do .............................................................................................. 7
Hình 1.6 Quan hệ lực - chuyển vị ....................................................................................8
Hình 1.7 Hệ tuyến tính đàn hồi ....................................................................................... 9
Hình 1.8 Sự thay đổi độ cứng bên, k, với tỷ lệ độ cứng dầm - cột, ρ............................ 10
Hình 1.9 Quan hệ lực - chuyển vị của một cấu kiện kết cấu thép [1] ........................... 11
Hình 1.10 Mơ hình phịng thí nghiệm ...........................................................................12
Hình 1.11 Khung một tầng lý tưởng hố ngoại lực tác động ........................................14
Hình 1.12 Hệ khung một tầng ....................................................................................... 15
Hình 1.13 Hệ khối lượng - lò xo - giảm chấn................................................................ 17
Hình 1.14 Hệ một tầng lý tưởng bị kích thích động đất và sơ đồ lực tác dụng.............17
Hình 1.15 Lực động đất hiệu quả: chuyển động ngang của mặt đất ............................. 19
Hình 1.16 Lực hiệu quả của động đất: Chuyển động quay của mặt đất ........................ 19
Hình 2.1 Ký hiệu cho phương pháp bước thời gian ...................................................... 21
Hình 2.2 Kết quả giải bài toán bằng bốn phương pháp số và theo lý thuyết ................31
Hình 2.3 Sự phân tán AD và chu kỳ kéo dài PE ........................................................... 32
Hình 2.4 Độ cứng cát tuyến và độ cứng tiếp tuyến ....................................................... 34
Hình 2.5 Quan hệ lực - biến dạng ..................................................................................36
Hình 2.6 Biểu đồ lặp trong một bước thời gian cho các hệ phi tuyến ........................... 37
Hình 3.1 Mặt bằng kết cấu và khung điển hình............................................................. 41
Hình 3.4 Lý tưởng hố khung ngang chịu tác động của động đất.................................42
Hình 3.2 Gia tốc nền động đất loại I trong tiêu chuẩn thiết kế JRA của Nhật Bản ......43
Hình 3.3 Gia tốc nền động đất loại II trong tiêu chuẩn thiết kế JRA của Nhật Bản .....44
Hình 3.5 Sơ đồ tóm tắt các bước giải dựa trên phương pháp sai phân trung tâm .........45

v


Hình 3.6 Biểu đồ lịch sử chuyển vị tính tốn với gia tốc nền động đất loại I theo
phương pháp sai phân trung tâm ................................................................................... 48
Hình 3.7 Biểu đồ vận tốc tính tốn với gia tốc nền động đất loại I theo phương pháp
sai phân trung tâm ......................................................................................................... 49
Hình 3.8 Biểu đồ gia tốc tính tốn với gia tốc nền động đất loại I theo phương pháp sai
phân trung tâm ............................................................................................................... 49
Hình 3.9 Biểu đồ lịch sử chuyển vị tính toán với gia tốc nền động đất loại II theo
phương pháp sai phân trung tâm ................................................................................... 52
Hình 3.10 Biểu đồ vận tốc tính tốn với gia tốc nền động đất loại II theo phương pháp
sai phân trung tâm ......................................................................................................... 53
Hình 3.11 Biểu đồ gia tốc tính tốn với gia tốc nền động đất loại II theo phương pháp
sai phân trung tâm ......................................................................................................... 53
Hình 3.12 Sơ đồ tóm tắt các bước giải dựa trên phương pháp NewMark .................... 55
Hình 3.13 Đồ thị lịch sử chuyển vị tính tốn với gia tốc nền động đất loại I theo
phương pháp Newmark ................................................................................................. 58
Hình 3.14 Đồ thị vận tốc tính tốn với gia tốc nền động đất loại I theo phương pháp
Newmark ....................................................................................................................... 58
Hình 3.15 Đồ thị gia tốc tính tốn với gia tốc nền động đất loại I theo phương pháp
Newmark ....................................................................................................................... 59
Hình 3.16 Đồ thị lịch sử chuyển vị tính tốn với gia tốc nền động đất loại II theo
phương pháp Newmark ................................................................................................. 62
Hình 3.17 Đồ thị vận tốc tính tốn với gia tốc nền động đất loại II theo phương pháp
Newmark ....................................................................................................................... 63
Hình 3.18 Đồ thị gia tốc tính tốn với gia tốc nền động đất loại II theo phương pháp
Newmark ....................................................................................................................... 63
Hình 3.19 Sự sai khác của chuyển vị với gia tốc nền loại I .......................................... 64
Hình 3.20 Sự sai khác của vận tốc với gia tốc nền loại I .............................................. 65

Hình 3.21 Sự sai khác của gia tốc với gia tốc nền loại I ............................................... 65
Hình 3.22 Sự sai khác của chuyển vị với gia tốc nền loại II ......................................... 66
Hình 3.23 Sự sai khác của vận tốc với gia tốc nền loại II ............................................. 66
Hình 3.24 Sự sai khác của gia tốc với gia tốc nền loại II.............................................. 67

vi


DANH MỤC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1 Phương pháp sai phân trung tâm ....................................................................24
Bảng 2.2 Phương pháp gia tốc trung bình và gia tốc tuyến tính ...................................26
Bảng 2.3 Phương pháp NewMark: Hệ tuyến tính ......................................................... 29
Bảng 2.4 Vịng lặp Newton - Raphson cải tiến ............................................................. 38
Bảng 2.5 Phương pháp Newmark: Hệ phi tuyến ........................................................... 39
Bảng 3.1 Tóm tắt kết quả tính tốn với gia tốc nền động đất loại I theo phương pháp
sai phân trung tâm..........................................................................................................46
Bảng 3.2 Tóm tắt kết quả tính toán với gia tốc nền động đất loại II theo phương pháp
sai phân trung tâm..........................................................................................................51
Bảng 3.3 Tóm tắt kết quả tính tốn với gia tốc nền động đất loại I theo phương pháp
Newmark ....................................................................................................................... 56
Bảng 3.4 Tóm tắt kết quả tính tốn với gia tốc nền động đất loại II theo phương pháp
Newmark ....................................................................................................................... 60

vii


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
BTCT

Bê tông cốt thép

c

Hệ số cản nhớt

DOFs

Số bậc tự do để phân tích động

E

Mơđun đàn hồi

I

Mơmen qn tính

(ki)sec

Độ cứng cát tuyến

(ki)T

Độ cứng tiếp tuyến

SDF

Hệ một bậc tự do

viii

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong lịch sử tồn tại và phát triển, nhân loại phải đối đầu với các tai hoạ thiên nhiên
như lũ lụt, hạn hán, bão tố, động đất, núi lửa, sóng thần. Trong đó, động đất là một
hiện tượng thiên nhiên gây ra những thảm hoạ kinh khủng nhất cho con người và các
công trình xây dựng. Để bảo vệ sinh mạng của mình và các tài sản vật chất xã hội, con
người đã có rất nhiều nỗ lực trong việc nghiên cứu phịng chống động đất. Tuy đã có
những bước ngoặt rất ngoạn mục trong lĩnh vực này nhưng cho đến nay con người vẫn
không ngăn được những thảm hoạ do động đất gây ra. Các trận động đất xảy ra trong
những năm gần đây nhất tại Nhật Bản (1995), Thổ Nhĩ Kỳ (1999), Hy Lạp (1999), Đài
Loan (1999), Ấn Độ (2001), Apganistan (2002), Iran (2004), Inđônêsia (2004), Haiti
(2010), Chile (2010), Trung Quốc (2010), Inđơnêsia (2010) đã chứng minh điều đó.
Với trình độ khoa học - công nghệ hiện nay, con người chưa có khả năng dự báo một
cách chính xác động đất sẽ xảy ra lúc nào, ở đâu, con người chưa có biện pháp phịng
chống động đất chủ động như phịng chống bão hay lũ lụt. Trong hồn cảnh đó con
người ngoài việc phải nghiên cứu các phương pháp nhằm hoàn thiện hơn nữa khả năng
dự báo về động đất, chúng ta cũng phải tiếp tục nghiên cứu các phương pháp tính tốn
xây dựng các kết cấu cơng trình chịu tác động của động đất.
Trên thế giới và Việt Nam có nhiều nghiên cứu và phương pháp tính kết cấu chịu động
đất khác nhau. Nhưng tính tốn động đất ln là vấn đề phức tạp, vì vậy việc nghiên
cứu các phương pháp tính tốn và trên cơ sở đó rút ra các kết luận, đánh giá ln ln
có ý nghĩa thực tế nhằm phục vụ cho công tác thiết kế công trình.
2. Mục tiêu của đề tài
Tìm phản ứng động của kết cấu khung ngang nhà công nghiệp một tầng bằng bê tông
cốt thép theo phương pháp số.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Ứng xử của khung ngang nhà công nghiệp một tầng bằng bê tông cốt thép khi chịu tác
động của động đất.

1


4. Nội dung nghiên cứu
- Nghiên cứu về phân tích động kết cấu cơng trình.
- Nghiên cứu lời giải số của phản ứng động.
- Nghiên cứu phản ứng động của khung ngang nhà công nghiệp một bằng bằng bê tông
cốt thép khi chịu tác động của động đất.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Thu thập thông tin: thu thập từ các tài liệu, đề tài, dự án liên quan đến phân tích động
kết cấu cơng trình.
- Phương pháp phân tích, tổng hợp.

2


CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG KẾT CẤU CƠNG
TRÌNH
1.1 Các kết cấu đơn giản
Chúng ta bắt đầu nghiên cứu về động lực cơng trình với các kết cấu đơn giản như giàn
che ở Hình 1.1 và bể chứa nước trên cao ở Hình 1.2. Trong thực tế chúng ta phải quan
tâm đến sự rung động của các kết cấu này khi phải chịu lực ngang ở chuyển động trên
mặt đất hoặc chịu lực ngang gây ra do một trận động đất. Hệ gọi là kết cấu đơn giản vì
chúng có thể lý tưởng hóa như một khối lượng tập trung hoặc một khối lượng m được
chống đỡ bởi một kết cấu khơng khối lượng có độ cứng k theo phương ngang. Sự lý
tưởng hóa như vậy phù hợp với giàn che này với một mái bê tông nặng được chống đỡ
bởi các cột ống thép nhẹ, có thể được coi là khơng có khối lượng. Mái bê tơng rất cứng
và tính linh hoạt của kết cấu trong chuyển vị ngang được cung cấp hoàn toàn từ cột.
Hệ thống lý tưởng được thể hiện trong Hình 1.3a với một cặp cột chống đỡ độ dài

nhánh của mái bê tông. Hệ thống này có khối lượng m bằng khối lượng của mái và độ
cứng k của nó là tổng độ cứng của các cột ống riêng lẻ.

Hình 1.1 Giàn che tại Macuto-Sheraton gần Caracas, Venezuela đã bị phá huỷ bởi
động đất ngày 29/7/1967 [1]

3


Hình 1.2 Bể chứa nước bằng bê tơng cốt thép ở độ cao 40ft trên cột đơn bê tông gần
sân bay Valdivia [1]
Sự lý tưởng hoá tương tự, thể hiện trong Hình 1.3b, phù hợp với bể chứa khi nó đầy
nước. Với việc xả nước không thể thực hiện được trong bể chứa đầy, nó là một khối
nặng m được chống đỡ bởi một tháp tương đối có thể dược giả định là khơng có khối
lượng. Tháp cơngsơn chống đỡ bể nước cung cấp độ cứng k cho kết cấu. Trong thời
điểm này, chúng ta sẽ giả định rằng chuyển động ngang của kết cấu này là nhỏ theo
nghĩa các kết cấu đỡ bị biến dạng trong giới hạn co giãn tuyến tính của chúng.
Trong chương này chúng ta sẽ xét phương trình vi phân điều khiển sự dịch chuyển
ngang u(t) của các kết cấu lý tưởng mà khơng có lực kích thích bên ngồi hoặc chuyển
động của đất là:
4


mü + ku = 0

(1.1)

Kết quả của phương trình này chỉ ra rằng nếu khối lượng của các hệ lý tưởng hố của
Hình 1.3 được đặt qua một số chuyển vị ban đầu u(0), sau đó được giải phóng và cho
phép chuyển động tự do hoặc chuyển động về phía trước và về trạng thái cân bằng

ban đầu. Như trong Hình 1.3c, sự dịch chuyển tối đa tương tự xảy ra dao động sau
dao động; những dao động này tiếp tục mãi mãi và những hệ thống lý tưởng này sẽ
không bao giờ dừng lại. Tất nhiên điều này không thực tế. Trực giác cho thấy rằng
nếu mái của Giàn che hoặc trên cùng của bể nước được kéo bằng một sợi dây thừng
và dây thừng bị cắt đột ngột, kết cấu sẽ dao động với biên độ luôn luôn giảm và cuối
cùng sẽ dừng lại.

(a) Lý tưởng hoá giàn che; (b) Lý tưởng hoá bể chứa nước; (c) Dao động tự do do
chuyển vị ban đầu
Hình 1.3 Các hệ lý tưởng hóa
Các thí nghiệm như vậy đã được thực hiện trên các mơ hình phịng thí nghiệm của
các khung một nhịp và kết quả đo được về phản ứng động tự do của chúng được
trình bày trong Hình 1.4. Theo kỳ vọng, sự chuyển động của các mơ hình kết cấu này
sẽ dừng lại theo thời gian, đối với mơ hình kính nhựa dẻo sự dừng lại nhanh hơn so
với khung nhôm.

5


(a)

(a) Hình ảnh của mơ hình khung nhơm và kính nhựa dẻo được đặt trên một bàn rung
nhỏ sử dụng để trình diễn trong lớp học tại đại học Califorlia tại Berkeley; (b) Kết quả
dao động tự do của mô hình khung nhơm; (c) Kết quả dao động tự do của mơ hình
khung kính nhựa dẻo
Hình 1.4 Mơ hình và kết quả dao động tự do của mơ hình khung nhơm và mơ hình
khung kính nhựa dẻo [1]
Q trình làm rung động ổn định theo biên độ được gọi là giảm chấn. Trong giảm chấn
động năng và năng lượng biến dạng của hệ thống rung động được tiêu tan bởi các cơ
chế khác nhau mà chúng ta sẽ đề cập đến sau đây. Chúng ta có thể nhận ra rằng một cơ

6


chế hấp thụ năng lượng nên được bao gồm sự sự lý tưởng hóa kết cấu để diễn tả được
đặc tính chuyển động trễ quan sát được trong các thí nghiệm dao động tự do của một
kết cấu. Các yếu tố giảm chấn được sử dụng phổ biến nhất là bộ giảm chấn nhớt, một
phần bởi vì nó là đơn giản nhất để xử lý về mặt toán học.
1.2 Hệ một bậc tự do
Hệ khảo sát được thể hiện qua sơ đồ Hình 1.5. Hệ bao gồm một khối lượng tập trung ở
mức mái, một khung khơng khối lượng có độ cứng, và một bộ giảm chấn làm tiêu hao
năng lượng rung của hệ. Các dầm và cột được giả định là khơng có biến dạng dọc trục.
Hệ này có thể được coi là một sự lý tưởng hoá kết cấu nhà một tầng. Mỗi thành phần
kết cấu (dầm, cột, tường,...) của cơng trình thực sẽ góp phần vào qn tính (khối
lượng), đàn hồi (độ cứng hoặc tính dẻo), và sự tiêu hao năng lượng (giảm chấn) của
kết cấu. Trong hệ lý tưởng hóa này có ba thành phần riêng biệt: thành phần khối
lượng, thành phần độ cứng, và thành phần giảm chấn.

(a) lực tác dụng p(t); (b) chuyển động do dộng đất
Hình 1.5 Hệ một bậc tự do
Số lượng chuyển vị độc lập cần thiết để xác định các vị trí dịch chuyển của tất cả các
điểm khối khối lượng của hệ liên quan đến vị trí ban đầu được gọi là số bậc tự do để
phân tích động (DOFs). Các bậc tự do thông thường cần thiết để xác định tính chất về
độ cứng của kết cấu so với bậc tự do cần thiết để phân tích động. Xét khung một tầng
của Hình 1.5, bị hạn chế chỉ di chuyển theo hướng lực tác dụng. Các vấn đề phân tích
tĩnh phải được xây dựng với ba bậc tự do - chuyển vị thẳng và hai chuyển vị xoay tại nút
để xác định độ cứng bên của khung. Ngược lại, kết cấu chỉ có một bậc tự do - sự dịch
chuyển bên để phân tích động nếu nó được lý tưởng hoá với khối lượng tập trung ở một
vị trí, điển hình ở cao độ mái. Do đó, chúng ta gọi đây là hệ một bậc tự do (SDF).

7


Hai loại động lực tác dụng sẽ được xét tới: (1) ngoại lực p(t) theo phương ngang (Hình
1.5a), và (2) chuyển động của đất do động đất ug(t) (Hình 1.5b). Trong cả hai trường
hợp, u biểu thị sự dịch chuyển tương đối giữa khối lượng và chân cơng trình.
1.3 Quan hệ lực - chuyển vị
Xét hệ như trong Hình 1.6a không chịu lực động tác dụng chỉ chịu áp lực tĩnh được tác
động bên ngoài fs dọc theo bậc tự do u như trên hình. Các nội lực chống lại sự dịch
chuyển u bằng nhau và ngược với ngoại lực fs (Hình 1.6b). Để xác định mối quan hệ
giữa lực fs và chuyển vị tương đối u phụ thuộc vào biến dạng của hệ kết cấu. Mối quan
hệ giữa lực - chuyển vị này có thể là tuyến tính ở các biến dạng nhỏ nhưng sẽ trở nên
phi tuyến khi biến dạng lớn; hai mối quan hệ tuyến tính và phi tuyến được thể hiện
trên Hình 1.6c và 1.6d.

Hình 1.6 Quan hệ lực - chuyển vị
1.3.1 Hệ tuyến tính đàn hồi
Đối với một hệ tuyến tính mối quan hệ giữa lực fs và biến dạng u là tuyến tính, có
nghĩa là:
fs = ku
8

(1.2)


Trong đó: k là độ cứng ngang của hệ, đơn vị của nó là lực/chiều dài. Ngầm giả thiết
trong phương trình 1.2 là mối quan hệ tuyến tính xác định cho các biến dạng nhỏ của
kết cấu cũng có giá trị tương đối với các biến dạng lớn hơn. Bởi vì lực cản là một hàm
có giá trị của u, hệ này có tính đàn hồi; do đó chúng ta sử dụng thuật ngữ tuyến tính
đàn hồi.

Xét khung như Hình 1.7a với chiều dài nhịp L, chiều cao h, môđun đàn hồi E, và
mơment qn tính của mặt cắt ngang đối với trục uốn bằng Ib và Ic cho dầm và cột
tương ứng; Các cột được ngàm cố định tại chân cột. Độ cứng bên của khung có thể dễ
dàng xác định cho hai trường hợp nguy hiểm: Nếu dầm cứng (nghĩa là độ cứng uốn
cong EIb = ∞, Hình 1.7b).

k=

12EIc
EI
= 24 3c
3
h
h
cot



(1.3)

Mặt khác, đối với một dầm khơng có độ cứng (nghĩa là EI b = 0 , Hình 1.7c)

k=


cot

3EIc
EIc
=

6
h3
h3

(1.4)

Hình 1.7 Hệ tuyến tính đàn hồi
Quan sát thấy rằng hai giá trị nguy hiểm của độ cứng dầm, độ cứng bên của khung là
độc lập với L, chiều dài dầm.
Độ cứng bên của khung cùng độ cứng tổng thể, thực tế của dầm có thể được tính bằng
các phương pháp chuẩn về phân tích kết cấu tĩnh. Ma trận độ cứng của khung được
cấu thành đối với ba DOFs : chuyển vị bên u và góc xoay của hai mối nối cột dầm
(Hình 1.7a). Bằng cách cân bằng tĩnh hoặc loại bỏ bậc tự do góc xoay, mối quan hệ lực

9


- chuyển vị của phương trình 1.2 sẽ được xác định. Áp dụng phương pháp này vào một
khung với L = 2h và EIb = EIe. Độ cứng bên của nó đạt được:

k=

96 EIc
7 h3

(1.5)

Độ cứng bên của khung có thể được tính tương tự đối với bất kỳ giá trị Ib và Ie nào sử
dụng các hệ số độ cứng khung đã được nghiên cứu trong Phụ lục 1. Nếu các biến dạng
cắt trong các phần từ bị loại bỏ, kết quả có thể được viết dưới dạng:

k=

24EIc 12ρ+1
h 3 12ρ+4

Trong đó: ρ=h/4Ic là tỷ lệ độ cứng của dầm với cột. Đối với ρ = 0 , ∞ và

(1.6)

1
, phương
4

trình 1.6 trở về kết quả của các phương trình 1.3, 1.4, và 1.5 tương ứng. Độ cứng bên
được vẽ như một hàm của ρ trong Hình 1.8; nó được tăng theo cấp số nhân của 4 cũng
như ρ tăng từ 0 đến vơ cùng.

Hình 1.8 Sự thay đổi độ cứng bên, k, với tỷ lệ độ cứng dầm - cột, ρ
1.3.2 Hệ không đàn hồi
Mối quan hệ lực - biến dạng đối với các kết cấu điển hình bị biến dạng theo chu kỳ
được thể hiện trong Hình 1.9. Đường cong tải ban đầu là phi tuyến ở các biên độ biến
dạng lớn hơn, và các đường dỡ và tăng tải lại khác với đường tải ban đầu.

10


Hình 1.9 Quan hệ lực - chuyển vị của một cấu kiện kết cấu thép [1]
Điều này ngụ ý rằng lực fs tương ứng với biến dạng u không phải là một giá trị và phụ
thuộc vào lịch sử của các biến dạng và về việc liệu sự biến dạng đang tăng (vận tốc

dương) hoặc giảm (vận tốc âm). Như vậy, phản lực có thể biểu diễn như sau:
&
fs = fs(u,u)

(1.7)

Quan hệ lực - biến dạng của khung một tầng lý tưởng hố (Hình 1.6a) biến dạng trong
miền khơng đàn hồi có thể xác định bằng một trong hai cách. Một phương pháp tiếp
cận là sử dụng các phương pháp phân tích cấu trúc tĩnh phi tuyến. Ví dụ, trong việc
phân tích một kết cấu thép với một quy luật ứng suất biến dạng giả định; việc phân
tích theo dõi sự bắt đầu và sự lan rộng của ứng suất ở các vị trí quan trọng và sự hình
thành các khớp dẻo để đạt được đường cong tải ban đầu (o-a) thể hiện trọng Hình 6c.
Các đường tải (a-c) và tải lại (c-a) có thể được tính tốn tương tự hoặc có thể được
định nghĩa từ đường cong tải đầu tiên bằng các giả thuyết hiện tại. Một các tiếp cận
khác là xác định lực không đàn hồi - mối quan hệ của bề mặt như một phiên bản lý
tưởng của dữ liệu thực nghiệm, như trong Hình 1.9.
Chúng ta quan tâm đến nghiên cứu phản ứng động của các hệ khơng đàn hồi bởi vì
nhiều kết cấu được thiết kế với mong muốn rằng chúng sẽ chịu được nứt, ứng suất và
thiệt hại trong quá trình rung ắc mạnh do động đất gây ra.

11


1.4 Lực cản nhớt
Như đã đề cập ở trên, quá trình dao động tự do giảm dần theo biên độ được gọi là giảm
chấn. Trong giảm chấn, năng lượng của hệ rung lắc bị tiêu hao bởi các cơ chế khác
nhau, và thường có nhiều cơ chế có thể hiện diện cùng một lúc. Trong các hệ “sạch”
đơn giản như các mơ hình phịng thí nghiệm ở hình 1.4.1, hầu hết sự tiêu hao năng
lượng có thể xuất hiện từ ảnh hưởng nhiệt của sự lặp lại ứng suất đàn hồi của vật liệu
và từ ma sát trong khi một chất rắn bị biến dạng. Tuy nhiên, trong các kết cấu thực tế,

chúng bao gồm các ma sát kết nối thép, mở và đóng các vết nứt nhỏ trong bê tông, ma
sát giữa kết cấu và các yếu tố không kết cấu như các tường ngăn. Có vẻ như khơng thể
xác định hoặc mơ tả tốn học được từng cơ chế giải phóng năng lượng này trong một
tồ nhà thực tế.
Chính vì vậy sự giảm chấn trong các cơng trình thực tế thường được diễn giải theo
cách thức lý tưởng hố cao. Đối với nhiều mục đích, sự giảm chấn thực tế trong kết
cấu của hệ một bậc tự do động có thể được lý tưởng hố một cách thoả đáng bởi một
bộ chống rung nhớt hoặc bộ giảm chấn. Hệ số giảm chấn được lựa chọn sao cho năng
lương rung lắc tiêu hao tương đương với năng lượng đã được phân tán trong tất cả các
cơ chế giảm chấn, kết hợp, hiện tại nó là kết cấu thực tế. Sự lý tưởng hố này do đó
được gọi là lực cản nhớt tương đương.
Hình 1.10a cho thấy một bộ giảm chấn nhớt tuyến tính chịu lực dọc theo bậc tự do u.
Nội lực của bộ giảm chấn bằng nhau và ngược lại với ngoại lực tác dụng (Hình 1.10b).
Như thể hiện trong Hình 1.10c, lực giảm chấn liên quan đến vận tốc u xuyên qua bộ
giảm chấn nhớt tuyến tính bằng:

f D = cu&
Trong đó: c là hệ số cản nhớt; đơn vị: lực x thời gian/chiều dài.

Hình 1.10 Mơ hình phịng thí nghiệm
12

(1.8)


Không giống như độ cứng của kết cấu, hệ số cản nhớt khơng thể được tính từ kích
thước của kết cấu và kích thước của các phần tử kết cấu. Điều này khơng đáng ngạc
nhiên bởi vì, như chúng ta đã nói ở trên, khơng thể xác định được tất cả các cơ chế tiêu
tán năng lương rung lắc của các kết cấu thực tế. Do đó các thí nghiệm rung lắc trên kết
cấu thực tế cung cấp dữ liệu để đánh giá hệ số giảm chấn. Đây có thể là các thí nghiệm

rung lắc tự do dẫn đến các dữ liệu như được thể hiện trong Hình 1.10; tốc độ đo được
của chuyển động trễ trong dao động tự do sẽ là cơ sở để đánh giá hệ số cản nhớt. Tính
chất giảm chấn cũng có thể được xác định từ các thí nghiệm dao động bắt buộc.
Bộ giảm chấn nhớt tương đương được dùng để mô phỏng sự tiêu hao năng lượng ở các
biên độ sai lệch trong giới hạn co giãn tuyến tính của tồn bộ kết cấu. Trong phạm vi
biến dạng này, hệ số cản nhớt c được xác định từ các thí nghiệm có thể thay đổi theo
biên độ biến dạng. Tính khơng tuyến tính của bộ giảm chấn này thường không được
xét trong phân tích động. Nó có thể được xử lý gián tiếp bằng cách chọn một giá trị
cho hệ số cản nhớt phù hợp với biên độ biến dạng dự kiến, thường được coi là biến
dạng liên quan đến giới hạn đàn hồi tuyến tính của kết cấu.
Năng lượng bổ sung bị hấp thụ do ứng xử phi tuyến của kết cấu khi các biến dạng lớn
hơn. Dưới các lực tuần hoàn hoặc biến dạng, hành vi này bao hàm sự hình thành một
vịng lặp trễ giữa biến dạng và lực (Hình 1.6c). Năng lượng hấp thụ trong một chu kỳ
biến dạng giữa giới hạn biến dạng được tính bằng diện tích của vịng trịn trễ abcda
(Hình 1.6c). Sự hấp thụ năng lượng này thường không được mô phỏng bằng một bộ
giảm chấn nhớt, đặc biệt nếu sự kích thích là chuyển động của động đất. Thay vào đó,
cách tiếp cận phổ biến và trực tiếp nhất để giải thích sự tiêu hao năng lượng thơng qua
tính khơng đàn hồi là mối quan hệ không đàn hồi giữa lực cản và biến dạng, như trong
Hình 1.6c và 1.9, để giải phương trình chuyển động. Các mối quan hệ lực - biến dạng
như vậy thu được từ các thí nghiệm trên các kết cấu hoặc các kết cấu ở tốc độ biến
dạng chậm, do đó loại trừ bất kỳ sự tiêu hao năng lượng nào phát sinh từ các phản ứng
phụ thuộc tốc độ. Cách tiếp cận thơng thường là mơ hình sự hấp thụ này trong miền
phi tuyến của biến dạng bằng một phấn tử giống phần tử chống rung nhớt (viscous
damper), phần tử này đã được định nghĩa từ trước đó cho các biến dạng nhỏ hơn trong
miền đàn hồi tuyến tính.

13


1.5 Phương trình chuyển động: Ngoại lực

Hình 1.11a thể hiện khung một tầng được lý tưởng hố đã được trình bày ở phần trước,
tải trọng động p(t) được tác dụng bên ngoài theo hướng bậc tự do u. Ký hiệu này được
hiểu rằng lực p thay đổi theo thời gian t.

Hình 1.11 Khung một tầng lý tưởng hố ngoại lực tác động
Sự chuyển vị của khối lượng cũng thay đổi theo thời gian; nó được biểu diễn bằng u(t).
Trong các phần 1.5.1 và 1.5.2, chúng ta nhận được phương trình vi phân điều khiển sự
dịch chuyển u(t) bằng hai phương pháp: sử dụng định luật II NewTon (1) và sự cân bằng
động năng (2). Một quan điểm thay thế khác cũng sẽ được trình bày trong phần 1.5.3.
1.5.1 Sự dụng Định luật II Newton
Các lực tác động lên khối lượng tại một thời điểm nào đó được thể hiện trong Hình
1.11b. Chúng bao gồm ngoại lực p(t), lực đàn hồi (hoặc không đàn hồi) f s và lực giảm
& , và gia tốc ü(t)
chấn f D . Chiều dương của ngoại lực p(t) chuyển vị u(t), vận tốc u(t)

cùng chiều dương của trục x. Các lực đàn hồi và giảm chấn được thể hiện theo hướng
ngược lại vì chúng là nội lực chống lại sự biến dạng và vận tốc tương ứng.
Kết quả lực dọc theo trục x là p - fS - f D và định luật II Newton cho phương trình:

p - fS - f D = mü

(1.9)

mü + fS + f D = p(t)

(1.10)

Phương trình này sau khi thay thế phương trình (1.2) và (1.8) trở thành:
mü + cu&+ ku = p(t)

(1.11)

Đây là phương trình chuyển động điều chỉnh sự biến dạng hoặc chuyển vị u(t) của kết
cấu lý tưởng trong Hình 1.11a, được cho là tuyến tính đàn hồi, chịu ngoại lực động
p(t). Các đơn vị khối lượng là lực/gia tốc.
14


Kết quả này có thể dễ dàng được mở rộng đến các hệ khơng đàn hồi. Phương trình
(1.9) và (1.10) vẫn cịn hiệu lực và tất cả những gì cần làm là thay thế phương trình
(1.2), giới hạn cho các hệ tuyến tính, bằng phương trình (1.7), có giá trị đối với hệ
không đàn hồi. Đối với các hệ như vậy, phương trình chuyển động là:

& = p(t)
mü + cu&+ fS (u,u)

(1.12)

1.5.2 Động lực cân bằng
Theo kiến thức đã học về cân bằng lực, các kỹ sư có thể tìm thấy nguyên tắc
D’Alembert của động lực cân bằng. Nguyên tắc này dựa trên khái niệm lực quán tính
hư cấu, một lực tương đương với khối lượng tăng gấp nhiều lần và hoạt động theo
hướng ngược với gia tốc. Có thể cho rằng với lực quán tính xuất hiện, một hệ sẽ đạt
trạng thái cân bằng tại mỗi thời điểm tức thời. Do đó một sơ đồ của một khối lượng
dịch chuyển có thể rút ra, và các nguyên tắc tĩnh học có thể được sử dụng để phát triển
các phương trình chuyển động.
Hình 1.11c là sơ đồ tại thời điểm t với khối lượng được thay thế bằng lực quán tính
của nó, được thể hiện bằng một đường nét đứt để phân biệt lực “hư cấu” này với lực
thực. Thiết lập tổng của tất cả các lực bằng 0 cho phương trình (1.10), đã được tìm
thấy phần trước bằng cách sử dụng định luật II Newton.

1.5.3 Độ cứng, giảm chấn và các thành phần khối lượng
Trong phần này, phương trình cho khung một tầng được xây dựng dựa trên một quan
điểm khác. Dưới tác động của ngoại lực p(t) trạng thái của hệ được mô tả bằng chuyển
& và gia tốc ü(t) (Hình 1.12a).
vị u(t), vận tốc u(t)

(a) Hệ; (b) Thành phần độ cứng; (c) Thành phần giảm chấn; (d) Thành phần khối lượng
Hình 1.12 Hệ khung một tầng

15