Luận văn Thạc sĩ: Sư phạm Toán Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến Wigner

Mục lục

Mở đầu

iv

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

Một số không gian hàm

1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Không gian các hàm cơ bản . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Không gian các hàm suy rộng . . . . . . . . . . .

2

1.1.3

Không gian các hàm giảm nhanh . . . . . . . . .

3

1.1.4

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm . . . . .

4

1.1.5

Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Giải tích thời gian–tần số . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.1

Nguyên lý không chắc chắn . . . . . . . . . . . .

12

1.2.2

Ảnh phổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.3

Phân bố Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.2.4

Lớp phân bố Cohen . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

1.2.5

Phân bố τ -Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

2 Tính dương của biến đổi τ -Wigner
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

2.1

Đặt vấn đề

44

2.2

Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến đổi τ -Wigner 44

Kết luận

57

Tài liệu tham khảo

58
iii


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Biểu diễn thời gian tần số là một dạng toàn phương đặt tương ứng
mỗi dấu hiệu f xác định trên Rd một hàm suy rộng Qf (x, ω) xác định
trên mặt phẳng Rd × Rd . Qf (x, ω) biểu diễn phân bố của năng lượng
dấu hiệu đối với biến thời gian x và biến tần số ω và do đó chỉ ra những
tần số ω nào của dấu hiệu f được biểu diễn quanh thời điểm x. Thông
thường, Qf (x, ω) cần phải thỏa mãn một số tính chất:
- Tính dương: Qf (x, ω) ≥0 với mọi (x, ω) ∈ Rn
- Tính khơng giãn: Nếu suppf ⊂ I ⊂ Rd thì Πx Qf (x, ω) ⊂ I và tương
tự, suppf ⊂ J ⊂ Rd thì Πx Qf (x, ω) ⊂ J
Qf (x, ω)dx = f (ω)

- Tính chất lề:

Rd

2

Qf (x, ω)dx = |f (x)|2 .

và
Rd

Nguyên lý không chắc chắn đã chỉ ra rằng, các tính chất nêu trên là
khơng tương thích đối với một loại biểu diễn thời gian- tần số, nghĩa là
không thể có một loại biểu diễn thời gian- tần số thỏa mãn đồng thời cả
3 yêu cầu trên. Do đó, người ta phải đi tìm nhiều biểu diễn thời giantần số khác nhau thỏa mãn ít nhất một trong các u cầu đó. Điển hình
là 3 dạng biểu diễn thời gian - tần số: ảnh phổ, dạng Rihaczek và dạng
biểu diễn Wigner. Biểu diễn được phát minh năm 1932 bởi E.Wigner
trong bối cảnh cơ học lượng tử được xem như là hàm suy rộng tựa xác
suất trên không gian pha và sau này được giới thiệu trong giải tích tín
hiệu bởi J.Ville. Hàm suy rộng Wigner thỏa mãn hầu hết các tính chất
iv


v

nêu bên. Tuy nhiên, thông thường hàm suy rộng Wigner khơng đạt là
dương. Chỉ có trường hợp đặc biệt, khi hàm f được lựa chọn là các hàm
Gauss thì định lý Hudson khẳng định tính dương của biểu diễn này.
Trong những năm gần đây, biểu diễn Wigner đã có những mở rộng
tổng quát hơn, đó là biểu diễn τ - Wigner, mà trong đó, biểu diễn Wigner
chỉ là một trường hợp đặc biệt. Câu hỏi đặt ra là, định lý kiểu Hudson
có cịn đúng trong trường hợp mở rộng hay không.

Với mong muốn hiểu biết sâu hơn về biến đổi τ -Wigner, được sự đồng
ý của hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, tôi lựa chọn đề tài nghiên
cứu
"Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến đổi τ -Wigner"
để thực hiện luận văn tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về tính dương của biến đổi τ - Wigner.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày về biến đổi τ - Wigner.
Trình bày về tính dương của biến đổi τ -Wigner.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi τ - Wigner.
Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu trong và ngoài nước
liên quan đến biến đổi τ - Wigner.


vi

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn
đề.
Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài
báo mới trong và ngoài nước về vấn đề mà luận văn đề cập tới.
6. Dự kiến đóng góp mới


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Một số không gian hàm

1.1.1

Không gian các hàm cơ bản

Cho Ω là một tập mở trong Rn .
Định nghĩa 1.1.1. Không gian hàm cơ bản được kí hiệu là D(Ω), là
khơng gian véctơ các hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy
∞
∞
{ϕj }∞
j=1 các hàm trong C0 (Ω) được gọi là hội tụ đến hàm ϕ0 ∈ C0 (Ω)

nếu
i, Có một tập compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 0, 1, 2, ...
ii, lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ0 (x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ .
j→∞ x∈K

Khi đó ta viết là ϕ0 = D− lim ϕj .
j→∞

Ở đây
α

D ϕ0 =

D1α1 D2α2 ...Dnαn ϕ0

∂ α1 ∂ α2

∂ αn
n
= (−i)
α1
α2 ...
αn ϕ0 , ∀α ∈ Z+ .
∂x1 ∂x2 ∂xn
|α|

Định lí 1.1.1. Khơng gian D(Ω) là đầy đủ.

1


2

1.1.2

Khơng gian các hàm suy rộng

Định nghĩa 1.1.2. Ta nói rằng f là một hàm suy rộng trong Ω nếu f
là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên D(Ω). Khơng gian véctơ các
hàm suy rộng trong Ω, kí hiệu là D (Ω).
Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên mỗi ϕ ∈ D(Ω) được viết là f, ϕ .
Chúng ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1. Cho f ∈ L1loc (Ω), ánh xạ
Λf : ϕ → f, ϕ =

f (x) ϕ (x)dx, ϕ ∈ D(Ω)
Ω

là một hàm suy rộng. Do ánh xạ f −→ Λf là đơn ánh nên ta có thể đồng
nhất f với Λf . f được gọi là hàm suy rộng chính quy.
Ví dụ 2. Hàm Dirac
δ : ϕ → δ, ϕ = ϕ (0), ϕ ∈ D(Ω).
Định nghĩa 1.1.3. Cho f ∈ D (Ω), α = (α1 , α2 , ..., αn ) ∈ Zn+ . Đạo hàm
cấp α của hàm suy rộng f trong Ω, kí hiệu là Dα f , là ánh xạ từ D (Ω)
vào C được xác định bởi
Dα f : ϕ → (−1)|α| f, Dα ϕ , ϕ ∈ D(Ω), |α| = α1 + α2 + ... + αn .
Nhận xét 1.1.2.
1. Với định nghĩa trên thì đạo hàm của một hàm số thuộc C ∞ (Ω) theo
nghĩa hàm suy rộng trùng với khái niệm đạo hàm thơng thường.
2. Mọi hàm thuộc L1loc (Ω) đều có đạo hàm (theo nghĩa hàm suy rộng)
mọi cấp.
Định nghĩa 1.1.4. Cho fk , f ∈ D (Ω), k = 1, 2, .... Ta nói rằng, dãy
{fk }∞
k=1 hội tụ đến f trong D (Ω) khi k tiến ra vô cùng nếu
lim fk , ϕ = f, ϕ , ∀ϕ ∈ D (Ω) .

k→∞


3

Kí hiệu D _ lim fk = f .
k→∞

Định lí 1.1.3. Không gian hàm suy rộng D (Ω) là đầy đủ.
1.1.3

Không gian các hàm giảm nhanh

Định nghĩa 1.1.5. Không gian các hàm giảm nhanh, kí hiệu là S (Rn ) là
tập hợp S(Rn ) =

ϕ ∈ C ∞ (Rn )\ sup xα Dβ ϕ(x)) < ∞, ∀α, β ∈ Zn+ .
x∈Rn

Với khái niệm hội tụ được định nghĩa như sau
n
n
Dãy {ϕk }∞
k=1 trong S (R ) được gọi là hội tụ đến ϕ ∈ S (R ) nếu

lim sup xα Dβ ϕk (x) − xα Dβ ϕ (x) = 0, ∀α, β ∈ Zn+ .

k→∞ x∈Rn

Kí hiệu S_ lim ϕk = ϕ.
k→∞

Chú ý 1.1.4.
1. Hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) là giảm nhanh, nghĩa là với mọi α, β ∈ Zn+ tồn tại
cα,β > 0 sao cho xα Dβ ϕ (x) ≤ cα,β , ∀x ∈ Rn khi và chỉ khi
a) với mỗi m ∈ Z+ , β ∈ Zn+ có
1 + |x|2

m

Dβ ϕ (x) ≤ cm,β , ∀x ∈ Rn

hay
b) Với mỗi m ∈ Z+ có
1 + |x|2

m

Dβ ϕ (x) ≤ cm , ∀x ∈ Rn .
|β|≤m

2. Với mỗi λ, µ ∈ C , ϕk , ψk , ϕ, ψ ∈ S (Rn ) , k = 1, 2, ... nếu
S_ lim ϕk = ϕ, S_ lim ψk = ψ
k→∞

k→∞

thì
S_ lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ.
k→∞


4

3. Với mỗi α ∈ Zn+ , phép toán đạo hàm Dα là ánh xạ tuyến tính liên tục
từ S (Rn ) vào S (Rn ).
4. Tập C0∞ (Rn ) trù mật trong khơng gian S (Rn ).
Định lí 1.1.5. Không gian S (Rn ) là đầy đủ.
1.1.4

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm

Định nghĩa 1.1.6. Cho hàm suy rộng f ∈ D (Rn ). Hàm suy rộng f
được gọi là hàm suy rộng tăng chậm nếu tồn tại một số tự nhiên m và
một số dương C sao cho
2

| f, ϕ | ≤ C sup 1 + |x|
x∈Rn

m

|Dα ϕ (x)|, ∀ϕ ∈ D (Rn ) .
|α|≤m

Không gian các hàm suy rộng tăng chậm là không gian véctơ tất cả các
hàm suy rộng tăng chậm. Kí hiệu S (Rn ).
Định nghĩa 1.1.7. Cho hàm p(x) ∈ C ∞ (Rn ). Ta nói p(x) là một hàm
tăng chậm nếu với mỗi α ∈ Zn+ đều tồn tại c > 0 và a ∈ R (phụ thuộc
vào p và α) sao cho
|Dα p(x)| ≤ c 1 + |x|2

a

,

∀x ∈ Rn .

Không gian các hàm tăng chậm là không gian véc tơ tất cả các hàm tăng
chậm. Kí hiệu OM (Rn ).
Chú ý 1.1.6. Không gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) là khơng

gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (Rn ).
Chúng ta xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1. Cho 1 ≤ p ≤ ∞, f ∈ Lp (Rn ), ánh xạ
f (x) ϕ (x)dx, ϕ ∈ S(Rn ).

Λf : ϕ → f, ϕ =
Rn


5

là một hàm suy rộng tăng chậm. Do ánh xạ f −→ Λf là đơn ánh nên ta
có thể đồng nhất f với Λf . Cũng như vậy các hàm tăng chậm cũng là
các hàm suy rộng tăng chậm.
Ví dụ 2. Hàm suy rộng δ và các đạo hàm của nó là các hàm suy rộng
tăng chậm.
Định nghĩa 1.1.8. Cho fk , f ∈ S (Rn ) , k = 1, 2, .... Dãy {fk }∞
k=1 được
gọi là hội tụ trong S (Rn ) đến hàm f ∈ S (Rn ), kí hiệu S _ lim fk = f ,
k→∞

nếu
i) Có một số tự nhiên m và một số dương C sao cho
2

| fk , ϕ | ≤ C sup 1 + |x|

m

x∈Rn

|Dα ϕ (x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ) , k = 1, 2, ...
|α|≤m

n
ii) Dãy {fk }∞
k=1 là hội tụ trong D (R ) đến f .

Định lí 1.1.7. Không gian S (Rn ) là đầy đủ.
1.1.5

Biến đổi Fourier
n

xi ωi , ∀x, ω ∈ Rn là tích vơ hướng trên Rn và viết
i=1
√
2
tắt x = xx, ∀x ∈ Rn , chuẩn Euclide là |x| = xx.
Ta kí hiệu xω =

Định nghĩa 1.1.9 (Biến đổi Fourier). Biến đổi Fourier của hàm f ∈
L1 (Rn ), kí hiệu là f hoặc F(f ), là một hàm được xác định bởi
f (x) e−2πixω dx , ω ∈ Rn .

f (ω) =

(1.1)

Rn

Nhận xét 1.1.8.
1. Từ (1.1) ta suy ra f

∞

≤ f 1.

2. Ta dùng kí hiệu F(f ) để nhấn mạnh rằng phép biến đổi Fourier là
một tốn tử tuyến tính tác động trên một không gian hàm f ∈ L1 (Rn ).


6

3. Ngoài định nghĩa biến đổi Fourier như trên ta cịn có thể định nghĩa
biến đổi Fourier theo những cách khác như sau
n

f (ω) = (2π)− 2

f (x) e−ixω dx
Rn

hoặc
f (x) e−ixω dx.

f (ω) =
Rn

4. Nếu f là một tín hiệu, đối với một kĩ sư ω là một tần số và f (ω)

được hiểu là biên độ của tần số ω của tín hiệu f . Trong vật lý, ω là biến
2

2

động lượng và f (ω) / f
−2

2

f

là mật độ xác suất của động lượng. Do đó
2

f (ω) dω là xác suất của chất điểm trong trạng thái f có động
2

I

lượng của nó trong miền I ⊂ Rn .
Bổ đề 1.1.1 (Riemann - Lebesgue). Nếu f ∈ L1 (Rn ) thì f liên tục đều
và lim f (ω) = 0.
|ω|→∞

Giả sử C0 (Rn ) là không gian Banach của các hàm liên tục triệt tiêu
tại vơ hạn, khi đó bổ đề Riemann - Lebesgue diễn đạt tính chất ánh xạ
của biến đổi Fourier như sau
F : L1 (Rn ) → C0 (Rn ) .
Nếu bỏ đi điều kiện mà biến đổi Fourier được định nghĩa theo từng điểm

bởi công thức (1.1), chúng ta có thể thác triển nó lên các không gian
hàm khác. Kết quả cơ bản là định lí Plancherel mà chúng ta sẽ nghiên
cứu sau.
Định lí 1.1.9 (Plancherel). Cho f ∈ L1 ∩ L2 (Rn ). Khi đó
f

2

= f

.
2


7

Biến đổi F mở rộng thành toán tử unita trên L2 (Rn ) và thoả mãn công
thức Parseval
f, g = f , g .
Tổng quát lên các không gian khác ta có
Định lí 1.1.10 (Hausdorff - Young). Giả sử 1 ≤ p ≤ 2 và p là số thỏa
mãn

1
p

+

1
p

= 1 thì
F : Lp (Rn ) → Lp (Rn )

và
f
p

≤ f p.

Chú ý 1.1.11. Beckner và Brascamp Lieb đã phát biểu hình thức khác
của Định lý Hausdorff - Young như sau
Đặt Ap =

p

1
2

1
p
1

là hằng số Babenko - Beckner.

(1.2)

∀f ∈ Lp (Rn ) , 1 ≤ p ≤ 2.

(1.3)

pp

Khi đó
f
p

≤ Anp f

p,

Định nghĩa 1.1.10 (Biến đổi Fourier ngược). Cho f ∈ L1 (Rn ). Biến
đổi Fourier ngược của hàm f , kí hiệu F −1 (f ) được định nghĩa bởi
F −1 (f ) =

f (ω) e2πixω dω , ∀x ∈ Rn .
Rn

Từ định nghĩa trên ta có F −1 (f ) = f với f (x) = f (−x).
Định lí 1.1.12. Nếu f ∈ L1 (Rn ) và f ∈ L1 (Rn ) thì
f (ω) e2πixω dω , ∀x ∈ Rn

f (x) =
Rn

nghĩa là F −1 và F là các toán tử ngược của nhau.

(1.4)

8

Do S (Rn ) trù mật trong L1 (Rn ) nên với ϕ ∈ S (Rn ) biến đổi Fourier
F (ϕ)) của ϕ hoàn toàn xác định. Hơn nữa, phép biến đổi Fourier là đẳng
cấu tuyến tính từ S (Rn ) lên chính nó.
Định nghĩa 1.1.11. Cho f ∈ S (Rn ). Biến đổi Fourier của hàm suy
rộng f , kí hiệu là Ff là hàm suy rộng tăng chậm xác định bởi
Ff, ϕ = f, Fϕ , ϕ ∈ S (Rn )
và biến đổi Fourier ngược của hàm f , kí hiệu là F −1 f là hàm suy rộng
tăng chậm xác định bởi
F −1 f, ϕ = f, F −1 ϕ , ϕ ∈ S (Rn ) .
Tính chất liên hệ giữa hàm hay hàm suy rộng f và f đã được chỉ ra
như một qui luật. Đó là tính trơn của f kéo theo sự phân huỷ của f và
ngược lại. Định lí sau là một trường hợp cụ thể.
Định lí 1.1.13. Dα f ∈ L2 (Rn ) với mọi |α| ≤ m, khi và chỉ khi
2

f (ω)

1 + |ω|2

m

dω < ∞.

Rn

Xét mối quan hệ giữa biến đổi Fourier và đạo hàm ta có định lí
Định lí 1.1.14. Cho f ∈ S (Rn ) và α ∈ Zn+ . Khi đó
F(Dα f ) = (2πi)|α| X α Ff.

và
α

F(X f ) =

i
2π

(1.5)

|α|

Dα Ff.

(1.6)

Ở đây, Xf (x) = x.f (x) còn Dα là đạo hàm cấp α của hàm số.
Định nghĩa 1.1.12 (Một số toán tử cơ bản). Với x, ω, y, t ∈ Rn và
f ∈ S (Rn ) ta định nghĩa các toán tử sau đây:


9

1. Phép tịnh tiến theo x của f , kí hiệu Tx f là một sự dịch chuyển thời
gian được xác định bởi
Tx f (t) = f (t − x) .
2. Sự biến điệu theo ω của f , kí hiệu Mω f được xác định bởi
Mω f (t) = e2πiωt f (t) .
3. Phép đối hợp của f , kí hiệu f ∗ được định nghĩa bởi f ∗ (x) = f (−x).
4. Toán tử đối xứng của f , kí hiệu f được xác định bởi f (x) = f (−x).

5. Tích chập của hai hàm f, g ∈ L1 (Rn ), kí hiệu là f ∗ g được xác định
bởi (f ∗ g) (x) =

f (y)g (x − y) dy.
Rn

Khái niệm tích chập có thể mở rộng cho hàm f ∈ S(Rn ) và u ∈ S (Rn ),
tích chập f ∗ u ∈ S (Rn ) được xác định bởi f ∗ u, g = u, f ∗ g

với

g ∈ S(Rn ).
Tính chất: Với x, ω ∈ Rn và f ∈ S (Rn ) ta có các tính chất sau
1) Tx Mω = e−2πi xω Mω Tx .
2) Tx Mω f

p

= f

p.

3) (Tx f )∧ = M−x f .

(1.7)

4) (Mω f )∧ = Tω f .

(1.8)

5) (Tx Mω f )∧ = M−x Tω f = e−2πi xω Tω M−x f .

(1.9)

6) f ∗ g

1

≤ f

1

g

1 , (f

∗ g)∧ = f .g.

(1.10)

7) f ∗ = f , f = f .
8) (f ∗ g)(x) = f, Tx g ∗ .
Tương tự như biến đổi Fourier, tích chập cũng có thể mở rộng ra các
khơng gian khác.


10

Định lí 1.1.15 (Young). Nếu f ∈ Lp (Rn ) và g ∈ Lq (Rn ) và p1 + 1q = 1+ 1r
thì f ∗ g ∈ Lr (Rn ) và f ∗ g

r

≤ (Ap Aq Ar )n f

p

g q , Ap là hằng số

Babenko - Beckner.
Định nghĩa 1.1.13 (Hàm Gauss). Hàm Gauss chưa được chuẩn hóa
với độ rộng a > 0 trên Rn , kí hiệu là ϕa (x) được xác định bởi
ϕa (x) = e−

πx2
a

(1.11)

ở đây x2 = xx, x ∈ Rn .
Bổ đề 1.1.2 (Biến đổi Fourier của hàm Gauss). Với mọi a > 0
n

ϕa (ω) = a 2 ϕ a1 (ω) .
2

(1.12)

2

Đặc biệt là, với a = 1 thì e−πx

(ω) = e−πω .

Bổ đề 1.1.3 (Sự dịch chuyển thời gian tần số của hàm Gauss). Với mọi
a > 0 và ∀x, u, ω, η ∈ Rn chúng ta có
Tx Mω ϕa , Tu Mη ϕa

a
=
2

n
2

eπi(u−x)(η+ω) ϕ2a (u − x) ϕ a2 (η − ω) .

Chứng minh.
e−

ϕa , Mω Tx ϕa =

πt2
a

e−

π(t−x)2
a

e−2πiωt dt

Rn
2

− πx
2a

−

=e

e

2π (t− x
2)
a

2

e−2πiωt dt

Rn

= ϕ2a (x) T x2 ϕ a2 (ω)
n
−πixω a 2
=e
ϕ2a (x) ϕ a2 (ω) . (do (1.7) và Bổ đề 1.2.2)
2

11

Từ đẳng thức M−ω Tu−x Mη = e−2πiη(u−x) Mη−ω Tu−x , chúng ta suy ra
Tx Mω ϕa , Tu Mη ϕa = ϕa , M−ω Tu−x Mη ϕa
= e2πiη(u−x) ϕa , Mη−ω Tu−x ϕa
a n2 2πiη(u−x) −πi(u−x)(η−x)
=
e
e
ϕ2a (u − x) ϕ a2 (η − ω)
2 n
a 2 πi(u−x)(η+ω)
=
e
ϕ2a (u − x) ϕ a2 (η − ω) .
2

1.2

Giải tích thời gian–tần số

Trong công nghệ và trong vật lý, f (x) được coi như biên độ của sự
dao động của dấu hiệu f tại x, còn f (ω) được coi như biên độ của tần
số ω. Từ định nghĩa biến đổi Fourier (1.1), khơng làm mất tính tổng
qt ta xét số chiều n = 1, chúng ta thấy rằng phép lấy tích phân không
thể thực hiện được trừ khi chúng ta biết f (x) trên toàn bộ trục thực
(−∞, +∞). Điều này do các hàm eiωx hay là cos (xω) và sin (xω) là các
hàm toàn cục. Nghĩa là, một sự nhiễu nhỏ của hàm tại bất kì điểm nào

dọc theo trục x đều ảnh hưởng đến mọi điểm trên trục ω và ngược lại.
Nếu chúng ta tưởng tượng dấu hiệu f (x) như là hàm điều biến cho eiωx ,
một sự nhiễu tại bất kì điểm nào trên trục x sẽ lan truyền qua tồn
bộ trục ω. Mặc dù có những thuật tốn để tính tốn nhanh biến đổi
Fourier bằng kĩ thuật số, nhưng nó khơng thể được thực hiện theo thời
gian thực. Tất cả dữ liệu cần thiết phải được lưu trữ trong bộ nhớ trước
khi rời rạc hoặc biến đổi Fourier nhanh có thể được tính.
Như vậy dù có sử dụng phương pháp linh hoạt nhất, giải tích Fourier
cũng khơng đáp ứng đủ nhu cầu thực tiễn. Nói cách khác, quang phổ
Fourier không cung cấp bất cứ miền thời gian thơng tin về dấu hiệu.
Cho nên trong giải tích tín hiệu, chúng ta đi tìm những biểu diễn kết


12

hợp những đặc trưng của f và f vào một hàm đơn giản, được gọi là biểu
diễn thời gian–tần số. Vậy mục tiêu của giải tích thời gian–tần số là đưa
ra phổ tần số tức thời tại thời điểm x.
Tuy nhiên, khơng một mơ hình tốn học nào có thể làm được vì bị
cản trở bởi các bất đẳng thức mà ta gọi là các ngun lí khơng chắc
chắn. Mặc dù vậy vẫn có những phương pháp xấp xỉ tốt nhưng là đối
với từng tín hiệu vì mỗi loại tín hiệu lại có những ngun lí khơng chắc
chắn riêng.
1.2.1

Ngun lý khơng chắc chắn

Trong tốn học, theo nghĩa hẹp các ngun lý không chắc chắn là các
bất đẳng thức liên quan đến cả f và f . Ý nghĩa chung của các ngun lí
khơng chắc chắn đó là "Một hàm f và biến đổi Fourier của nó f khơng

thể cùng có giá trên một tập nhỏ tuỳ ý ". Vì vậy bất kì định nghĩa hình
thức nào về phổ tần số tức thời đều rắc rối và vấp phải nhiều khó khăn.
Có rất nhiều ngun lý khơng chắc chắn, chúng ta bắt đầu với nguyên
lý không chắc chắn cổ điển với số chiều n = 1 mà thường gọi là bất đẳng
thức Heisenberg - Pauli - Weyl.
Định lí 1.2.1 (Bất đẳng thức Heisenberg - Pauli - Weyl). Nếu f ∈
L2 (Rn ) và a, b ∈ R tùy ý, thì
 12  +∞

 +∞


(x − a)2 |f (x)|2 dx 

−∞

 12
2

(ω − b)2 f (ω) dω  ≥

1
f
4π

2
2.

−∞

(1.13)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f có dạng
Ta Mb ϕc (x) = e2πib(x−a) e−
với a, b ∈ R và c > 0.

π(x−a)2
c


13

Nhận xét 1.2.2. Để viết dưới dạng chuẩn, với f ∈ L2 (R) sao cho
f = 1 xét các độ lệch tiêu chuẩn
1/2
2

(x − a) |f (x)| dx

∆f x = min
a∈R

R
2

2

1/2

(ω − b) f (ω) dω

∆f ω = min
b∈R

2

R

∆f x là kích cỡ của giá cốt yếu của f (x).
∆f ω là kích cỡ của giá cốt yếu của f (ω).
1
Nếu f = 1 thì ∆f x.∆f ω ≥
. Vì vậy khái niệm tần số tức thời là
4π
không đạt được.
Tiếp theo, chúng ta nghiên cứu nguyên lý không chắc chắn trên không
gian Rn với n > 1, nguyên lý không chắc chắn của Donoho và Stark.
Định nghĩa 1.2.1. Một hàm f ∈ L2 (Rn ) được gọi là ε-tập trung trên
một tập đo được T ⊂ Rn , nếu

 12
|f (x)|2 dx ≤ ε f



2

(ở đây T c = Rn \T ).

(1.14)

Tc

Nếu 0 ≤ ε ≤

1
2

thì hầu hết năng lượng tập trung trên T và T thực sự là

giá cốt yếu của f . Nếu ε = 0 thì T chính xác là giá của f .
Định lí 1.2.3 (Nguyên lý không chắc chắn của Donoho và Stark). Giả
sử rằng f ∈ L2 (Rn ), f = 0, là εT - tập trung trên T ⊆ Rn và f là εΩ
tập trung trên Ω ⊆ Rn . Khi đó
|T | . |Ω| ≥ (1 − εT − εΩ )2 .
Hệ quả 1.2.1. Giả sử rằng f ∈ L2 (Rn ), suppf ⊆ T và suppf ⊆ Ω thì
|T | |Ω| ≥ 1.


14

Định lí 1.2.4. Giả sử rằng f ∈ L1 (Rn ), suppf ⊆ T và suppf ⊆ Ω .
Nếu |T | |Ω| < ∞ thì f = 0.
Nhận xét 1.2.5. Khái niệm giá cốt yếu đã làm tăng tính linh động của
giá. Nếu chỉ sử dụng định nghĩa chuẩn về giá thì ta chỉ thu được kết quả
định tính: hoặc f = 0 hoặc |suppf | . suppf = ∞. Mặt khác, sử dụng
khái niệm giá cốt yếu cho ta kết quả định lượng: giá cốt yếu của (f, f )
xảy ra trên một vùng có diện tích ít nhất 1 trên mặt phẳng thời gian
tần số. Vì vậy khái niệm tần số tức thời là rất khó khăn, kể cả với những
tín hiệu rời rạc hoặc tuần hồn.
Mặc dù ý tưởng về giải tích thời gian–tần số vấp phải những trở ngại

là các ngun lí khơng chắc chắn nhưng người ta vẫn cố gắng đưa ra
những biểu diễn thời gian–tần số đồng thời. Để thu được các thông tin
về các tính chất địa phương của tín hiệu f , chúng ta thu hẹp f vào một
đoạn và lấy biến đổi Fourier của thu hẹp này, ta được một biểu diễn thời
gian–tần số gọi là biến đổi Fourier thời gian ngắn. Lý thuyết giải tích
thời gian–tần số hầu hết dựa trên biến đổi Fourier thời gian ngắn vì đa
số các biểu diễn thời gian–tần số khác đều có thể được diễn đạt theo
quan điểm của biến đổi Fourier thời gian ngắn.
Khi thu hẹp f vào một đoạn bằng vết cắt sắc đem đến sự gián đoạn
giả tạo và có thể đem lại những vấn đề không mong muốn nên người ta
chọn những hàm cắt trơn và xem đó như là một hàm cửa sổ. Trước hết
ta tìm hiểu về hàm cửa sổ. Để đơn giản ta xét trường hợp n = 1.
Định nghĩa 1.2.2. Ta gọi hàm ϕ ∈ L2 (R) triệt tiêu bên ngoài một
khoảng hữu hạn là hàm cửa sổ.
Giả sử ϕ là một hàm cửa sổ nhận giá trị thực và f là một dấu hiệu.
Khi đó tích fb (x) = f (x) ϕ (x − b) chứa đựng những thông tin về f (x)
gần x = b. Đặc biệt nếu ϕ (x) là hàm đặc trưng X[−τ,τ ] (x) thì chúng ta


15

có
fb (x) =

f (x) ,

x ∈ [b − τ, b + τ ]

0

x∈
/ [b − τ, b + τ ]

,

Bằng cách thay đổi tham số b ta có thể trượt hàm cửa sổ dọc theo
trục Ox để phân tích dáng điệu địa phương của hàm f (x) trong những
khoảng thời gian khác nhau.
Hai tham số quan trọng nhất của hàm cửa sổ là tâm và độ rộng của
nó. Với một hàm cửa sổ tổng quát ϕ (x) chúng ta định nghĩa tâm x∗ như
sau
+∞

1
x∗ =
ϕ

2
2

x|ϕ (x)|2 dx
−∞

và căn bậc hai của bán kính ∆ϕ
 12

 +∞
∆ϕ =

1 

ϕ 2

(x − x∗ )2 |ϕ (x)|2 dx .

−∞

Hàm ϕ (x) được mô tả như trên với ∆ϕ hữu hạn được gọi là hàm cửa sổ
thời gian. Tương tự chúng ta có được cửa sổ tần số ϕ (ω) với tâm ω ∗ và
căn bậc hai của bán kính ∆ϕ được định nghĩa tương tự như trên.
+∞

ω∗ =

1
ϕ

2
2

ω|ϕ (ω)|2 dω
−∞

 +∞
∆ϕ =

1 
ϕ 2

 12

(ω − ω ∗ )2 |ϕ (ω)|2 dω  .

−∞

Trong trường hợp n > 1 định nghĩa và các khái niệm về hàm cửa sổ
được mở rộng tương ứng.
Định nghĩa 1.2.3. Cố định một hàm cửa sổ g = 0, khi đó biến đổi
Fourier thời gian ngắn của hàm f đối với g, kí hiệu Vg f được định nghĩa


16

như sau
f (t) g (t − x)e−2πitω dt, ∀x, ω ∈ Rn .

Vg f (x, ω) =

(1.15)

Rn

Nhận xét 1.2.6.
1. Nếu g có giá compact với tâm của giá đặt tại gốc, thì Vg f (x, ·) là biến
đổi Fourier một đoạn của f có tâm nằm trong một lân cận của x. Khi x
biến thiên, cửa sổ trượt dọc theo trục x đến những vị trí khác nhau. Do
đó biến đổi Fourier thời gian ngắn được gọi là " Biến đổi cửa sổ trượt".
Với một vài ứng dụng, Vg f (x, ω) có thể coi như là cơng cụ đo biên độ
của dải tần số quanh ω tại thời điểm x. Theo nghĩa này Vg f (x, ·) là phép
đo phổ tần số tức thời tại x mà biến đổi Fourier khơng thể có được.
2. Biến đổi Fourier thời gian ngắn là tuyến tính theo f và tuyến tính liên

hợp theo g. Thông thường hàm cửa sổ g được giữ cố định, và Vg f được
xem như là một ánh xạ tuyến tính từ các hàm xác định trên Rn tới các
hàm trên R2n . Rõ ràng hàm Vg f và các tính chất của ánh xạ f → Vg f
phụ thuộc chủ yếu vào việc chọn cửa sổ g.
Bổ đề 1.2.1. Nếu f, g ∈ L2 (Rn ) thì Vg f là liên tục đều trên R2n và
Vg f (x, ω) = (f.Tx g) (ω)

(1.16)

= f, Mω Tx g

(1.17)

= f , Tω M−x g

(1.18)

= e−2πixω f .Tω g (−x)

(1.19)

= e−2πixω Vg f (ω, −x)

(1.20)

= e−2πixω (f ∗ Mω g ∗ ) (x)

(1.21)

= f ∗ M−x g ∗ (ω)

(1.22)

= e−πixω

f t+
Rn

x
x −πitω
g t−
e
dt,
2
2

(1.23)


17

trong đó g ∗ (x) = g (−x).
Chú ý 1.2.7. Đẳng thức (1.20) là đồng nhất thức cơ bản của giải tích
thời gian–tần số , nó kết hợp cả f và f trong một biểu diễn thời gian–tần
số đồng thời.
Định nghĩa 1.2.4. Cho F ∈ L2 (Rn ), hàm F được gọi là nửa song tuyến
tính phức nếu với mọi x, y, z ∈ Rn và với mọi c1 , c2 ∈ C thì
F (c1 x + c2 y, z) = c1 F (x, z) + c2 F (y, z)
và
F (x, c1 y + c2 z) = c1 F (x, y) + c2 F (x, z) .

Bổ đề 1.2.1 nhấn mạnh tính chất tuyến tính của biến đổi Fourier
thời gian ngắn trong trường hợp hàm cửa sổ g cố định, biến đổi Fourier
thời gian ngắn có thể được xem như là dạng nửa song tuyến tính phức
(f, g) → Vg f .
Giả sử
+) f ⊗ g là tích tensor
(f ⊗ g) (x, t) = f (x) g (t) .
+) Ta là phép biến đổi tọa độ không đối xứng
Ta f (x, t) = f (t, t − x) .
+) F2 là biến đổi Fourier riêng theo biến thứ hai của hàm f trên R2n
f (x, t) e−2πitω dt.

F2 f (x, ω) =
Rn

Khi đó chúng ta có
Bổ đề 1.2.2. Nếu f, g ∈ L2 (Rn ) thì
Vg f = F2 Ta (f ⊗ g) .

(1.24)


18

Nhận xét 1.2.8. Cả hai toán tử Ta và F2 là những phép đẳng cấu trên
S R2n .
Nếu f, g ∈ S (Rn ) thì f ⊗ g ∈ S R2n và: Vg f = F2 Ta (f ⊗ g) ∈
S R2n . Do đó Vg f là một hàm suy rộng tăng chậm xác định hoàn với
mọi f, g ∈ S (Rn ).
Tính chất tiếp theo được gọi là tính chất hiệp phương sai của biến

đổi Fourier thời gian ngắn.
Bổ đề 1.2.3. Nếu Vg f xác định thì
Vg (Tu Mη f ) (x, ω) = e−2πiuω Vg f (x − u, ω − η)
với x, u, ω, η ∈ Rn . Đặc biệt là
|Vg (Tu Mη f ) (x, ω)| = |Vg f (x − u, ω − η)| .
Tương tự cơng thức Parseval ta có quan hệ trực giao của biến đổi
Fourier thời gian ngắn.
Định lí 1.2.9. Giả sử f1 , f2 , g1 , g2 ∈ L2 (Rn ), khi đó Vgj fj ∈ L2 R2n
với j = 1, 2 và
Vg1 f1 , Vg2 f2

2(R2n )

= f1 , f2 g1 , g2 .

(1.25)

Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.2 và tính chất unita của các tốn tử F2 và
Ta thì
Vg1 f1 , Vg2 f2

L2 (R2n )

= F2 Ta (f1 ⊗ g1 ) , F2 Ta (f2 ⊗ g2 )
= (f1 ⊗ g1 ) , (f2 ⊗ g2 )
= f1 , f2

L2 (Rn ) .

g1 , g2

L2 (R2n )

2(Rn ) .

Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.2.2. Nếu f, g ∈ L2 (Rn ) thì Vg f
Đặc biệt, nếu g

2

= 1 thì f

2

2

= f

2

g 2.

= Vg f 2 , ∀f ∈ L2 (Rn ).

L2 (R2n )


19

Tương tự như ngun lí khơng chắc chắn của Donoho và Stark đối
với cặp f, f ta có ngun lí không chắc chắn đối với biến đổi Fourier thời
gian ngắn.
Mệnh đề 1.2.10 (Nguyên lý không chắc chắn yếu với biến đổi Fourier
thời gian ngắn). Giả sử rằng f

2

= g

2

= 1 và U ⊆ R2n và ε ≥ 0 sao

cho
|Vg f (x, ω)|2 dxdω ≥ 1 − ε.
U

Khi đó |U | ≥ 1 − ε.
Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có
|Vg f (x, ω)| = | f, Mω Tx g | ≤ f

2

g

2

= 1 với mọi x, ω ∈ R2n .

Do đó
|Vg f (x, ω)|2 dxdω ≤ Vg f

1− ≤
U

2
∞ |U |

≤ |U | .

Định lí 1.2.11 (Nguyên lí khơng chắc chắn Lieb). Nếu f, g ∈ L2 (Rn )
và 2 ≤ p < ∞ thì
p

|Vg f (x, ω)| dxdω ≤

2
p

n

( f

2

g 2 )p .

(1.26)

R2n

Chứng minh. Giả sử p là chỉ số liên hợp của p được xác định bởi
1 1
+ =1
p p
Vì 2 ≤ p < ∞ nên 1 < p ≤ 2. Do bất đẳng thức Cauchy - Schwartz nên
f.Tx g ∈ L1 (Rn ).
Mặt khác, Vg f (x, ω) = (f.Tx g) (ω) ∈ L2 R2n (do Hệ quả 1.2.2).
Từ định lý Fubini thì (f.Tx g) ∈ L2 (Rn ) với hầu hết tất cả x ∈ Rn . Do đó


20

(f.Tx g) ∈ L1 ∩ L2 (Rn ) với hầu hết tất cả x ∈ Rn , suy ra f.Tx g ∈ Lp (Rn )
với hầu hết tất cả x. Từ bất đẳng thức Hausdorff - Young (1.3) kéo theo

 p1 
 p1
|Vg f (x, ω)|p dω  = 


Rn

|(f.Tx g) (ω)|p dω 

Rn

1



p

|(f.Tx g) (y)|p dy 

≤ Anp 
Rn

1



p

p

= Anp 

p

|f (y)| |g (y − x)| dy 

Rn

=
1
p

Ở đây Ap = (p ) .p

− p1

1
2

Anp

p

∗ p

|f | ∗ |g | (x)

1
p

.

và g ∗ (x) = g (−x).

Vì vậy chúng ta có
Vg f

p





=



Rn

 p1



|(f.Tx g) (ω)|p dω  dx

Rn


|f |p ∗ |g ∗ |p (x)

≤ Anp 

p
p

 p1
dx

(1.27)

Rn

=

Anp

p

∗ p

|f | ∗ |g |

1
p
p
p

.
2

Áp dụng bất đẳng thức Young cho các hàm |f |p và |g ∗ |p ∈ L p (Rn ) với
bộ ba (p, q, r) được thay thế bởi (s, s, t) ở đây s =
rằng

1
s

+

1
s

=1+

1
t

2
p

≥ 1, t =

). Ta được

|f |p ∗ |g ∗ |p
t

p
n
≤ A2n
s At |f |

. |g ∗ |p
s

Tuy nhiên
|f |p

=
s

|f (x)|p

2
p

p
2

= f

.
s

p
2

p
p

(chú ý


21

và |g ∗ |p

p
2

= g
s

.

Thay vào (1.27) chúng ta được
Vg f

p

≤

Anp

n
A2n
s .At

=

Anp Asp
n

2n

=

f

p
2

g

2

g

2

n
p

At f

2
p

f

2

p
2

1
p

g 2.

Ngun lí khơng chắc chắn Lieb giúp cải tiến ngun lí khơng chắc
chắn yếu như sau
Định lí 1.2.12. Giả sử rằng f

= g

2

2

= 1 và U ⊆ R2n và ε ≥ 0 sao

cho
|Vg f (x, ω)|2 dxdω ≥ 1 − ε.
U

Khi đó
|U | ≥ (1 − ε)

p
p−2

2n
p−2

p
2

với mọi p > 2.

Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thc Hăolder vi cỏc s m q =
q =

p
p2

p
2

ri s dụng bất đẳng thức Lieb ta có
|Vg f (x, ω)|2 dxdω

1− ≤
U

p

|Vg f (x, ω)|2. 2 dxdω 

≤
2
p

χU (x, ω)q dxdω 



R2n

≤

 p−2
p

2/p 



R2n
2n
p

( f

2

g 2 )2 |U |

p−2
p

.

Vì vậy với mọi p > 2 thì
|U | ≥ (1 − ε)

p
p−2

p
2

2n

p−2

và