PP tinh nguyên hàm

11/10/13 1
BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
TÌM NGUYÊN HÀM
TÌM NGUYÊN HÀM
PHẠM ANH NGỮ
11/10/13 2
1./
1./
Phương
Phương


pháp
pháp


đổi
đổi


biến
biến


số
số
2./ Phương pháp tích phân từng phần
2./ Phương pháp tích phân từng phần
BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
BÀI 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP

TÌM NGUYÊN HÀM
TÌM NGUYÊN HÀM
11/10/13 3
Vậy
3
x x
f ( x ) 8 sin 6 sin
3 3
= −
3
sin6
3
sin8)(
3
xx
xf −=
x
xx
sin2)
3
sin4
3
sin3(2
3
−=−−=
∫ ∫
−= dxxdxxf )sin2()(
Cx
Cx
+=

+−−=
cos2
)cos(2
Ví dụ 3:
Ví dụ 3:
tìm nguyên hàm của hàm số:
tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
Giải
11/10/13 4
•
Định lý 1:
Định lý 1: Cho hàm số u=u(x) có đạo hàm
liên tục trên K và hàm số y=f(u) liên tục sao
cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là
một nguyên hàm của f, tức là
thì:
Nếu biểu thức lấy nguyên hàm có dạng hàm

theo x nhân với hàm lượng giác hoặc hàm
thì đặt u = hàm theo x.
•
Nếu biểu thức lấy nguyên hàm có dạng hàm
theo x nhân với hàm log thì đặt u=hàm log
f ( u )du F ( u ) C= +
∫
f [ u( x )u'( x )dx F [ u( x )] C= +
∫
1./ Phương pháp đổi biến số
1./ Phương pháp đổi biến số

x
e
11/10/13 5
Một số cách đặt
Một số cách đặt
Dấu hiệu
Dấu hiệu
Cách đặt
Cách đặt
Hàm số có mẫu số Đặt u là mẫu số
Hàm có chứa căn thức Đặt u là biểu thức trong căn
hoặc toàn bộ căn
Hàm có lũy thừa Đặt u là lượng bên trong lũy
thừa
Hàm
•
với x+a>0 và x+b>0, đặt
•Với x+a<0 và x+b<0 đặt
Hàm
f(x)=
Đặt (với )

1
f ( x )
( x a )( x b )
=
+ +
a sin x b cos x
f ( x )
c sin x d cos x e

+
=
+ +
x
u tan
2
=
u x a x b= + + +
u x a x b= − − + − −
x
cos 0
2
≠
B( MS )' C
A
MS MS
+ +
11/10/13 6
Dấu hiệu Cách đặt
x = asint
x =a/cost
x = atant
2 2
a x−
( t )
2 2
π π
− ≤ ≤
2 2
x a−

2 2
a x+
( t [0; ] \ )
2
π
π
∈
( t )
2 2
π π
− < <
Một số cách đặt
Một số cách đặt
11/10/13 7
Đặt u = 1 – x => du = - dx
Vậy
10
x( 1 x ) dx−
∫
10 10
x( 1 x ) dx u ( 1 u )du− = − −
∫ ∫
10
11 10
12 11
12 11
u ( u 1 )du
( u u )du
u u
C

12 11
( 1 x ) ( 1 x )
C
12 11
= −
= −
= − +
− −
= − +
∫
∫
Ví dụ 1:
Ví dụ 1:
tìm nguyên hàm của hàm số:
tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
Giải
11/10/13 8
Đặt u = 3 – x
4
=> du = - 4x
3
dx
Vậy
3
4
4 x
dx
3 x−
∫

3
4
4 x du
dx
u
3 x
−
=
−
∫ ∫
1
2
4
u
C 2 u C
1
2
2 3 x C
−
= + = − +
= − − +
Ví dụ 2:
Ví dụ 2:
tìm nguyên hàm của hàm số:
tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
Giải
11/10/13 9
Đặt u = 1 + cos
2

x => du = ( - 2sinxcosx)dx
Vậy
3
2
sin x cos x
dx
1 cos x+
∫
3 2
2 2
sin x cos x sin x cos x cos x
dx dx
1 cos x 1 cos x
=
+ +
∫ ∫
2
2
2 2
cos x ( 1 u )du
2 sin x cos xdx
2( 1 cos x ) 2u
1 1
du du
2u 2
1 1
ln | u | u C
2 2
1 1
ln | 1 cos x | ( 1 cos x ) C

2 2
−
= =
+
= −
= − +
= + − + +
∫ ∫
∫ ∫
Ví dụ 3:
Ví dụ 3:
tìm nguyên hàm của hàm số:
tìm nguyên hàm của hàm số:
Giải
Giải