Một số chuyên đề lý thuyết số đại số giải tích và phần mềm geogebra

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

BÙI THỊ HẰNG MƠ

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ,
GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2019


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------

BÙI THỊ HẰNG MƠ

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ LÝ THUYẾT SỐ, ĐẠI SỐ,
GIẢI TÍCH VÀ PHẦN MỀM GEOGEBRA
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. TẠ DUY PHƢỢNG

THÁI NGUYÊN - 2019


✶

▼ư❝ ❧ư❝
❈❤÷ì♥❣ ✶ ▼❐❚ ❙➮ ▲➏◆❍
❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆ ●❊❖●❊❇❘❆ ❚❘❖◆● ❚➑◆❍ ❚❖⑩◆ ❙➮ ❍➴❈✱
▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮ ❱⑨ ●■❷■ ❚➑❈❍
✺
✶✳✶✳ ❈➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳
✶✳✶✳✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♣❤➛♥ ♠➲♠●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺
✺

✶✳✶✳✷✳ ❈➔✐ ✤➦t ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✶✳✸✳ ▼ët sè ❝❤ù❝ ♥➠♥❣ ❝❤➼♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✶✳✹✳ ▼ët sè ❤➔♠ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✶✳✷✳ ▼ët sè ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ừ r tr số ồ ỵ tt số



❈→❝ ❧➺♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✾

✶✳✷✳✷✳

❈→❝ ❧➺♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ✈➔ sè ❞÷ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶

✶✳✷✳✸✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ✈➲ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✶
✶✳✷✳✹✳ ❈→❝ ❝➙✉ ❧➺♥❤ ▲æ❣✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
✶✳✷✳✺✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈ỵ✐ ✣↕✐ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸
✶✳✷✳✻✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈ỵ✐ ●✐↔✐ t➼❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸

❈❤÷ì♥❣ ✷ ❙Û ❉Ư◆● ●❊❖●❊❇❘❆ ❚❘❖◆● ▼❐❚ ❙➮ ❈❍❯❨➊◆
✣➋ ▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮✱ ●■❷■ ❚➑❈❍
✹✵
✷✳✶✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵
✷✳✶✳✶✳ ❚➻♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❞↕♥❣ 1000...01 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵
✷✳✶✳✷✳ ❑✐➸♠ tr❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ▼❡rs❡♥♥❡ ❞↕♥❣ 2p − 1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶
n

✷✳✶✳✸✳ ❑✐➸♠ tr❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❋❡r♠❛t ❞↕♥❣ 22 + 1 ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✺
✷✳✶✳✹✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ sè ❞↕♥❣ An = p2 p3 ...pn − 2 r❛ t❤ø❛ sè
♥❣✉②➯♥ tè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✼
✷✳✷✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✵

ỗ t số ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✼
✷✳✹✳ ❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸
✷✳✹✳✶✳

❚➼♥❤ t➼❝❤ ♣❤➙♥ tr➯♥ ●❡♦❣❡❜r❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽✸

✷✳✹✳✷✳ ❱➲ ♠ët ♣❤÷ì♥❣ →♥ ❞↕② t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾✶

❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦

✾✾


✸

▲❮■ ◆➶■ ✣❺❯
❉♦ ♥❤ú♥❣ ÷✉ ✤✐➸♠ ✈÷đt trë✐ ✭♠✐➵♥ ♣❤➼✱ ❝â ❝➔✐ ✤➦t t✐➳♥❣ ❱✐➺t✱ ♣❤õ ❤➛✉
❤➳t ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣ ✈➔ ✤↕✐ ❤å❝✱ ❣✐❛♦ ❞✐➺♥ t❤➙♥ t❤✐➺♥✱✳✳✳✮✱

❜r❛

●❡♦❣❡✲

tr♦♥❣ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙② ✤➣ ✤÷đ❝ ♣❤ê ❜✐➳♥ t↕✐ ❱✐➺t ◆❛♠✳ ◆❤✐➲✉

❣✐→♦ ✈✐➯♥ ✤➣ sû ❞ö♥❣

●❡♦❣❡❜r❛

tr♦♥❣ t❤✐➳t ❦➳ ❜➔✐ ❣✐↔♥❣✱ ✈✐➳t ❝→❝ s→♥❣ ❦✐➳♥

❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ❝→❝ ❝❤✉②➯♥ ✤➲✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❝❤÷❛ ❝â ♠ët ❝✉è♥ s→❝❤ ♥➔♦ ✈✐➳t

●❡♦❣❡❜r❛✱ ❝→❝ t tr tữớ t tr ữợ sû ❞ư♥❣
●❡♦❣❡❜r❛✱ ❝❤÷❛ ❝â ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ ✈✐➳t ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ ♠❛♥❣ t➼♥❤ ❝❤✉②➯♥ s➙✉✳
▼ö❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❧➔ t❤✉②➳t ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❤✐➺✉ q✉↔ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣
✈➲

❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ ❝õ❛ ❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ số t
ỗ ữỡ
ữỡ t➟♣ ❤đ♣ ♠ët sè ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛

●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t

sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ♥❤➡♠ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ▼➦❝ ❞ị ❝❤÷❛ ❧✐➺t ❦➯
✤➛② ✤õ ❝→❝ ❧➺♥❤ ✈➔ ❝❤÷❛ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❤➳t ❝→❝ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣

●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣

❙è ❤å❝ ✈➔ ▲➼ t❤✉②➳t sè✱ ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝ơ♥❣ ❤✐ ✈å♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❧➔
t➔✐ ❧✐➺✉ ❝â ➼❝❤ ✈➔ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ♥❤ú♥❣ ợ t q ợ
ữỡ ỗ ố ❝❤✉②➯♥ ✤➲✳

❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✶

♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣

●❡♦❣❡❜r❛✳

❝❤➾ ♠ët ❧➺♥❤ ✐❢❛❝t♦r ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛

tr♦♥❣ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➔ ❣✐↔✐ q✉②➳t ♠ët sè ❣✐↔ t❤✉②➳t ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳

❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✷

♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣

❝❤➾ ♠ët ❧➺♥❤ ❢❛❝t♦r ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛

tr♦♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✳
❈â t❤➸ ❝♦✐

●❡♦❣❡❜r❛

♥❤÷ ♠ët

❝ỉ♥❣ ❝ư t❤➼ ♥❣❤✐➺♠

✤➸ t➻♠ r❛ q✉② ❧✉➟t tr♦♥❣

♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❤♦➦❝ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët ✤❛ t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✳

❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✸ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ sû ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ ♣❤➛♥
❍➔♠ sè ✈➔ ỗ t ởt q trồ tr ữỡ tr t ♣❤ê t❤æ♥❣✳
❈❤✉②➯♥ ✤➲ ✹ ♠✐♥❤ ❤å❛ ❦❤↔ ♥➠♥❣ t➼♥❤ ❝→❝ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ❦❤â ❝❤➾ ❜➡♥❣ ♠ët ❧➺♥❤

P ừ r ỗ tớ ú tổ ụ ♥➠♥❣ ❦❤❛✐ t❤→❝
●❡♦❣❡❜r❛ ✈➔ ▼❛♣❧❡ tr♦♥❣ ❞↕② ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ①→❝ ✤à♥❤✳

❚r♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ❧✉➟♥ ✈➠♥✱ tỉ✐ ✤➣
♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ♥❤✐➲✉ sü ❣✐ó♣ ✤ï ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ✱ ❝→❝ ❛♥❤ ❝❤à ✈➔ ❣✐❛ ✤➻♥❤✳ ❱ỵ✐ t➜t ❝↔
t➜♠ ❧á♥❣ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤✱ tỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ tỵ✐ P●❙✳ ❚❙✳ ❚↕ ❉✉②
P❤÷đ♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ ❣✐ó♣ ✤ï✱ ❝❤➾ ❜↔♦✱ ữợ tổ tỹ
ự õ ỵ sỷ ❝❤ú❛ ✤➸ tæ✐ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✳
❚æ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝→♠ ì♥ ❝→❝ ❚❤➛②✱ ❈ỉ ❣✐→♦ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✲
✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ✤➣ t➟♥ t➻♥❤ tr✉②➲♥ ✤↕t ❝❤♦ tæ✐ ❦✐➳♥ t❤ù❝ tr♦♥❣ s✉èt ❤❛✐
♥➠♠ ❤å❝ t➟♣✱ ❧➔ ♥➲♥ t↔♥❣ ❝❤♦ tæ✐ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
tr qỵ t tổ tr sốt ❝✉ë❝ ✤í✐✳
❚ỉ✐ ①✐♥ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s➢❝ ♥❤➜t ✤➳♥ ❣✐❛ ✤➻♥❤ t❤➙♥ ②➯✉ ❝õ❛ tỉ✐✱
♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ ✤➣ ❧✉æ♥ ð ❜➯♥ tæ✐✱ õ♥❣ ❤ë ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ✈➔ ❧➔ ❝❤é ❞ü❛ ✈ú♥❣ ❝❤➢❝ ✤➸
tæ✐ ②➯♥ t➙♠ ❤å❝ t➟♣ ❤♦➔♥ t õ ồ
ố ũ tổ ú qỵ ổ ỗ
sự ọ t❤➔♥❤ ❝ỉ♥❣ tr♦♥❣ sü ♥❣❤✐➺♣✦
❚ỉ✐ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝→♠ ì♥✦


✺

❈❤÷ì♥❣ ✶

▼❐❚ ❙➮ ▲➏◆❍
❈❒ ❇❷◆ ❈Õ❆ ●❊❖●❊❇❘❆
❚❘❖◆● ❚➑◆❍ ❚❖⑩◆ ❙➮ ❍➴❈✱

▲Þ ❚❍❯❨➌❚ ❙➮✱ ✣❸■ ❙➮ ❱⑨
●■❷■ ❚➑❈❍
✶✳✶✳ ❈➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ư♥❣ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ●❡♦❣❡❜r❛
✶✳✶✳✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♣❤➛♥ ♠➲♠●❡♦❣❡❜r❛
●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✤➢❝ ❧ü❝ trđ ❣✐ó♣ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉
t♦→♥ ❤å❝✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ❝â t❤➸ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤÷đ❝ ❤➛✉ ❤➳t ❝→❝ t➼♥❤ t♦→♥ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣
❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ♣❤ê t❤æ♥❣ ✈➔ ✤↕✐ ❤å❝ ✭sè ❤å❝✱ ✤↕✐ sè✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❤➻♥❤ ❤å❝✱
t♦→♥ t❤è♥❣ ❦➯✱✳ ✳ ✳✮✱ ❞♦ ✤â r➜t t✐➺♥ ❞ò♥❣ tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ t➟♣✱ ✤➦❝ ❜✐➺t
tr♦♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ✈➔ ❤å❝ t➟♣ t❤❡♦ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✈➔ s→❝❤ ợ ợ
ữợ t tr ỹ ❦❤➼❝❤ ❤å❝ s✐♥❤ tü ❤å❝✱ tü ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✳
▼ët tr♦♥❣ ♥❤ú♥❣ ÷✉ ✤✐➸♠ ♥ê✐ trë✐ ❝õ❛

●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ♠✐➵♥ ♣❤➼✱ ✈➔ ❝â

t❤➸ ❝❤✉②➸♥ ✤ê✐ ♥❣ỉ♥ ♥❣ú✱ t❤➼ ❞ư✱ tø t✐➳♥❣ ❆♥❤ s❛♥❣ t✐➳♥❣ ❱✐➺t ❤♦➦❝ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱
❝➔✐ ✤➦t ✈➔ t❤❛♦ t→❝ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t❤✉➟♥ t✐➺♥✳ ❈â t❤➸ ❧➯♥ ♠↕♥❣ t↔✐

●❡♦❣❡❜r❛✱ t➻♠

❤✐➸✉ ❝➔✐ ✤➦t ✈➔ sû ❞ö♥❣ q✉❛ ❝→❝ ❜➔✐ ✈✐➳t ✭t✐➳♥❣ ❱✐➺t ❤♦➦❝ t✐➳♥❣ ❆♥❤✮ ❤♦➦❝ q✉❛
❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➼❝❤ ố

r ữủ ợ t ❱✐➺t ◆❛♠ ❦❤♦↔♥❣ ✶✵ ♥➠♠ trð ❧↕✐ ✤➙②✱ ✈➔ ✤➣ ữủ
tứ ợ ợ ✣↕✐ ❤å❝✮ sû ❞ö♥❣ tr♦♥❣ ❜➔✐ ❣✐↔♥❣✱ tr♦♥❣


✻

t❤ü❝ ❤✐➺♥ ❝→❝ s→♥❣ ❦✐➳♥ ❦✐♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ❣✐↔♥❣ ❞↕②✱ ✤↕t ❤✐➺✉ q✉↔ tèt✳ ❈â t❤➸ sû
❞ö♥❣

●❡♦❣❡❜r❛ ✤➸ ✈➩ ❤➻♥❤ ✤ë♥❣✱ ỗ t t t tỹ t

t t♦→♥ ❤å❝ ♣❤ù❝ t↕♣ ✭♣❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛
t❤ù❝ r❛ t❤ø❛ sè✱ ✤ì♥ ❣✐↔♥ ❜✐➸✉ t❤ù❝✱ t➼♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠✱ t➼❝❤ ♣❤➙♥✱ ❧➟♣ ❜↔♥❣ t❤è♥❣
❦➯✱✳ ✳ ✳✮ ♠➔ ❦❤ỉ♥❣ ♠➜t ♥❤✐➲✉ t❤í✐ ❣✐❛♥✳

●❡♦❣❡❜r❛ ❝ơ♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ✤÷❛ ✈➔♦ ❈❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❚✐♥ ❤å❝ ❚r✉♥❣ ❤å❝ ỡ s
ợ r õ t ữợ ồ s ❝→❝ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♥❤ä ♥❤÷ t➻♠ ❤✐➸✉
♠ët sè ❣✐↔ t❤✉②➳t ✈➲ sè ♥❣✉②➯♥ tè✱ ❤♦➦❝ ❝→❝ tr↔✐ ♥❣❤✐➺♠ q✉❛♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t♦→♥ ❤å❝
✈➔ t❤ü❝ t➳✳ ❚❤➼ ❞ö✱ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ❣â✐ ❧➺♥❤ t❤è♥❣ ❦➯ ✤➸ ❦❤↔♦ s→t tr➻♥❤ ✤ë ❤å❝
t➟♣ ❝õ❛ ❤å❝ s✐♥❤ ♠ët tr÷í♥❣✱ ✤ë t✉ê✐ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝õ❛ ❞➙♥ sè ♠ët ①➣✱ ✳ ✳ ✳ ✈ỵ✐
♥❤ú♥❣ ❞ú ❧✐➺✉ t❤ü❝ ✈➔ ❜↔♥❣ ❞ú ❧✐➺✉ ❧ỵ♥✱ ✳ ✳ ✳

✶✳✶✳✷✳ ❈➔✐ ✤➦t ♣❤➛♥ ♠➲♠
• ❱➔♦ ❤tt♣✿✴✴✇✇✇✳❣❡♦❣❡❜r❛✳♦r❣✴❞♦✇♥❧♦❛❞ ✤➸ t↔✐ ♣❤➛♥ ♠➲♠ ✈➲ ♠→②✳
❙❛✉ ❦❤✐ ❝➔✐ ✤➦t✱ ❝❤å♥ ❘✉♥✱ ●❡♦●❡❜r❛ s➩ ❦❤ð✐ ở ữỡ tr
ữ ữợ

ã s❛♥❣ ♥❣ỉ♥ ♥❣ú ❦❤→❝✱ ✈➼ ❞ư✱ tø t✐➳♥❣ ❆♥❤ s❛♥❣ t✐➳♥❣ ❱✐➺t✿ ♥❤→②

❖♣t✐♦♥s tr➯♥ t❤❛♥❤ ❝ỉ♥❣ ❝ư ✭♠❡♥✉✮✱ ❝❤å♥ ▲❛♥❣✉❛❣❡✱ ❝❤å♥ ❘✲❩✱ ❝❤å♥
❱✐❡t♥❛♠❡s❡✴❚✐➳♥❣ ❱✐➺t ✤÷đ❝ ❣✐❛♦ ❞✐➺♥ t✐➳♥❣ ❱✐➺t ♥❤÷ ữợ





ởt số ự
ã ồ ổ trữớ ✈✐➺❝✿ ❑❤✐ ❦❤ð✐ ✤ë♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ s➩ ①✉➜t ❤✐➺♥

❜↔♥❣ ♣❤è✐ ũ ỹ ồ ổ trữớ ỗ số ỗ
t ồ ỗ ồ ❳→❝ s✉➜t t❤è♥❣ ❦➯✱✳✳✳ ▼ỉ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝
✤÷đ❝ ♠➦❝ ✤à♥❤ tr

số ỗ t õ t❤➸ ❝❤♦ ➞♥✴❤✐➺♥ ❜↔♥❣

♣❤è✐ ❝↔♥❤ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ ❝❧✐❝❦ ❝❤✉ët ✈➔♦ ❜✐➸✉ t÷đ♥❣ ♠ơ✐ t➯♥ ð ❝↕♥❤ ♣❤↔✐ ❝õ❛ ❝û❛
sê ✤➸ ❝❤å♥ ❧↕✐ ♠ët ♠ỉ✐ tr÷í♥❣ ❧➔♠ ✈✐➺❝ ❦❤→❝✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➳ ở
õ t



số ỗ t

ữợ ũ ừ ❝û❛ sê ❞ò♥❣ ✤➸ ♥❤➟♣ ❧➺♥❤ trü❝ t✐➳♣ ❦❤✐

✈➩ ❤➻♥❤✱ t t ữợ


✽

●❡♦❣❡❜r❛ ❝â t❤➸ ❧➔♠ ✤÷đ❝ ❦❤→ ♥❤✐➲✉ ✈✐➺❝✿ sè ❤å❝✱ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ❤➻♥❤ ❤å❝✱ t❤è♥❣ ❦➯
✈➔ ①→❝ s✉➜t✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ÷✉ ✤✐➸♠ ♥ê✐ trë✐ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ ❧➔ ✈❛✐ trá ❝õ❛ ♥â tr♦♥❣
trđ ❣✐ó♣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ❤➻♥❤ ❤å❝ ♠ët ❝→❝❤ trü❝ q✉❛♥✱ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✤ë♥❣✱ ❝❤♦ ♣❤➨♣ ✈➩
❤➻♥❤✱ ✈➩ t❤✐➳t ❞✐➺♥ ✈➔ ①♦❛②✱ t➻♠ q✉ÿ t➼❝❤✱✳✳✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ t➟♣ tr✉♥❣ tr➻♥❤ ❜➔② ỡ ừ

r tr ố ồ ỵ

tt số ✣↕✐ sè ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤✳ ❙û ❞ö♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ ❤➻♥❤ ❤å❝ ❤♦➦❝ ①→❝ s✉➜t

t❤è♥❣ ❦➯ ❝â t❤➸ ①❡♠ tr♦♥❣ ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ tr➼❝❤ ❞➝♥ ð ❝✉è✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥✳

✶✳✶✳✹✳ ▼ët sè ❤➔♠ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ●❡♦❣❡❜r❛
√
✶✳ sqrt(x) : ❈➠♥ ❜➟❝ ❤❛✐ ❝õ❛ x ✭ x✮
✷✳ ❛❜s(x) : ❚rà t✉②➺t ✤è✐ ❝õ❛ x ✭|x|✮✳
✸✳ ❢❧♦♦r(x) : ❍➔♠ s➔♥✱ ❤➔♠ ♣❤➛♥ ♥❣✉②➯♥ ✭sè ợ t ổ ữủt q

x
ử r(3.14) = 3;


r( 2) = −2.

✹✳ ❝❡✐❧(x) : ❍➔♠ tr➛♥ ✭sè ♥❣✉②➯♥ ♥❤ä ♥❤➜t ❧ỵ♥ ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❜➡♥❣ x✮✳
√
❱➼ ❞ư✿ ❝❡✐❧(3.14) = 4;
❝❡✐❧(− 2) = −1.
✺✳ r♦✉♥❞(x) : ▲➔♠ trá♥ ♠ët sè tỵ✐ ♠ët sè ❝❤ú sè ✤➣ ①→❝ ✤à♥❤✳
❱➼ ❞ö✿
❛✳ ▲➔♠ trá♥ sè 23, 7825 ✤➳♥ ❤❛✐ ❝❤ú sè t❤➟♣ ♣❤➙♥✿
r♦✉♥❞(23.7855, 2) = 23.79.
❜✳ ▲➔♠ trá♥ sè 21, 5 ✤➳♥ ♠ët ✈à tr➼ t❤➟♣ ♣❤➙♥ ✈➲ ❜➯♥ tr→✐ ❝õ❛ ❞➜✉ t❤➟♣ ♣❤➙♥✿
r♦✉♥❞(21.5, −1) = 20.
✻✳ ❡①♣(x) : ex .
✼❛✳ ❧❣(x) : ❧æ❣❛r✐t t❤➟♣ ♣❤➙♥ ✭❧➔ log10 x ✮✳
✼❜✳ ❧♥(x) : ▲æ❣❛r✐t tü ♥❤✐➯♥ ✭❧➔ ❧ỉ❣❛r✐t ❝ì sè e✮✳
✽✳ ❍➔♠ sè ❧÷đ♥❣ ❣✐→❝✿ sin(x), cos(x), tan(x), cot(x).
ex − e−x
✾✳ s✐♥❤(x) :=

.
2
ex + e−x
✶✵✳ ❝♦s❤(x) :=
.
2
s✐♥❤(x)
✶✶✳ t❛♥❤(x) :=
.
❝♦s❤(x)


✾

✶✷✳ ❝♦t❤(x) :=

❝♦s❤(x)
.
s✐♥❤(x)

✶✸✳ s❡❝(x) := s❡❝❤(x) = (❝♦s❤(x))−1 =
✶✹✳ ❝♦s❡❝(x) := ❝s❝❤(x) = (s✐♥❤(x))−1
✶✺✳ s❣♥(x) : ❍➔♠ ❞➜✉✳
❱➼ ❞ö✿ s✐❣♥(π) = 1;

2
.
ex + e−x
2
= x

.
e − e−x

s✐❣♥(−π) = −1.

✶✳✷✳ ▼ët sè ❧➺♥❤ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ●❡♦❣❡❜r❛ tr♦♥❣ sè ❤å❝ ✈➔ ỵ
tt số
q số tố
P❤➙♥ t➼❝❤ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ r❛ ♠ët sè ♥❣✉②➯♥ tè
●❡♦❣❡❜r❛ ❝â t❤➸ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❝→❝ sè ❦❤→ ❧ỵ♥ r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳

❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ✐❢❛❝t♦r
❱➼ ❞ö ✶✳✶✿ P❤➙♥ t➼❝❤ sè 2410199501091995281220171308199315081988 r❛
t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✿ P❤➙♥ t➼❝❤ sè 2

(26 )

+ 1 r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè✳

❜✳ ❚➻♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✤ù♥❣ ♥❣❛② s❛✉ ♠ët sè tü ♥❤✐➯♥ N
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ♥❡①t♣r✐♠❡✭◆✮
❱➼ ❞ö ✶✳✸✿ ❚➻♠ sè ♥❣✉②➯♥ tè ✤ù♥❣ ♥❣❛② s❛✉
123456789987654321123456789987654321123456789987654321123456789987654321


✶✵

◆❤➟♥ ①➨t✿ ◆➳✉ ❞ị♥❣ ❧➺♥❤

✐❢❛❝t♦r (123456789987654321123456789987654321123456789987654321123456789987654433)
t❤➻ ●❡♦❣❡❜r❛ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ữủ số q ợ ữ r t
ữủ số ♥❣✉②➯♥ tè ✤ù♥❣ s❛✉ ♥â✳

❝✳ ❑✐➸♠ tr❛ ♠ët sè ❝â ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤æ♥❣
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❈âP❤↔✐◆❣✉②➯♥❚è✭❁❙è❃✮ ❤♦➦❝ ■s♣r✐♠❡✭❁♥✉♠❜❡r❃✮
❱➼ ❞ö ✶✳✹✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❈âP❤↔✐◆❣✉②➯♥❚è✭❁❙è❃✮ ❦✐➸♠ tr❛ sè 290324022019
❝â ♣❤↔✐ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤ỉ♥❣✳

❙û ❞ư♥❣ ❧➺♥❤ ✐❢❛❝t♦r t❛ ✤÷đ❝✿

❱➼ ❞ư ✶✳✺ ✿ ❙û ❞ư♥❣ ❧➺♥❤ ■s♣r✐♠❡✭❁♥✉♠❜❡r❃✮ ❦✐➸♠ tr❛ sè 121499449 ❝â
♣❤↔✐ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤æ♥❣✳


✶✶

❱➼ ❞ö ✶✳✻✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ■s♣r✐♠❡✭❁♥✉♠❜❡r❃✮ ❦✐➸♠ tr❛ sè 290324022019
❝â ♣❤↔✐ ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ tè ❦❤æ♥❣✳

✶✳✷✳✷✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ✈➔ sè ❞÷
❛✳ ❚➻♠ t❤÷ì♥❣ ✈➔ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ ♠ët sè a ❝❤♦ ♠ët sè b
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ P❤➨♣❈❤✐❛✭❁❙è ❜à ❝❤✐❛❃✱❁❙è ❝❤✐❛❃✮ ❤♦➦❝ ❞✐✈✐s✐♦♥✭✱✮✳
❱➼ ❞ö ✶✳✼✿ ❙û ❞ư♥❣ ❧➺♥❤ ❞✐✈✐s✐♦♥✭✱✮ t➻♠ t❤÷ì♥❣ ✈➔ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè
2017201820192020 ❝❤♦ sè 2021✳

❱➟② t❤÷ì♥❣ ✈➔ ♣❤➛♥ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ 2017201820192020 ❝❤♦ sè 2021 ❧➔

998120643340 ✈➔ 1880.

❱➼ ❞ư ✶✳✽✿ ❙û ❞ư♥❣ ❧➺♥❤ ❞✐✈✐s✐♦♥✭✱✮ t➻♠ t❤÷ì♥❣ ✈➔ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè

103200610320061032006 ❝❤♦ sè 2010.


✶✷

❱➟② t❤÷ì♥❣ ✈➔ ♣❤➛♥ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ 2017201820192020 ❝❤♦ sè 2021 ❧➔

998120643340 ✈➔ 1880.

❱➼ ❞ö ✶✳✾ ✿

❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤

P❤➨♣❈❤✐❛✭❁❙è ❜à ❝❤✐❛❃✱❁❙è ❝❤✐❛❃✮ t➻♠

t❤÷ì♥❣ ✈➔ ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè 1000000001 ❝❤♦ sè 11.

❱➟② 1000000001 ❝❤✐❛ ❤➳t ❝❤♦ 11✱ ✤÷đ❝ t❤÷ì♥❣ ❧➔ 90909091.

❜✳ ❚➻♠ sè ❞÷ ❦❤✐ ❝❤✐❛ ♠ët sè a ❝❤♦ ♠ët sè b
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❙♦❉✉✭❁❙è ❜à ❝❤✐❛❃✱❁❙è
ử ỷ ử ố ìợ sè❃✮ t➻♠ sè ❞÷
❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè 2017201820192020 ❝❤♦ sè 2021.

❱➟② sè ❞÷ ❝õ❛ ♣❤➨♣ ❝❤✐❛ sè 2017201820192020 ❝❤♦ sè 2021 1880.

ìợ số

ố
ố t tt ữợ số ừ số
ử ỷ ử ố t số ữợ sè ❝õ❛ sè 1000000001✳




s ữợ số
ố
ố s t tt ữợ
số ❝õ❛ sè ✤➣ ❝❤♦✳

❱➼ ❞ö ✶✳✶✷✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❉❛♥❤❙❛❝❤❯♦❝❙♦✭ ố t ữợ số
ừ số 1000000001


1, 7, 11, 13, 19, 77, 91, 133, 143, 209, 247, 1001, 1463, 1729, 2717, 19019, 52579, 368053, 578369,
683527, 999001, 4048583, 4784689, 6993007, 7518797, 10989011, 12987013, 52631579, 76923077,
90909091, 142857143, 1000000001✳
❱➟② 1000000001 ❝â 32 ữợ số trũ ợ ử

ờ ữợ số
ờìợốố
ờìợốố tt tờ ừ ìợ số
ử ỷ ử ờìợố ố t tờ ữợ số ừ số
1000000001

tr 1 + 7 + 11 + 13 + 19 + 77 + 91 + 133 + 143 + 209 + 247 + 1001 +

1463 + 1729 + 2717 + 19019 + 52579 + 368053 + 578369 + 683527 + 999001

+4048583 + 4784689 + 6993007 + 7518797 + 10989011 + 12987013 + 52631579 +
76923077 + 90909091 + 142857143 + 1000000001 = 1413350400✳

❞✳ ❚➻♠ ❜ë✐ sè ❝❤✉♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿
❇❙❈◆◆ ✭❁❞❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮❀ ❇❙❈◆◆✭❁sè❃✱❁sè❃✮ ❤♦➦❝ ❧❝♠✭✱✮


✶✹

❱➼ ❞ö ✶✳✶✹✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❇❙❈◆◆✭❁sè❃✱❁sè❃✮ t➻♠ ❜ë✐ sè ❝❤✉♥❣ ♥❤ä
♥❤➜t ❝õ❛ ❤❛✐ sè 2410199501091995, 2812201711122017.

❍❛✐ sè 2410199501091995 ✈➔ 2812201711122017 ❝â
❇❙❈◆◆❂6777967161116340019928186953915.
▼✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t q✉↔✱ t❛ ♣❤➙♥ t➼❝❤ ❤❛✐ sè ✤➣ ❝❤♦ r❛ t❤ø❛ sè ♥❣✉②➯♥ tè

❱➻ 2410199501091995 ✈➔ 2812201711122017 ổ õ ữợ
ừ ú t➼❝❤ ❝õ❛ ❝❤ó♥❣✳

❱➼ ❞ư ✶✳✶✺ ✿ ❙û ❞ư♥❣ ❧➺♥❤ ❧❝♠✭✱✮ t➻♠ ❜ë✐ sè ❝❤✉♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❤❛✐ sè

2410199501091995, 2812201711122017.

❱➼ ❞ö ✶✳✶✻✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❇❙❈◆◆✭❁❞❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮ t➻♠ ❜ë✐ sè
❝❤✉♥❣ ♥❤ä ♥❤➜t ❝õ❛ ❝→❝ sè A = 118932, B = 157993, C = 38743.
❚❤❡♦ ✤à♥❤ ❧➼ ✈➲ ❇❙❈◆◆ ❝õ❛ ❜❛ sè ❆✱❇✱❈ t❛ ❝â ❇❙❈◆◆✭❆✱❇✱❈✮❂❇❙❈◆◆✭❇❙❈◆◆✭❆✱❇✮✱❈✮✳
❱➟② ✤➸ t➻♠ ❇❙❈◆◆ ❝õ❛ ❜❛ sè ❆✱ ❇✱❈✱ t❛ ✤➦t ❊ ❂ ❇❙❈◆◆✭❆✱❇✮✱ s❛✉ ✤â t➻♠

✶✺

❇❙❈◆◆✭❊✱❈✮ t❛ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ ❝➛♥ t➻♠✳
❈→❝❤ ✶✿

❍♦➦❝

❈→❝❤ ✷✿

▼✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t q✉↔ tr➯♥✱ t❛ t➼♥❤




ữ ừ

22 ì 3 × 11 × 17 × 43 × 53 × 271 = 1385914596.

ữ ỵ t ữủ tỹ ✤ë♥❣ ❤✐➸♥ t❤à ❊ tr➯♥ ❞❛♥❤
s→❝❤ ❍✐➸♥ t❤à ✤è✐ t÷đ♥❣✳

❡✳ ữợ số ợ t

s sè❃✮❀ ❯❙❈▲◆✭❁sè❃✱❁sè❃✮ ❤♦➦❝ ❣❝❞✭✱✮
❱➼ ❞ö ✶✳✶✼✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❯❙❈▲◆✭❁sè❃✱❁sè❃✮ t ữợ số ừ
số 2410199501091995, 2812201711122017.

số 24101995 ✈➔ 01091995 ❝â ❯❙❈▲◆❂1.
▼✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t q✉↔✱ t❛ ♣❤➙♥ t➼❝❤ r❛ t❤ø❛ sè✿

số ổ õ ữợ số 1 ❯❙❈▲◆ ❧➔ 1.

❱➼ ❞ö ✶✳✶✽✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❯❙❈▲◆✭❁❞❛♥❤ s→❝❤ số t ữợ số

ừ số 2000, 1975, 1910.
▼✉è♥ t➻♠ ❯❙❈▲◆ ❝õ❛ ❜❛ sè 2000, 1975, 1910 t❛ ❝â t❤➸ t➻♠ ❯❙❈▲◆ ❝õ❛ ❤❛✐ sè

2000, 1975 ❜➡♥❣ 25 s❛✉ ✤â t➻♠ ❯❙❈▲◆ ❝õ❛ 25 ✈➔ 1910.

▼✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t q✉↔✱ t❛ t➼♥❤✿

❱➼ ❞ö ✶✳✶✾✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❣❝❞✭✱✮ t ữợ số ợ t ừ số
24101995, 01091995.

ử

ỷ ử

2000, 1975, 1910.

t ữợ số ❧ỵ♥ ♥❤➜t ❝õ❛ ❜❛ sè


✶✽

❢✳ ▼➝✉ sè ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿▼❛✉❙♦❈❤✉♥❣✭ ❁❇✐➸✉ t❤ù❝❃✱ ❁❇✐➸✉ t❤ù❝❃ ✮

❱➼ ❞ö ✶✳✷✶✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ▼❛✉❙♦❈❤✉♥❣✭ ❁❇✐➸✉ t❤ù❝❃✱ ❁❇✐➸✉ t❤ù❝❃
✮ t➻♠ ♠➝✉ sè ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ❜✐➸✉ t❤ù❝ 121 , 211 ✳

❣✳ ❈❤✉②➸♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ ♠ët sè tr♦♥❣ ❤➺ ❝ì sè a s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè b
❣✶✳ ❈❤✉②➸♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ ♠ët sè tr♦♥❣ ❤➺ ❝ì sè a s❛♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❈❤✉②➸♥❙❛♥❣❍➺❚❤➟♣P❤➙♥✭ ✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥❃✧✱❁❈ì
sè❃ ✮
Ð ✤➙②✱✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥❃✧ ❧➔ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ sè tr♦♥❣ ❤➺ ❝ì sè ✤➣ ❝❤♦✱ ❁❈ì
sè❃ ❧➔ ❝ì sè ♠➔ sè ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥ ✤÷đ❝ ✈✐➳t✱ ❦➳t q✉↔ ❧➔ sè tr♦♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥✳

❱➼ ❞ư ✶✳✷✷✿ ❙û ❞ư♥❣ ❧➺♥❤ ❈❤✉②➸♥❙❛♥❣❍➺❚❤➟♣P❤➙♥✭ ✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥
❜↔♥❃✧✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥ sè 1000001 tø ❤➺ ❝ì sè 2 s❛♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥✳

▼✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t q✉↔ t❛ ❧➔♠ ♥❤÷ s❛✉✿

10000012 = 1.26 + 0.25 + 0.24 + 0.23 + 0.22 + 0.21 + 1.20


✶✾

= 64 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 = 65.

❱➼ ❞ö ✶✳✷✸✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤
❈❤✉②➸♥❙❛♥❣❍➺❚❤➟♣P❤➙♥✭✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥❃✧✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥
sè 10002 tø ❤➺ ❝ì sè 3 s❛♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥✳

▼✉è♥ ❦✐➸♠ tr❛ ❦➳t q✉↔ t❛ ❧➔♠ ♥❤÷ s❛✉✿

100023 = 1.34 + 0.33 + 0.32 + 0.31 + 2.30
= 81 + 0 + 0 + 0 + 2

= 83.

❱➼ ❞ö ✶✳✷✹✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤
❈❤✉②➸♥❙❛♥❣❍➺❚❤➟♣P❤➙♥✭✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥❃✧✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥
sè 10004 tø ❤➺ ❝ì sè 3 s❛♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥✳

▼→② ✤➦t ❞➜✉ ❄ ✈➻ tr♦♥❣ ❤➺ ❝ì sè 3 ❦❤ỉ♥❣ ❝â sè 10004.

❣✷✳ ❈❤✉②➸♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ ♠ët sè tr♦♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥ s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè b
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❈❤✉②➸♥❍➺✣➳♠✭❁❙è❃✱❁❈ì sè❃✮
Ð ✤➙②✱ ❁❙è❃ ❧➔ ❜✐➸✉ ❝õ❛ sè tr♦♥❣ ❤➺ t❤➟♣ ♣❤➙♥✱ ❁❈ì sè❃ ❧➔ ❝ì sè ♠➔ t❛ ❝➛♥
❝❤✉②➸♥ sè ✤➣ ❝❤♦ s❛♥❣✳

❱➼ ❞ö ✶✳✷✺✿ ❙û ❞ư♥❣ ❧➺♥❤ ❈❤✉②➸♥❍➺✣➳♠✭❁❙è❃✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥

sè 10001 tø ❤➺ ❝ì sè 10 s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè 2✳


✷✵

❱➼ ❞ư ✶✳✷✻✿ ❙û ❞ư♥❣ ❧➺♥❤ ❈❤✉②➸♥❍➺✣➳♠✭❁❙è❃✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥ sè
65 tø ❤➺ ❝ì sè ✶✵ s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè 7.

❣✸✳ ❈❤✉②➸♥ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ ❝õ❛ ♠ët sè tr♦♥❣ ❤➺ ❝ì sè a s ỡ số b
ữợ ởt số tø ❤➺ ❝ì sè a s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè 10 t❤❡♦ g1.

❱➼ ❞ư ✶✳✷✼✿ ❙û ❞ư♥❣ ❧➺♥❤
❈❤✉②➸♥❙❛♥❣❍➺❚❤➟♣P❤➙♥✭✧❁❙è ❞↕♥❣ ✈➠♥ ❜↔♥❃✧✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥
sè 10002 tø ❤➺ ❝ì sè 3 s❛♥❣ ❤➺ t

ữợ số ứ ữủ tr ❝ì sè 10 s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè b t❤❡♦ g2.

❱➼ ❞ư ✶✳✷✽✿ ❙û ❞ư♥❣ ❧➺♥❤ ❈❤✉②➸♥❍➺✣➳♠✭❁❙è❃✱❁❈ì sè❃✮ ❝❤✉②➸♥ sè
83 tø ❤➺ ❝ì sè ✶✵ s❛♥❣ ❤➺ ❝ì sè 7.


✷✶

✶✳✷✳✸✳ ❈→❝ ❧➺♥❤ ✈➲ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ tr✉♥❣ ❜➻♥❤
❛✳ ❚r✉♥❣ ❜➻♥❤ ❤➻♥❤ ❤å❝ ✭tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ♥❤➙♥✮
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✿ ❚r✉♥❣ ❜➻♥❤ ♥❤➙♥ ❝õ❛ n sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ x1.x2..., xn > 0 ❧➔
√
n

x1 , x2 ...xn

❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❚r✉♥❣❇✐♥❤❍✐♥❤❍♦❝✭❁❉❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮
❱➼ ❞ö ✶✳✷✾✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❚r✉♥❣❇✐♥❤❍✐♥❤❍♦❝✭❁❉❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮
t➻♠ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ♥❤➙♥ ❝õ❛ ❝→❝ sè 15, 17, 19, 21✳

❑✐➸♠ tr❛ tr➯♥

❈❛s✐♦

tr tr

r

ữ ỵ r số õ t ❧➔ ❣➛♥ ✤ó♥❣✳

❜✳ ❚r✉♥❣ ❜➻♥❤ ✤✐➲✉ ❤á❛
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✿ ❚r✉♥❣ ❜➻♥❤ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❝õ❛ n sè t❤ü❝ ❦❤→❝ ❦❤æ♥❣ x1, x2, ..., xn
❧➔

H=

n
1
1
1
+
+ ... +
x1 x2
xn

❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❚r✉♥❣❇✐♥❤❉✐❡✉❍♦❛✭❁❉❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮
❱➼ ❞ö ✶✳✸✵✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❚r✉♥❣❇✐♥❤❉✐❡✉❍♦❛✭❁❉❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮
t➻♠ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ✤✐➲✉ ❤á❛ ❝õ❛ ❝→❝ sè 14, 17, 29, 56.


✷✷

❑✐➸♠ tr❛ tr➯♥

❈❛s✐♦ ❢①✲✺✽✵❱◆❳✿

❑✐➸♠ tr❛ tr➯♥

●❡♦❣❡❜r❛✿

❝✳ ❚r✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝➠♥ t❤ù❝
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❚r✉♥❣❇✐♥❤❈❛♥❚❤✉❝✭❁❉❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮
❱➼ ❞ö ✶✳✸✶✿ ❙û ❞ö♥❣ ❧➺♥❤ ❚r✉♥❣❇✐♥❤❈❛♥❚❤✉❝✭❁❉❛♥❤ s→❝❤ ❝→❝ sè❃✮
t➻♠ tr✉♥❣ ❜➻♥❤ ❝➠♥ t❤ù❝ ❝õ❛ ❤❛✐ sè 1 ✈➔ 3.

✶✳✷✳✹✳ ❈→❝ ❝➙✉ ❧➺♥❤ ▲æ❣✐❝
❍❛✐ ✤è✐ t÷đ♥❣ ❝â ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ❦❤ỉ♥❣
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❇➡♥❣◆❤❛✉❑❤ỉ♥❣✭❁✣è✐ t÷đ♥❣❃✱❁✣è✐ t÷đ♥❣❃✮
▲➺♥❤ ❇➡♥❣◆❤❛✉❑❤ỉ♥❣ ❝❤♦ ♣❤➨♣ s♦ s→♥❤ ❤❛✐ ✤è✐ t÷đ♥❣ ❝â ❜➡♥❣ ♥❤❛✉ ❤❛②
❦❤ỉ♥❣✳

❱➼ ❞ư ✶✳✸✷✿ ❙û ❞ư♥❣ ❧➺♥❤ ❇➡♥❣◆❤❛✉❑❤ỉ♥❣✭❁✣è✐ t÷đ♥❣❃✱❁✣è✐ t÷đ♥❣❃✮
s♦ s→♥❤ 3, 14 ✈➔ π.


✷✸

❱➼ ❞ư ✶✳✸✸✿
❙û ❞ư♥❣ ❧➺♥❤ ❇➡♥❣◆❤❛✉❑❤ỉ♥❣✭❁✣è✐ t÷đ♥❣❃✱❁✣è✐ t÷đ♥❣❃✮
√
s♦ s→♥❤ √

√
2+1
✈➔ 3 + 2 2.
2−1

✶✳✷✳✺✳ ●❡♦❣❡❜r❛ ✈ỵ✐ ✣↕✐ sè
❛✳ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛ t❤ù❝ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû
❈➙✉ ❧➺♥❤ ✿ ❢❛❝t♦r

❱➼ ❞ö ✶✳✸✹ ✭❚❤✐ ❍❙● ❧ỵ♣ ✽✱ ❤✉②➺♥ ●✐❛♦ ❚❤õ②✱ ✷✵✶✺ ✲ ✷✵✶✻✮ P❤➙♥ t➼❝❤ ✤❛
t❤ù❝ x2 (y − z) + y 2 (z − x) + z 2 (x − y) t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû✿

●✐↔✐
x2 (y − z) + y 2 (z − x) + z 2 (x − y) = x2 (y − z) + y 2 z − y 2 x + z 2 x − z 2 y
= x2 (y − z) + (y 2 z − z 2 y) − (y 2 x − z 2 x)
= x2 (y − z) + yz(y − z) − x(y 2 − z 2 )
= x2 (y − z) + yz(y − z) − x(y − z)(y + z)
= (y − z)(x2 + yz − xy − xz)
= (y − z)[x(x − y) − z(x − y)]
= (y − z)(x − y)(x − z).