Các mặt cong phương trình đạo hàm riêng và ứng dụng trong đồ họa máy tính

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀNTHƠNG

LƢƠNG NGỌC TÚ

CÁC MẶT CONG PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ
ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

Thái Ngun - Năm 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




i

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN
THƠNG

LƢƠNG NGỌC TÚ

CÁC MẶT CONG PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ
ỨNG DỤNG TRONG ĐỒ HỌA MÁY TÍNH

Chuyên ngành: KHOA HỌC MÁY TÍNH
Mã số

:

60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC
GS. TS. ĐẶNG QUANG Á

Thái Nguyên - Năm 2015
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




ii

MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................ v
LỜI CAM ĐOAN ................................................................................. vi
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT .......................... vii
DANH MỤC CÁC HÌNH .................................................................... vii
MỞ ĐẦU ............................................................................................... 8
Chƣơng 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG HÌNH HỌC ................... 13
1.1. ĐƢỜNG CONG ............................................................................ 13
1.1.1. Biểu diễn đƣờng cong ............................................................... 13
1.1.2. Ðặc tính của đƣờng cong .......................................................... 14
1.1.2.1. Độ chảy ................................................................................... 14

1.1.2.2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị........................................................... 15
1.1.2.3. Vectơ pháp tuyến chính .......................................................... 15
1.1.2.4. Độ cong và bán kính cong ...................................................... 16
1.1.2.5. Độ xoắn của đƣờng cong ........................................................ 16
1.2. MẶT CONG .................................................................................. 17
1.2.1. Phƣơng pháp biểu diễn mặt cong ............................................. 17
1.2.1.1. Mơ hình mặt cong dạng phƣơng trình ẩn.............................. 17
1.2.1.2. Mơ hình mặt cong dạng phƣơng trình tham số ..................... 17
1.2.1.3. Mơ hình mặt cong dạng phƣơng trình phi tham số............. 187
1.2.2. Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong ................................... 18
1.2.3. Độ cong ..................................................................................... 20

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




iii

1.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ .................................................. 21
1.3.1. Phép biến đổi tọa độ 2D .............................................................. 21
1.3.2. Phép biến đổi tọa độ 3D .............................................................. 23
1.3.3. Phép ánh xạ ................................................................................. 25
1.3.4. Khung tọa độ ............................................................................... 26
1.4. TỔNG KẾT CHƢƠNG..................................................................... 28
Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
TRONG THIẾT KẾ HÌNH HỌC................................................................... 30
2.1.

MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG30

2.1.1. Giới thiệu chung về phƣơng trình đạo hàm riêng ................................. 30
2.1.2. Phƣơng trình eliptic và phƣơng pháp giải .................................. 31
2.1.2.1.Phƣơng pháp tách biến Fourier ................................................. 32
2.1.2.2.Phƣơng pháp sai phân ............................................................... 33
2.1.2.3.Phƣơng pháp phần tử hữu hạn .................................................. 34
2.2. PHƢƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH
ELIPTIC CẤP BỐN ........................................................................................ 35
2.3. PHƢƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH
TAM ĐIỀU HÒA ............................................................................................ 42
2.4. PHƢƠNG PHÁP SINH MẶT CONG NHỜ PHƢƠNG TRÌNH
CẤP SÁU KHÁC ............................................................................................ 50
2.5. TỔNG KẾT CHƢƠNG ................................................................. 56

................................................................................... 57
3.1. XÂY DỰNG CHƢƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ
PHƢƠNG TRÌNH TAM ĐIỀU HỊA ............................................................ 57
3.2. XÂY DỰNG CHƢƠNG TRÌNH THIẾT KẾ MẶT CONG NHỜ
PHƢƠNG TRÌNH PDE CẤP SÁU KHÁC .................................................... 61
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




iv

3.3

.................................................................. 64

KẾT LUẬN .......................................................................................... 66
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................. 67

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




v

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phịng Đào tạo Sau Đại
học, Khoa Cơng nghệ Thơng tin Trường Đại học công nghệ thông tin và
truyền thông Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
em trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.
Đặc biệt, em xin gửi lời tri ân sâu sắc đến GS. TS Đặng Quang Á –
người đã dành nhiều thời gian, công sức và tận tình hướng dẫn khoa học cho
em trong suốt quá trình hình thành và hồn chỉnh luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô đã giảng dạy, truyền đạt cho em
những tri thức quý báu, thiết thực trong suốt khóa học.
Cuối cùng xin bày tỏ lịng biết ơn đối với gia đình, người thân, bạn bè,
đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên, đóng góp ý kiến quý báu cho em trong
việc hoàn thành luận văn này.

Thái Nguyên, ngày tháng năm 2015
Tác giả

Lƣơng Ngọc Tú

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




vi

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của GS.TS Đặng Quang Á.
Mọi trích dẫn sử dụng trong báo cáo này đều được ghi rõ nguồn tài
liệu tham khảo theo đúng qui định.
Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo, hay gian trá, tôi
xin chịu hoàn toàn trách nhiệm.

Thái Nguyên, ngày tháng

năm 2015

Tác giả

Lƣơng Ngọc Tú

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




vii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
Tiếng Anh
Từ viết tắt

Tên đầy đủ

CAD

Computer Aided Design

PDE

Partial differential equations

Phƣơng trình đạo hàm riêng

CSG

Constructive solid geometry

Phƣơng pháp hình học lập thể

B-rep

Boundary representation

Phƣơng pháp biểu diễn biên

FFD

free-form deformation

Tự do biến dạng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN

Diễn giải
Hệ thống thiết kế có sự trợ giúp
của máy tính




viii

DANH MỤC HÌNH
Hình 1.1. Tham số hóa đƣờng trịn đơn vị ................................................................ 13
Hình 1.2. Vectơ pháp truyến chính và đƣờng trịn mật tiếp...................................... 16
Hình 1.3. Hình học mặt cong .................................................................................... 18
Hình 1.4. Đƣờng cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến ................................ 19
Hình 1.5. Phép biến đổi tọa độ 2D
Hình 1.6. Phép biến đổi tọa độ dƣới hình thức hệ tọa độ chuyển động
Hình 2.1. Bề mặt bình tạo ra bởi nghiệm đóng của PDEs ........................................ 31
Hình 2.2. Các dạng bề mặt bằng cách thay đổi các điều kiện biên tiếp tuyến. ....... 33

Hình 2.3. Các mặt cong PDE tƣơng ứng với các điều kiện biên cụ thể.................... 41
Hình 2.4. Các mặt cong PDE tƣơng ứng với các điều kiện biên cụ thể.................... 41
Hình 3.1. Thiết kế đối tƣợng bằng phƣơng trình tam điều hịa................................. 52
Hình 3.2. Thiết kế đối tƣợng bằng phƣơng trình tam điều hịa................................. 52

Hình 3.3. Thiết kế đối tƣợng bằng phƣơng trình cấp sáu khác ................................. 54
Hình 3.4. Thiết kế đối tƣợng bằng phƣơng trình cấp sáu khác ................................. 55
Hình 3.5. Giao diện mơ phỏng đối tƣợng bằng phƣơng trình tam điều hịa ............. 56
Hình 3.6. Giao diện mơ phỏng đối tƣợng bằng phƣơng trình cấp sáu khác ............. 56

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐHTN




MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Sinh mặt (surface) là một chủ thể quan trọng trong đồ họa máy tính
(computer graphics) và thiết kế có sự trợ giúp của máy tính (Computer Aided
Design – CAD [1]) các mơ hình hóa hình học một cách chi tiết. Nhờ sự phát
triển của cơng nghệ thơng tin, các ngành cơng nghiệp có liên quan đến ngành
hàng không vũ trụ, điện tử và tự động hóa... sử dụng CAD ngày một nhiều
hơn.
Thơng thƣờng thì một quy trình khởi đầu với việc định nghĩa một hình
dạng mẫu đƣợc yêu cầu bởi các khái niệm đặc tả hình dạng của sản phẩm và
các chức năng của nó. Quy trình này sau đó xử lý qua một chuỗi các hoạt
động lặp lại cho tới khi đạt đƣợc một thiết kế tối ƣu. Ngày nay, quy trình của
việc thiết kế tự động theo chức năng dựa trên việc gia tăng sử dụng các máy
tính. Mặc dù việc thiết kế hình dạng dựa trên việc mở rộng sử dụng các máy
tính khơng cung cấp giải pháp tự động cho một bài tốn thiết kế cho trƣớc,
nhƣng nó cũng làm tăng tính hiệu quả trong quy trình thiết kế. Bởi vậy, các
q trình chính của thiết kế các mặt cong bao gồm việc mơ tả hiệu quả hình
dáng và thao tác trên các tham số của mơ hình biểu diễn.
Mặt có thể biểu diễn tƣờng minh hoặc dạng ẩn và dạng tham số, trong
các dạng này thì dạng tham số là phổ biến nhất trong đồ họa máy tính, thực tại

ảo và CAD. Hầu hết các mặt tham số sử dụng các phƣơng pháp mơ hình hóa
dựa trên các điểm điều khiển (control-point based modelling) nhƣ Bezier, Bspline và NURBS. Gần đây phƣơng pháp mơ hình hóa nhờ phƣơng trình đạo
hàm riêng (Partial differential equations - PDE [2]) đƣợc phát triển mạnh mẽ.
Việc sinh mặt sử dụng lời giải của PDE gắn với các điều kiện biên xác định
có thể đƣợc xem nhƣ phƣơng pháp mơ hình hóa dựa trên vật lý (physics-base
modelling). Trong phƣơng pháp này việc lựa chọn phƣơng trình và các điều


10

kiện biên là các yếu tố rất quan trọng. Một số phƣơng pháp cả giải tích và
phƣơng pháp số đƣợc phát triển để tìm lời giải cho các phƣơng trình này [6],
[7].
So với các kỹ thuật thông thƣờng đƣợc sử dụng trong đồ họa máy tính,
phƣơng pháp thiết kế đồ họa, tạo các bề mặt cong dựa trên phƣơng trình đạo
hàm riêng có rất nhiều lợi thế:
- Sự tác động của một đối tƣợng PDE đƣợc xác định bởi giá trị biên của
các phƣơng trình vi phân do đó các bề mặt có thể dễ dàng đƣợc xác định
thơng qua các phƣơng trình vi phân bậc cao [5].
- Về nguyên tắc các đối tƣợng PDE có thể đƣợc tái tạo lại từ một tập
nhỏ các điều kiện biên. Thông tin nội bộ của chúng sẽ đƣợc tự động thu hồi
thông qua việc giải các phƣơng trình vi phân. Do đó các mơ hình PDE u
cầu ít tham số hơn các mơ hình lập thể dạng tự do tham số.
- Đặc biệt mơ hình PDE có rất nhiều lợi thế so với các kỹ thuật mơ hình
hóa hình khối thơng thƣờng, chẳng hạn nhƣ các hoạt động dựa trên các
đƣờng, biểu diễn các bề mặt biên. Vì vậy phƣơng pháp PDE có tiềm năng để
tích hợp các phƣơng pháp hình học lập thể (Constructive solid geometry-CSG
[3]), phƣơng pháp biểu diễn biên (Boundary representation- B-rep) v.v.. vào
một khung duy nhất.
- Tham số của mơ hình PDE cung cấp sự ánh xạ giữa chúng và khơng

gian vật lý. Do đó các mơ hình PDE và đặc biệt là các dạng biến thể của
chúng có thể cung cấp nguyên dạng tự do biến dạng (free-form deformation,
FFD) cho các đối tƣợng nhúng bên trong các mơ hình PDE.
- Các đối tƣợng PDE có thể thống nhất ở cả hai khía cạnh hình học và
vật lý trong các mơ hình thế giới thực, bởi vậy các u cầu khơng đồng nhất
và khác nhau có thể đƣợc thi hành và thỏa mãn một cách đồng thời.


11

Ngoài ra phƣơng pháp PDE cũng đƣợc sử dụng cho các mơ hình dạng
ẩn bởi vì các mơ hình dạng ẩn có lợi thế trong việc biểu diễn các đối tƣợng có
hình dạng tùy ý. Tuy nhiên, cả hai mơ hình sử dụng tham số và mơ hình ẩn
đều có những mặt mạnh và những hạn chế của riêng chúng. Ví dụ các mơ
hình tham số cung cấp các mơ tả hình dạng tƣờng minh trong khi đó mơ hình
ẩn lại khơng có đƣợc điều này. Do đó, việc sử dụng một cách thống nhất cả
hai phƣơng pháp sẽ có nhiều lợi thế trong việc mơ hình hóa hình học [4].
Nhận thấy tính thiết thực của vấn đề này và đƣợc sự gợi ý của giảng
viên hƣớng dẫn, tôi đã chọn đề tài “Các mặt cong phương trình đạo hàm
riêng và ứng dụng trong đồ họa máy tính” làm đề tài cho luận văn tốt nghiệp
của mình.
2. Đối tƣợng nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu của đề tài là phƣơng pháp phƣơng trình đạo hàm
riêng tạo dựng các mặt cong và nắn chỉnh hình dạng của chúng nhờ can thiệp
vào tham số trong chƣơng trình và thay đổi điều kiện biên.
3. Phạm vi nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu các kiến thức có liên quan, các cơ sở lý
thuyết nhƣ Cơ sở tốn học trong thiết kế hình học, các phƣơng pháp, kỹ thuật
đƣợc sử dụng trong việc thiết kế hình học, các kỹ thuật sử dụng phƣơng trình
đạo hàm riêng đặc biệt là các dạng phƣơng trình elliptic cấp bốn và cấp sáu kết

hợp với các điều kiện biên ứng dụng trong thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu những kiến thức tổng quan về thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể.
- Tìm hiểu phƣơng pháp phƣơng trình đạo hàm riêng ứng dụng trong
thiết kế hình dạng, bề mặt vật thể.


12

- Cài đặt thuật tốn ứng dụng các phƣơng trình đạo hàm riêng để thiết
kế hình dạng trong mơi trƣờng Matlab.
5. Những nội dung nghiên cứu chính
Bố cục của luận văn gồm phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, đối
tƣợng và nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài. Chƣơng một, tập trung trình bày
những kiến thức cơ bản về thiết kế hình học. Chƣơng hai, trình bày phƣơng
pháp phƣơng trình trình đạo hàm riêng trong thiết kế hình học, các kỹ thuật tạo
bề mặt trong thiết kế bề mặt, phƣơng pháp sinh mặt cong nhờ phƣơng trình
elliptic cấp bốn và cấp sáu. Chƣơng 3, trong chƣơng này chúng tôi đã sử dụng
các kết quả nghiên cứu liên quan đến phƣơng trình đạo hàm riêng để thiết kế
một số hình dạng bằng phƣơng trình elliptic cấp sáu.
Với những kết quả đạt đƣợc, phần cuối của luận văn nêu ra những phép
đo tính hiệu quả của nghiên cứu, đánh giá thuật toán và nêu vài đề xuất nhằm
tối ƣu thuật toán, đánh giá các kết quả đạt đƣợc, những hạn chế và đề xuất
hƣớng nghiên cứu tiếp theo của đề tài.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp đọc tài liệu
- Phƣơng pháp quan sát
- Phƣơng pháp phân tích – tổng hợp lý thuyết.
- Phƣơng pháp thực nghiệm.

13

Chƣơng 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG HÌNH HỌC
1.1. ĐƢỜNG CONG
Về mặt trực quan, đƣờng cong đƣợc định nghĩa nhƣ là quĩ đạo điểm
thỏa mãn một số điều kiện.
1.1.1. Biểu diễn đƣờng cong
Về tốn học, đƣờng cong có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng
- Phƣơng trình ẩn.
- Phƣơng trình tƣờng minh.
- Phƣơng trình tham số.
Xét đƣờng trịn đơn vị trên mặt phẳng (x – y), có tâm trùng với gốc hệ
tọa độ trên hình (1.1). Mối quan hệ giữa các tọa độ x và y đƣợc mơ tả bởi
phƣơng trình
f ( x, y)

y 2 1 0 Phương trình ẩn

x2

(1.1)

Nếu chỉ xét phần nửa trên của đƣờng trịn, phƣơng trình biểu diễn là

y
Nếu đặt góc

g ( x)

(1 x)1/2 Phương trình tường minh

(1.2)

giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đƣờng trịn,

ta có

x x( ) cos ; y

y( ) sin Phương trình tham số

(1.3)
Hình 1.1. Tham số hóa đƣờng tròn đơn vị


14

Trƣờng hợp đặt góc
tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì
t tg
y / ( x 1) Kết hợp với phƣơng trình (1.1) ta có
x

x(t )

(1 t 2 ) / (1 t 2 ); y

y(t )

2t / (1 t 2 )

(1.4)

Đây cũng là phƣơng trình tham số của đƣờng trịn và đƣợc gọi là
phương trình tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phƣơng trình tham số
hữu tỷ của đƣờng cong và mặt cong từ phƣơng trình đa thức ẩn đƣợc gọi là
tham số hóa.
Nên biểu diễn đƣờng cong 3D thích hợp dƣới dạng phƣơng trình tham số
x

x(t ); y

y (t ); z

z (t )

hay dƣới dạng vectơ r (t ) [x(t ), y(t ), z (t )].
Theo dạng phƣơng trình tham số, đƣờng cong đƣợc định nghĩa một cách
dễ dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định
đƣờng cong 3D bởi phƣơng trình ẩn hay tƣờng minh, bởi vì phƣơng trình ẩn
g ( x, y, z ) 0 biểu diễn bởi mặt cong, do đó cần hai phƣơng trình để xác định

đƣờng cong 3D. Trong trƣờng hợp này, đƣờng cong đƣợc định nghĩa nhƣ giao
tuyến giữa hai mặt cong.
1.1.2. Ðặc tính của đƣờng cong
Trong phần này để biểu diễn đƣờng cong, ta sử dụng phƣơng trình tham
số chuẩn tắc r r (t ) [x(t ), y(t ), z(t )].
Đặc tính cơ bản của đƣờng cong, bao gồm
a. Độ chảy của đƣờng cong.

b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị.
c. Vectơ pháp tuyến chính.
d. Độ cong và bán kính cong.
1.1.2.1. Độ chảy
Độ lớn của vectơ đạo hàm r '(t ) đƣợc gọi là độ chảy của đƣờng cong
S '(t )

r '(t ) .

(1.5)


15

Hãy tƣởng tƣợng đƣờng cong là con đƣờng và tham số t tƣợng trƣơng
cho thời gian. Nhƣ vậy, độ chảy của đƣờng cong tƣơng ứng với tốc độ chạy xe.
Đại lƣợng này đƣợc sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phƣơng
pháp quét hình.
Nếu đặt quãng đƣờng đi đƣợc là tham số s, phƣơng trình đƣờng cong
dạng r(s) trở thành phƣơng trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy
của đƣờng cong không phải là đặc tính riêng của đƣờng cong, đó là kết quả của
phép tham số hóa.
1.1.2.2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị
Cho s là tham số tự nhiên của đƣờng cong r(t), sao cho
s

0

r '(t ) dt.

Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đƣờng cong r(t) đƣợc định nghĩa nhƣ sau
T

dr / ds.

(1.6)

T

r '(t )/ | r '(t ) | .

(1.7)

hay dƣới dạng vi phân

1.1.2.3. Vectơ pháp tuyến chính
Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hóa giá trị, chúng ta
có vectơ đơn vị N, đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến chính của đƣờng cong
N (dT / dt )/ | dt / dt | (dT / ds)/ | dT / ds |

(1.8)

Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vng góc với vectơ T (Hình 1.2).
Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T và N đƣợc gọi là vectơ pháp tuyến
đôi xác định bởi quan hệ B= TxN.


16

Hình 1.2. Vectơ pháp truyến chính và đƣờng trịn mật tiếp

1.1.2.4. Độ cong và bán kính cong
Cho s là tham số tự nhiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đƣờng
cong r(t). Độ cong đƣợc định nghĩa nhƣ sau
k | dT / ds | ,

(1.9)

hay dƣới dạng vi phân
k

| r ' xr '' |
,
| r ' |3

(1.10)

trong đó r ' dr (t ) / dt ; r '' dr '/ dt .
Đối với đƣờng cong 2D dạng phƣơng trình tƣờng minh y
phƣơng trình trên có dạng k

y ( x) ,

y ''/ (1 y '2 )3/2 ,trong đó y ' dy / dx; y '' dy '/ dx .

Cho đƣờng trịn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 1.2) đi qua điểm hiện
thời r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đƣờng cong tại điểm
này.Đƣờng trịn này đƣợc gọi là đƣờng trịn mật tiếp, bán kính của đƣờng
trịng mật tiếp đƣợc gọi là bán kính cong và đƣợc xác định bởi

1/ k (1.11)

1.1.2.5. Độ xoắn của đường cong
Độ xoắn của đƣờng cong 3D đƣợc định nghĩa nhƣ sau

(dB / ds).N , trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp
tuyến đơi. Phƣơng trình cơ bản mơ tả đặc tính của đƣờng cong 3D đƣợc gọi là
phƣơng trình Serect-Frenet


17

dr / ds T ; dT / ds kN
dN / ds

B kT ; dB / ds

N

(1.12)

1

1.2. MẶT CONG
1.2.1. Phƣơng pháp biểu diễn mặt cong
Mơ hình mặt cong dạng phương trình ẩn.

1.2.1.1.

Cho mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc tọa độ Đề các.
Các điểm phía trong mặt cầu thỏa bất đẳng thức x2

và phƣơng trình x2

y2

y2

z2 1 0

z2 1 0

(1.13)
biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu.
Xét một cách tổng quát, phƣơng trình ẩn g ( x, y, z ) 0 biểu diễn mặt
cong giới hạn bởi hai nửa không gian g ( x, y, z ) 0 và g ( x, y, z ) 0 .
1.2.1.2. Mơ hình mặt cong dạng phương trình tham số
Theo hình học vi phân, mặt cong đƣợc định nghĩa nhƣ là ảnh của phép
ánh xạ chính qui tập hợp điểm trong khơng gian 2D vào khơng gian 3D và
đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình
r (u, v) [x(u, v), y(u, v), z (u, v)] ,

(1.14)

trong đó u và v là tham số của mặt cong.
Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hóa phƣơng trình
(1.13) bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt
cầu

r (u , v)

(cos v cos u ,cos v sin u ,sin v) ,

(1.15)


18

với 0 u

2

và

/2 v

/ 2.

Tƣơng tự nhƣ đƣờng tròn đơn vị có thể tham số hóa phƣơng trình mặt
cầu dƣới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ.
1.2.1.3. Mơ hình mặt cong dạng phương trình phi tham số
Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng (x-y) của hệ tọa độ
Descarte (u x, v y) , mơ hình tham số (1.14) trở thành phi tham số
r (u, v) (u, v, z (u, v)) hay z

z ( x, y) .

(1.16)

Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phƣơng trình (1.13)
đƣợc biểu diễn dƣới dạng tƣờng minh
z

(1 x 2

y 2 )1/2 với ( x2

y2 ) 1.

(1.17)

Hình học mặt cong đƣợc minh họa trên hình (1.3). Ta thƣờng gọi phần
mặt cong trong miền tham số giới hạn là mặt lƣới. Các mặt lƣới liên kết theo
điều kiện kết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp.

Hình 1.3. Hình học mặt cong
1.2.2. Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong
Xét đƣờng cong tham số 2D q(t) trên miền (u,v)của mặt cong tham số
r(u,v) hình (1.4)
q(t ) [u(t ), v(t )]T .

(1.18)


19

Hãy cho đƣờng cong r(t) là hình chiếu của đƣờng cong q(t) trên mặt
cong r(u,v), sao cho

r (t ) r (u(t ), v(t )) ( x(u(t ), v(t ), y(u(t ), v(t )), z(u(t ), v(t ))) .

(1.19)

Trƣờng hợp đặc biệt của (1.19) là đƣờng cong đẳng tham số

v v*, v(t ) t; u u*, u (t ) t .

Hình 1.4. Đƣờng cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến
1.2.2.1. Vectơ tiếp tuyến
Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) đƣợc định nghĩa nhƣ sau
ru

r / u; rv

r / v; ruv

2

r/ u v

(1.20)

Lấy đạo hàm phƣơng trình (1.19) theo t, ta có
r'

dr
dt

r dr
u dt

r dv

v dt

ru u ' rv v ',

(1.21)

trong đó r’ là vectơ tiếp tuyến của đƣờng cong r(t); ruvà rv là vectơ tiếp tuyến
của đƣờng cong đẳng tham số u = u*, v = v*. Ba vectơ tiếp tuyến r’, ruvà
rvxác định mặt phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 1.4).
1.2.2.2. Vectơ pháp tuyến
Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến đƣợc gọi là vectơ
pháp tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trƣớc và đƣợc xác định bởi


20

n

(ru rv )/ | ru rv | .

(1.22)

Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong.
1.2.2.3. Ma trận cơ sở thứ nhất
Vectơ tiếp tuyến (1.21) có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng ma trận
r ' ru u ' rv v '

trong đó

| ru , rv |; q '

dq(t ) / dt

q',

(1.23)

(du / dt , dv / dt )

[u ' v ']T .

Giá trị vectơ tiếp tuyến đƣợc tính nhƣ sau
| r '2 | (r ')T (r ') q 'T

trong đó G

T

ru

ru rv

ru rv

rv

T

q ' q 'T Gq ' ,

là ma trận cơ sở thứ nhất.

(1.24)
(1.25)

Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T đƣợc biểu diễn theo G nhƣ sau
T

r '/ | r ' | ( q ') / (q 'T Gq ')1/2

(1.26)

Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và
diện tích mặt cắt theo cơng thức đơn giản sau
S

ru rv dudv

1/2

| G | dudv .

(1.27)

1.2.3. Độ cong
1.2.3.1. Ma trận cơ sở thứ hai
Xét đƣờng cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 1.4) từ (1.21), đạo hàm
bậc hai của r(t) theo t có giá trị nhƣ sau
r '' u '(u ' ruu

v ' ruv ) u '' ru

v '(v ' rvv u ' ruv ) v '' rv .

(1.28)


21

Thực hiện phép nhân vô hƣớng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt
cong với chú ý rằng ru .n rv .n 0 , ta có
(u ') 2 ruu n 2u ' v ' ruv n (v ') 2 rvv n

r ''.n

trong đó q '

u'

ruu .n

và D

v'

ruv .n

ruv .n
rvv .n

q 'T Dq ' ,

(1.29a)

là ma trận cơ sở thứ hai.

1.2.3.2. Độ cong pháp tuyến
Từ phƣơng trình (1.12) đạo hàm bậc hai của r(t) đƣợc tính nhƣ sau
r ''

dr '
dt

d ( s 'T )
dt

s ''T

s 'T '

s ''T

( s ' kN ).

Thực hiện phép nhân vô hƣớng một lần nữa với vectơ n và chú ý rằng
T.n=0

r ''.n (s ')2 kN .n,

(1.29b)

giá trị kN.n ở biểu thức trên đƣợc gọi là độ cong pháp tuyến kn. Từ các công
thức (1.29) và (1.25), chú ý rằng s’ = |r’|, độ cong pháp tuyến đƣợc xác định
bởi công thức sau
kn

kN .n

r ''.n
( s ') 2

q 'T Dq '
( s ') 2

q 'T Dq '
.
(q ')T Gq '

(1.30)

Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến nhƣ sau:
Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng
đi qua vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong.
Độ cong của đƣờng cong với mặt phẳng

là độ cong pháp tuyến của mặt

cong tại điểm r(t) theo phƣơng vectơ q’.
1.2.3.3. Độ cong chính
Độ cong pháp tuyến (1.30) là hàm của q’

22

kn (q ')

q 'T Dq '
,
(q ')T Gq '

do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức
Kn
q'

2Dq ' 2knGq ' 0 .

(1.31)

Giá trị cực đại của bộ cong pháp tuyến đƣợc gọi là độ cong chính và
đƣợc xác định từ (1.30) nhƣ sau
kn1

b

trong đó a | G |

b2 ac 2
; kn 2
a
g1 h

; c |D|
h g2

b2 ac 2
,
a

b

d1 e
;b
e d2

(1.32)

g1d 2

g 2d1
2

eh,

với g1 , g 2 , h, d1 , d2 , e là các số hạng tƣơng ứng của ma trận cơ sở G và D.
Tích giá trị hai độ cong chính đƣợc gọi là độ cong Gauss đƣợc sử dụng
để biểu diễn độ trơn láng của mặt cong.
1.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TỌA ĐỘ
Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện tốn và mơ hình hố hình học
đều dựa trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ
lệ và quay.
1.3.1. Phép biến đổi tọa độ 2D

Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ.
Toạ độ (x’,y’) của điểm P’ tƣơng ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình
1.5a); hệ số tỷ lệ s(sx,sy) (Hình 1.5b); góc xoay

ngƣợc chiều quay kim đồng

hồ (Hình 1.5c) đƣợc xác định nhƣ sau
x’ = x + tx; y’ = y + ty ;

(1.33)

x’ = Sx.x; y’ = Sy.y ;

(1.34)


23

x’ =xcos - ysin ; y’ = xsin + ycos

(1.35)

Hình 1.5. Phép biến đổi tọa độ 2D
Biểu diễn điểm dƣới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và
thốngnhất hố biểu diễn các phép biến đổi hình học nhƣ phép nhân ma trận.
Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều đƣợc ánh xạ vào không
gian (n+1) chiều.
Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều đƣợc biểu diễn dƣới
dạng toạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ
x = x’/h; y = y’/h; z = z’/h,

trong đó h

(1.36)

0 hệ số vô hƣớng.

Mối quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đề các của điểm P
đƣợc nhân với hệ số h, điểm P sẽ đƣợc di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’)
theo phép lấy tỷ lệ với hệ số h.
Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (1.33), (1.34),
(1.35) dƣới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) P h, P’h và ma
trận biến đổi đồng nhất M
P’h= Ph M,

(1.37)

trong đó Ph = (x y 1); P’h= (x’ y’ 1).
Ma trận biến đổi toạ độ M tƣơng ứng với phép dịch chuyển (T), phép


24

lấy tỷ lệ (S) và phép quay (R) có giá trị nhƣ sau
1
0
tx

T

a12

1
ty

0
0 ;S
1

Sx
0
0

0
Sy
0

0
0 ;R
1

cos
sin
0

sin
cos
0

0
0 .
1

1.3.2. Phép biến đổi tọa độ 3D
Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ
độ (x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tƣơng ứng với
vectơ dịch chuyển t (tx,ty, tz); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) đƣợc xác định nhƣ sau
x’ = x + tx; y’ = y + ty; z’ = z + tz

(1.38)

x’ = sx.x; y’ = sy.y; z’ = sz.z

(1.39)

Tƣơng tự nhƣ đối với trƣờng hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép
dịch chuyển 3D (1.38) và phép lấy tỷ lệ (1.39) dƣới hình thức tích ma trận bởi
vectơ toạ độ đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S)
P’h = Ph T

(1.40a)

P’h = Ph S,

(1.40b)

trong đó Ph = (x y z 1); P’h = (x’ y’ z’ 1) ;

T

1 0
0 1

0 0
tx t y

0 0
0 0
;S
1 0
tz 1

sx
0
0
0

0
sy
0
0

0
0
sz
0

0
0
.
0
1

Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian
3D, phép quay quanh trục bất kỳ thƣờng đƣợc qui về các phép quay cơ bản
quanh các trục hệ toạ độ, về cơ bản là phép quay 2D (bảng 1.1).