Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN QUYỀN

HIỆU CHỈNH BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ LOẠI ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn ứng dụng

Thái Ngun, năm 2012

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




1

Mục lục

1 Bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu

7

1.1. Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1 Một số tính chất hình học của khơng gian . . . . .

7

1.1.2 Tốn tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3 Phiếm hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2. Bất đẳng thức biến phân đơn điệu . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm . . . 19
2 Hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân loại đơn điệu

26

2.1. Bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc chính xác . . 26
2.1.1. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 26
2.1.2. Tham số hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2. Bất đẳng thức biến phân với miền ràng buộc xấp xỉ . . . 34
2.2.1. Bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh . . . . . . . . 34
2.2.2. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 35
2.3. Bất đẳng thức biến phân với tốn tử nhiễu khơng đơn
điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

2

2.3.1. Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.2. Sự hội tụ mạnh của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . 40
Kết luận chung

42

Tài liệu tham khảo

44

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3

MỞ ĐẦU
Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian
liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là . , A : X → X ∗
là toán tử đơn điệu đơn trị và K là một tập con lồi đóng của X. Bài
toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu được phát biểu như sau: với
f ∈ X ∗ cho trước, hãy tìm phần tử x0 ∈ K sao cho
Ax0 − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K,

(0.1)

ở đây x∗ , x là kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗
tại x ∈ X. Nếu K ≡ X thì bài tốn (0.1) có dạng phương trình tốn
tử
Ax = f.

(0.2)

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu (0.1) là lớp bài toán nảy sinh từ
nhiều vấn đề của toán học ứng dụng như phương trình vi phân, các
bài tốn vật lý tốn, tối ưu hóa. Ngồi ra nhiều vấn đề thực tế như bài
tốn cân bằng mạng giao thơng đơ thị, mơ hình cân bằng kinh tế vv...
đều có thể mơ tả được dưới dạng của một bất đẳng thức biến phân
đơn điệu. Rất tiếc rằng bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu,
nói chung, lại là một bài tốn đặt khơng chỉnh (ill-posed) theo nghĩa
nghiệm của nó khơng phụ thuộc liên tục vào dữ kiện đầu vào. Do đó
việc giải số của bài tốn này gặp khó khăn, lý do là một sai số nhỏ
trong dữ kiện của bài tốn có thể dẫn đến sai số bất kì trong lời giải.
Vì thế, người ta phải sử dụng những phương pháp giải ổn định sao cho
khi sai số của dữ kiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần
với nghiệm đúng của bài toán ban đầu. Một trong những phương pháp
được sử dụng rộng rãi và rất có hiệu quả là phương pháp hiệu chỉnh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




4

Tikhonov. Bằng phương pháp này, I. P. Ryazantseva [4] đã xây dựng

nghiệm hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân đơn điệu (0.1) trên cơ
sở tìm phần tử xh,δ
α ∈ K sao cho
h,δ
h,δ
Ah xh,δ
≥ 0, ∀x ∈ K,
α + αJ(xα ) − fδ , x − xα

(0.3)

trong đó (Ah , fδ ) là xấp xỉ của (A, f ), Ah là toán tử đơn điệu từ X vào
X ∗ , J : X → X ∗ là ánh xạ đối ngẫu của X, α > 0 là một tham số
dương (gọi là tham số hiệu chỉnh) phụ thuộc vào h và δ.
Nếu tốn tử nhiễu Ah khơng đơn điệu thì bất đẳng thức biến
phân hiệu chỉnh (0.3) có thể khơng có nghiệm. Trong trường hợp này
Liskovets [3] đã đưa ra bất đẳng thức biến phân hiệu chỉnh dạng
Ah xτα + αJ(xτα ) − fδ , x − xτα ≥ −νg( xτα ) x − xτα ,
∀x ∈ K, xτα ∈ K,

(0.4)

ở đây ν ≥ h, τ = (h, δ).
Trong rất nhiều bài toán thực tế tập ràng buộc K của bất đẳng thức
biến phân (0.1) lại được cho xấp xỉ. Do đó việc hiệu chỉnh bất đẳng
thức biến phân (0.1) trong trường hợp này cũng đặc biệt được quan
tâm nghiên cứu.
Mục đích của luận văn nhằm trình bày kết quả trong [1], [3], [4] về
hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân (0.1) đơn điệu với tập ràng buộc
chính xác và tập ràng buộc được cho xấp xỉ đồng thời trình bày phương

pháp hiệu chỉnh trong trường hợp toán tử nhiễu không đơn điệu trên
cơ sở sử dụng ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của X làm thành phần hiệu
chỉnh.
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương
1 giới thiệu khái niệm và kết quả của toán tử đơn điệu cực đại trong

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




5

không gian Banach phản xạ thực X, giới thiệu về bất đẳng thức biến
phân đơn điệu, trình bày sự tồn tại và tính chất của tập nghiệm của
bất đẳng thức biến phân đơn điệu. Mối liên hệ của bất đẳng thức biến
phân đơn điệu và bài toán cực tiểu hàm lồi được trình bày trong phần
cuối của chương.
Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh, sự hội tụ của
nghiệm hiệu chỉnh, cách chọn tham số hiệu chỉnh cho bất đẳng thức
biến phân với tập ràng buộc chính xác. Trong phần thứ hai của chương
trình bày phương pháp hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân với tập
ràng buộc xấp xỉ và phần cuối của chương là kết quả về bất đẳng thức
biến phân với tốn tử nhiễu khơng đơn điệu của Liskovets.
Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Thu Thủy
đã tận tình hướng dẫn tơi hồn thiện luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn các thày, cô công tác tại trường Đại
học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Viện Công nghệ
Thông tin - Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam, trường Đại học
Khoa học Tự nhiên - Đại học quốc gia Hà Nội, đã truyền thụ kiến thức

cho tơi trong suốt q trình học tập vừa qua.
Tơi cũng xin cảm ơn cơ quan, bạn bè đồng nghiệp, gia đình đã chia
sẻ, giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tơi hồn thành
luận văn này.
Tác giả
Nguyễn Văn Quyền

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




6

MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

H

không gian Hilbert thực

X

không gian Banach thực

X∗

không gian liên hợp của X

Rn

không gian Euclide n chiều

∅

tập rỗng

x := y

x được định nghĩa bằng y

∀x

với mọi x

∃x

tồn tại x

inf F (x)

x∈X

infimum của tập {F (x) : x ∈ X}

I

ánh xạ đơn vị

AT

ma trận chuyển vị của ma trận A

a∼b

a tương đương với b

A∗

toán tử liên hợp của toán tử A

D(A)

miền xác định của toán tử A

R(A)

miền giá trị của toán tử A

xk → x
xk

x

dãy {xk } hội tụ mạnh tới x
dãy {xk } hội tụ yếu tới x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

7

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân loại đơn
điệu
1.1.

Toán tử đơn điệu cực đại

Cho X là một không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian
liên hợp của X, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là . , kí hiệu x∗ , x
là giá trị của phiếm hàm tuyến tính liên tục x∗ ∈ X ∗ tại x ∈ X. Các
khái niệm và kết quả trong phần này được tham khảo trong các tài liệu
[1], [2] và [5].
1.1.1 Một số tính chất hình học của khơng gian
Định nghĩa 1.1. Không gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu mặt
cầu đơn vị S = {x ∈ X : x = 1} của X là lồi chặt, tức là từ x, y ∈ S
kéo theo x + y < 2.
Ví dụ 1.1. Khơng gian Lp [a, b], 1 < p < ∞ là một không gian lồi chặt.
Định nghĩa 1.2. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với
mọi ε > 0 tồn tại một số δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X thỏa mãn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8

x ≤ 1, y ≤ 1, x − y = ε thì bất đẳng thức
x + y ≤ 2(1 − δ)
đúng.
Ví dụ 1.2. Khơng gian Hilbert là khơng gian lồi đều.
Định nghĩa 1.3. Không gian Banach thực X được gọi là khơng gian
có tính chất Ephimov-Stechkin (hay khơng gian có tính chất E-S) nếu
X phản xạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử xn
tụ chuẩn

xn → x

luôn kéo theo sự hội tụ mạnh

x và sự hội
xn − x → 0 .

Ví dụ 1.3. Khơng gian Hilbert là khơng gian có tính chất E-S.
1.1.2 Tốn tử đơn điệu cực đại
∗

Cho toán tử đơn trị A : X → 2X , như thường lệ ta ký hiệu miền
hữu hiệu của A là D(A), miền giá trị của A là R(A) và đồ thị của A là
GrA. Theo định nghĩa ta có:
D(A) = domA := {x ∈ X : Ax = ∅},
R(A) := {y ∈ Y ∗ : y = Ax, x ∈ D(A)},
GrA := {(x, y) : y ∈ Ax, x ∈ X}.
Định nghĩa 1.4. Một tập G ⊆ X × X ∗ được gọi là đơn điệu nếu bất
đẳng thức
f − g, x − y ≥ 0

thỏa mãn với mọi cặp (x, f ) và (y, g) của G.
∗

Định nghĩa 1.5. Toán tử A : X → 2X được gọi là

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




9

(i) đơn điệu nếu đồ thị của nó là một tập đơn điệu, nghĩa là với mọi
x, y ∈ D(A) ta có
f − g, x − y ≥ 0, ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay.
(ii) đơn điệu chặt nếu đẳng thức trong bất đẳng thức trên chỉ thỏa
mãn khi x = y.
(iii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm liên tục, tăng γ(t), (t ≥ 0),
γ(0) = 0 sao cho bất đẳng thức
f − g, x − y ≥ γ( x − y ), ∀f ∈ Ax, ∀g ∈ Ay
thỏa mãn với mọi x, y ∈ D(A). Nếu γ(t) = ct2 , ở đây c là một hằng số
dương thì A là tốn tử đơn điệu mạnh.
Trong trường hợp toán tử A : X → X ∗ đơn trị thì ta có định nghĩa
sau.
Định nghĩa 1.6. Tốn tử A : X → X ∗ được gọi là
(i) đơn điệu nếu
Ax − Ay, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
(ii) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm δ(t), không giảm
với t ≥ 0, δ(0) = 0 và
Ax − Ay, x − y ≥ δ( x − y ), ∀x, y ∈ D(A).

Nếu δ(t) = cA t2 với cA là một hằng số dương thì tốn tử A được gọi là
đơn điệu mạnh.
(iii) ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số mA > 0 thỏa
mãn
Ax − Ay, x − y ≥ mA Ax − Ay 2 , ∀x, y ∈ D(A).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




10

Nếu A là tốn tử ngược đơn điệu mạnh thì A liên tục Lipschitz và
Ax − Ay ≤

1
x − y , ∀x, y ∈ D(A) ⊂ X.
mA

Ví dụ 1.4. Tốn tử tuyến tính A : R2 → R2 được xác định bởi A =
B T B, trong đó B là ma trận vuông cấp 2 và B T là ma trận chuyển vị
của ma trận B là một toán tử đơn điệu.
Thật vậy, vì A là tốn tử tuyến tính nên tính đơn điệu tương đương
với tính khơng âm của tốn tử. Khi đó để chứng minh A là tốn tử đơn
điệu ta sẽ chứng minh
Ax, x ≥ 0, ∀x = (x1 , x − 2)T ∈ R2 .
Ta có:



B=

Khi đó


BT B = 

a11 a12
a21 a22
a211





 , BT = 

+

a221

a11 a21
a12 a22


.

a11 a12 + a21 a22

a11 a12 + a21 a22

a212

+

a222


.

Suy ra
B T Bx = x1 (a211 + a221 ) + x2 (a11 a12 + a21 a22 ),
x1 (a11 a12 + a21 a22 ) + x2 (a212 + a222 )

T

.

Vậy
B T Bx, x = x21 (a211 + a221 ) + x1 x2 (a11 a12 + a21 a22 )
+ x2 x1 (a11 a12 + a21 a22 ) + x22 (a212 + a222 )
= (a11 x1 + a21 x2 )2 + (a12 x1 + a22 x2 )2 ≥ 0, ∀x ∈ R2 .
Định nghĩa 1.7. Tốn tử A được gọi là

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11

Ax khi t → 0+ với mọi

(i) hemi-liên tục trên X nếu A(x + ty)
x, y ∈ X;

(ii) demi-liên tục trên X nếu từ xn → x suy ra Axn

Ax khi

n → ∞.
Một tốn tử demi-liên tục thì hemi-liên tục. Nếu A là tốn tử đơn
điệu thì chiều ngược lại cũng đúng, đó là nội dung của định lý sau.
Định lý 1.1. Nếu A : X → X ∗ là tốn tử hemi-liên tục và đơn điệu
thì A là demi-liên tục trên intD(A).
Định nghĩa 1.8. Một tập đơn điệu G ⊆ X × X ∗ được gọi là đơn điệu
cực đại nếu nó khơng là tập con thực sự của bất kì một tập đơn điệu
nào khác trong X × X ∗ .
∗

Định nghĩa 1.9. Một toán tử A : X → 2X với D(A) ⊆ X được gọi
là toán tử đơn điệu cực đại nếu đồ thị của nó là tập đơn điệu cực đại
trong X × X ∗ .
Từ định nghĩa này dễ ràng suy ra kết luận sau.
∗

Mệnh đề 1.1. Toán tử đơn điệu A : X → 2X là đơn điệu cực đại trên
D(A) khi và chỉ khi từ bất đẳng thức
g − f, y − x0 ≥ 0, ∀(y, g) ∈ GrA,
suy ra x0 ∈ D(A) và f ∈ Ax0 .

Định lý 1.2. Một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục A : X → X ∗ với
D(A) = X là toán tử đơn điệu cực đại.
Chứng minh: Giả sử
f − Ax, y − x ≥ 0, ∀x ∈ X.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




12

Ta sẽ chứng minh f = Ay. Thật vậy, vì D(A) = X, nên trong bất đẳng
thức trên ta thay x bởi xt = y + tz với z ∈ X và t > 0. Ta suy ra
f − Axt , z ≤ 0
với mọi z ∈ X. Cho t → 0 trong bất đẳng thức này, sử dụng tính
hemi-liên tục của toán tử A trên X ta nhận được
f − Ay, z ≤ 0, ∀z ∈ X.
Vì vậy f = Ay.
✷
Định lý 1.3. Cho X là không gian Banach phản xạ, B là một toán tử
đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn từ X vào X ∗ . Nếu A là tốn tử đơn
điệu cực đại thì A + B cũng là toán tử đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.10. Toán tử A : X → X ∗ được gọi là toán tử bức nếu
lim

x →+∞

Ax, x
= ∞, ∀x ∈ X.

x

Định lý 1.4. Cho X là không gian Banach phản xạ, B : X → X ∗ là
một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục với D(B) = X. Khi đó B là tốn
tử đơn điệu cực đại. Ngồi ra nếu B là tốn tử bức thì R(B) = X ∗ .
Ví dụ 1.5. Tốn tử đồng nhất I : X → X, với X là khơng gian Hilbert
là tốn tử bức.
Định nghĩa 1.11. Cho A : X → Y là một tốn tử từ khơng gian
Banach X vào khơng gian Banach Y . Toán tử A được gọi là khả vi
Fréchet tại điểm x ∈ X, nếu tồn tại T ∈ L(X, Y ) sao cho
A(x + h) = A(x) + T h + o( h ),

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




13

với mọi h thuộc một lân cận của điểm 0. Nếu tồn tại, thì T được gọi
là đạo hàm Fréchet của A tại x, và ta viết A (x) = T .
∗

Định nghĩa 1.12. Ánh xạ j : X → 2X được gọi là ánh xạ đối ngẫu
của X nếu
j(x) := {x∗ ∈ X ∗ : x, x∗ = x 2 , x∗ = x }.
Trong trường hợp j đơn trị thì ta kí hiệu là J : X → X ∗ .
Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu j được cho trong mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 1.2. Giả sử X là một khơng gian Banach. Khi đó,
1) j(x) là tập lồi, j(λx) = λj(x) với mọi λ ∈ R;

2) j là ánh xạ đơn trị nếu X ∗ là không gian lồi chặt.
Nhận xét 1.1.
i) Trong không gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính là
toán tử đơn vị I trong H.
ii) Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về tốn tử đơn điệu,
nó tồn tại trong mọi khơng gian Banach.
Ví dụ 1.6. Với X = Lp (Ω), 1 < p < ∞ và Ω là một tập đo được của
không gian Rn thì ánh xạ đối ngẫu J có dạng
(Jx)(t) = x

2−p

|x(t)|p−2 x(t), t ∈ Ω.

Định lý 1.5. Nếu X ∗ là khơng gian Banach phản xạ và lồi chặt thì
ánh xạ đối ngẫu J : X → X ∗ là toán tử đơn điệu, bức và demi-liên tục.
Hơn nữa, nếu X là khơng gian Banach lồi chặt thì J là tốn tử đơn
điệu chặt.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




14

Định nghĩa 1.13. Ta nói rằng một tốn tử A : X → X ∗ có tính chất
Γ nếu từ sự hội tụ yếu của dãy {xn } (xn

x) và Axn −Ax, xn −x → 0

suy ra sự hội tụ mạnh (xn → x) khi n → ∞.
1.1.3 Phiếm hàm lồi
Một toán tử ϕ : X → R được gọi là một phiếm hàm trên D(ϕ).
Miền hữu hiệu của hàm ϕ được định nghĩa bởi
domϕ := {x ∈ X : ϕ(x) = 0}.
Định nghĩa 1.14. Hàm ϕ được gọi là
(i) lồi trên D nếu với ∀x, y ∈ D và ∀λ ∈ [0, 1] ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);
(ii) lồi chặt trên D nếu với ∀x, y ∈ D, x = y và ∀λ ∈ (0, 1) ta có
ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);
(iii) lồi mạnh trên D nếu với ∀x, y ∈ D, ∀λ ∈ (0, 1) tồn tại τ ∈
R, τ > 0 ta có
1
ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y) − λ(1 − λ)τ x − y 2 .
2
(iv) nửa liên tục dưới tại điểm x0 ∈ domϕ nếu với dãy {xn } bất kì,
xn ∈ domϕ sao cho xn → x0 thì
ϕ(x) ≤ lim inf ϕ(xn ).
n→∞

(v) nửa liên tục dưới yếu tại điểm x0 ∈ domϕ nếu với dãy {xn } bất
kì, xn ∈ domϕ sao cho xn

x0 thì

ϕ(x) ≤ lim inf ϕ(xn ).
n→∞

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

15

Định nghĩa 1.15. Hàm ϕ được gọi là chính thường trên X nếu domϕ =
∅ và ϕ(x) > −∞, ∀x ∈ X.
Mối liên hệ giữa hàm nửa liên tục dưới, nửa liên tục dưới yếu được
cho trong định lý sau đây:
Định lý 1.6. Nếu ϕ là phiếm hàm lồi, nửa liên tục dưới trên X thì ϕ
là nửa liên tục dưới yếu trên X.
Định nghĩa 1.16. Cho ϕ là hàm lồi trên X. Phiếm hàm x∗ ∈ X ∗ được
gọi là dưới gradient của hàm ϕ tại x ∈ X nếu
ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x − y, x∗ , ∀y ∈ X.
Tập tất cả các dưới gradient của ϕ tại x được gọi là dưới vi phân của
ϕ tại x, kí hiệu là ∂ϕ(x), tức là
∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X : ϕ(x) − ϕ(y) ≤ x − y, x∗ , ∀y ∈ X}.
Hàm ϕ được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂ϕ(x) = ∅.
Mệnh đề 1.3. Nếu ϕ là hàm lồi chính thường và nửa liên tục dưới, thì
ánh xạ dưới vi phân là tốn tử đơn điệu cực đại.
Định nghĩa 1.17. Phiếm hàm ϕ được gọi là khả vi Gâteaux tại điểm
x ∈ X nếu tồn tại x∗ ∈ X ∗ sao cho
ϕ(x + λy) − ϕ(x)
= x∗ , y , ∀y ∈ X,
λ→+0
λ
lim

x∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của ϕ tại x, kí hiệu là ϕ (x).

Chú ý 1.1. Nếu ϕ là phiếm hàm lồi, khả vi Gâteaux tại x ∈ X thì ϕ
khả dưới vi phân tại x và ∂ϕ(x) = {ϕ (x)}.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




16

Mệnh đề 1.4. Cho ϕ : X → R ∪ {+∞} là phiếm hàm khả vi Gâteaux.
ϕ là phiếm hàm lồi khi và chỉ khi đạo hàm Gâteaux ϕ là tốn tử đơn
điệu từ X → X ∗ .
Tính lồi của hàm khả vi Gâteaux được cho bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.5. Cho ϕ là một hàm khả vi Gâteaux với đạo hàm Gâtaeux
là A, khi đó các phát biểu sau là tương đương:
(i) ϕ là hàm lồi;
(ii) ϕ(x) ≥ ϕ(x0 ) + A(x0 ), x − x0 , ∀x, x0 ∈ X.
Định nghĩa 1.18. Cho K là một tập con lồi đóng khác rỗng của X.
Hàm chỉ của tập K được định nghĩa bởi


0,
nếu x ∈ K
IK (x) =

+∞,
nếu x = K.
Chú ý rằng, hàm IK là một hàm lồi, chính thường và nửa liên tục
∗

dưới. Ánh xạ dưới vi phân ∂IK : X → 2X xác định bởi



θX ∗ ,
nếu x ∈ intK



∂IK (x) = ∅,
nếu x = K




λJx,
nếu x ∈ ∂K, λ ≥ 0,
là một toán tử đơn điệu cực đại và là nón pháp tuyến ngoài của K được
định nghĩa bởi


{w ∈ X ∗ : w, y − x ≤ 0, ∀y ∈ K},
NK (x) =

∅,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

nếu x ∈ K

nếu x = K.




17

1.2.

Bất đẳng thức biến phân đơn điệu

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều đã
được nhà toán học người Italia là G. Stampacchia và các đồng sự đưa
ra lần đầu tiên vào năm 1960 trong khi nghiên cứu các bài tốn biên
tự do. Từ đó các phương pháp bất đẳng thức biến phân vô hạn chiều
đã được sử dụng rộng rãi và có hiệu quả trong các phương trình vật
lý tốn. Lớp bài tốn này được xuất hiện trong nhiều ứng dụng của
toán học, phương trình phi tuyến, mơ hình cân bằng trong kinh tế và
kỹ thuật vv... Trong mục này, chúng tôi phát biểu bài toán, các vấn đề
liên quan và điều kiện tồn tại nghiệm.
1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân
Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X ∗ là không gian liên
∗

hợp của X, A : X → 2X là một toán tử đơn điệu cực đại với miền hữu
hiệu D(A), J : X → X ∗ là ánh xạ đối ngẫu của X. Bài toán bất đẳng
thức biến phân đơn điệu được phát biểu như sau: với f ∈ X ∗ , hãy tìm
phần tử x ∈ K sao cho
Ax − f, y − x ≥ 0, ∀y ∈ K,

(1.1)

ở đây K ⊆ D(A) là một tập con lồi đóng của X. Sau đây là các định
nghĩa về nghiệm của bài toán này.
Định nghĩa 1.19. Phần tử x0 ∈ K được gọi là nghiệm của bất đẳng
thức biến phân (1.1) nếu tồn tại một phần tử z 0 ∈ Ax0 sao cho
z 0 − f, y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K.

(1.2)

Một nghiệm x0 thỏa mãn (1.2) cũng được gọi là nghiệm cổ điển của
bất đẳng thức biến phân (1.1).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




18

Trong trường hợp đơn trị ta, phần tử x0 ∈ K được gọi là nghiệm của
bất đẳng thức biến phân (1.1) nếu
Ax0 − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ K.
Định nghĩa 1.20. Một phần tử x0 ∈ K được gọi là nghiệm của bất
đẳng thức biến phân (1.1) nếu
z − f, y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀z ∈ Ay.

(1.3)

Mối liên hệ giữa nghiệm của bất đẳng thức biến phân đơn điệu (1.1)

định nghĩa bởi (1.2) và (1.3) được trình bày trong các bổ đề sau.
Bổ đề 1.1. Nếu x0 ∈ K là một nghiệm của bất đẳng thức biến phân
(1.1) được định nghĩa bởi bất đẳng thức (1.2) thì nó cũng thỏa mãn bất
đẳng thức (1.3).
Chứng minh: Vì A là tốn tử đơn điệu nên
z − z 0 , y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀z ∈ Ay,
ở đây z 0 ∈ Ax0 thỏa mãn (1.2). Khi đó
z − f, y − x0 + f − z 0 , y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀z ∈ Ay.
Kết hợp với (1.2) ta nhận được (1.3).
✷
Bổ đề 1.2. Nếu K ⊆ D(A) và nếu intK = ∅ hoặc intD(A) ∩ K = ∅
thì Định nghĩa 1.19 và Định nghĩa 1.20 là tương đương.
Chứng minh: Giả sử x0 ∈ K là một nghiệm của bài toán (1.1) được
định nghĩa bởi (1.2) và ∂IK là dưới vi phân của hàm chỉ IK của tập K.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




19

Vì θX ∗ ∈ ∂IK x với mọi x ∈ K và ∂IK là toán tử đơn điệu cực đại nên
ta có
η, y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀η ∈ ∂IK y.

(1.4)

Kết hợp (1.3) và (1.4) ta nhận được
z + η − f, y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀z ∈ Ay, ∀η ∈ ∂IK y.

(1.5)

∗

Ta có z + η ∈ By, ở đây B = A + ∂IK : X → 2X là toán tử đơn
điệu cực đại và D(B) = K (vì điều kiện K ⊆ D(A)). Từ (1.5) suy ra
f ∈ Bx0 . Mặt khác, vì tồn tại phần tử z 0 ∈ Ax0 và η 0 ∈ ∂IK x0 nên
f = z 0 + η 0 . Do đó
z 0 + η 0 − f, y − x0 = 0, ∀y ∈ K.

(1.6)

Từ bất đẳng thức này suy ra
z 0 − f, y − x0 = η 0 , x0 − y .
Hơn nữa vì K là một tập con lồi đóng của X nên ∂IK là nón pháp
tuyến ngồi của K nên
η 0 , x0 − y ≥ 0, ∀y ∈ K.
Do đó
z 0 − f, y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K,
nghĩa là ta có (1.2).
Chiều ngược lại được suy từ Bổ đề 1.1.
✷

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




20

1.2.2 Sự tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm
∗

Bổ đề 1.3. Nếu A : X → 2X là tốn tử đơn điệu cực đại với D(A) =
K thì bất đẳng thức biến phân đơn điệu (1.1) trong Định nghĩa 1.19
tương đương với phương trình tốn tử
Ax = f.

(1.7)

Chứng minh: Một nghiệm x0 của phương trình (1.7) với tốn tử đơn
điệu cực đại được định nghĩa bởi f ∈ Ax0 , thỏa mãn Định nghĩa 1.19.
Do đó, nó là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1). Bây giờ giả sử
x0 là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) trong Định nghĩa 1.19.
Khi đó x0 thỏa mãn (1.3) (theo Bổ đề 1.1). Vì A là tốn tử đơn điệu
cực đại và D(A) = K, từ (1.3) và Mệnh đề 1.1 suy ra f ∈ Ax0 . Tức là
x0 là nghiệm của phương trình tốn tử Ax = f .
✷
Nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) với toán tử đơn điệu cực
đại A cũng là nghiệm của phương trình tốn tử Ax + ∂IK (x) = f với
tốn tử đơn điệu cực đại A + ∂IK . Đó là nội dung của bổ đề sau đây.
∗

Bổ đề 1.4. Cho A : X → 2X là toán tử đơn điệu cực đại, K ⊂ D(A)
là một tập lồi đóng, ∂IK là dưới vi phân của hàm chỉ IK của tập K.
Nếu intK = ∅ hoặc intD(A) ∩ K = ∅ thì x0 ∈ K nghiệm của bất đẳng
thức biến phân (1.1) thỏa mãn
f ∈ Ax0 + ∂IK (x0 ).

(1.8)

Chiều ngược lại cũng đúng.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




21

Chứng minh: Giả sử x0 là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1)
trong Định nghĩa 1.19. Khi đó (1.2) và (1.3) thỏa mãn. Ta xây dựng
∗

hàm chỉ IK (x) của tập K và tìm dưới vi phân ∂IK : K ⊂ X → 2X .
Theo định nghĩa của ∂IK ta có
u, y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀u ∈ ∂IK (y).
Do đó (1.3) có dạng
z + u − f, y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K, ∀z ∈ Ay, ∀u ∈ ∂IK (y).
Theo Định lý 1.2, sử dụng điều kiện intK = ∅ hoặc intD(A) ∩ K = ∅
ta suy ra A + ∂IK là toán tử đơn điệu cực đại với D(A + ∂IK ) = K,
suy ra
f ∈ Ax0 + ∂IK (x0 ).
Bây giờ giả sử (1.8) thỏa mãn với x0 ∈ K. Khi đó tồn tại một phần tử
z 0 ∈ Ax0 sao cho f − z 0 ∈ ∂IK (x0 ). Do đó ta có
z 0 − f, y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K.
Vì vậy x0 là nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1).
Từ bổ đề này ta có kết quả sau.
Định lý 1.7. Với điều kiện của Bổ đề 1.4, tập nghiệm S0 của bất đẳng

thức biến phân (1.1) là một tập lồi đóng, nếu nó khác rỗng.
Định lý 1.8. Nếu toán tử đơn điệu cực đại A là đơn điệu chặt thì
nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) tồn tại duy nhất.
Chứng minh: Giả sử x1 là một nghiệm khác của bất đẳng thức biến
phân (1.1). Khi đó x0 và x1 thỏa mãn (1.2), do đó với phần tử z 0 ∈ Ax0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




22

và z 1 ∈ Ax1 ta có
z 0 − f, y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K,
và
z 1 − f, y − x1 ≥ 0, ∀y ∈ K.
Từ hai bất đẳng thức này dễ dàng suy ra
z 0 − f, x1 − x0 ≥ 0,
và
z 1 − f, x0 − x1 ≥ 0.
Cộng hai bất đẳng thức cuối cùng ta được
z 1 − z 0 , x0 − x1 ≥ 0.
Vì A là tốn tử đơn điệu nên từ bất đẳng thức này suy ra
z 0 − z 1 , x0 − x1 = 0,
điều này mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt của A và giả thiết x1 = x0 .
✷
Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến phân (1.1) được phát biểu
trong định lý sau:
∗

Định lý 1.9. Giả sử A : X → 2X là toán tử đơn điệu cực đại và bức,
K là một tập lồi đóng trong D(A) với intK = ∅ hoặc intD(A) ∩ K = ∅.
Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.1) có ít nhất một nghiệm với mọi
f ∈ X ∗.
Chứng minh: Lấy f là một phần tử tùy ý của X ∗ , vì A là tốn tử
đơn điệu cực đại nên R(A + αJ) = X ∗ với mọi α > 0. Do đó tồn tại

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




23

một phần tử xα ∈ D(A) sao cho
yα + αJxα = f, yα ∈ Axα .

(1.9)

Khi đó,
f

xα ≥ f, xα = yα , xα + α xα

2

≥ yα , xα .

Suy ra

yα , xα
≤ f , yα ∈ Axα .
xα
Vì tốn tử A có tính chất bức, nên từ bất đẳng thức này suy ra dãy {xα }
bị chặn. Do đó xα

x¯ ∈ X khi α → 0. Từ (1.9) ta có yα = f − αJxα

và từ tính chất đơn điệu của toán tử A suy ra
f − αJxα − y, xα − x ≥ 0, ∀(x, y) ∈ GrA.
Cho α → 0 ta nhận được
f − y, x¯ − x ≥ 0, ∀(x, y) ∈ GrA.
Vì A là toán tử đơn điệu cực đại, từ Mệnh đề 1.1 suy ra f ∈ A¯
x. Kết
luận của định lý được suy từ Bổ đề 1.3.
✷
∗

Định lý 1.10. Giả sử A : X → 2X là một toán tử đơn điệu cực đại,
K thỏa mãn các điều kiện của Định lý 1.8. Khi đó bất đẳng thức biến
phân hiệu chỉnh
Ax + αJx − f, y − x ≥ 0, ∀y ∈ K, x ∈ K,
có duy nhất nghiệm với mọi α > 0 và mọi f ∈ X ∗ .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



(1.10)

24

Nghiệm xα thỏa mãn (1.10) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của bất
đẳng thức biến phân (1.1).
Sau đây là mối liên hệ giữa bất đẳng thức biến phân (1.1) và bài
toán cực tiểu phiếm hàm lồi. Cho ϕ : X → R là phiếm hàm lồi chính
∗

thường, nửa liên tục dưới, khi đó dưới vi phân ∂ϕ : X → 2X của ϕ là
một toán tử đơn điệu cực đại (Mệnh đề 1.3). Giả sử K là một tập lồi
đóng, K ⊆ D(∂ϕ). Ta xét bài tốn tìm
min{ϕ(y) : y ∈ K}.

(1.11)

Giả thiết rằng bài toán này giải được.
Bổ đề 1.5. Hàm lồi ϕ : X → R đạt cực tiểu tại điểm x ∈ D(∂ϕ) khi
và chỉ khi θX ∗ ∈ ∂ϕ(x).
Chứng minh: Theo định nghĩa dưới vi phân, nếu θX ∗ ∈ ∂ϕ(x) thì ta
có ϕ(y) ≥ ϕ(x), nghĩa là
ϕ(x) = min{ϕ(y) : y ∈ X}.

(1.12)

Giả sử (1.12) thỏa mãn. Khi đó ϕ(y) − ϕ(x) ≥ 0 với mọi y ∈ X. Theo
định nghĩa dưới vi phân, từ đây suy ra θX ∗ ∈ ∂ϕ(x).
✷
Định lý 1.11. Nếu intK = ∅ hoặc intD(∂ϕ) ∩ K = ∅ thì bài toán
(1.11) tương đương với bất đẳng thức biến phân

∂ϕ(x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K, x ∈ K.

(1.13)

Chứng minh: Giả sử x0 là nghiệm của (1.13). Khi đó theo định nghĩa
của dưới vi phân ∂ϕ tại điểm x0 , ta có
ϕ(y) − ϕ(x0 ) ≥ ∂ϕ(x0 ), y − x0 ≥ 0, ∀y ∈ K.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên