Phân dạng và kĩ thuật tính tích phân hàm một biến
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.71 MB, 103 trang )
..
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------------
NGUYỄN VĂN THÁI
PHÂN DẠNG VÀ KĨ THUẬT TÍNH
TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.40
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN MINH KHOA
THÁI NGUYÊN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------------
NGUYỄN VĂN THÁI
PHÂN DẠNG VÀ KĨ THUẬT TÍNH
TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC
THÁI NGUN - 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................ 2
Chương 1.
Phép tính tích phân hàm một biến ............................... 4
1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định ............................................... 4
1.2. Tích phân xác định ...................................................................... 7
Chương 2. Phân dạng và kĩ thuật tính tích phân hàm một biến ............. 12
2.1. Các dạng bài tốn tích phân từng phần ...................................... 12
2.2. Các dạng bài tốn tích phân lượng giác ...................................... 33
2.3 . Các dạng bài tốn tích phân hàm vơ tỉ ....................................... 54
2.4. Các dạng bài tốn tích phân hữu tỉ ............................................. 71
2.5. Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối và bất đẳng thức tích phân . 85
Chương 3. Ứng dụng của tích phân hàm một biến ............................... 90
3.1. Diện tích hình phẳng xác định bởi đường cong y f ( x ) ............ 90
3.2. Thể tích khối trịn xoay .............................................................. 96
KẾT LUẬN ........................................................................................ 100
TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................... 101
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
LỜI MỞ ĐẦU
Phép tính tích phân bắt nguồn từ nhu cầu sáng tạo phương pháp tổng qt
để tìm diện tích, thể tích từ cách đây rất lâu. Ngày nay, phép tính vi tích phân
chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, và được ứng dụng rộng
khắp trong các lĩnh vực như Xác suất thống kê, Vật lý, Thiên văn học, trong
các nghành cơng nghiệp như đóng tàu, sản xuất ơ tơ, máy bay,...
Phép tính tích phân được giới thiệu cho các học sinh lớp 12, và được phổ
biến tại các trường Đại học cho khối sinh viên năm thứ nhất và năm thứ 2.
Đồng thời phép tính tích phân cũng là nội dung quan trọng trong các kì thi tốt
nghiêp THPT, và tuyển sinh Đại học.
Trong luận văn này chúng tơi trình bày một số vấn đề “Phân dạng và kĩ
thuật tính tích phân hàm một biến”, cùng bài tốn ứng dụng tính diện tích hình
phẳng và thể tích khối trịn xoay.
Luận văn bao gồm 3 chương.
Chương 1. Trình bày các khái niệm, tính chất cơ bản của nguyên hàm tích
phân hàm một biến.
Chương 2. Tập chung vào việc phân dạng và các kĩ thuật tính tích phân
hàm một biến.
Chương 3. Trình bày về hai ứng dụng của tích phân hàm một biến, đó là
xác định diện tích hình phẳng và thể tích khối trịn xoay.
Mặc dù đã cố gắng học tập và nghiên cứu một cách nghiêm túc, song chắc
chắn luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong nhận được những ý
kiến đóng góp để hiệu chỉnh tốt hơn luận văn của quý thầy cơ, và bạn bè đồng
nghiệp.
Luận văn được hồn thành dưới sự chỉ dẫn trực tiếp của thầy hướng dẫn và
sự trợ giúp của các thầy cơ ở khoa Tốn – Tin trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên. Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, TS. Nguyễn Minh
Khoa đã tận tình giảng dạy, chỉ bảo và ủng hộ trong suốt q trình nghiên cứu
viết luận văn của tơi. Cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại Học Khoa Học cùng
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
các thầy cơ ở khoa Tốn - Tin và bạn bè học viên lớp cao học Toán K3b, đã
giúp đỡ động viên ủng hộ tơi trong suốt q trình học tập, hoàn thành luận văn.
Thái Nguyên, … tháng 10 năm 2011
Học viên
Nguyễn Văn Thái.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 1.
Phép tính tích phân hàm một biến
1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định
1.1.1. Định nghĩa
Hàm số y F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số y f ( x ) trên ( a; b)
nếu: F x f ( x ), x (a; b) .
Ví dụ 1.1.1.
Hàm số y cos x là một nguyên hàm của hàm số y sin x vì (cos x) sin x
Hàm số y arcsin x là một nguyên hàm của hàm số y
(arcsin x)
1
1 x2
1
1 x2
, x 1;1 vì
.
1.1.2. Định lý về dạng tổng quát của nguyên hàm
Nếu trong khoảng a; b hàm số y f ( x ) có nguyên hàm là y F ( x) , thì
trong khoảng ấy:
i) y F ( x ) C với C là một hằng số tùy ý cũng là một nguyên hàm của
y f ( x) .
ii) Mọi nguyên hàm của hàm số y f ( x) đều có dạng y F ( x) C , với C là
hằng số tùy ý.
Chứng minh:
i) Vì F ( x ) C F ( x) f ( x) nên F ( x) C , với C là hằng số tùy ý là một
nguyên hàm của y f ( x) .
ii) Giả sử hàm số y H ( x) cũng là một nguyên hàm của y f ( x), x a; b .
Ta có: H ( x) F ( x ) H ( x) F ( x) f ( x ) f ( x ) 0, x a; b .
Suy ra, H ( x ) F ( x) C , x a; b
H ( x ) F ( x) C (đpcm).
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.1.3. Tính chất.
Tính chất 1. Cho y f ( x ) là hàm số có nguyên hàm, khi đó
'
f x dx f ( x )
Tính chất 2. Nếu y F ( x ) có đạo hàm, ta có d F x F x c ,
c
là hằng
số.
Tính chất 3. Giả sử f x ; g ( x) là hai hàm số có nguyên hàm.Với hai số
f x g ( x) dx f x dx g x dx
thực ; bất kỳ:
Tính chất 4. Nếu f t dt F t c thì:
f u x u x dx F u x c F u c
với u u ( x )
1.1.4. Nguyên hàm một số hàm cơ bản
0dx C
d x x
x dx
u u (x)
C
1
x
1
1
C
dx
x ln x C
1
s in x d x c o s x C
1
c o s x d x
sin x C
1
e kx d x k e kx C
ax
x
a
d
x
C
ln a
dx
s in 2 x c o tx C
dx
ta n x C
cos2 x
dx
2 x x C
d u
u C
u d u
1
u 1 C
1
du
ln u C
u
1
s in u d u c o s u C
1
c o s u d u
s i n u C
1
e u d x e u C
a
u
du
du
sin
2
u
au
C,
ln a
0 a 1
co t u C
du
ta n u C
co s2 u
du
u C
2 u
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Ví dụ 1.1.2. Tính các nguyên hàm sau.
I1 ( ax b ) dx
I2
(
1
x4
1
a
ax b
d ax b
1
3
I 3 x ( ax b ) dx
4
4
x dx x 3 dx
x )dx
1
a
b
a
1
a
1 (a x b ) 2
b ( a x b ) 1
.
.
C
a2
2
a2
1
1
a x
d
1 3 3 3
x x c
3
4
ax b b ax b
(ax b)
( ax b ) 1
c
a ( 1)
b
(ax b)
d
d ax b
a x
b
.
1.1.5. Một số nguyên hàm mở rộng
dx
1
x
a rc ta n C
2
x
a
a
dx
1
a x
ln
C
2
2
a x
2a
a x
dx
ln ( x x 2 a 2 ) C
2
2
x a
dx
x
a rc s in C ; a 0
a
a2 x2
a
2
dx
x
2
x a
2
dx
x
x2 a2
1
x
a rc s in
C
a
a
1
a
ln
a
ln a x b d x x
x2 a2
C
x
b
ln a x b x C
a
Chú ý: Khi sử dụng một trong các công thức trên, ta cần phải chứng
minh cơng thức đó bằng cách lấy đạo hàm hai vế.
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1.2. Tích phân xác định
1.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa tổng tích phân:
Giả sử hàm y f ( x ) xác định và bị chặn trên a; b . Với phép phân hoạch
bất kỳ của a; b tức là chia đoạn a; b thành: a x0 x1... xn1 xn b , lấy bất
kỳ điểm k xi 1; xi , i 1; n ; gọi độ dài của xi 1; xi là i xi xi1 . Khi đó:
n
f ( )
i
i
f (1 ) 1 f ( 2 ) 2 ... f ( n ) n được gọi là tổng tích phân của hàm
i 1
số y f ( x) ứng với phép phân hoạch trên a; b .
Định nghĩa tích phân xác định:
n
Giả sử
f ( )
i
i
f (1 ) 1 f ( 2 ) 2 ... f ( n ) n là tổng tích phân của hàm số
i 1
n
y f ( x) ứng với phép phân hoạch trên a; b . Nếu tồn tại giới hạn lim
Maxi 0
f ( ) I
i
i
i1
thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số y f ( x) trên a; b và kí hiệu là:
b
I f ( x)dx .
a
Khi đó hàm y f ( x) được gọi là khả tích trên a; b .
1.2.2. Cơng thức
Công thức Newton – Leipnitz. Nếu f ( x)dx F ( x) C , x a; b thì:
b
f ( x ) dx F ( x )
b
a
F (b) F (a )
a
b
Công thức đảo cận. Giả sử ( ) khả tích trên [a; b] thì:
a
a
và f x dx 0.
a
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
a
f x dx f x dx
b
Công thức tách cận. Giả sử f ( x ) khả tích trên a; b ta có:
b
c
b
f x dx f x dx f x dx , c (a; b)
a
a
c
Cơng thức tích phân từng phần. Giả sử u u x ; v v( x) khả tích trên a; b
b
Ta có:
b
u d v u v
b
a
a
v d u
a
Công thức đổi biến. Giả sử y f ( x ) liên tục trên a; b và x (t ) khả vi
liên tục trên c; d và min (t )c;d a ; max (t )[ c;d ] b ; c a; d b . Ta có công
b
thức đổi biến số.
d
f x dx f t t dt
a
c
1.2.3. Tính chất
Tính chất 1. Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên a; b thì nó khả tích trên a; b
Tính chất 2. Giả sử f x ; g ( x) khả tích trên a; b và với ; ta có:
b
b
b
f x g x dx f x dx g x dx
a
a
a
Tính chất 3. Nếu f ( x) là hàm chẵn và liên tục trên [ a; a ] thì,
a
a
f x dx 2 f x dx
a
0
a
Tính chất 4 . Nếu f ( x ) là hàm lẻ và liên tục trên [ a; a ] thì
f x dx 0
a
b
Tính chất 5. Cho f ( x) liên tục trên [a; b] và f (x) 0 x [a; b] f (x)dx 0
a
Tính chất 6. Nếu f x ; g x là hai hàm liên tục và f x g x x [a;b] thì
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
b
b
f x dx g x dx
a
a
Tính chất 7. Cho f (x); g(x) là hai hàm liên tục trên [a;b] và g(x) f (x) ,
b
x [ a; b] khi đó,
b
f ( x)dx g ( x)dx .
a
a
Tính chất 8. Cho f ( x ) là hàm liên tục trên [ a; b ] và f ( x ) không đồng nhất
b
bằng 0 trên [ a; b ] khi đó,
f ( x)dx 0 .
a
Tính chất 9. Cho f ( x ); g ( x ) là hai hàm liên tục trên [ a; b ] và g(x) f (x) ,
x [a; b] đồng thời f ( x ); g ( x ) không đồng nhất với nhau trên [ a; b ] khi đó:
b
b
f ( x)dx g ( x)dx .
a
a
Tính chất 10. Cho f ( x ) là hàm liên tục trên [ a; b ] và m f ( x ) M ,
x [a; b] đồng thời f ( x ) không đồng nhất với m hoặc M trên [ a; b ] khi đó,
b
m b a f ( x )dx M b a .
a
b
b
Tính chất 11. Cho f ( x ) là hàm liên tục trên [a; b] f ( x)dx f ( x) dx .
a
a
Mệnh đề 1.2.1. Cho ( ) liên tục trên [ a; b ] và f a b x f x x [a; b]
b
b
ab
xf x dx
f x dx .
2 a
a
Chứng minh: Đặt t a b x, x [ a; b ] .
b
b
a
xf x dx xf a b x dx xf x dx a b t f t d (a b t )
a
b
a
a
b
b
b
b
xf x dx a b t f t dt xf x dx ( a b) f t dt tf t dt
a
b
a
a
a
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
b
b
b
b
b
a b
f x dx (đpcm).
2 a
xf x dx (a b) f x dt xf x dx xf x dx
a
a
a
a
Mệnh đề 1.2.2. Giả sử y f ( x ) là hàm xác định, liên tục trên và tuần
a T
hoàn với chu kì T . Khi đó
a
T
f x dx f x dx
0
Chứng minh.
a T
Ta có,
a
a
a
a
f ( x)dx
0
a T
0
T
(1)
T
a
0
a T
0
f ( x )dx f t T dt f t dt
T
Từ (1); (2)
a T
f ( x)dx f ( x )dx f ( x)dx
a T
Đặt x t T
T
0
T
a
a
f ( x )dx f x dx (2)
0
T
f ( x )dx f ( x)dx f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx ( đpcm).
a
0
0
0
a nT
Hơn nữa , ta có cơng thức mở rộng:
a
T
f x dx n f x dx
0
1.2.4. Ví dụ
2
2
2
1
1
1
1
16
I 1 ( x ) 2 dx ( x 2 2 2 ) dx ( x 3 2 x )
x
x
3
x 1
3
1
1
1
1
I 2 ( e x 1) dx ( e x 1) dx ( e x 1)
0
0
e 1
0
I 3 (sin 2 x 1) dx
0
1
1
sin 2 xd 2 x dx ( cos 2 x ) x 0
20
0
0
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
I 4 (cos x 1)4 dx cos 4 xdx C41 cos 3 x C42 cos 2 xdx C41 cos xdx dx
2
1 cos 2 x
cos 3x 3cos x
dx 4
dx 3 1 cos 2 x dx 4sin x x C
2
4
1
sin 3x
3sin 2 x
1 2 cos 2 x cos 2 2 x dx
7 sin x 4 x
C
4
3
2
17 x
sin 3 x 7 sin 2 x 1 1 cos 4 x
7 sin x
dx C
4
3
4
4
2
35 x
sin 3 x 7 sin 2 x sin 4 x
7 sin x
C
8
3
4
32
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
Chương 2. Phân dạng và kĩ thuật tính tích phân hàm một biến
2.1. Các dạng bài tốn tích phân từng phần
Cơng thức tích phân từng phần.
Ta có d uv vdu udv udv d uv vdu
udv d uv vdu
udv uv vdu
Từ đây ta có cơng thức tích phân từng phần cho tích phân xác định.
b
b
b
udv uv vdu
a
a
a
Nhận xét: Một câu hỏi đặt ra là khi nào thì sử dụng cơng thức tích phân
từng phần để tính tích phân. Câu trả lời nói chung là những tích phân mà hàm
dưới dấu tích phân có cấu trúc tích hoặc là hàm hợp. Khi đó một vấn đề cốt
yếu đặt ra là cần chọn hàm u; dv phù hợp sao cho có thể đưa tích phân về dạng
tích phân cơ bản. Cách phân dạng dưới đây chính là việc lựa chọn theo u ; d v .
u P ( x)
I e x .P x dx , P ( x ) là đa thức. Ta đặt
x
dv e dx
Dạng 1.
Như vậy nếu P ( x ) là đa thức bậc n thì sau n lần tích phân từng phần ta
sẽ thu được kết quả.
Ví Dụ 2.1.1. Tính các tích phân sau
1
I1
0
x2 x 1
dx;
ex
2
I 2 e xlnx dx;
1
1
2
I 3 x 3e x dx
(ĐH Cần Thơ 1999)
0
Ta có:
1
1
x2 x 1
I1
dx ( x 2 x 1)e x dx
x
e
0
0
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
1
u x 2 x 1 du (2 x 1)dx
x
2
I1 e x x 1 e x 2 x 1 dx
x
x
0
v e
dv e dx
0
Đặt
1
u 2 x 1 du 2dx
x
x
dv e dx v e
Ta lại tính I11 e x 2 x 1 dx bằng cách đặt ,
0
1
1
x
1
Suy ra I11 e 2 x 1 0 2 e x dx 3e1 1 2e x 0 5e1 3
0
I1 3e1 1 5e1 3 8e 1 4 .
2
2
I 2 e
x lnx
1
2
dx xe dx xd e
x
1
1
x
xe
x 2
1
1
2
e x dx 2e 2 e e 2 e e 2
1
1
2
1
I 3 x e dx x 2 e x dx 2 . Đặt t x 2 đổi cận x 0 t 0; x 1 t 1
20
0
3 x2
1
1
1
1
1
1 1
e
e
I 3 tet dt td (et ) tet et dt e .
0
20
20
2
2
2
0
I P x a x dx
Dạng 2.
P( x)
u P( x)
x
dv a dx
là đa thức. Ta đặt
Ví Dụ 2.1.2. Tính các tích phân sau
1
I1 ( x 1) 2 2 x dx
0
1
1
1
2
Ta có, I1 ( x 1) 2 dx
x 1 d 2 x
ln 2 0
0
2
1
2 x ( x 1) 2
ln 2
1
0
x
1
1
2
7
2
2 x x 1 dx
2 ( x 1) d 2 x
ln 2 0
ln 2 ln 2 0
1
1
7
2
2
7
6
2
2 .2 x . x 1 2 2 x d x
2 3 2x
ln 2 ln 2
ln 2 0
ln 2 ln 2 ln 2
0
1
0
7
6
4
2 3
ln 2 ln 2 ln 2
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
I 2 ( x 1)2 3x 1 dx
0
1
1
Ta có, I 2 ( x 1)2 3x 1 dx
0
3
2
x 1 d 3x
ln 3 0
1
3 x
6 1 x
3
6 1
3 ( x 1)2
3
x
1
dx
( x 1)d 3x
2
0
ln 3
ln 3 0
ln3 ln 3 0
1
1
1
3
6
6
3
6
6
3
6
12
2 .3x. x 1 2 3x dx
2 3 3x 0
2 3
ln 3 ln 3
ln 3 0
ln 3 ln 3 ln 3
ln 3 ln 3 ln 3
0
I P x sin xdx
Dạng 3.
u P ( x)
dv sin xdx
, P x là đa thức. Ta đặt
Ví dụ 2.1.3. Tính tích phân sau:
6
I1 xsinxcosxdx (Bộ đề)
0
6
6
Ta có: I1 xsinxcosxdx
0
6
6
1
1
x sin 2 xd 2 x xdcos 2 x
40
40
6
6
1
1
1
1
1
3
xcos 2 x cos 2 xdx xcos 2 x sin 2 x 06
4
40
4
8
48 16
0
0
2
I 2 x 2 x 1 sin 2 x dx
0
du 2 x 1
u x2 x 1
Ta đặt
cos 2x
dv sin 2 x dx v
2
I2
2
2
1 2
1
x x 1 cos 2 x 2 x 1 cos 2 x dx
2
20
0
2 2 8 1 2
2 x 1 d sin 2 x
8
40
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
2
2
2 2 8 1
12
2 2 8 1
2 2 4
2 x 1 sin 2 x sin 2 xd 2 x
cos 2 x
8
4
40
8
4
8
0
0
I P x cos xdx
Dạng 4.
u P( x)
dv cos xdx
với P ( x ) là đa thức. Ta đặt
Ví dụ 2.1.4. Tính tích phân sau:
8
I1 x (sin 4 x cos 4 x) dx
0
8
8
8
3
4
1
4
Ta có, I1 x(sin 4 x cos 4 x)dx x(sin 4 x cos 4 x)dx x( cos 4 x)dx
8
0
0
8
8
8
0
2
8
8
0
3
1
3
1
3
1
1
xdx xcos4 xdx x2 xd (sin 4 x)
xsin4x sin 4 xdx
40
40
8 0 16 0
512 16
16 0
3 2
1
3 2
1
cos 4 x 08
512 128 64
512 128 64
8
I 2 x(sin 6 x cos6 x)dx (Bộ đề)
0
8
8
5 3
58
38
Ta có, I2 x(sin 6 x cos6 x)dx x( sinsin 4x)dx xdx xsin4xdx
8 8
80
80
0
0
8
8
2
8
0
8
5
3
5
3
3
x2 xd(cos4x)
xcos4x cos4xdx
8 0 32 0
512 32
32 0
5 2 3
5 2 3
8
sin4x 0
512 128
512 128
Dạng 5.
u ln x
dv P ( x) dx
I P x ln xdx
với P ( x ) là đa thức. Ta đặt
Ví dụ 2.1.5. Tính tích phân sau:
1
I1 xln x 1 dx
( DB 2007)
0
1
1
1
1
1
1
ln x 1 d x 2 x 2 ln( x 1) x 2 d (ln x 1)
20
2
20
0
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
1
1
1
1
1
1 x2
1
1
1 dx
ln 2 1
1
1
ln 2
dx ln 2 ( x 1)dx
( x 1)2 ln( x 1)
2
2 0 x 1
2
20
2 0 x 1
2 2
2
2
0
0
2
I2
x 2 ln xd x
( D B 2007)
1
2
2
2
2
x2
x2
x2
1
x2
lnxd ( 2 x ) 2 x lnx 2 x d (lnx) 2 ln 2 2 x dx
2
2
2
1 1 2
x
1
1
2
2
x2
1
x
2 ln 2 2 dx 2ln 2 ( 2 x) 2 ln 2 .
2
4
4
1
1
I P x ln k xdx với P ( x ) là đa thức. Ta đặt
Dạng 6.
u ln k x
dv P ( x ) dx
Ví dụ 2.1.6. Tính tích phân sau:
e
I x ln 2 xdx (NT95/Đề 149 . Sách 150 đề Bộ Đại Học)
1
e
1
e
1
1
1
ln 2 xd x 2 x 2 ln 2 x x 2 d (ln 2 x )
21
2
21
1
e
e
e
Ta có, I x ln 2 xdx
e
e
e
e
e2
e2 1
e2
1
e2 1 2
e2 1
xlnxdx lnxd ( x 2 ) x2lnx xdx
x
1
2 1
2 21
2
21
2 4 1
4
e
J x2 ln 2 xdx
1
e
Ta có, J x 2 ln 2 xdx
1
e
e
e
e
e
1
1 3 2
1 3
e3 2 2
2
3
2
ln
xd
x
x
ln
x
x
d
(ln
x
)
x ln xdx
3
3 1
3 1
3 3 1
1
e
e
e
e
e3 2
e3 2
e3
2
e3 2e3 2 2
lnxd x3 lnxd ( x3 ) x 3lnx x3d ln x
x dx
1
3 91
3 91
3
91
3
9 9 1
e
e3 2 x3
5e3 2
9 27 1
27
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
I P x arcsin xdx
Dạng 7.
u arcsin x
dv P( x)dx
với P ( x ) là đa thức. Ta đặt
Ví dụ 2.1.7. Tính tích phân sau:
1
2
I x 2 arcsinxdx
0
1
2
1
Ta có, I x 2 arcsinxdx
0
1
2
1
2
0
1
2
1
1
1
arcsinxd x3 x3 arcsinx x3 d (arcsinx)
30
3
30
1
2
1
2
1
2
1
x
1 1 1 x
1 d(1 x ) 1
dx
d 1 x2
1 x2 d (1 x2 )
2
2
2
144 3 0 1 x
144 6 0 1 x
144 6 0 1 x
60
3
1
3 2
2 2
1
2
1
1
1 x2 (1 x )
144 3
18
0
0
2
2
3 1
144 8 3
0
J
x
3
1 arcsin 2 x 1 dx
1
2
3
0
1 2x 1 1
Ta có, J x 1 arcsin 2 x 1 dx
1 arcsin 2 x 1 d 2 x 1
2 1
2
1
0
3
2
2
3
1 1 t 1
1 1 3
2
Đặt t 2x 1 J
1 arcsin tdt t 3t 3t 9 arcsin tdt
2 0 2
16 0
dt
du
u arcsin t
1 t2
Ta đặt,
3
2
4
2
dv t 3t 3t 9 dt
v t t 3 3t 9t
4
2
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
1
dt
1 t4
3t 2
1 t4
3t 2
J t 3 9t arcsin t t 3 9t
16 4
2
16 0 4
2
1 t 2
0
1
33 1 t 3 2 3t
t 9 d 1 t 2
128 16 0 4
2
1
1
33 1 t 3 2 3t
1 3t 2
3
t 9 1 t2
2t 1 t 2 dt
128 16 4
2
16 0 4
2
0
1
33 9 1 3t 2
3
2t 1 t 2 dt
128 16 16 0 4
2
dt cos udu
Đặt t sin u
t 0 u 0; t 1 u 2
2
J
33 9 1 3sin 2 u
3
2 sin u cos 2udu
128 16 16 0 4
2
2
2
2
33 9
3
1
3
2
sin ucosu du sin ucos 2udu cos 2udu
128 16 64 0
80
32 0
33 9
3 2 2
cos3u
sin
2
udu
128 16 256 0
8
2
0
3 2 1 cos2u
du
32 0
2
2
33 9
3 1 cos4u
1 3 u sin 2u 2
du
128 16 256 0
2
8 32 2
4 0
36 11
3 u sin 4u 2 36 11 3
11 291
128 16 256 2
8 0
128 16 1024 16 1024
Dạng 8.
I (arcsin x)k dx . Ta đặt
u (arcsin x) k
dv dx
Ví dụ 2.1.8. Tính tích phân sau
1
2
I (arcsinx) 2 dx
0
18
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
2
Ta có, I (arcsinx) 2 dx x(arcsinx)
1
2 2
0
0
1
2
2
xd (arcsin 2 x)
0
1
2
2
1
2
1
2
xarcsinx
2
dx
72
1 x2
0
1
2
2 arcsinxd ( 1 x 2 )
2 1 x 2 arcsinx 2 1 x 2 d ( arcsinx )
0
72
72
0
0
1
2
2 3
2 3
2 dx
1
72
6
72
6
0
1
4
J x 1 (arcsin2 x)2 dx
0
1
12
Đặt t 2 x J t 2 (arcsin t )2 dt
40
1
2
1
2
1
1
1
1
2 3
2
2
arcsin
t
dt
t
arcsin
t
dt
I
J
.
Với
I
1 (theo trên)
1
2 0
4 0
2
4
72
6
1
2
1
2
2
Xét J 1 t arcsin t dt
0
1
2
2
2
2
1
2
arcsin t d t 2 t arcsin t
20
1
2
2
1
2 2
1
2
0
1 2
t d arcsin 2 t
20
1
2
1
2
t
1
arcsin tdt
arcsin tdt
1 t 2
1 t 2 arcsin tdt
arcsin tdt
2
2
144 0 1 t
144 0
144 0
1 t
1 t 2
0
2
1
2
1
2
1
2
2 arcsin 2 t
arcsin td arcsin t 1 t 2 arcsin tdt 1 t 2 arcsin tdt
144 0
144
2
0
0
1
2
J1
0
t sin u
2
1 t 2 arcsin tdt
. Đặt u arcsin t
dt cos udu
144
1
t 0 u 0; t u
2
6
2
J1
144
2 1
2
u
cos
udu
0
144 2
6
2 u 2
u
1
cos
2
u
du
0
144 4
6
0
6
1
4
6
ud sin 2u
0
19
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
2
0
2 2 u sin 2u
144 144
4
12
6
0
3
6
3 cos 2u 6 3 1
sin
2
ud
2
u
0
48
8 0
48 16
1
8
1 3
1
Vậy, J
1
2 72
6
4 48 16
u arctan x
I P( x)arctan xdx với P ( x ) là đa thức. Ta đặt
dv P( x)dx
Dạng 9.
Ví dụ 2.1.9. Tính tích phân sau
1
I1 xarctanxdx
1
1
1
Ta có, I 2 xarctanxdx 2xarctanxdx (do tính chất hàm chẵn)
1
0
1
1
1
1
1
x 2 dx
dx
arctanxd ( x ) x arctanx x d arctanx
dx
2
0
4 0 1 x
4 0
1 x2
0
0
0
2
2
1
2
1
1 arctanx 0 1
4
2
u (arctan x)k
Dạng 10. I (arctan x)k dx . Ta đặt
dv dx
Ví dụ 2.1.10. Tính tích phân sau
1
2
I1 arctan 2 2 x dx
0
1
dt
x t dx
2
2
Ta đặt, t 2 x
x 0 t 0; x 1 t 1
2
20
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
1
1
1
1
t (arctan t ) 2
1
2 1 tdt
I1 (arctan t )2 dt
td(arctan t )
20
2
2
32
2 0 1 t 2
0
0
1
2 1
2 ln 2
ln 1 t 2
32 4
32
4
0
1
I 2 x(arctanx) 2 dx
0
1
1
Ta có, I 2 x (arctanx )2 dx
0
1
arctan 2 x d x 2 1
20
1
1
1
1
1
2 1
2arctanx
( x 2 1) arctan 2 x ( x 2 1)d arctan 2 x
(1 x 2 ).
dx
0
2
20
16 2 0
1 x2
1
1
1
2
2
2
xdx
1
arctanxdx
xarctanx 0 xd arctanx
16 0
16
16 4 0 1 x 2
0
2 1 d (1 x 2 ) 2
2 ln 2
2 1
ln(1
x
)
.
0
16 4 2 0 1 x 2
16 4
16 4
2
1
u arccos x
dv P( x)dx
Dạng 11. I P ( x) arccos xdx với P ( x ) là đa thức. Ta đặt
Ví dụ 2.1.11. Tính tích phân sau
1
I1 arccosxdx
1
2
1
1
1
11
1
11 x
Ta có, I1 arccosxdx xarccosx x.
dx
dx
1
2
2 1 1 x2
12 2 1 1 x 2
1
2
2
2
2
1
11
1
2 2
1 x d (1 x 2 )
1 x2
12 4 1
12 2
1
1
2
3
12
4
2
1
I 2 xarccosxdx
1
2
21
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
1
11
1 2
1 1 2 1
1 1 x 2 dx
2
Ta có, I 2 arccosxd x x arccosx x .
dx
2
1
21
2
21
24 2 1 1 x 2
1
x
2
2
2
2
Đặt x sin t I 2
2
2
2
2
6
6
1 sin td sin t
1
1
sin 2 tdt 1 cos2t dt
24 2 1 sin 2 t
24 2
24 4
6
1 sin2t 2
3
I2 t
24 4
2
48 16
6
u (arccos x)k
I ( arccos x ) dx . Ta đặt
dv dx
k
Dạng 12.
1
2
Ví dụ 2.1.12. Tính tích phân sau I (arccos 2 x) 2 dx
0
1
2
1
2
1
Ta có, I (arccos 2 x ) dx 1 (arccos 2 x) 2 d 2 x 1 ( arccost ) 2 dt
20
20
0
2
1
1
1
1
1
1
1 2.arccost
tdt
t.(arccost ) 2 td (arccost ) 2 t.
dt arccost.
2
20
2 0 1 t2
1 t2
0
0
1
2
1
2
1
arccost d ( 1 t ) 1 t .arccost 1 t 2 .d (arccost )
0
0
1
0
1
1
1 t 2.
dt
dt
1
2
2 0
2 0
2
1 t
Dạng 13.
I xR(sin x;cos x )dx
Ta đặt
R (s inx; cosx) là phân thức
ux
dv R( sinx; cosx)dx
Ví dụ 2.1.13. Tính tích phân sau
22
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
3
I
xsinx
dx (ĐHSP Vinh A, B - 2001)
2
x
cos
3
3
Ta có, I
xsinx
xsinx
dx 2
dx (do hàm dưới dấu tích phân là hàm chẵn)
2
x
cos2 x
0
cos
3
3
3
3
2 x.
0
3
3
3
d (cosx)
1
1
dx
4
dx
2 x.d (
) 2 x.
2
2
2
cos x
cosx
cosx 0
cosx
3
cosx
0
0
0
1 t2
cosx 1 t 2
3
x
dt
dx
Xét J 2
; đặt t tan dx
2
cosx
1 t2
0
1
x 0 t 0; x 3 t
3
1
3
1
3
2
1 t
dt
dt
1 1 t
J 2
.
2
2. ln
2
2
2
1 t 1 t
1 t
2 1 t
0
0
Dạng 14.
I sin f ( x)dx
1
3
ln(2 3) I
0
4
ln(2 3)
3
u sin f x
dv dx
. Ta đặt
Ví dụ 2.1.14. Tính tích phân sau
e2
sin ln x dx
I1
1
e2
2
e2
2
e2
1
I sin ln x dx x.sin(lnx) 1 xd sin lnx e x. cos lnx dx
x
1
1
1
Ta có,
e2
e2
2
e2
e2
2
e2
e cos(lnx )dx e x.cos (lnx) 1 xd cos lnx e sin ln x dx e 2 I
1
1
1
23
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
