Phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐẶNG TÚ HỒI

PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ:

THAM SỐ HIỆU CHỈNH VÀ SỰ HỘI TỤ

CHUN NGÀNH : TỐN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ

: 60.46.36

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN – 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




Cơng trình đựoc hồn thành tại :

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THỊ THU THUỶ

Phản biện 1:

GS.TS. Nguyễn Bường

Phản biện 2:

GS.TS. Trần Vũ Thiệu

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn họp tại:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
Ngày 07 tháng 11 năm 2010

Có thể tìm hiểu luận văn tại Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
và thư viện Trường Đại học Khoa học

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC
LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN
Nguyễn Thị Thu Thuỷ và Đặng Tú Hồi (2010). “Kết quả số của
phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình tốn tử đơn điệu”. Tạp chí
Khoa học và Cơng nghệ, Đại học Thái Nguyên, 70(08), tr.61 - 64.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




▼ô❝ ❧ô❝

▼ë ➤➬✉

✸

❈❤➢➡♥❣ ✶✳

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ➤➡♥

➤✐Ư✉

✼

✶✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✹

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✻

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

✶✳✶✳✶✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤
✶✳✶✳✷✳ ❱Ý ❞ơ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤

✶✳✷

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉
✶✳✷✳✶✳ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

✶✳✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

✶✳✷✳✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤

❈❤➢➡♥❣ ✷✳

◆❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤

✷✵

✷✳✶

❍✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✵

✷✳✷

❚❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✺

✷✳✸

❚è❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷✽

✷✳✹

❑Õt q✉➯ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✸✸

❑Õt ❧✉❐♥

✹✵

❚➭✐ ❧✐Ư✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✹✶

✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ ➜➵✐ ❤ä❝
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✳
❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✱ t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ ❜➭✐ ❣✐➯♥❣✱ t➳❝
❣✐➯ ❧✉➠♥ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì ✈➭ ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ q✉ý ❜➳✉
❝đ❛ ❝➳❝ ❣✐➳♦ s➢ ❝đ❛ ❱✐Ư♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱✐Ư♥ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ư ❚❤➠♥❣ t✐♥ t❤✉é❝ ✈✐Ö♥
❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❱✐Öt ◆❛♠✱ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ tr ọ
ừ ò ì t ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ ❝➳❝
❚❤➬② ❈➠✳
❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ư✉✱ ♣❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦ ❑❤♦❛ ❤ä❝
✈➭ ◗✉❛♥ ❤Ư ◗✉è❝ tÕ✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ✲❚✐♥ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ ➜➵✐ ❤ä❝
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ q✉❛♥ t➞♠ ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣
t➵✐ ❚r➢ê♥❣✳
❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❝➠ ❣✐➳♦ ❚✐Õ♥ sÜ ễ ị

ỷ rt t tì ớ ❝❤Ø ❜➯♦ t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥
t➳❝ ❣✐➯ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ✈➭ trù❝ t✐Õ♣ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥
✈➝♥ ♥➭②✳
❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❣ö✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ tí✐ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ ❧✉➠♥ t❤❡♦
s➳t ➤é♥❣ ✈✐➟♥✱ ❝❤✐❛ s❰ ♥❤÷♥❣ ❦❤ã ❦❤➝♥ tr♦♥❣ ❝✉é❝ sè♥❣✱ ❣✐ó♣ t➳❝ ❣✐➯ ❝ã ➤✐Ị✉
❦✐Ư♥ tèt ♥❤✃t tr♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ ✾ ♥➝♠ ✷✵✶✵
❚➳❝ ❣✐➯

➜➷♥❣ ❚ó ❍å✐

✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




▼ë ➤➬✉
❘✃t ♥❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝đ❛ t❤ù❝ t✐Ơ♥✱ ❦❤♦❛ ❤ä❝✱ ❝➠♥❣ ♥❣❤Ư ❞➱♥ tí✐ ❜➭✐ t♦➳♥
➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤

✭✐❧❧✲♣♦s❡❞✮

t❤❡♦ ♥❣❤Ü❛ ❍❛❞❛♠❛r❞✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭❦❤✐

❞÷ ❦✐Ư♥ t❤❛② ➤ỉ✐ ♥❤á✮ ❤♦➷❝ ❦❤➠♥❣ tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ö♠✱ ❤♦➷❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❦❤➠♥❣ ❞✉②
♥❤✃t✱ ❤♦➷❝ ♥❣❤✐Ö♠ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭♦ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳ ❉♦ tÝ♥❤
❦❤➠♥❣ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ♥➭② ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ♥➟♥ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ sè ❝đ❛ ♥ã
❣➷♣ ❦❤ã ❦❤➝♥✳ ▲ý ❞♦ ❧➭ ♠ét s❛✐ sè ♥❤á tr♦♥❣ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã t❤Ó
❞➱♥ ➤Õ♥ ♠ét s❛✐ sè ❜✃t ❦ú tr♦♥❣ ❧ê✐ ❣✐➯✐✳

❚r♦♥❣ ➤Ị t➭✐ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤
❞➢í✐ ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö
✭✵✳✶✮

Ax = f,
tr♦♥❣ ➤ã

A : X −→ X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤➡♥ trÞ h✲❧✐➟♥ tơ❝ tõ ❦❤➠♥❣

❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ X ∗ ❝đ❛ X ✳ ➜Ĩ ❣✐➯✐ ❧♦➵✐ ❜➭✐
t♦➳♥ t sử ụ ữ ổ ị s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐ s❛✐ sè
❝đ❛ ❝➳❝ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❝➭♥❣ ♥❤á tì ệ ỉ tì ợ ớ ệ
ú ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ①✉✃t ♣❤➳t✳ ◆➝♠ ✶✾✻✸✱ ❆✳ ◆✳ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❬✶✵❪ ➤➢❛ r❛ ♣❤➢➡♥❣
♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♥ỉ✐ t✐Õ♥❣ ✈➭ ❦Ĩ tõ ➤ã ❧ý t❤✉②Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤
➤➢ỵ❝ ♣❤➳t tr✐Ó♥ ❤Õt sø❝ s➠✐ ➤é♥❣ ✈➭ ❝ã ♠➷t ë ❤➬✉ ❤Õt ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ t❤ù❝ tÕ✳
◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤ñ ②Õ✉ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭② ❧➭ ①➞② ❞ù♥❣ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✭✵✳✶✮ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt t❤ù❝
t×♠ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉

xh,δ
α ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈

Fαh,δ (x) = Ah (x) − fδ
tr♦♥❣ ➤ã

H ❞ù❛ tr➟♥ ✈✐Ö❝

2

+ α x∗ − x

2

✭✵✳✷✮

α > 0 ❧➭ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ h ✈➭ δ ✱ x∗ ❧➭ ♣❤➬♥ tö

❝❤♦ tr➢í❝ ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß ❧➭ t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤ä♥ ✈➭

✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

(Ah , fδ ) ❧➭ ①✃♣ ①Ø ❝ñ❛ (A, f )✳




❍❛✐ ✈✃♥ ➤Ị ❝➬♥ ➤➢ỵ❝ ❣✐➯✐ q✉②Õt ë ➤➞② ❧➭ t×♠ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠
❤➭♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ✈➭ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤
tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉

α = α(h, δ) t❤Ý❝❤ ❤ỵ♣ ➤Ĩ ♣❤➬♥

xh,δ
α(h,δ) ❞➬♥ tí✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❦❤✐ h ✈➭ δ

❞➬♥ tí✐ ❦❤➠♥❣✳
❱✐Ư❝ t×♠ ♣❤➬♥ tư ❝ù❝ t✐Ĩ✉ ❝đ❛ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ ❚✐❦❤♦♥♦✈ sÏ ❣➷♣ ♥❤✐Ị✉ ❦❤ã
❦❤➝♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤✐ t✉②Õ♥✳ ➜è✐ ✈í✐ ❧í♣ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤✐ t✉②Õ♥
✈í✐ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

A : X → X ∗ ✱ ❋✳ ❇r♦✇❞❡r ❬✽❪ ➤➢❛ r❛ ♠ét ❞➵♥❣ ❦❤➳❝

❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈✳ ❚➢ t➢ë♥❣ ❝❤đ ②Õ✉ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣
❞♦ ❋✳ ❇r♦✇❞❡r ➤Ị ①✉✃t ❧➭ sư ❞ơ♥❣ ♠ét t♦➳♥ tư

M : X → X ∗ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t

h✲❧✐➟♥ tơ❝ ✭❤❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮✱ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤ ❧➭♠ t❤➭♥❤ ♣❤➬♥ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤✳ U s ✱
➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛

X ✱ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥❤➢ ✈❐②✳ ❇➺♥❣

♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ♥➭②✱ ❨❛✳ ■✳ ❆❧❜❡r ❬✷❪ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤

Ah (x) + αU s (x − x∗ ) = fδ

✭✵✳✸✮

❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮✳
❱✐Ö❝ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ α
❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮ ❦❤✐
r➺♥❣ t❤❛♠ sè

Ah ≡ A ➤➲ ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tr♦♥❣ ❬✷❪✳ ë ➤ã ♥❣➢ê✐ t❛ ❝❤Ø r❛

α ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ δ ➤➢ỵ❝ ➤➳♥❤ ❣✐➳ ❜ë✐ ➤➻♥❣ t❤ø❝
˜ p,
ρ(α) = Kδ

✈í✐

= α(δ) t❤Ý❝❤ ❤ỵ♣ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉

˜ ≥ 1,
0 < p < 1, K

ρ(α) = α xδα ✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✸✮ ❝ï♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè

α = α(δ) ♥❤➢ tr➟♥ ❧➭ ♠ét t❤✉❐t t♦➳♥ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❚✐❦❤♦♥♦✈ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
t♦➳♥ tư ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✶✮✳ ◆➝♠ ✷✵✵✺✱ ◆❣✉②Ơ♥ ❇➢ê♥❣ ❬✻❪ ➤➲ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉
✈✐Ư❝ ❝❤ä♥ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ t❤❡♦ ♥❣✉②➟♥ ❧Ý ➤é ❧Ư❝❤ s✉② ré♥❣
tr➟♥ ❝➡ së ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

ρ(α) = δ p α−q ,

0
❝❤♦ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✵✳✶✮ ❦❤✐ ①Ðt ♣❤➢➡♥❣ trì ệ ỉ tr trờ ợ

Ah A


S húa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




▼ơ❝ ➤Ý❝❤ ❝đ❛ ➤Ị t➭✐ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥❤➺♠ ➤ä❝ ❤✐Ĩ✉ trì
ổ ị trì t♦➳♥ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈í✐ ❝➳❝ ♥é✐ ❞✉♥❣ s❛✉✿

✶✳

❚r×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❇r♦✇❞❡r✲❚✐❦❤♦♥♦✈ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣

tr×♥❤ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ö✉ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝
✷✳

X✳

◆➟✉ sù ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤ä♥ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉

❝❤Ø♥❤✳
✸✳

➜➳♥❤ ❣✐➳ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ø♥❣ ✈í✐ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤

➤➲ ❝❤ä♥✳
✹✳

➜➢❛ r❛ ♠ét ✈Ý ❞ơ sè ♠✐♥❤ ❤ä❛✳
◆é✐ ❞✉♥❣ ❝đ❛ ➤Ị t➭✐ ➤➢ỵ❝ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ❣✐í✐

t❤✐Ư✉ ♠ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝➡ ❜➯♥ ♥❤✃t ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣
tr×♥❤ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ✷ sÏ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❇r♦✇❞❡r✲❚✐❦❤♦♥♦✈
❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tử ệ trì ọ trị ủ t❤❛♠ sè
❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ➤➳♥❤ ❣✐➳ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ♥➭②✳
❝✉è✐ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ sè ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ♠✐♥❤ ❤ä❛✳

✺

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



ë ♣❤➬♥


▼ét sè ❦ý ❤✐Ư✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t
X

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ tự

X

ợ ủ

Rn





t rỗ

x := y

x ợ ị ĩ y

x

ớ ọ

x

tồ t

I

ị

AT

tr❐♥ ❝❤✉②Ĩ♥ ✈Þ ❝đ❛ ♠❛ tr❐♥

a∼b

a t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ b

A∗

t♦➳♥ tử ợ ủ t tử

D(A)

ề ị ủ t tư

R(A)

♠✐Ị♥ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ t♦➳♥ tư

xk → x

❞➲②

{xk } ❤é✐ tơ ♠➵♥❤ tí✐ x

xk

❞➲②

{xk } ❤é✐ tơ ②Õ✉ tí✐ x

x

X

n ❝❤✐Ị✉

x

x

✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

A

A

A

A




❈❤➢➡♥❣ ✶

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤
t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉
✶✳✶

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤

✶✳✶✳✶✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤

❈❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ❝➡ së
①Ðt ♠ét ❜➭✐ t♦➳♥ ë ❞➵♥❣ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư
✭✶✳✶✮

A(x) = f,
ë ➤➞②

A : X → Y ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

❇❛♥❛❝❤

Y ✱ f ❧➭ ♣❤➬♥ tư t❤✉é❝ Y ✳ ❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❝đ❛ ❍❛❞❛♠❛r❞

✭①❡♠ ❬✶❪ ✈➭ t➭✐ ❧✐Ư✉ ❞➱♥✮✿

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦

A

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

X

✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

Y ✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✮ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❝❤Ø♥❤ ✭✇❡❧❧✲♣♦s❡❞✮ ♥Õ✉
✶✮ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

A(x) = f

❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ✈í✐ ♠ä✐

f ∈Y❀

✷✮ ♥❣❤✐Ư♠ ♥➭② ❞✉② ♥❤✃t❀
✸✮ ✈➭ ♥❣❤✐Ư♠ ♣❤ơ t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭♦ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳

◆Õ✉ Ýt ♥❤✃t ♠ét tr♦♥❣ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ệ tr t tì t
ợ ọ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤

✭✐❧❧✲♣♦s❡❞✮✳

➜è✐ ✈í✐ ❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥

♣❤✐ t✉②Õ♥ t❤× ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ t❤ø ❤❛✐ ❤➬✉ ♥❤➢ ❦❤➠♥❣ t❤♦➯ ♠➲♥✳ ❉♦ ✈❐② ❤➬✉ ❤Õt

❝➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ♣❤✐ t✉②Õ♥ ➤Ò✉ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳ ❍➡♥ ♥÷❛ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥
❝✉è✐ ù ũ ó tự ệ ợ ì t ó ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ s❛✉ ➤➞②✳

✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦

Y✳

A

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

X

✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

❇➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✮ ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ♥Õ✉ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛

♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✶✮ ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭♦ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳
❈❤ó ý ✶✳✶✳✶✳

❇➭✐ t♦➳♥ tì ệ

x ụ tộ ữ ệ f ĩ x =

R(f ) ợ ọ ổ ị tr (X, Y ) ế ớ ỗ > 0
tå♥ t➵✐ ♠ét sè

δ(ε) > 0 s❛♦ ❝❤♦ tõ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) ❝❤♦ t❛ ρX (x1 , x2 ) ≤ ε✱

ë ➤➞②

xi = R(fi ), xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2.
❈❤ó ý ✶✳✶✳✷✳

▼ét ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ã t❤Ó ➤➷t ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ❝➷♣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♥➭② ♥❤➢♥❣

❧➵✐ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ❝➷♣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❦❤➳❝✳
❚r♦♥❣ ♥❤✐Ị✉ ø♥❣ ❞ơ♥❣ t❤× ✈Õ ♣❤➯✐ ❝đ❛ ✭✶✳✶✮ t❤➢ê♥❣ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐ ➤♦ ➤➵❝✱
♥❣❤Ü❛ ❧➭ t❤❛② ❝❤♦ ❣✐➳ trÞ ❝❤Ý♥❤ ①➳❝

f ✱ t❛ ❝❤Ø ❜✐Õt ①✃♣ ①Ø fδ ❝ñ❛ ♥ã t❤♦➯ ♠➲♥

fδ − f ≤ δ ✳ ●✐➯ sư xδ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭✶✳✶✮ ✈í✐ f t❤❛② ❜ë✐ fδ ✭❣✐➯ t❤✐Õt
r➺♥❣ ♥❣❤✐Ư♠ tå♥ t➵✐✮✳ ❑❤✐
❝❤Ø♥❤ t❤×

δ → 0 t❤× fδ → f ♥❤➢♥❣ ✈í✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣

xδ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❦❤➠♥❣ ❤é✐ tơ ➤Õ♥ x✳

✶✳✶✳✷✳ ❱Ý ❞ơ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤

❚r➢í❝ ❦❤✐ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ✈Ý ❞ơ ✈Ị ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✱ tr♦♥❣ ♠ơ❝
♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ♠ét sè ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤➭♠ ❝ã ❧✐➟♥

q✉❛♥ ➤Õ♥ ♥é✐ ❞✉♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝đ❛ ➤Ị t➭✐✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ♥➭② ➤➢ỵ❝ t❤❛♠
❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ư✉ ❬✶❪✱ ❬✹❪✱ ❬✾❪ ✈➭ ❬✶✷❪✳

• ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✿ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤Þ♥❤ ❝❤✉➮♥ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tí X
tr ó ứ ớ ỗ tử

x X t❛ ❝ã ♠ét sè x ❣ä✐ ❧➭ ❝❤✉➮♥ ❝ñ❛ x✱

t❤á❛ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ s❛✉✿
✶✮

x > 0, ∀x = 0✱ x = 0 ⇔ x = 0;

✷✮

x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ X ✭❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❛♠ ❣✐➳❝✮❀

✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✸✮

αx = |α|. x , ∀x ∈ X, α ∈ R.

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ➤Þ♥❤ ❝❤✉➮♥ ➤➬② ➤đ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳
❱Ý ❞ơ ✶✳✶✳✶✳

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥

Lp [a, b] ✈í✐ 1 ≤ p < ∞ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈í✐

❝❤✉➮♥
b
p

|ϕ(x)| dx

ϕ =

1
p

,

ϕ ∈ Lp [a, b].

a

•

❙ù ❤é✐ tơ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✿

❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❉➲② ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư

xn tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣

X ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤é✐ tơ ➤Õ♥ ♣❤➬♥ tö x0 ∈ X ❦❤✐ n → ∞✱ ♥Õ✉

xn − x0 → 0 ❦❤✐ n → ∞✱ ❦ý ❤✐Ư✉ ❧➭ xn → x0 ✳ ❙ù ❤é✐ tơ t❤❡♦ ❝❤✉➮♥ ➤➢ỵ❝
❣ä✐ ❧➭ ❤é✐ tơ ♠➵♥❤✳
❉➲②
♥Õ✉ ✈í✐

{xn } ⊂ X ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❤é✐ tơ ②Õ✉ ➤Õ♥ x0 ∈ X ✱ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭ xn

x0 ✱

∀f ∈ X ∗ ✱ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛ X ✱ t❛ ❝ã f (xn ) → f (x0 )✱ ❦❤✐

n → ∞✳
❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ tr➟♥ t❛ ❝ã ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t s❛✉✳
❚Ý♥❤ ❝❤✃t ✶✳✶✳✶✳

✐✮ ❚õ sù ❤é✐ tơ ♠➵♥❤ ❝đ❛ ♠ét ❞➲②

{xn } s✉② r❛ sù ❤é✐ tơ ②Õ✉ ❝đ❛ ❞➲② ➤ã❀

✐✐✮ ●✐í✐ ❤➵♥ ②Õ✉ ❝ñ❛ ♠ét ❞➲② ♥Õ✉ ❝ã ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t❀
✐✐✐✮ ◆Õ✉

xn

x t❤× sup
1≤n<∞

◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳✶✳

xn < ∞ ✈➭ x ≤ limn→∞ xn .

▼ét sè tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ tõ ❤é✐ tơ ②Õ✉ ❝ã tể s r ộ tụ





ã

X ữ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉❀
{xn } ⊂ M ✈í✐ M ❧➭ ♠ét t❐♣ ❝♦♠♣❛❝t tr♦♥❣ X ✳

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤➯♥ ①➵✿

●✐➯ sö

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ợ ủ
tứ ủ

X ị tr R✱ X ∗ ❧➭

X ✈➭ ❣ä✐ X ∗∗ = L(X ∗ , R) ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣

X ✳ ❚❛ t ứ ớ ỗ x X ột ế ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤

✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

x∗∗ tr➟♥ X ∗∗ ♥❤ê ❤Ư t❤ø❝

❧✐➟♥ tơ❝

x∗∗ , f = f, x , ∀f ∈ X ∗∗ ,
f, x ❧➭ ❦Ý ❤✐Ư✉ ❣✐➳ trÞ ♣❤✐Õ♠ ❤➭♠ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ f ∈ X ∗ t➵✐

ë ➤➞②

x ∈ X ✳ ❚❛ ❝ã x = x∗∗ . ➜➷t h(x) = x∗∗ ✱ ♥Õ✉ h : X → X ∗∗ ❧➭ t♦➭♥
tì
í ụ

X ợ ọ ♣❤➯♥ ①➵✳

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ Lp [0, 1],

p > 1 ❧➭ ❦❤➠♥❣ ọ

ị ữ ề ➤Ị✉ ♣❤➯♥ ①➵✳
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✶✳

✭①❡♠ ❬✶✷❪✮ ◆Õ✉

X

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ tì ị

s t


X



ọ ❣✐í✐ ♥é✐ ❧➭ ❝♦♠♣❛❝t ②Õ✉✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭

K ⇒ ∃ {xnk }, xnk

x X

ì ị ó tr

X

t ế

ỗ t ị ó ế tr
ỗ t ồ ó ị tr

ã

{xn } X : xn ≤

X

X

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✲❙ ✭❊♣❤✐♠♦✈ ❙t❡❝❤❦✐♥✮✿

❧➭ ❝♦♠♣❛❝t ②Õ✉❀
❧➭ ❝♦♠♣❛❝t ②Õ✉✳

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

X ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊♣❤✐♠♦✈ ❙t❡❝❤❦✐♥ ✭❤❛② ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✮

①➵ ✈➭ tr♦♥❣

X sù ❤é✐ tơ ②Õ✉ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tư (xn

♥Õ✉

X ♣❤➯♥

x) ✈➭ sù ❤é✐ tô ❝❤✉➮♥

( xn → x ) ❧✉➠♥ ❦Ð♦ t❤❡♦ sù ❤é✐ tô ♠➵♥❤ ( xn − x → 0)✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✸✳

❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✳

❱í✐ t♦➳♥ tư

r : X → Y tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

Y ✱ t❛ sÏ ✈✐Õt r(x) = O( x ) ✈í✐ x → θX ✱ ♥Õ✉ r(x)/ x → 0 ❦❤✐ x → θX ✳
❑Ý ❤✐Ö✉

L(X, Y ) ❧➭ t❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ t♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tơ❝ T : X → Y ✳

✶✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




• ➜➵♦ ❤➭♠ ❋rÐ❝❤❡t✿ ❈❤♦ A : X → Y ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤
X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ Y ✳ ❚♦➳♥ tư A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t t➵✐ ➤✐Ó♠
x ∈ X ✱ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ T ∈ L(X, Y ) s❛♦ ❝❤♦
A(x + h) = A(x) + T h + O( h ),
✈í✐ ♠ä✐

h t❤✉é❝ ♠ét ❧➞♥ ❝❐♥ ❝đ❛ ➤✐Ĩ♠ θ✳ ◆Õ✉ tå♥ t➵✐✱ tì T ợ ọ

rét ủ

ã

h0

A t x ✈➭ t❛ ✈✐Õt A (x) = T ✳

❚❐♣ ➤ã♥❣ ②Õ✉✿

❚❐♣

M ⊂ X ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭

t❐♣ ➤ã♥❣ ✭➤ã♥❣ ②Õ✉✮

♥Õ✉ tõ

x)✱ tr♦♥❣ ➤ã xn ∈ M, ∀n ≥ 0✱ s✉② r❛ x ∈ M ✳

xn → x (xn
➜Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶✳✷✳

✭①❡♠ ❬✶✷❪✮ ✭▼❛③✉r✮ ▼ét t❐♣ ❧å✐ ➤ã♥❣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛✲

♥❛❝❤ ❧➭ ➤ã♥❣ ②Õ✉✳

❙❛✉ ➤➞② t❛ sÏ ❝❤Ø r❛ ♠ét ✈➭✐ ✈Ý ❞ô ✈Ị t♦➳♥ tư

A ♠➭ ✭✶✳✶✮ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t

❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳
➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✶✳✸✳ ❚♦➳♥ tư ✭♣❤✐ t✉②Õ♥✮

A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧✐➟♥ tô❝ ♠➵♥❤✱ ♥Õ✉ ♥ã

➳♥❤ ①➵ ♠ä✐ ❞➲② ❤é✐ tô ②Õ✉ t❤➭♥❤ ❞➲② ❤é✐ tô ♠➵♥❤ tø❝ ❧➭ ♥Õ✉

xn

x s✉② r❛

Axn → Ax.
▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✶✳
◆Õ✉

✭①❡♠ ❬✶✷❪✮

❈❤♦

X

✈➭

Y

❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝✳

A ❧➭ t♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❝♦♠♣❛❝t t❤× A ❧✐➟♥ tơ❝ ♠➵♥❤✳

❱Ý ❞ơ ✶✳✶✳✹✳

◆Õ✉ A ❧➭ t♦➳♥ tư ❧✐➟♥ tơ❝ ♠➵♥❤ t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✮ ✭✈➠ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉✮

♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳
❚❤❐t ✈❐②✱ ❣✐➯ sö
✈➭

{xn } ❧➭ ♠ét ❞➲② ❝❤Ø ❤é✐ tô ②Õ✉ ➤Õ♥ x✱ xn

x✱ xn → x

yn = A(xn )✱ y = A(x)✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ❞♦ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tơ❝ ♠➵♥❤ ❝đ❛ A s✉② r❛

yn → y ✈➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ A(x) = f ❦❤➠♥❣ ♣❤ơ t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tơ❝
✈➭♦ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❜❛♥ ➤➬✉✳
❚✉② ♥❤✐➟♥✱ ❝ị♥❣ ❝ã ột trờ ợ ệt trì t
tử ✈í✐ t♦➳♥ tư ❧✐➟♥ tơ❝ ♠➵♥❤✳ ❈❤➻♥❣ ❤➵♥✱ ♥Õ✉ ♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤

✶✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

D(A) ❝ñ❛




t tử

A ữ ề tì ọ ộ tơ ②Õ✉ ➤Ị✉ ❤é✐ tơ ♠➵♥❤✱ ❞♦ ➤ã

❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tr➟♥ ❦❤➠♥❣ ➳♣ ❞ơ♥❣ ➤➢ỵ❝✳ ❱➭ ♥Õ✉ t❛ ①Ðt ♠ét t♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤
❝♦♠♣❛❝t ✈í✐ ♠✐Ị♥ ➯♥❤ R(A) ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ị✉ tì t tử ợ A1 ó
tụ ❦❤✐ ➤ã ❜➭✐ t♦➳♥ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

A(x) = f ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t

❝❤Ø♥❤✳
❱Ý ❞ơ ✶✳✶✳✺✳

✭①❡♠ ❬✶❪✮ ❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❋r❡❞❤♦❧♠ ❧♦➵✐ ■
b

K(x, s)ϕ(s)ds = f0 (x),

✭✶✳✷✮

x ∈ [a, b],

a

ë ➤➞② ♥❣❤✐Ö♠ ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ϕ(x)✱ ✈Õ ♣❤➯✐ f0 (x) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❝❤♦ tr➢í❝✱ K(x, s)
❧➭ ❤➵❝❤ ❝đ❛ tÝ❝❤ ♣❤➞♥✳ ●✐➯ t❤✐Õt ❤➵❝❤
tr➟♥ ❤×♥❤ ✈✉➠♥❣

K(x, s) ❝ï♥❣ ✈í✐

[a, b] ì [a, b] ét trờ ợ s

K(x, s)
tụ
x

ã rờ ợ
A:

C[a, b] L2 [a, b]
b

(x) → f0 (x) =

K(x, s)ϕ(s)ds.
a

❙ù t❤❛② ➤ỉ✐ ❝đ❛ ✈Õ ♣❤➯✐ ➤➢ỵ❝ ➤♦ ❜➺♥❣ ➤é ❧Ư❝❤ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❧➭ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ❤➭♠ f0 (x) ✈➭ f1 (x) tr♦♥❣

L2 [a, b] ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ ❜ë✐

b

|f0 (x) − f1 (x)|2 dx

ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) =

L2 [a, b]✱ tø❝

1
2

.

a

●✐➯ sö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✷✮ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❧➭

ϕ0 (x)✳ ❑❤✐ ➤ã ✈í✐ ✈Õ ♣❤➯✐

b

f1 (x) = f0 (x) + N

K(x, s)sin(ωs)ds
a

t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ♥➭② ❝ã ♥❣❤✐Ư♠

ϕ1 (x) = ϕ0 (x) + N sin(ωx).
❱í✐

N t ì ủ ớ tì ữ ❤❛✐ ❤➭♠ f0 ✈➭ f1 tr♦♥❣

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

L2 [a, b] ❧➭
b

ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |N |

K(x, s)sin(ωs)ds
a

1
2

2

b

dx

a

✶✷
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




❝ã t❤Ó ❧➭♠ ♥❤á t✉ú ý✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ➤➷t

Kmax =

|K(x, s)|,

max
x∈[a,b],s∈[a,b]

t❛ tÝ♥❤ ➤➢ỵ❝
d

ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) ≤ |N |
c

≤

1
Kmax cos(ωs)
ω

b
a

1
2

2

dx

|N |Kmax c0
,
ω

ë ➤➞② c0 ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✳ ❚❛ ❝❤ä♥

N ✈➭ ω ❧í♥ t✉ú ý ♥❤➢♥❣ N/ω ❧➵✐

♥❤á✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ ➤ã

ρC[a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) = max |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)| = |N |
x∈[a,b]

❝ã t❤Ĩ ❧í♥ t ì

ã rờ ợ
A:

L2 [a, b] L2 [a, b]

b

ϕ(x) → f0 (x) =

K(x, s)ϕ(s)ds.
a

❚➢➡♥❣ tù✱ t❛ ❝ò♥❣ ❝❤Ø r❛ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ♥❣❤✐Ư♠ ϕ0 ✈➭ ϕ1 tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥

L2 [a, b] ❝ã t❤Ĩ ❧í♥ ❜✃t ❦×✳ ❚❤❐t ✈❐②✱
b

|ϕ0 (x) − ϕ1 (x)|2 dx

ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) =
a

= |N |

1
2

b

sin2 (ωx)dx

= |N |

1

2

a

b−a
1
−
sin(ω(b − a))cos(ω(b + a)).
2
2ω

❉Ô ❞➭♥❣ ♥❤❐♥ t❤✃② r➺♥❣ ❤❛✐ sè N ✈➭ ω ❝ã t❤Ó ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦ ρL2 [a,b] (f0 , f1 )
r✃t ♥❤á ♥❤➢♥❣ ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) ❧➵✐ r✃t ❧í♥✳
❱× tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ❞✉② ♥❤✃t ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✶✳✶✮✱ ♥➟♥ ♥❣➢ê✐ t❛
t❤➢ê♥❣ ❝ã ♠ét t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❝❤♦ sù ❧ù❛ ❝❤ä♥ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠✳ ❚❛ sÏ sư ❞ơ♥❣

✶✸
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




♥❣❤✐Ư♠

x0 ❝ã x∗ ✲❝❤✉➮♥ ♥❤á ♥❤✃t✱ ♥❣❤Ü❛ ❧➭ t❛ t×♠ ♥❣❤✐Ö♠ t❤♦➯ ♠➲♥
A(x0 ) = f,

✈➭

x0 − x∗ = min{ x − x∗ : A(x) = f }.

❇➺♥❣ ❝➳❝❤ ❝❤ä♥

✶✳✷

x∗ t❛ ❝ã t❤Ĩ ❝ã ➤➢ỵ❝ ♥❣❤✐Ư♠ ♠➭ t❛ ♠✉è♥ ①✃♣ ①Ø✳

P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

✶✳✷✳✶✳ ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

❈❤♦

X ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝✱ A : D(A) → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ✈í✐

♠✐Ị♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❧➭

D(A) = X ✈➭ ♠✐Ò♥ ➯♥❤ R(A) ♥➺♠ tr♦♥❣ X ∗ ✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐

♥✐Ư♠ tr♦♥❣ ♠ơ❝ ♥➭② ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐ ❧✐Ư✉ ❬✶❪✱ ❬✸❪✱ ❬✹❪ ✈➭ ❬✶✷❪✳

• ❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✿ ❚♦➳♥ tư A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✭♠♦♥♦t♦♥❡✮ ♥Õ✉
✭✶✳✸✮

A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ X.
❚♦➳♥ tư

A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❝❤➷t

①➯② r❛ ❦❤✐

✭str✐❝t❧② ♠♦♥♦t♦♥❡✮

♥Õ✉ ❞✃✉ ❜➺♥❣ ❝❤Ø

x = y ✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ợ A t tử tế tí tì tí

ệ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ tÝ♥❤ ❦❤➠♥❣ ➞♠ ❝đ❛ t♦➳♥ tư✳

•

❚♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤✿

♠ét ❤➭♠ ❦❤➠♥❣ ➞♠

❚♦➳♥ tư

A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤Ị✉ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐

δ(t) ❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ ✈í✐ t ≤ 0, δ(0) = 0 ✈➭

A(x) − A(y), x − y ≥ δ x − y , ∀x, y ∈ D(A).
◆Õ✉

δ(t) = cA t2 ✈í✐ cA ❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè tì t tử A ợ ọ

ệ
í ❞ơ ✶✳✷✳✶✳

❚♦➳♥ tư t✉②Õ♥ tÝ♥❤

A : RM → RM ➤➢ỵ❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐
A = B T B,

✶✹
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✈í✐

•

B ❧➭ ♠ét ♠❛ tr❐♥ ✈✉➠♥❣ ❝✃♣ M ✱ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✳

❚♦➳♥ tư

h✲❧✐➟♥

❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮

tr➟♥

tơ❝✱

d✲❧✐➟♥

tơ❝✿

❚♦➳♥ tư

X ♥Õ✉ A(x + ty)

A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ d✲❧✐➟♥ tơ❝

A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ h✲❧✐➟♥ tơ❝

✭❤❡♠✐✲

Ax ❦❤✐ t → 0 ✈í✐ ♠ä✐ x, y ∈ X ✈➭

✭❞❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s✮

tr➟♥

X ♥Õ✉ tõ xn → x s✉② r❛

Ax ❦❤✐ n → ∞✳

Axn

❱Ý ❞ô ✶✳✷✳✷✳

❍➭♠ ❤❛✐ ❜✐Õ♥

❧✐➟♥ tô❝ t❤❡♦ tõ♥❣ ❜✐Õ♥ t➵✐

ϕ(x, y) = xy 2 (x2 + y 4 )−1 ❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ tô❝✱ ♥❤➢♥❣
(0, 0) ❞♦ ➤ã ♥ã h✲❧✐➟♥ tơ❝ t➵✐ (0, 0).

• ❚♦➳♥ tư ❜ø❝✿ ❚♦➳♥ tư A ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t♦➳♥ tư ❜ø❝ ✭❝♦❡r❝✐✈❡✮ ♥Õ✉
lim

||x||→+∞

Ax, x
= +∞, ∀x ∈ X.
||x||

❙ù tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tử ợ tr ị ý
s
ị ý

❈❤♦

A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư h✲❧✐➟♥ tơ❝✱ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ ❜ø❝

tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵
❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ✈í✐ ♠ä✐

X

✈➭♦

X ∗✳

❑❤✐ ó trì

A(x) = f

f X

ã ➤è✐ ♥❣➱✉✿ ➳♥❤ ①➵ U s : X → X ợ ị ĩ ở
U s (x) = {x X ∗ : x∗ , x = ||x∗ ||s−1 ||x|| = ||x||s }, s ≥ 2
➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛
✈✐Õt ❧➭

✭✶✳✹✮

X ✳ ❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ s = 2 t❛

U ✈➭ ❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝đ❛ X ✳

❚Ý♥❤ ➤➡♥ trÞ ❝đ❛ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❝❤✉➮♥ t➽❝ ➤➢ỵ❝ ❝❤♦ tr♦♥❣ ♠Ư♥❤ ➤Ị s❛✉✳
▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✷✳✶✳

✭①❡♠ ❬✾❪✮

●✐➯ sư

X

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑❤✐ ➤ã✱

✶✮

U (x) ❧➭ t❐♣ ❧å✐✱ U (λx) = λU (x) ✈í✐ ♠ä✐ λ ∈ R❀

✷✮

U

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ trÞ ❦❤✐ ỉ

trờ ợ

X

rt tì


S húa bi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

X∗

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t✳ ❚r♦♥❣

U = I ✱ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ✈Þ tr♦♥❣ X ✳




➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ ✈Ý ❞ơ ✈Ị t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ♥ã tå♥
t➵✐ tr♦♥❣ ♠ä✐ ❦❤➠♥❣
ị ý

ế

ố t
ữ ♥Õ✉

X

X∗

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤× ➳♥❤ ①➵

U : X → X∗

❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉✱ ❜ø❝ ✈➭

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧å✐ ❝❤➷t t❤×

U

d✲❧✐➟♥

tơ❝✳

❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

❝❤➷t✳

❙❛✉ ➤➞② ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❧ý t❤✉②Õt t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣ tr♦♥❣
♣❤➬♥ s❛✉✳
❇ỉ ➤Ị ✶✳✷✳✶✳
t❤ù❝✱

f ∈ X∗

✭①❡♠ ❬✶❪ ✈➭ t➭✐ ❧✐Ö✉ ❞➱♥✮
✈➭

❈❤♦

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư h✲❧✐➟♥ tơ❝ tõ X
A(x) − f, x − x0 ≥ 0,

t❤×

X

✈➭♦

X ∗ ✳ ❑❤✐ ➤ã✱ ♥Õ✉

∀x ∈ X

A(x0 ) = f.
◆Õ✉

A ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ tr➟♥ X

t❤× ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ tr➟♥ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐

A(x0 ) − f, x − x0 ≥ 0,

∀x ∈ X.

❇ỉ ➤Ị ✶✳✷✳✶ ❝ã t➟♥ ❧➭ ❜ỉ ➤Ị ▼✐♥t②✱ t➟♥ ♠ét ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ▼ü✱ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ❝❤ø♥❣
♠✐♥❤ ❦Õt q✉➯ tr➟♥ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈➭ s❛✉ ♥➭② ❝❤Ý♥❤
➠♥❣ ✈➭ ❇r♦✇❞❡r ➤➲ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét ❝➳❝❤ ➤é❝ ❧❐♣ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
P trì ớ t tử ệ


ợ ủ

X ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵ t❤ù❝✱ X ∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥
X ✳ ❱í✐ f ∈ X ∗ ❝❤♦ trớ trì ợ ọ

trì t tử ◆Õ✉

A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ư✉ t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

t♦➳♥ tư ✭✶✳✶✮ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳

✶✻
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




❱Ý ❞ơ ✶✳✷✳✸✳

❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ✭✶✳✶✮ ✈í✐

A ❧➭ ột tr

M = 5 ợ ị ❜ë✐

2
2
2
2

2 2.0001
2
2


A = 2
2
2.0001
2

2
2
2
2.0001

2

2

2

2

2







2 

2 

2.0001
2

✈➭ ✈Õ ♣❤➯✐
T

f = 10 10.0001 10.0001 10.0001 10.0001

∈ R5 .

❑❤✐ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ö♠
T

x= 1 1 1 1 1
◆Õ✉

∈ R5 .



A = Ah 1


2
2
2
2
2


2 2.0001

2
2
2




= 2
2
2.0001
2
2


2
2

2
2.0001 2


2
2
2
2
2

✈➭

T

f = fδ1 = 10 10.0001 10.0001 10.0001 10

∈ R5

t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ✈➠ sè ♥❣❤✐Ư♠✳
◆Õ✉



A = Ah 2


2
2
2
2

2


2 2.0001

2
2
2




= 2
2
2.0001
2
2


2
2
2
2.0001 2


2
2
2
2
2

✶✼
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




✈➭
T

f = fδ2 = 10.0001 10.0001 10.0001 10.0001 10.0001

∈ R5

t❤× ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➠ ♥❣❤✐Ư♠✳ ❚❛ t❤✃② ♠ét t❤❛② ➤ỉ✐ ♥❤á ❝đ❛ ❤Ư sè tr♦♥❣
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❜❛♥ ➤➬✉ ➤➲ ❦Ð♦ t❤❡♦ ♥❤÷♥❣ t❤❛② ➤ỉ✐ ➤➳♥❣ ❦Ĩ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠✳
✶✳✷✳✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤

●✐➯ sư

A−1 ❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭ t❤❛② ❝❤♦ f t❛ ❝❤Ø ❜✐Õt fδ t❤♦➯ ♠➲♥
fδ − f ≤ δ.

❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t r❛ ❧➭ ❞ù❛ ✈➭♦ t❤➠♥❣ t✐♥ ✈Ò

(A, fδ ) ✈➭ s❛✐ sè δ ✱ t×♠ ♠ét ♣❤➬♥ tư

①✃♣ ①Ø ♥❣❤✐Ư♠ ➤ó♥❣ x0 ✳ ❘â r➭♥❣ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ①➞② ❞ù♥❣ ♣❤➬♥ tö ①✃♣ ①Ø xδ t❤❡♦
q✉✐ t➽❝

xδ = A−1 fδ ❞♦ A−1 ❝ã t❤Ĩ ❦❤➠♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❤♦➷❝ A−1 tå♥ t➵✐ ♥❤➢♥❣

❦❤➠♥❣ ❧✐➟♥ tô❝✱ ♥➟♥
❚❤❛♠ sè

A−1 fδ ❦❤➠♥❣ ①✃♣ ①Ø ♥❣❤✐Ư♠ ➤ó♥❣ x0 ✳

δ ❝❤Ø ❝❤♦ t❛ ♠ø❝ ➤é s❛✐ sè ❝đ❛ ✈Õ ♣❤➯✐ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✶✮✳

❱× ✈❐② ♠ét ➤✐Ị✉ ♥➯② s✐♥❤ ❧➭ ❧✐Ư✉ ❝ã t❤Ĩ ①➞② ❞ù♥❣ ♠ét ♣❤➬♥ tư ①✃♣ ①Ø ♣❤ơ
t❤✉é❝ ✈➭♦ ♠ét t❤❛♠ sè ♥➭♦ ➤ã ✈➭ t❤❛♠ sè ♥➭② ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤ ✈í✐
s❛♦ ❝❤♦ ❦❤✐

δ → 0 t❤× ♣❤➬♥ tư ①✃♣ ①Ø ♥➭② ❤é✐ tơ ➤Õ♥ ♥❣❤✐Ư♠ ➤ó♥❣ x0 ✳ ❚❛

❝ị♥❣ ❝ã t❤Ĩ t r ế ợ tì từ f0
ứ tộ

Y t ❝ã ♣❤➬♥ tö ①✃♣ ①Ø t➢➡♥❣

X ✳ ❚ø❝ ❧➭ tå♥ t➵✐ ♠ét t♦➳♥ tö ♥➭♦ ➤ã t➳❝ ➤é♥❣ tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ Y

✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

X✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦

X

δ

A:X →Y

✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

t➳❝ ➤é♥❣ tõ

Y

✈➭♦

X

Y✳

❧➭ ♠ét t♦➳♥ tö tõ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤

❚♦➳♥ tư

T (f, α)✱ ♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦ t❤❛♠ sè α✱

➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

✭✶✳✶✮✱ ♥Õ✉✿
✲ ❚å♥ t➵✐ ❤❛✐ sè ❞➢➡♥❣

δ1

✈➭

α1

α ∈ (0, α1 ) ✈➭ ✈í✐ ♠ä✐ fδ ∈ Y

s❛♦ ❝❤♦ t♦➳♥ tư

T (fδ , α) ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✈í✐ ♠ä✐

t❤♦➯ ♠➲♥

fδ − f ≤ δ,

✶✽
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

δ ∈ (0, δ1 );




ồ t ột
tì ợ

= (, f )

δ( ) ≤ δ1

♣❤ơ t❤✉é❝ ✈➭♦

➤Ĩ ✈í✐ ♠ä✐

fδ ∈ Y

δ

s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐

> 0✱

t❤♦➯ ♠➲♥

fδ − f ≤ δ ≤ δ( )
t❤×

xδα − x0 ≤

✭✶✳✶✮ ✈➭

✱ ë ➤➞②

x0

❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝ã

x∗ ✲❝❤✉➮♥ ♥❤á ♥❤✃t ❝ñ❛ ❜➭✐ t♦➳♥

xδα ∈ T (fδ , α(δ, fδ ))✳

❚♦➳♥ tư ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ T (f, α) tr♦♥❣ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ♥➭② ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❧➭ ➤❛ trÞ✳ P❤➬♥

tư ①✃♣ ①Ø

xδα ∈ T (fδ , α(δ, fδ )) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ệ ệ ỉ ủ

trì ò
ỉ

= (, fδ ) ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤✳ ❚❤❛♠ sè ❤✐Ư✉

α(δ, fδ ) ♣❤➯✐ ➤➢ỵ❝ ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦
lim α(δ, fδ ) = 0.

δ→0

❘â r➭♥❣ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ỉ♥ ➤Þ♥❤ ớ ữ ệ ệ tì
ệ ①Ø ♣❤ơ t❤✉é❝ ❧✐➟♥ tơ❝ ✈➭♦ ❞÷ ❦✐Ư♥ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✳✶✮ ❣å♠
❝➳❝ ❜➢í❝✿
✶✮ ❳➞② ❞ù♥❣ t♦➳♥ tư ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤

T (f, α)❀

✷✮ ❈❤ä♥ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤

α ❞ù❛ ✈➭♦ t❤➠♥❣ t✐♥ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥

✈Ị ♣❤➬♥ tư fδ ✈➭ ♠ø❝ s❛✐ sè δ ✳

✶✾
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

❈❤➢➡♥❣ ✷

◆❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ ❇r♦✇❞❡r✲
❚✐❦❤♦♥♦✈ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
ề trì ọ trị ủ t❤❛♠ sè ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤✱ ➤å♥❣ t❤ê✐
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ tè❝ ➤é ❤é✐ tơ ❝đ❛ ♥❣❤✐Ư♠ ❤✐Ư✉ ❝❤Ø♥❤ tr➟♥ ❝➡ së t❤❛♠ sè ❤✐Ư✉
❝❤Ø♥❤ ➤➲ ❝❤ä♥✳ ❈➳❝ ❦Õt q✉➯ ❝đ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ➤➢ỵ❝ t❤❛♠ ❦❤➯♦ tr♦♥❣ ❝➳❝ t➭✐
❧✐Ö✉ ❬✸❪✱ ❬✺❪ ✈➭ ❬✼❪✳

✷✳✶

❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

❈❤♦

X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝✱ X ∗ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤ỵ♣ ❝đ❛

X ✳ ❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tư
✭✷✳✶✮

A(x) = f,
ë ➤➞②

f ∈ X ∗ ❧➭ ♣❤➬♥ tư ❝❤♦ tr➢í❝✱ A : X → X ∗ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉

➤➡♥ trÞ

h✲❧✐➟♥ tô❝✳ ❚r♦♥❣ t♦➭♥ ❜é ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② t❛ ❧✉➠♥ ❣✐➯ t❤✐Õt X ❧➭ ❦❤➠♥❣

❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤➯♥ ①➵✱ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ❊✲❙✱
◆Õ✉ t♦➳♥ tö

X ✈➭ X ∗ ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t✳

A ❦❤➠♥❣ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ➤Ị✉ ❤♦➷❝ ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ♠➵♥❤

t❤× ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✶✮ ♥ã✐ ❝❤✉♥❣ ❧➭ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤✳ ❑ý ❤✐Ư✉
♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❜➭✐ t♦➳♥ ✭✷✳✶✮✳ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣
➤ã♥❣ ✈➭ ❧å✐ tr♦♥❣

S0 ❧➭ t❐♣

S0 = ∅✱ ❦❤✐ ➤ã✱ S0 ❧➭ ♠ét t❐♣

X ✭①❡♠ ❬✾❪✮✳

❳Ðt ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤

Ah (x) + αU s (x − x∗ ) = fδ ,

✷✵
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên



✭✷✳✷✮

ë ➤➞②

(Ah , fδ ) ❧➭ ①✃♣ ①Ø ❝ñ❛ (A, f ) t❤á❛ ♠➲♥
f − fδ ≤ δ,

✭✷✳✸✮

δ → 0,

✭✷✳✹✮

Ah (x) − A(x) ≤ hg( x ), h → 0,
tr♦♥❣ ➤ã
tõ

g(t) ❧➭ ♠ét ❤➭♠ ❣✐í✐ ♥é✐ ✈➭ Ah ❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ✈➭ h✲❧✐➟♥ tơ❝

X ✈➭♦ X ∗ ✱ x∗ ❧➭ ♠ét ♣❤➬♥ tö ❜✃t ❦ú tr♦♥❣ X ✳ ●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐

♥❣➱✉ tæ♥❣ q✉➳t

U s t❤♦➯ ♠➲♥

U s (x) − U s (y), x − y ≥ mU x − y s , mU > 0,

✭✷✳✺✮

t❛ ❝ã ❦Õt q✉➯ s❛✉ ✭①❡♠ ❬✸❪✮✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✶✳ ❈❤♦
✈í✐ ♠ä✐

Ah : X → X ∗

h > 0✱ U s : X → X ∗

♠➲♥ ✭✷✳✺✮✱

fδ ∈ X ∗

✈í✐ ♠ä✐

❧➭ t♦➳♥ tư ➤➡♥ ➤✐Ư✉ ❜Þ ❝❤➷♥

h✲❧✐➟♥

❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤è✐ ♥❣➱✉ tỉ♥❣ q✉➳t ❝đ❛

δ > 0✳

X

tơ❝

t❤á❛

●✐➯ t❤✐Õt r➺♥❣ ❝➳❝ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ✭✷✳✸✮

tỏ ó

ớ ỗ

> 0 tr×♥❤ ✭✷✳✷✮ ❝ã ❞✉② ♥❤✃t ♥❣❤✐Ư♠ xτα ✱ τ = (h, δ)✳

✷✮ ◆❣♦➭✐ r❛ ♥Õ✉

h+δ
→ 0 ❦❤✐ α → 0,
α
t❤× ❞➲② ♥❣❤✐Ư♠

{xτα } ❤é✐ tơ ➤Õ♥ ♠ét ♣❤➬♥ tư x0 ∈ S0

✭✷✳✻✮
t❤á❛ ♠➲♥

x0 − x∗ = min x − x∗ .
x∈S0

✭✷✳✼✮

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

✶✮

❉♦

X ∗ ❧å✐ ❝❤➷t ♥➟♥ U s ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ h✲❧✐➟♥ tơ❝✳ ❱× ✈❐②✱ Ah + αU s

ột t tử ệ

ứ ớ ỗ

h tụ từ X ✈➭♦ X ∗ ✳ ▼➷t ❦❤➳❝✱ ❞♦ U s ❧➭ t♦➳♥ tö

α > 0 t♦➳♥ tö Ah + αU s ❝ị♥❣ ❧➭ ♠ét t♦➳♥ tư ❜ø❝✳ ❚❤❐t

✷✶
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên