Về bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh

..

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ DUYÊN

VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2014


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ DUYÊN

VỀ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
VỚI TOÁN TỬ GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
GS.TSKH. LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - Năm 2014


i

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và thực hiện luận văn, tơi đã nhận được sự dạy
bảo tận tình của các thầy cô giáo ở trường Đại Học Khoa Học - Đại Học
Thái Nguyên. Đặc biệt là sự chỉ bảo, hướng dẫn trực tiếp của GS. TSKH.
Lê Dũng Mưu. Qua đây tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH.
Lê Dũng Mưu, tới các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đã giúp đỡ tôi
trong suốt thời gian qua.
Tuy có nhiều cố gắng, song thời gian và năng lực của bản thân có hạn nên
luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp ý
kiến của các thầy cơ cùng tồn thể bạn đọc.
Thái Nguyên, tháng 06 năm 2014
Tác giả
Phạm Thị Duyên


ii

Mục lục
Mở đầu

1

1 Bài toán bất đẳng thức biến phân.

3

1.1

1.2

Toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. . . . . .

3

1.1.1

Không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Tập lồi, hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3

Toán tử đơn điệu. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Bài toán bất đẳng thức biến phân. . . . . . . . . . . .

9

1.2.1

Phát biểu bài toán. . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán. . . . . . . . . . 10

1.2.3

Một số ví dụ điển hình. . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Một số phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến
phân với toán tử giả đơn điệu mạnh.

23

2.1

Một số kiến thức chuẩn bị. . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2

Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi. . . . . . 31

2.3

Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi theo
một hằng số cho trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.4

Phương pháp chiếu với độ dài bước thay đổi theo
một hằng số không cho trước. . . . . . . . . . . . . . . 39

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

44


iii

Các kí hiệu và danh mục các từ viết tắt

•A

B : Hợp của hai tập hợp A và B .

•A

B :Giao của hai tập hợp A và B .

• R: Tập số thực.

• [a; b]: Đoạn đóng của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
• (a; b): Khoảng mở của tập hợp số thực với các đầu mút a, b và a < b.
• ∀: Với mọi.
• ∃: Tồn tại
• H : Khơng gian Hilbert.
• , : Tích vơ hướng.
• . : Chuẩn.
• V IP : Bài tốn bất đẳng thức biến phân.
• SOL − V IP : Tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân.


1

MỞ ĐẦU

Bài toán Bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào năm
1966 bởi Hartman và Stampachia. Bài tốn bất đẳng thức biến phân trong
khơng gian hữu hạn chiều và các ứng dụng thực tiễn của nó thì được giới
thiệu trong cuốn sách “An Introduction to Variational Inequalities and
Their Applications” của Kinderlehrer D. và Stampachia G., xuất bản năm
1980 và trong cuốn sách “Variational and Quasivariational Inequalities:
Applications to Free Boundary Problems” của Baiocci C. và Capelo A.,
xuất bản năm 1984.
Năm 1979 Michael J. Smith đưa ra bài tốn cân bằng mạng giao thơng
và đến năm 1980 Defermos đã chỉ ra rằng điểm cân bằng của bài toán này
là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân. Từ đó bài tốn bất đẳng
thức biến phân được phát triển trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên
cứu và giải các bài toán cân bằng trong kinh tế tài chính, vận tải, lí thuyết
trị chơi và nhiều bài tốn khác. Trong bài tốn bất đẳng thức biến phân
thì lớp bài toán bất đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh

có một vị trí hết sức quan trọng.
Ngoài phần mở đầu, kết luận và các tài liệu tham khảo, các kết quả
nghiên cứu trong bản luận văn được trình bày thành hai chương với tiêu
đề:
Chương 1: Bài toán bất đẳng thức biến phân.
Chương 2: Một số phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến
phân với tốn tử giả đơn điệu mạnh.
Nội dung chính của các chương là:
Chương 1: Một số kiến thức cơ sở về khơng gian Hilbert thực, giải tích


2

lồi, các khái niệm về toán tử đơn điệu. Sau đó, là phát biểu bài tốn bất
đẳng thức biến phân, sự tồn tại nghiệm, trong đó đề cập đến các bài tốn
liên quan, các mơ hình thực tế.
Chương 2: Trình bày một số phương pháp chiếu để giải bài toán bất
đẳng thức biến phân với toán tử giả đơn điệu mạnh. Cụ thể là trình bày
ba thuật tốn:
+ Thuật tốn chiếu với độ dài bước có thể thay đổi trong trục số dương.
+ Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi theo các hằng số cho trước
liên quan đến hệ số giả đơn điệu mạnh và hằng số Lipschitz của ánh xạ
giá.
+ Thuật toán chiếu với độ dài bước thay đổi nhưng khơng địi hỏi biết
hệ số giả đơn điệu mạnh và hằng số Lipschitz của ánh xạ giá.


3

Chương 1

Bài tốn bất đẳng thức biến phân.
Nội dung chính của chương bao gồm: Một số kiến thức cơ sở về khơng gian
Hilbert thực, giải tích lồi, các khái niệm về toán tử đơn điệu. Tiếp theo là
phát biểu bài toán bất đẳng thức biến phân, sự tồn tại nghiệm và một số
bài tốn ví dụ có liên quan. Các kiến thức trong chương này lấy từ tài liệu

[1], [2], [3], [4]
1.1
1.1.1

Tốn tử đơn điệu trong khơng gian Hilbert.
Khơng gian Hilbert.

Định nghĩa 1.1. Cho H là một không gian tuyến tính thực. Tích vơ hướng
xác định trên H là một ánh xạ được xác định như sau:

., . : H × H → R
(x, y) → x, y
thỏa mãn các điều kiện sau:
i). x, y = y, x , ∀x, y ∈ X .
ii). x + y, z = x, y + y, z , ∀x, y, z ∈ X.
iii). λx, y = λ x, y , ∀λ ∈ R; ∀x, y ∈ X .
iv). x, x ≥ 0, ∀x ∈ X, x, x = 0 ⇔ x = 0.

x, y được gọi là tích vơ hướng của hai vec tơ x và y .


4

x =
x, x với mọi
x ∈ H , thì H được gọi là khơng gian tiền Hilbert (hay cịn gọi là không
gian Unita).
Nếu không gian tiền Hilbert là đầy đủ thì nó được gọi là khơng gian Hilbert.
Nếu H là khơng gian tuyến tính định chuẩn với

Trong luận văn này ta thống nhất kí hiệu H là một khơng gian Hilbert
thực và ta chủ yếu làm việc trên không gian Ơcơlit thực Rn .
Ví dụ 1.2.
1) Lấy H = Rn với x = (x1 , x2 , ....., xn ), y = (y1 , y2 , ...., yn ) ∈ H và biểu
n

thức x, y =

xi yi xác định một tích vơ hướng trên Rn .

i=1

2) Lấy H = C[0,1] là không gian các hàm liên tục trên [0,1] nhận giá trị
thực với x, y ∈ H biểu thức
1

x, y =

x(t)y(t)dt
0

xác định một tích vơ hướng trên C[0,1] . Khi đó khơng gian này là một khơng
L

.
gian tiền Hilbert và thường kí hiệu là C[0,1]

3) Cho (Ω, β, µ) là khơng gian độ đo kí hiệu:

L2 (Ω) = f : Ω → C :

|f (x)2 |dµ < ∞
Ω

f (x)g(x)dµ, L2 (Ω) là một khơng gian Hilbert

với tích vơ hướng f, g =
Ω

H.
Định lý 1.3. Cho H là một không gian tiền Hilbert, với mọi x, y ∈ H ta
ln có bất đẳng thức sau :

| x, y |2 ≤ x, x y, y .
Bất đẳng thức này gọi là bất đẳng thức Schwarz.
Định lý 1.4.
Cho H là một không gian Hilbert khi đó , : H × H → R là một hàm liên
tục.


5

Định lý 1.5 (Đẳng thức hình bình hành).
Với mọi x,y trong khơng gian tiền Hilbert H ta có:

x+y
1.1.2

2

+

x−y

2

= 2( x

2

+

y

2

).

Tập lồi, hàm lồi

Định nghĩa 1.6. Một tập C ⊆ H được gọi là một tập lồi nếu

∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C.
Định nghĩa 1.7. Một tập hợp C ⊆ H được gọi là nón nếu:

∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
Một nón được gọi là nón lồi nếu nó đồng thời là tập lồi. Như vậy, một tập
lồi C là nón lồi khi và chỉ khi nó có tính chất sau:
i) λC ⊆ C, ∀λ > 0.
ii) C + C ⊆ C .
Tập C ⊆ H dưới đây ta luôn giả thiết C là tập lồi (nếu khơng giải thích
gì thêm).
Định nghĩa 1.8. Cho C là tập lồi khác rỗng trong H và điểm x ∈ C , nón
pháp tuyến của C tại x là một tập được kí hiệu và kí hiệu như sau

N (x/C) = {x∗ ∈ H ∗ : x∗ , x − x∗ ≤ 0, ∀x ∈ C}.
Định nghĩa 1.9. Cho hàm f : C → R ∪ {+∞}. Khi đó hàm f được gọi
là
i) lồi trên C nếu:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1].
ii) lồi chặt trên C nếu:

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x = y, λ ∈ (0, 1).
iii) lồi mạnh với hệ số β > 0 trên C nếu với mọi x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1) ta có

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)β

x−y

2

.

6

Nhận xét 1.10. Từ định nghĩa 1.9 ta dễ thấy (ii) ⇒ (i), (iii) ⇒ (ii).
Định nghĩa 1.11. Hàm f được gọi là lõm trên C nếu -f là hàm lồi trên C.
Định nghĩa 1.12. Với f (x) < +∞ hàm f được gọi là nửa liên tục dưới
tại x nếu ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho :

f (x) − ε ≤ f (y), ∀y ∈ U.
Với f (x) = +∞, hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x nếu ∀N > 0,
tồn tại lân cận U của x sao cho:

f (y) ≤ N, ∀y ∈ U.
Định nghĩa 1.13. Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên H nếu f nửa
liên tục dưới với mọi x ∈ H.
Định nghĩa 1.14. Với f (x) < +∞, hàm f gọi là nửa liên tục trên tại x
nếu ∀ε > 0, tồn tại lân cận U của x sao cho :

f (x) + ε ≥ f (y), ∀y ∈ U.
Với f (x) = +∞, hàm f gọi là nửa liên tục trên tại x nếu ∀N > 0, tồn tại
lân cận U của x sao cho :

f (x) ≥ −N, ∀y ∈ U.
Định nghĩa 1.15. Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên H nếu f nửa
liên tục trên với mọi x ∈ H .
Nhận xét 1.16. Hàm f liên tục tại x ∈ H nếu và chỉ nếu f là nửa liên
tục trên và nửa liên tục dưới tại x.
Định nghĩa 1.17. Cho hàm f xác định trên một lân cận của x ∈ H , hàm
f được gọi là khả vi tại x nếu ∀x∗ ∈ H sao cho

f (z) − f (x) − x∗ , z − x
lim
= 0.
z→x
z−x
Hàm f được gọi là khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm x ∈ H .


7

Nhận xét 1.18. Điểm x∗ nếu tồn tại xẽ là duy nhất và được gọi là đạo
hàm của hàm f tại x, kí hiệu là ∇f (x) hoặc f (x).
Định nghĩa 1.19. Giả sử f : C → R là hàm lồi trên C ⊆ H ta định
nghĩa dưới vi phân của hàm lồi như sau
Véc tơ w ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x0 ∈ C nếu:

f (x) − f (x0 ) ≥ w, x − x0 , ∀x ∈ C.
Tập tất cả các dưới đạo hàm của hàm f tại x0 ∈ C được gọi là dưới vi phân
của f tại x0 ∈ C , kí hiệu là

∂f (x0 ) = {w ∈ H : w, x − x0 ≤ f (x) − f (x0 ), ∀x ∈ C}.
Ví dụ 1.20. Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong H . Xét hàm chỉ của
tập C như sau:

0,
x∈C
δc (x) =
+∞, x ∈ C
Nếu x0 ∈ C thì

∂δc (x0 ) = {x∗ | x∗ , x − x0 ≤ δc (x), ∀x ∈ H}.
Nếu x0 ∈ C thì ∂δc (x) = +∞ nên bất đẳng thức

x∗ , x − x0 ≤ δc (x), ∀x ∈ H
ln đúng.
Do đó ∂δc (x0 ) = {x∗ | x∗ , x − x0 ≤ 0, ∀x ∈ C} = Nc (x0 ).
Vậy dưới vi phân của hàm chỉ C tại một điểm x∗ ∈ C là nón pháp tuyến
ngồi của C tại x0 .
1.1.3

Tốn tử đơn điệu.

Như chúng ta đã biết tốn tử F từ khơng gian X vào không gian Y là
đơn trị nếu ứng với mỗi phần tử x ∈ X , xác định duy nhất một phần tử

F (x) = y ∈ Y và ta thường kí hiệu là :
F : X → Y.


8

Trong luận văn này ta xét đối với các ánh xạ (toán tử) là đơn trị.
Đối với ánh xạ F thì ánh xạ ngược:

F −1 : Y → X
được định nghĩa như sau:

F −1 (y) = {x ∈ X : F (x) = y}.
Định nghĩa 1.21. Cho toán tử F : H → H ∗ và K ⊆ H . Khi đó tốn tử
F được gọi là :

a) Đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 thì ta có

F (u) − F (v), u − v ≥ γ

2

u−v

, ∀u, v ∈ K.

b) Đơn điệu trên K nếu

F (u) − F (v), u − v ≥ 0 ∀u, v ∈ K.
c) Giả đơn điệu mạnh trên K nếu tồn tại γ > 0 thì ta có

F (u), v − u ≥ 0 ⇒ F (u), v − u ≥ γ

v−u

2

, ∀u, v ∈ K.

d) Giả đơn điệu trên K nếu

F (u), v − u ≥ 0 ⇒ F (u), v − u ≥ 0, ∀u, v ∈ K.
Nhận xét 1.22. Ta có (a) ⇒ (b), (a) ⇒ (c), (c) ⇒ (d), (b) ⇒ (d) là hiển
nhiên.
Định nghĩa 1.23. Toán tử F gọi là liên tục Lipschitz trên K nếu tồn tại
một hằng số L > 0 sao cho:

F (u) − F (v) ≤ L

u − v , ∀u, v ∈ K.

Ví dụ 1.24.
Cho tốn tử T đơn trị xác định trên R như sau:

T (x) = 2x, ∀x ∈ R,


9

với T (x) là đạo hàm cấp 1 của hàm lồi x2 xác định trên R.
Khi đó, T là tốn tử đơn điệu vì ∀x, y ∈ R ta có :

T (x) − T (y), x − y = 2x − 2y, x − y = 2(x − y)2 ≥ 0.
Mặt khác, T cũng là toán tử giả đơn điệu mạnh vì ∀x, y ∈ R, γ > 0 ta có:

2x, y − x ≥ 0 ⇔ 2x, y + y, y − x ≥ 0
⇔ y, y − x ≥ − y, 2x
⇒ y, y − x ≥ γ

y−x

2

.

Tổng quát hơn, nếu T là đạo hàm của một hàm lồi khả vi trên H , thì T

sẽ là tốn tử đơn điệu.
Thật vậy, giả sử T (x) = ∇f (x) với f (x) là một hàm lồi khả vi trên H.
Với mọi x, y ∈ H :

T (x) − T (y), x − y = ∇f (x) − ∇f (y), x − y
= ∇f (x), x − y + ∇f (y), y − x
≥ f (x) − f (y) + ∇f (y), y − x ≥ 0.
(do f (x) ≥ f (y) + ∇f (y), x − y ).
Vậy T là toán tử đơn điệu.

1.2
1.2.1

Bài toán bất đẳng thức biến phân.
Phát biểu bài toán.

Định nghĩa 1.25.
Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H và cho ánh xạ F : K → H .
Khi đó, bài tốn bất đẳng thức biến phân, kí hiệu là VIP(K;F) được phát
biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ K : F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K


10

Tập hợp các nghiệm của V IP (K; F ) được kí hiệu là SOL − V IP (K; F ).
Ví dụ 1.26.
Trong R, xét tập K = [1; 5] ⊂ R và ánh xạ F : [1; 5] → R được xác định
bởi:

F (x) = x − 1, x ∈ [1; 5].
Khi đó VIP(K; F) là tìm x∗ ∈ [1; 5] sao cho

x∗ −1, x−x∗ ≥ 0, ∀x ∈ [1; 5]

(1.2.1)

Ta chứng tỏ rằng: SOL-VIP(K; F)={1}. Thật vậy, hiển nhiên x∗ = 1 là
một nghiệm.
Nếu x∗ ∈ (0; 1) thì (1.2.1) chỉ thỏa mãn với x ≤ x∗ . Ngược lại, nếu x∗ > 1
thì (1.2.1) chỉ thỏa mãn với x ≤ x∗ . Điều đó chứng tỏ x∗ = 1 là nghiệm
duy nhất.
1.2.2

Sự tồn tại nghiệm của bài toán.

Định nghĩa 1.27. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi , đóng của H và
cho ánh xạ F : K → K . Khi đó, x ∈ K được gọi là điểm bất động của
ánh xạ F nếu thỏa mãn điều kiện sau:

F (x) = x.
Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu về vấn đề tồn tại và tính duy nhất của
nghiệm cuả bài tốn bất đẳng thức biến phân. Một trong những công cụ
hữu hiệu để nghiên cứu vấn đề này là định lí điểm bất động của Brouwer.
Trước khi phát biểu định lí, chúng ta phát biểu một số kết quả sau.

Bổ đề 1.28. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H. Khi đó,
với mỗi x ∈ H có duy nhất y ∈ K sao cho :

x−y = min
η∈K

x−η

.

(1.2.2)


11

Một điểm y thỏa mãn (1.2.2) được gọi là hình chiếu của x trên K và kí
hiệu là : y = P rK x. Dễ thấy P rK x = x, ∀x ∈ K .
Định lý 1.29. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H và x là
một điểm bất kì thuộc H. Khi đó : y = P rK x khi và chỉ khi:

y ∈ K
 y, η − y ≥ x, η − y , η ∈ K.
Hệ quả 1.30. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của H. Khi đó
tốn tử P rK : H → K là không giãn, tức là :

P rK (u) − P rK (v) ≤ u − v , ∀u, v ∈ H.
Định lý 1.31 (Định lí về điểm bất động của Brouwer).
Cho K là một tập khác rỗng, lồi, compact yếu trong H và ánh xạ P : K →

K là liên tục yếu. Khi đó, có ít nhất một điểm x ∈ K : x = P (x). Hay,
tồn tại ít nhất một điểm bất động của ánh xạ P.
Định lý 1.32. Cho K là một tập khác rỗng, lồi, compact yếu trong H và
ánh xạ F : K → H là ánh xạ liên tục yếu. Khi đó, bài tốn bất đẳng thức

biến phân V IP (K; F ) có ít nhất một nghiệm.
Chứng minh.
Theo định nghĩa, việc chứng minh định nghĩa tương đương với việc chứng
minh sự tồn tại nghiệm của x thỏa mãn:

x ∈ K;
 x, y − x ≥ x − F (x), y − x , ∀y ∈ K.
Dễ nhận thấy, ánh xạ hợp :

P rK (I − F ) : K → K
là ánh xạ liên tục, với I là ánh xạ đồng nhất. Theo định lí 1.31, tồn tại
điểm bất động x ∈ K sao cho :

x = P rK (I − F ) (x).


12

Ta sẽ chứng tỏ x là nghiệm của V IP (K; F ). Thật vậy, do x, F (x) ∈ K
nên P rK x = x và P rK F (x) = F (x). Kết hợp với Định lí 1.29 ta có:

x, y − x ≥ P rK (I − F )x, y − x , ∀y ∈ K
⇔ x, y − x ≥ P rK x − P rK F (x), y − x ,

∀y ∈ K

⇔ x, y − x ≥ x − F (x), y − x , ∀y ∈ K
⇔ F (x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K.
Điều này chứng tỏ x là nghiệm của V IP (K; F ), hay V IP (K; F ) có ít
nhất một nghiệm.

Trong trường hợp tập K khơng bị chặn, định lí về điểm bất động của
Brouwer khơng áp dụng được. Khi đó, sự tồn tại nghiệm của bất đẳng
thức biến phân có thể thiết lập theo cách khác.
Kí hiệu B(O; R) là hình cầu đóng tâm O, bán kính R > 0 trong khơng
gian H và ta đặt:

KR = K ∩ B(O; R).
Hiển nhiên, KR lầ tập khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn và nó là tập compact
yếu. Theo Định lí 1.31 bài tốn V IP (K; F ) ln có nghiệm.
Định lý 1.33. Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ

F : K → H là ánh xạ liên tục. Khi đó, điều kiện cần và đủ để bài tốn
VIP(K; F) có nghiệm là tồn tại số thực R > 0 và bài tốn VIP(K; F) có
nghiệm x∗R thỏa mãn x∗R < R.
Chứng minh.
Điều kiện cần
Giả sử rằng x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ). theo định nghĩa ta có :

F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K.
Lấy R > 0 sao cho

x∗R < R. Hiển nhiên:
F (x∗ ), x−x∗ ≥ 0, ∀x ∈ KR .

(1.2.3)


13

Tức là x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ).

Điều kiện đủ :
Giả sử tồn tại R > 0, x∗R ∈ KR thỏa mãn

x∗R < R và

F (x∗R ), y − x∗R ≥ 0, ∀y ∈ KR .
Do tính lồi của tập hợp K , với mỗi x ∈ K , ta có thể chọn ε > 0 đủ nhỏ
sao cho :

y = x∗R + ε(x − x∗R ) ∈ K.
Hiển nhiên :

y ≤ x∗R
Mặt khác, do

+ε

(x − x∗R )

.

x∗R < R, nên ta có thể chọn ε > 0 đủ nhỏ sao cho :
y ≤ x∗R

+ε

(x − x∗R ) ≤ R.

Hay y ∈ KR . Theo (1.2.3) ta có :

0 ≤ F (x∗R ), y −x∗R = F (x∗R ), [x∗R +ε(x−x∗R )]−x∗R = ε F (x∗R ), x−x∗R .
Hay :

F (x∗R ), x − x∗R ≥ 0
và điều này đúng với mọi x ∈ K . Vậy chứng tỏ x∗R ∈ SOL − V IP (K; F ).
Định lí được chứng minh.

Trên đây là một số kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân trong trường hợp ánh xạ F là liên tục. Sau đây là một số
kết quả về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân với
toán tử F là đơn điệu.
Định lý 1.34. Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ

F : K → H là đơn điệu mạnh. Khi đó, tồn tại duy nhất một nghiệm của
bài toán bất đẳng thức biến phân VIP(K; F).
Chứng minh.
Chứng minh sự tồn tại nghiệm:


14

Do F là ánh xạ đơn điệu mạnh, điều này suy ra F thỏa mãn điều kiện
bức, nghĩa là :

lim

x∈K, x →+∞

F (x) − F (y), x − y
= +∞, y ∈ K.

x−y

(1.2.4)

Vì F thỏa mãn điều kiện (1.2.4) nên ta có thể chọn hằng số c > 0, R > 0
sao cho : c > F (y) > 0 và R > y > 0 thỏa mãn :

F (x) − F (y), x − y ≥ c

x − y , ∀x ∈ K, x ≥ R.

Từ đó suy ra :

F (x), x − y ≥ c

x−y

+ F (y), x − y ,

Sử dụng cơng thức Cauchy-Schwarz ta có :

F (x), x − y ≥ c

x−y

−

≥ (c−F (y))( x

x − y = (c−

F (y)
−

F (y) )

y )>0

x−y
(1.2.5)

x = R.
Do F là ánh xạ liên tục, KR là một tập lồi compact nên theo Định lí 1.32
,V IP (K; F ) ln có nghiệm x∗R . Theo Định lí 1.33 , để chứng tỏ x∗R là
nghiệm của V IP (K; F ), ta cần chỉ ra rằng x∗R < R.
Thật vậy, vì x∗R ∈ SOL − V IP (K; F ) nên :
ở đó

F (x∗R ), x − x∗R ≥ 0, ∀x ∈ KR .
Đặc biệt, với x = y thì :

F (x∗R ), y − x∗R ≥ 0 ⇒ F (x∗R ), x∗R − y ≤ 0.
Khi đó, theo (1.2.5) thì

x∗R = R hay

minh.
Kết luận x∗R là nghiệm của V IP (K; F ).
Chứng minh duy nhất nghiệm :

x∗R < R và ta có điều chứng


15

Giả sử rằng x∗ vá x là hai nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân

V IP (K; F ), và x∗ = x . Khi đó, chúng đều thỏa mãn :
F (x∗ ), x−x∗ ≥ 0, ∀x ∈ KR .

(1.2.6)

F (x ), x−x ≥ 0, ∀x ∈ KR .

(1.2.7)

Sau đó thay thế x bởi x trong (1.2.6) và thay thế x bởi x∗ trong (1.2.7),
ta thu được :

F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0.
F (x ), x∗ − x ≥ 0.
Cộng các bất đẳng thức vừa có ta được :

F (x∗ ) − F (x ), x − x∗ ≥ 0
Hay

F (x∗ )−F (x ), x∗ −x ≤ 0

(1.2.8)

Nhưng bất đẳng thức (1.2.8) mâu thuẫn với tính đơn điệu chặt của F .
Như vậy điều giả sử là sai hay x∗ = x .
Kết luận: Bất đẳng thức biến phân V IP (K; F ) ln có nghiệm duy nhất
và định lí được chứng minh.
1.2.3

Một số ví dụ điển hình.

Bài tốn điểm bất động Brouwer
Cho K là một tập khác rỗng, lồi, đóng trong H và ánh xạ F : K → H là
ánh xạ đơn trị. Bài toán điểm bất động của ánh xạ F được phát biểu như
sau :
Tìm

x∗ ∈ K : x∗ = F (x∗ ).

(1.2.9)

Ta sẽ thấy mối quan hệ của bài toán V IP (K; F ) và bài toán điểm bất
động (1.2.9) thông qua mệnh đề sau:


16

Mệnh đề 1.35. Giả sử ánh xạ F được xác định bởi

F (x∗ ) = x − T (x), ∀x ∈ K.
Khi đó bài tốn bất đẳng thức biến phân VIP(K; F) tương đương với bài
toán điểm bất động theo nghĩa (1.2.9) tức là nghiệm của VIP(K; F) và tập
điểm bất động của (1.2.9) là trùng nhau.

Chứng minh.
Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán V IP (K; F ) và F (x) = x − T (x), tức là:

F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K.
Do F (x∗ ) = x∗ − T (x) nên tồn tại ε∗ ∈ T (x∗ ). Ta có :

x∗ − ε∗ , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K.
Cho x = ε∗ ta được

x∗ − ε∗ ≤ 0.
Suy ra x∗ = ε∗ hay x∗ ∈ T (x∗ ). Vậy x∗ là nghiệm của bài toán (1.2.9)
Chiều ngược lại là hiển nhiên đúng .

Bài toán bù phi tuyến
Trước tiên chúng ta trình bày mối quan hệ giữa V IP (K; F ) và nón pháp
tuyến của một tập lồi .

Mệnh đề 1.36. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H và cho
ánh xạ F : K → H, x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân V IP (K; F )
khi và chỉ khi −F (x∗ ) thuộc nón pháp tuyến của K tại x∗ , túc là :

x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ) ⇔ −F (x∗ ) ∈ NK (x∗ ).
Chứng minh.
Theo định nghĩa ta có :

x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ) ⇔ F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K


17

⇔ −F (x∗ ), x − x∗ ≤ 0, ∀x ∈ K
⇔ −F (x∗ ) ∈ NK (x∗ ).
Mệnh đề được chứng minh.

Nói một cách khác, x∗ là nghiệm của V IP (K; F ) khi và chỉ khi :

0 ∈ F (x∗ ) + Nk (x∗ ).
Định nghĩa 1.37. Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H,
nón đối ngẫu của K, kí hiệu là K ∗ , là một tập được xác định như sau:

K ∗ = {y ∈ H : y, x ≥ 0, ∀x ∈ K}.
Về mặt hình học, K ∗ là tập hợp bao gồm tất cả các véc tơ y ∈ H tạo
thành một góc khơng tù với mọi véc tơ x ∈ K .
Một trong những lớp bài toán quan trọng và một trường hợp riêng của
bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán bù phi tuyến. Bài toán được
phát biểu như sau:
Phát biểu bài toán
Cho K là một tập con khác rỗng, lồi, đóng trong H và K ∗ là nón đối
ngẫu của K, cho ánh xạ F : K → H . Bài toán bù phi tuyến, kí hiệu là

N CP (K; F ), là bài tốn :
Tìm
x∗ ∈ K : F (x∗ ) ∈ K; x∗ , F (x∗ ) = 0.
Tập các nghiệm của N CP (K; F ) được kí hiệu là SOL − N CP (K; F ).
Ta sẽ tìm mối quan hệ của bài toán V IP (K; F ) và bài tốn N CP (K; F )
thơng qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.38. Nếu K là một nón lồi, đóng trong H thì tập nghiệm của
bài tốn NCP(K; F) và bài toán VIP(K; F) là trùng nhau, tức là:

SOL − N CP (K; F ) = SOL − V IP (K; F ).

18

Chứng minh.
Giả sử x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ). Theo định nghĩa ta có :

x∗ ∈ K : F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ K.
Bằng cách lấy x = 0 ∈ K , suy ra:

F (x∗ ), −x∗ ≥ 0.

(1.2.10)

Bằng cách lấy x = 2x∗ ∈ K ta thu được:

F (x∗ ), x∗ ≥ 0.

(1.2.11)

Từ (1.2.10) và (1.2.11) ta kết luận:

F (x∗ ), x∗ = 0.

(1.2.12)

Mặt khác từ định nghĩa ta có :

0 ≤ F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ = F (x∗ ), x , ∀x ∈ K.
Điều này chứng tỏ F (x∗ ) ∈ K ∗ . Kết hợp với (1.2.12) ta có:

x∗ ∈ SOL − N CP (K; F ).
SOL − V IP (K; F ) ⊂ SOL − N CP (K; F ).
Ngược lại, giả sử x∗ ∈ SOL − N CP (K; F ). Theo định nghĩa ta có :

F (x∗ ) ∈ K ∗ : x∗ , F (x∗ ) = 0.
Mặt khác, vì F (x∗ ) ∈ K ∗ , nên vơi mọi x ∈ K ta có :

F (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − F (x∗ ), x∗ = F (x∗ ), x ≥ 0.
Điều này suy ra:

x∗ ∈ SOL − V IP (K; F ).
Hay

SOL − N CP (K; F ) ⊂ SOL − V IP (K; F ).
Kết luận lại ta có :

SOL − N CP (K; F ) = SOL − V IP (K; F ).
Mệnh đề được chứng minh


19

Bài toán qui hoạch lồi
Cho K ⊆ Rn là một tập lồi, đóng. Hàm f ∈ C 1 (K) và đặt:

F (x) = ∇f (x).
Bài toán qui hoạch lồi được phát biểu như sau:

min f (x).

x∈K

(1.2.13)

Ta sẽ thấy mối quan hệ của bài toán V IP (K; F ) và bài tốn quy hoạch
lồi thơng qua mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.39. (i) Nếu x∗ là nghiệm tối ưu của bài tốn (1.2.13) thì x∗
cũng là nghiệm của bài tốn bất đẳng thức biến phân V IP (K; F ).

(ii) Ngược lại, nếu f là hàm lồi thì nghiệm của V IP (K; F ) cũng là nghiệm
của bài toán (1.2.13).
Chứng minh. (i) Giả sử x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (1.2.13). Hiển
nhiên, với mọi x ∈ K và 0 ≤ t ≤ 1 ta có :

z = x∗ + t(x − x∗ ) ∈ K.
Từ giả thiết suy ra hàm một biến :

ϕ(t) = f x∗ + t(x − x∗ ) , 0 ≤ t ≤ 1
là hàm khả vi và đạt cực tiểu tại điểm t = 0. Vì vậy ta có :

0 ≤ ϕ (0) = ∇f (x∗ ), x − x∗ = F (x∗ ), x − x∗ .
Điều đó chứng tỏ x∗ là nghiệm của V IP (K; F ).

(ii) Ngược lại, giả sử f là hàm lồi và x là nghiệm của V IP (K; F ). Theo
định nghĩa ta có :
F (x), y − x ≥ 0, ∀y ∈ K.
Mặt khác, do f là hàm lồi nên:

f (y) − f (x) ≥ ∇f (x), y − x = F (x), y − x .

(1.2.14)


20

Kết hợp với (1.2.14) suy ra :

f (y) ≥ f (x), ∀y ∈ K.
Chứng tỏ x là nghiệm tối ưu của bài toán (1.2.13). Mệnh đề được chứng
minh.
Dưới đây là các ví dụ thực tế của bài tốn bất đẳng thức biến phân.
Bài tốn cân bằng mạng giao thơng
Xét một mạng giao thông được cho bởi một mạng luồng hữu hạn. Gọi
+ N: tập hợp các nút mạng.
+ A: là tập hợp các cạnh (mỗi cạnh được gọi là một đoạn thẳng). Giả
sử O ⊆ N, D ⊆ N sao cho O ∩ D = ∅.. Mỗi phần tử của O được gọi là
một điểm nguồn, còn mỗi phần tử của D được gọi là điểm đích. Mỗi điểm
nguồn và điểm đích được nối với nhau bởi một tập hợp liên tiếp các cạnh
(được gọi là một tuyến đường). Kí hiệu:
+ fai : là mật độ giao thông của phương tiện i trên đoạn đường a ∈ A. Đặt

f là véc tơ có các thành phần là fai với i ∈ I và a ∈ A (I là tập hợp các
phương tiện giao thơng).
+ cia : là chi phí sử dụng phương tiện giao thông i trên đoạn đường A. Đặt
c là véc tơ có các thành phần là cia với i ∈ I và a ∈ A.
+ diw : là nhu cầu sử dụng loại phương tiện i ∈ I trên tuyến đường w =
(O, D) với O ∈ O, D ∈ D.
Giả sử rằng chi phí giao thơng phụ thuộc vào lưu lượng, tức là c = c(f )
là một hàm của f .
+ λiw : là mức độ chi phí trên tuyến đường w của phương tiện giao thông

i.
+ xiw : là mật độ giao thông của phương tiện i ∈ I trên tuyến w ∈ O × D.
Giả sử trong mạng trên, phương trình cân bằng sau được thỏa mãn:
diw =

xip , ∀i ∈ I, w ∈ D.

(1.2.15)

p∈Pw

Trong đó, Pw kí hiệu là tập các tuyến đường của w = (O, D) (nối điểm