CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI xác SUẤT cơ bản (điện tử xác SUẤT THỐNG kê SLIDE)

Chương 4: Các quy luật phân phối xác suất cơ bản
§1. Các quy luật phân phối rời rạc cơ bản
1. Phân phối đều rời rạc:
2. Phân phối không – một A(p):
Định nghĩa 1.1: X có phân phối A(p)

X

x1

x2 ... xk

P

1
k

1
k

�

...

1
k

X

0

1

P

q

p

Định lý 1.1: X có phân phối A(p) thì E(X) = p, D(X) = p.q
3. Phân phối nhị thức B(n,p):
k
k nk

:

n
,
p
�



k

C
.
p
 

 n .q , k  1, n

Định nghĩa 1.2:
Định lý1.2:
 :   n, p  �   X   np, D     npq,

�
� 1
Mod  k0  �
hoa�
c
k

n

1
p
�n  1 p�


0
�
�
�

Khoa Khoa Học và Máy Tính

1


4. Phân phối siêu bội
Bài tốn: Cho 1 hộp có N bi trong đó có M bi trắng cịn lại

là đen. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó ra n bi (khơng hồn
lại), n khơng lớn hơn M và N-M. Hãy lập bảng phân phối
xác suất của X là số bi trắng lấy được.
k
n k
Giải:
CM
C
.
N M
   k 
, k  0, n
n
CN
Định nghĩa 1.3: Phân phối nói trên được gọi là phân phối
siêu bội H(N,M,n)
 : H ( N , M , n) �      np,
Định lý 1.3: Giả sử
N n
M
D     npq
,p
N 1
N

Ghi nhớ: lấy bi có hồn lại: phân phối nhị thức
lấy bi khơng hồn lại: phân phối siêu bội
Khoa Khoa Học và Máy Tính

2

Ví dụ 1.1: Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy
ngẫu nhiên lần lượt từng bi khơng hồn lại cho đến khi
gặp bi vàng thì dừng.Tính xác suất để lấy được đúng 3
bi trắng, 2 bi đen.
Giải:Lấy 1 bi cuối cùng là vàng nên:
3
6

2
5

C .C
P 
5
C15

4
.
10

Ví dụ 1.2 : Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy
ngẫu nhiên lần lượt từng bi khơng hồn lại cho đến khi
gặp đủ 3 bi vàng thì dừng.Tính xác suất để lấy được
đúng 3 bi trắng, 2 bi đen.
3
C6
.C52 .C42 2
P 

.
7
C15
8
Khoa Khoa Học và Máy Tính

3


Ví dụ 1.3: Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy
ngẫu nhiên lần lượt từng bi có hồn lại cho đến khi gặp
bi vàng thì dừng.Tính xác suất để lấy được đúng 3 bi
trắng, 2 bi đen.
Giải:Lấy 1 bi cuối cùng là vàng nên:
3

2

�6 � �5 � 4
P  C � �. � �.
15 � �
15 � 15
�
3
5

Ví dụ 1.4 : Trong 1 hộp bi có 6 trắng, 5 đen, 4 vàng. Lấy
ngẫu nhiên lần lượt từng bi có hồn lại cho đến khi gặp
đủ 3 bi vàng thì dừng.Tính xác suất để lấy được đúng 3
bi trắng, 2 bi đen.

3

2

2

�6 � 2 �5 � �4 � 4
P  C � �.C4 � �. � �.
15 � �
15 � �
15 � 15
�
3
7

Khoa Khoa Học và Máy Tính

4


5. Phân phối Poisson P(a),a>0:
k
Định nghĩa 1.4:
a a
 :   a  �     k   e . , k  0,1, 2...
k!
Định lý 1.4: X có phân phối P(a) thì E(X) = D(X) = a
Ví dụ 1.1: Giả sử X có phân phối P(8). Khi ấy:
P(X=6) = 0,122138 (cột 8, hàng 6 bảng phân phối Poisson)

  0 �X �12   0,936204 (cột 8, hàng 12 bảng giá trị hàm �…)

  6 �X �12     0 �X �12     0 � �5 
Khoa Khoa Học và Máy Tính

5


Chú ý: Nếu gọi X là số người ngẫu nhiên sử dụng 1
dịch vụ cơng cộng thì X tn theo quy luật phân phối
Poisson P(a) với a là số người trung bình sử dụng
dịch vụ đó.
Ví dụ 1.2:
Quan sát trong 20 phút có 10 người vào trạm bưu điện.
Tính xác suất trong 10 phút có 4 người vào trạm đó.
Giải:
Gọi X là số người ngẫu nhiên vào trạm đó trong 10 phút
thì X có phân phối P(a), a = 5. Khi ấy:
4

5
    4  e .
4!
5

Khoa Khoa Học và Máy Tính

6

§2: Các quy luật phân phối liên tục
  a, 

1. Phân phối chuẩn
Định nghĩa 2.1:

 :   a, 

2



2

 ,  0

1
� f  x 
e
 2

 x  a 

2

2 2

Định lý 2.1: X có phân phối   a,   thì E(X) = a,
2
D(X) = 

Định nghĩa 2.2: Đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối
chuẩn tắc (hay chuẩn hóa) N(0,1) nếu:
2

f  u 
Khoa Khoa Học và Máy Tính

1
u2 / 2
e
2
(hàm mật độ Gauss).
7


Định lý 2.2: U có phân phối N(0,1) thì
u

1  t 2 /2
P(u )   (u )  FU  u   0,5  � e dt  0,5    u 
2
0
2
u
t

1
2
với   u  
là tích phân Laplace (hàm lẻ)

e
dt
�
2
0
Định lý 2.3: Giả sử U có phân phối N(0,1). Khi ấy ta có:

 1   u1  U  u2     u2     u1  ;
 2    U     2    .
Định lý 2.4:  :  a,  2 � U  X  a :   0,1



Khoa Khoa Học và Máy Tính





8


f (u ) 
u

1
e
2

u2


2

1
  u  � e
2
0

t2

2

-hàm

mật độ Gauss(hàm chẵn-HÌNH 3.1)

dt - tích phân Laplace (hàm lẻ-HÌNH 3.2)

  u   0.5, u  5
.tra xuôi:   1, 96   0, 4750( tra ở hàng 1,9; cột 6 bảng
phân Laplace).
.tra ngược:   ?   0, 45 � hàng 1,6; giữa cột 4 và cột 5 nên

1, 64  1, 65
�?
2
Khoa Khoa Học và Máy
Tính

9

$4.Tích phân Laplace (tt) :
.Tra xi bằng máy tính:
ES : MODE STAT AC SH STAT DISTR Q
MS: MODE …SD SH DISTR Q

  1, 96   Q(1.96)  0, 4750
  1, 96   Q (1.96)  0, 4750
Q(u ) |  (u ) |
u

t2

2

1
  u   P (u )  � e dt  0,5    u 
� 2
Khoa Khoa Học và Máy
Tính

10


• Hình 3.1

Khoa Khoa Học và Máy
Tính

Hình 3.2

11


Định lý 2.5: Giả sử

 :   a,  2  .Khi ấy ta có:

  a � �  a � �
 a�
�  a � �
�
�
 1           �
�
�  �
�
�
� � � � � � � �
� �
 2      a     2. � �
�
�

Ví dụ 2.1:Chiều cao X của thanh niên có phân phối chuẩn
N(165, 52 ).Một thanh niên bị coi là lùn nếu có chiều cao
nhỏ hơn 160 cm.Hãy tính tỷ lệ thanh niên lùn.

160  165 �

�
  � X  160    �
�   �
� 5
�

   1    �  0, 34134  0, 5
  � X  160    (1)  P (1)  0,15866
Khoa Khoa Học và Máy Tính

12


Ví dụ 2.2: Cho

U :   0,1 hãy tính kỳ vọng của U

m

Giải:
�
1 u 2 /2
m
m
  U   �u .
e du  0 nếu m lẻ vì cận đối xứng,
�
2
hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ.
�

1 u2 / 2
1 u2 / 2
2
2
  U   �u
e
du  �
u.u
e
du
�
2
2
�
1 u2 / 2
1 u2 / 2
dv  u
e
du � v  
e
2
2
1  u 2 / 2 � � 1  u 2 / 2
2
�   U   u.
e
�
e
du  1

�
�
2
2
�

Khoa Khoa Học và Máy Tính

13


Tương tự:
�

1 u 2 /2
U   �
uu
e du
2
�
4

3

1 u 2 /2
3
 u .
e
2

�
�

�

 3.�u
�

  U   5  U   5.3.1;
6

2

1 u 2 /2
e du  3.  U 2   3.1;
2

4

...
U

2n

   2n 1 !!

Khoa Khoa Học và Máy Tính

14

2. Phân phối đều liên tục: (Xem SGK)
Định nghĩa 4.1: đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối đều trên đoạn
[a , b] ,kí hiệu X~U [a , b] ,nếu

fX



�1
, x � a, b 
�
ba
x  �
�
0, x � a, b 
�

� FX

Định lý 2.6 : Nếu X~U [a , b],thì



0, x  a
�
�
xa
�
x  �

, a �x �b
ba
�
1, b  x
�
�

ab
(b  a)2
E (X ) 
, D( X ) 
2
12
Khoa Khoa Học và Máy
Tính

15


Định nghĩa 2.3:(X,Y) có phân phối đều trên
miền D nếu
� 1
, ne�
u (x, y) �D
�
f (x, y)  �S (D)
�
0
, ne�
u (x, y) �D

�
,v�
�
i S(D) la�
die�
n t�
ch mie�
nD

Khoa Khoa Học và Máy Tính

16


E ( )

3. Phân phối mũ
:
Định nghĩa 2.3: Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối mũ nếu hàm mật độ của X là:

Định lý 2.7 :

�
 .e  x ne�
u x �0;
f (x)  �SGK)
4. Phân phối khi bình phương:(Xem
0
ne�
ux 0,

5. Phân phối Student:(Xem SGK)�

 >0

1
X : E ( ) � E (X )   (X ) 


Khoa Khoa Học và Máy
Tính

17


§3. Các định lý giới hạn ( luật số lớn).
1. Định lý Chebyshev:
• Định lý 3.1(Bất đẳng thức Chebyshep): Cho X là 1 đại
lượng ngẫu nhiên.Khi đó ta có:
D( X )
P (| X  E ( X )| � ) �
2



• Định lý 3.2 (Chebyshep): Cho dãy 1 ,  2 ,...,  n ,... đơi
một độc lập có C  0 : D( X k ) �C, k.Khi đó ta có:
�1
lim P �
�n
n��

�

n

�X
k1

k

1

n

�
E (X k )   �
1
�
�
k1
�
n

2. Định lý Bernoulli:
• Định lý 3.3 (Bernoulli): Nếu m là số lần thành công trong
dãy n phép thử Bernoulli với xác suất thành cơng p thì:
Khoa Khoa Học và Máy Tính

18

�m
�
lim P �  p   � 1
n��
�n
�
3. Các định lý giới hạn trung tâm.
Định lý 3.4(Lyapounov): Giả sử 1 ,  2 ,...,  n đôi một độc
n
lập và
3
E X k  E( X k )
�
lim k 1
0
3/ 2
n ��
n
�
�
D

 k�
�
�
k 1
�
�
Khi ấy ta có:
1 n

1 n
 i  �E   i 
�
n
n i 1
n �30 

U  i 1
�N  0,1
khi
n
đủ
lớn
1 n
D  xi 
�
n i 1
Khoa Khoa Học và Máy Tính

19


Hệ quả 3.1:Giả sử thêm vào đó ta có

E ( X i )  a, D( X i )   2 , i  1, n
1 n
( .�X i  a ). n
n i 1
�U 
�N (0,1)


Hệ quả 3.2:

m
 p). n
U n
�N (0,1)
p(1  p )

Khoa Khoa Học và Máy Tính

(

khi n đủ lớn

khi n đủ lớn

20


Ví dụ 3.1:Biến ngẫu nhiên X là trung bình cộng của n biến
ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối: 1 ,  2 ...,  n với
phương sai: D   i   5  i  1, 2,..n 
Xác định n sao cho với xác suất không bé hơn 0,9973 :
a) Hiệu cuả X-E(X) không vượt quá 0,01
b) Trị tuyệt đối của X-E(X) không vượt quá 0,005.
Bài giải:

1 n
  � i , E (  i )  a � E  X   a;

n i 1
D  i    2  5 �   5
Khoa Khoa Học và Máy Tính

21


a )    E    �0, 01 �0, 9973
.

�
�


a
n


0,
01
n
. � �
U 
�
�0, 9973
�
�
�

5

�
�
�
0, 01 n �
� �
 0, 5 �0, 9973
� 5 �
�
�
�
�
0, 01 n �
� �
�0, 4973    2, 785 
� 5 �
�
�
�
۳

0, 01 n
5

Khoa Khoa Học và Máy Tính

2

2, 785 ۳ n

�

2, 785. 5 �
�
� 0, 01 �
�
�
�
22


b)

.

(   E     0, 005) �0, 9973
.

| X  E ( X ) | n 0, 005. n
� P (| U |

  ) �0, 9973

5
�
0, 005 n �
� 2. �
�0, 9973
�
�
�
5

�
�
�
0, 005 n � 0, 9973
� �
�
   3
�
�
�
2
5
�
�
0, 005 n
5

Khoa Khoa Học và Máy Tính

2

3

n

�3 5 �
�
�
�
�

0,
005
�
�
23


$4.Các cơng thức tính gần đúng
1. Cơng thức gần đúng giữa siêu bội và nhị thức.
Định lý 4.1: Khi nN
nghĩa là:
k
nk

CM .CN  M
k
k
nk
 X  k 
�
C
.
p
.
q
n
n
CN

Ví dụ 4.1: Giả sử cho 1 hộp có N=1000 bi trong đó có
M=600 bi trắng còn lại là bi đen. Rút ngẫu nhiên ra 20
bi,tính xác suất để lấy được đúng 12 bi trắng.
12
8
C600
.C400
12
12
8
  X  12  
�
C
.0,
6
.0,
4
20
20
C1000

Khoa Khoa Học và Máy Tính

24


2. Nhị thức và Poisson:

Định lý 4.2: Khi n đủ lớn,p rất bé  B  n, p 

 a

với

a=np ,
nghĩa là:

  X  k   Cn . p .q
k

k

nk

k

a
�e . , k  o, n
k!
a

Ví dụ 4.2: Một xe tải vận chuyển 8000 chai rượu vào kho.
Xác suất để khi vận chuyển mỗi chai bị vỡ là 0,001. Tìm
xác suất để khi vận chuyển:
a) Có đúng sáu chai bị vỡ
b) Có khơng q 12 chai bị vỡ.
Khoa Khoa Học và Máy Tính

25