Ôn tập Chương II. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (288.66 KB, 10 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

§1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC BẤT KỲ( TỪ 00 đến 1800)

1/ Định nghĩa:

Trên nửa đường trịn đơn vị lấy điểm M thỏa góc xOM =  và M(x0;y0). Khi đó ta

định nghĩa:

 sin của góc là y0; ký hiệu sin = y0

 cơsin của góc là x0; ký hiệu cos = x0

 tan của góc là

0
0

y
x ( x

0  0); ký hiệu tan  =
0
0

y
x

 cot của góc  là

x
y ( y

0 0); ký hiệu cot  =
0
0

x
y
* Dấu của các tỉ số lượng giác:

00≤

 ≤900 900< <1800

sin + +

cos + 

tan + 

cot + 

* Chú ý: + tan chỉ xác định khi 900

+ cot chỉ xác định khi 00 và  1800

2. Tính chất : Hai góc bù nhau (tổng hai góc bằng 1800)

sin( 1800 ) = sin
cos ( 1800) =  cos

tan (1800) = tan (  900)
cot ( 1800

 ) =  Cot  ( 0 < < 1800)

3. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

Góc

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800

0
6

4

3

2
 2
3
 3
4
 5
6
 π

sin 0 1

2
2
2
3
2 1
3
2
2
2
1
2 0

cos 1 3

2
2

2 0 –

2 –

2 1

tan 0 1

3 1 3 ||  3 1 –

3 0

cot || 3 1 1

3 0

1
3

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

A
B
O



b



a

Cho hai véctơ



a,bđều 0



. Từ điểm O tuỳ ý dựng




OA=a,OB = b. Góc 00≤AOB ≤ 1800
được gọi là góc giữa hai véctơ a,b.

Kí hiệu là: (a,



b).

Nếu (a,



b)= 900 thì ta nói a vng góc b. Kí hiệu: ab

* Chú ý: :

+ (a,



b)= (b,a)

+ (a,



b)= 00  acùng hướngb
+ (a,



b)= 1800





angược hướng



b

* Quy ước: Nếu ít nhất một trong hai véc tơ avà b là véctơ 0 thì ta có thể xem góc 
bao nhiêu cũng được.

Các hệ thức cơ bản:
a) Nếu cos 0 thì

tan sin

cos







b) Nếu sin 0 thì

cos
cot

sin







sin



cos



= 1
d) tan.cot



= 1

e) 1 + tan2 = 2

cos 

f) 1 + cot2= 2
1

sin 

* Góc phụ nhau

Sin(900-) = Cos
Cos(900-) = Sin 
tan(900-) = Cot
cot(900-) = tan.

* Góc đối nhau

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

* Chú ý: sin2

 = (sin)2 sin2

Dạng toán 1 : Sử dụng máy tính để tính giá trị lượng giác của một góc.

Bài 1: Tính các giá trị sau :

a) sin65049’35” b) cos92071’42” c) tan(63050’53”) d) cot(23012’)
Bài 2: Tìm x biết :

a) sinx= 0,233 b) cosx = 0,235 c) tanx = 2 d) cotx = 1,43

Dạng tốn 2: Tính giá trị lượng giác của góc

Bài 1 : Tính giá trị lượng giác của góc:
a.45 0 b.1200 c. 1350
Bài 2: Cho hình vng ABCD. Tính :

cos⁡(AC ,BA) ; sin⁡(AC ,BD) ; cos⁡(AB ,CD)

Bài 3: Cho hình vng ABCD, tính giá trị lượng giác của góc giữa các cặp vectơ sau :
( AC ,BC¿ ; ( CA ,DC¿

Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 4cm, AD = 3cm. Tính các góc :
( AC ,AD¿ ; (CA ,CB)

Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(3;4). Tìm sin α , cos α , tan α , cot α

với α = ^xOM

Bài 6: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M(x;4). Và ^xOM=1200 . Tìm x

Bài 7 : Tính giá trị biểu thức:

a) A = Cos 200 + cos 800+ cos 1000+ cos1600
b) B = Sin 1000 - sin 800 + cos 160 + cos 1640

c) C = cos 00 + cos100 + cos200 + . . . + cos 1700
Bài 8: Biết cosx= 2

, tính P = 3sin 2x + 4cos2x.

Bài 9: Cho biết 1 giá trị lượng giác của 1 góc, tính các giá trị lượng giác cịn lại:
a) sinα=1

4, α nh nọ

b) tanβ=2√2

c) cosγ=−1

Bài 10: Cho biết giá trị lượng giác của 1 góc, tính giác trị của 1 biểu thức:
a) Biết sinx=1

3,90

<x<1800. Tính A=tanx+3cotx+1

tanx+cotx
b) Biết tanx=√2, Tính B=3sinx−cosx

sinx+cosx
c) Biết tanx=√2, TínhC= sinx−cosx

sin3x+3 cos3x+2sinx
Bài 11: Cho sinx+cosx = 43 . Tìm:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

c) C = cos2x−cot2x

sin2x

−tan2x

Dạng toán 3 : Chứng minh :

Bài 1 : Chứng minh ;

a) sin1150 = sin650 b) cos1450 = - cos350 c) tan1230 = - tan570
Bài 2 : Chứng minh :

a) (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx

b) tan2x

−sin2x=tan2x .sin2x

Bài 3 : Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng:

a) sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC
b) cos(A + C) + cos B = 0

c) tan( A – C) + tan(B+2C) = 0
d) sinA = sin(B + C)

e) cosA = cos(B + C)

f) sin 2
B
A

= cos 2
C

g) sin 2
A

= cos 2
C
B

h) sin 2
C
B
A 

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

§2 TÍCH VƠ HƯỚNG 2 VÉCTƠ

1/ Định nghĩa:

Tích vơ hướng của hai véctơ a và b là một số, kí hiệu là a .b , được xác định
bởi:



a .b=|a||b|cos⁡(a ,b)

Bình phương vơ hướng : a2=|a|2

* Chú ý: + a .b=|a|.|b|  a cùng hướng b

+ a .b=−|a|.|b|  a ngược hướng b

2/ Các tính chất: Cho a b c ;  k R

+ a.b = b.a ( Tính giao hốn)
+ a.b = 0 <=> a  b

+ (ka)b = k (a b)

+ a (bc) = a b a c (Tính chất phân phối đối với phép cộng và trừ )

+ ( a

→

± b

→

)2= | a
→

|2 ± 2 a
→

b

→

+ | b

→

+ ( a

→

+ b

→

)( a

→

- b

→

) = | a

→

|2 - | b
→

|2 
3/ Cơng thức hình chiếu

Tích vơ hướng của hai véctơ a vàb bằng tích vố hướng của véctơ a với hình chiếub'

của véctơ b trên đường thẳng chứa véctơ a



a.b= a.b'

4/ Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng

Cho →a = (x, y) , →b= (x', y') ; M(xM, yM), N(xN, yN); ta có

→

a.→b= x.x' + y.y' |→a| = x2+ y2

Cos (→a,→b) = 2 + 2. '2+ '2

'
+
'

y
x
y
x

yy
xx

→

a→b  xx' + yy' = 0

MN = |
→

MN| = (xM _xN)2+(yM _yN)2

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

ln đi qua điểm M cắt đường trịn (O,R) tại A, B

Phương tích của điểm M, đối với đường trịn (O,R): kí hiệu: P M/(O)

P M/(O) = MO2 – R2 =             MA MB  .

Nếu M ở ngồi đường trịn (O,R), MT là tiếp tuyến thì P M/(O) = MT2
* Bất đẳng thức vectơ

| a

→

. b

→

| ¿ | a

→

|.| b

→

|
| a

→

+ b

→

| ¿ | a

→

| + | b

→

Bài tập : Tính tích vơ hướng – Tính góc – Chứng minh thiết lập vng góc

1. Tính tích vơ hướng

Ta có thể lựa chọn 1 trong các hướng sau :

- Sử dụng định nghĩa bằng cách đưa 2 vectơ a ,b về cùng gốc để xác định chính

xác góc α=( a ,b) . Từ đó : a .b=|a|.|b|.cosα

- Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vơ hướng của 2 vectơ.
- Nếu đề bài cho dạng tọa độ a =(x;y), b =(x’;y’) => a .b = xx’ +yy’

2. Tính góc

- cos(a ,b)= a .b

|a||b|=

x x'+yy '

√

x2+y2

√

x'2+y'2
3. Chứng minh vng góc

Ta có thể lựa chọn các hướng sau :

- Nếu đề bài không cho tọa độ, ta sử dụng tính chất của tích vơ hướng.

a  b  ab  a .b=0  |a|.|b|. cosα=0 

{



a=0


b=0

cos(a ,b)=0

- Nếu đề bài cho tọa độ a =(x;y), b =(x’;y’) thì ab  a .b=0  xx’ +

yy’=0
Bài tập :

Bài 1 : Cho tam giác ABC đều cạnh 3a. M,N là 2 điểm thuộc cạnh AB sao cho
AM=MN=NB. Tính các tích vơ hướng sau :

AB .AC ; AC .CB ; CM .CN

Bài 2 : Cho hình vng ABCD cạnh a ; M,N lần lượt là trung điểm BC và CD. Tính :
AB .AM ; AM .AN

Bài 3 : Cho tam giác vuông tại A, có AB=a, BC = 2a. Tính các tích vơ hướng :
a) AB .AC b) AC .CB

Bài 4 : Cho tam giác ABC, trọng tâm G, M là 1 điểm nằm trên đường thẳng (d) qua G và
vng góc với BC. Chứng minh rằng : (MA+MB+MC)BC=0

Bài 5 : Cho tam giác ABC vng cân có AB = AC = a, có đường cao AH. Tính :

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB .CB=4 và AC .BC=9

a) Tính các cạnh của tam giác ABC

b) Gọi I, J là các điểm thỏa mãn : IA+2IB=0 , 2JB−JC=0 . Tính IJ theo BA ,BC .

Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A, có BC = a √3 , M là trung điểm của BC. Biết
rằng : AM .BC=a

2 . Tính AB và AC.

Bài 8 : Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường trung tuyến AM. Tính các tích vơ hướng
sau :

a) AC .(AC−AB) b) AM .AB c) ( AB−AC¿(AB+AC)
Bài 9 :Cho tam giác ABC có A(1 ;2) ; B(-2 ;6) ; C(9 ;8)

a) Tính AB .AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A

b) Tìm tâm và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
c) Tìm tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC
d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC

e) Tìm tọa độ điểm M trên Oy để B,M,A thẳng hàng
f) Tìm tọa độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N
g) Tìm tọa độ D để ABDC là hình chữ nhật

h) Tìm tọa độ đỉnh K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO

i) Tìm tọa độ điểm E đối xứng với A qua B

Bài 10 : Xác định hình dạng tam giác ABC biết :
a) A(1;0) ; B(5;0) ; C(3 ;4)

b) A(1;2) ; B(-2;6) ; C(9;8)

Bài 11 : Trong mặt phẳng Oxy, cho a(1;3);b=(6;−2);c(x ;1)
a) Chứng minh ab

b) Tìm x để ac

c) Tìm tọa độ vectơ d sao cho ad và b .d=20
Bài 12 : Cho tam giác ABC có A(4 ;3) ; B(0 ;-5) ; C(-6 ;-2)

a) Chứng minh tam giác ABC vng tại B
b) Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 13 : Cho 3 điểm A(7 ;4) ; B(0 ;3) ; C(4 ;0). Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H của A
lên BC. Từ đó suy ra tọa độ điểm A1 là điểm đối xứng với A qua BC.

Bài 14 : Cho A(0;2) ; B(6;9) ; C(4;1) ; D(2 ;10)
a) Chứng minh tam giác ABC vng

b) Chứng minh ABCD là hình chữ nhật

c) Gọi C’ thỏa CC '=AB . Tìm tọa độ C’ suy ra D đối xứng với C’ qua B

Bài 15 : Cho tam giác ABC, có AB = a, AC = 2a. Gọi D là trung điểm cạnh AC, M là
điểm thỏa mãn : BM=1

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

§

3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1. Các kí hiệu trong tam giác

BC = a; AC = b; AB = c
ha = AH1; hb = BH2; hc = CH3
ma = AM1; mb = BM2; mc= CM3

R : bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác.
r : bán kính đường trịn nội tiếp tam giác
p = 2

c
b
a 

nửa chu vi.

* Các góc ở đỉnh A,B,C được kí hiệu là A, B, C.
* ma là đường trung tuyến nối từ đỉnh A.

2. Định lý cosin trong tam giác
Với mọi tam giác ABC ta có:

 a2 = b2+ c2 - 2bcCosA ;
 b2 = a2 + c2 - 2acCosB ;
 c2 = a2 + b2 - 2abCosC

3. Định lý sin trong tam giác

Trong tam giác ABC ta có: a=2RsinA; b= 2RsinB;c= 2RsinC

hay SinC R

c
SinB
b
SinA
a
2



4. Định lý trung tuyến

2

4

2
2

b

c

a

m

a







2

4

2
2

a

c

b

m

b







2

4

2
2

a

b

c

m

c







5. Các cơng thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC thì diện tíchS được tính theo một trong các cơng thức sau:

.

S

ABC

=

a

ah

2
1

=

bhb chc

2
1
2

1


.

S

ABC

=

B
ac
C
ab sin
2
1
sin
2
1


=

2bcsin A
1

B MH1 C

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

.

S

ABC

=

R

abc

.

S

ABC

= pr

.

S

ABC

=

p(p a)(p b)(p c)

6) Hệ thức trong tam giác vuông ( bổ sung).

 BC2 = AB2 + AC2 AB2 =BC. BH
 AC2 =BC. CH AH2 = BH.CH

 AB.AC = BC.AH 1

A H2=

A B2+

A C2

Bài tập áp dụng :

Bài 1 : Cho ∆ ABC vuông tại A, B^=580 và cạnh a = 72cm. Tính C^ , cạnh b, cạnh c

và đường cao ha.

Bài 2 : Cho ∆ ABC biết các cạnh a = 5cm, b = 9cm và c = 6cm. Tính các góc của

∆ ABC .

Bài 3 : Tính diện tích của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7, 9 và 12.
Bài 4 : Cho ∆ ABC có ^A=1200 . Tính cạnh BC biết cạnh AC = m và AB = n.

Bài 5 : Cho ∆ ABC biết cạnh a = 137,5cm ; B^=830 và C^

=570 . Tính góc A, bán

kính R của đường trịn ngoại tiếp, cạnh b và c của tam giác.

Bài 6 : Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b, BD = m và AC = n. Chứng minh
rằng m2 + n2 = 2(a2+b2) .

Bài 7 : Cho ∆ ABC có BC = 40cm, CA = 13cm, AB = 37cm. Tính góc nhỏ nhất của

∆ ABC .

Bài 8 : Cho ∆ ABC vuông tại A, và AB = 3, AC = 4. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho

CD=CB. Tính các cạnh BD, AD ; các góc B, D, A của tam giác ABD ; bán kính đường
trịn ngoại tiếp và diện tích của tam giác này.

Bài 9 : Cho hình vng ABCD có cạnh 6cm, E là trung điểm của CD. Tính bán kính
đường trịn ngoại tiếp của tam giác ACE và các góc của tam giác này.

Bài 10 : Cho tam giác ABC có AB = c = 45 ; AC = b = 32 ; BAC^ = 870 .

Tính các cạnh và các góc cịn lại.

Bài 11 : Chứng minh rằng trong mọi tam giác, ta có :
a) a=b . cosC+c . cosB

b) ha = 2RsinBsinC

c) sinA = sinBcosC + sinC.cosB

Bài 12 : Cho ∆ ABC vuông ở A, BC = a, đường cao AH.

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

a) c = 14, ^A=600 , ^

B=400 c) b = 4,5, ^A=300 , C^=750

b) c = 35, ^A=400 , C^

=1200 d) a = 137, C^=570 , B^=830

Bài 14 : Giải tam giác, biết :

a) a = 6,3 ; b = 6,3 ; C^=540 , c) a = 7, b = 23, C^

=1300 ,

b) b = 32 ; c = 45 ; ^A=870 , d) b = 14, c = 10, ^A

=1450 ,

Bài 15 : Giải tam giác, biết :

a) a= 14 ; b=18 ; c= 20 c) a= 6 ; b= 7,3 ; c= 4,8

</div>

Ôn tập Chương II. Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

<b>TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG</b>

<i>b</i>

<i>a</i>

<i>sin</i>



<i>cos</i>





<b>Bài tập : Tính tích vơ hướng – Tính góc – Chứng minh thiết lập vng góc</b>

√

√

{

§

<b>3: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC</b>

2

4

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>a</i>

<i>m</i>







2

4

<i>a</i>

<i>c</i>

<i>b</i>

<i>m</i>







2

4

<i>a</i>

<i>b</i>

<i>c</i>

<i>m</i>







<b>. </b>

S

=

=

<b>. </b>

S

=

=

<b>.</b>

S

=

<b>.</b>

S

= pr

<b>.</b>

S

=

<b>6) Hệ thức trong tam giác vuông ( bổ sung).</b>

<b>Bài tập áp dụng :</b>

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về