Đề HSG toán 9(có ĐA)

Câu 1 (2điểm) Cho biểu thức A =
3 2( 3) 3
2 3 1 3
x x x x
x x x x
+
+
+
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Câu 2 (1,5 điểm) Tìm x biết
a)
2 3 1 2x + = +
b)
2
9 3 3 0x x =
Câu 3 (1,0 điểm)
Tìm các giá trị nguyên của m để giao điểm của các đờng thẳng
2 3mx y =
và
3 4x my+ =
nằm trong góc vuông phần t IV.
Câu 4(2,0 điểm)
Cho phơng trình (ẩn x): ( 2m - 1 )x
2
- 2 ( m -1 )x +
1
2
m - 3 = 0
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm.
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đối nhau.

Câu 5: (2,5điểm)
Từ điểm C nằm ngoài đờng tròn tâm O,vẽ các tiếp tuyến CE, CF (E và F là các
tiếp điểm),và cát tuyến CMN tới đờng tròn.Đờng thẳng nối C với O cắt đờng tròn tại hai
điểm A và B.Gọi I là giao điểm của AB và EF .
a)Chứng minh rằng: CM.CN = CI.CO
b) Chứng minh rằng:
ã
ã
AIM BIN=
c) MI kéo dài cắt đờng tròn (O) tại điểm D (khác điểm M). Chứng minh CO là
tia phân giác của
ã
MCD
Câu 6(1,0 điểm)
Cho biểu thức B =
2014134126
2345
++
xxxxx
Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của B khi x=
53
53
+



----------------------------------------------------------------------
Họ và tên: SBD
Chữ kí GT 1:

ubnd huyện nam sách
phòng giáo dục & đào tạo
kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
môn thi: toán
Thời gian làm bài 120 phút
Ngày thi 08 tháng 4 năm 2009
----------------------
Đề chính thức
Đáp án - Môn Toán
Câu Đáp án Điểm
1 a) ĐKXĐ : x

0 ;
9x

A =
3 2( 3) 3
( 1)( 3) 1 3
x x x x
x x x x
+

+ +
A =
3 2( 3)( 3) ( 3)( 1)
( 1)( 3) ( 1)( 3) ( 3)( 1)
x x x x x x
x x x x x x
+ +

+ + +
A =
3 2 12 18 4 3
( 1)( 3)
x x x x x x
x x
+
+
A =
3 8 24
( 1)( 3)
x x x x
x x
+
+
=
( 3)( 8)
( 1)( 3)
x x
x x
+
+
=
8
1
x
x
+
+
0,25

0,25
0,25
0,25
b) A =
1 9 1 9 9 9
1 1 2
1 1 1 1 1
x x
x x
x x x x x
+
= + = + = + +
+ + + + +
do
1 0x + >
và
9
0
1x
>
+
áp dụng bất đẳng thức côsi ta có
9 9
1 2 ( 1). 2 9 6
1 1
x x
x x
+ + + = =
+ +

6 2 4A =

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 4
2
9
1 ( 1) 9 1 3 4( / )
1
x x x x t m
x
+ = + = + = =
+
0,25
0,25
0,5
2
a) ĐKXĐ x
3
2

2 3 1 2x + = +
( )
2
2 3 1 2x + = +

Giải phơng trình có x =
2

Thoả mãn ĐKXĐ. Vậy phơng trình có nghiệm x =
2

0,25
0,25
0,25
b)
2
9 3 3 0x x =
ĐKXĐ:
( ) ( )
2
3 3 0
9 0
3
3 0
3 0
x x
x
x
x
x

+

2
9 3 3 0x x =
( ) ( )
3 3 3 3 0x x x + =
( )
3. 3 3 0x x + =
3
3 0 3
6
3 3
3 3 0
x
x x
x
x
x

=

= =





=
+ =
+ =

(TMĐKXĐ)
Vậy phơng trình có hai nghiệm x = 3; x = 6.
0,25
0,25
0,25
3 Toạ độ giao điểm của các đờng thẳng mx- 2y = 3và 3x+my=4 là
nghiệm của hệ phơng trình
2 3
3 4
mx y
x my
=


+ =

Giải hệ phơng trình tìm đợc
2 2
3 8 4 9
,
6 6
m m
x y
m m
+
= =

+ +
0,25
0,25
Để giao điểm nằm trong góc phần t IV thì x > 0 và y < 0
8 9
3 4
m < <
Để m
Z
thì
{
2, 1,0,1, 2m
}
0,25
0,25
4
PT: ( 2m - 1 )x
2
- 2 ( m -1 )x +
1
2
m - 3 = 0
a) + Nếu 2m - 1 = 0 m =
1
2
thì phơng trình trở thành: x -
11
4
= 0
x =

11
4
=> m =
1
2
là một giá trị.
+ Nếu 2m - 1

0 m

1
2
, để phơng trình có nghiệm khi
'

0
( m -1 )
2
- ( 2m - 1 )(
1
2
m - 3)

0
9
2
m - 2

0 m

4
9

0,25
0,25
0,25
0,25
b) PT có hai nghiệm phân biệt đối nhau khi: m

1
2
,
0 f

và x
1
+ x
2
= 0
hay: m

1
2
, m >
4
9
và
2( 1)
2 1

m
m


= 0 ( đ/l Vi-ét ) m = 1.
0,25
0,25
5
Vẽ hình
0,25
a. Chứng minh hai tam giác CEM và CNE đồng dạng
=>
2
CE CN
CM.CN CE
CM CE
= =
(1)

Chứng minh

CEO vuông tại E ,đờng cao EI
=> CI.CO = CE
2
(2)

0,5
0,25
D
I

N
M
O
B
A
E
F
C
Từ (1) và (2) => CM.CN = CI.CO

0,25
b)

CM CO
CM.CN CI.CO
CI CN
= =
Từ đó chứng minh hai tam giác CMI và CON đồng dạng
theo T.H (cgc)

=>
ã
ã
CIM CNO=
=> Tứ giác MNOI nội tiếp

=>
ã
ã
MNO AIM=

(cùng bù với
ã
MIO
)

ã
ã
OMN BIN=
(2góc nội tiếp cùng chắn cung NO)
ã ã
MNO OMN=
(Tam giác MNO cân tại O) =>
ã
ã
AIM BIN=

0,25
0,25
0,5
c)
C/M: Hai tam giác MIE va FID đồng dạng
=> IM.ID =IE.IF
Tam giác CEO vuông tại E (câu a) => IC.IO = IE
2
=
IE.IF
=> IM.ID = IC.IO =>
MI IO
IC ID
=

Từ đó chứng minh :
MIC OID(c.g.c) :
=>
ã
ã
ICM IDO=

hay
ã
ã
OCM ODM=
=> Tứ giác CMOD nội tiếp

=>
ã
ã
OCD OMD=
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung OD)

ã
ã
OCM ODM=
(2 góc nội tiếp cùng chắn cung OM)

ã ã
ODM OMD=
( Tam giác OMD cân tại O)
=>
ã
ã

OCD OCM=
=> CO là tia phân giác của
ã
MCD

0,25đ
0,25đ
0,25đ
6
Ta có x =
2
3 5 (3 5) 3 5
2
3 5 (3 5)(3 5)

= =
+ +

0.25
2x =
3 5
3 - 2x =
5
x
2
- 3x + 1 = 0
0,25
Ta có: B =
2014134126
2345

++
xxxxx
=
= (x
2
- 3x + 1)(x
3
- 3x
2
+2x +5) +2009
0.25
= 0. (x
3
- 3x
2
+2x +5) +2009 = 2009
Vậy khi x=
53
53
+

thì B = 2009
0.25