Chương III. §1. Phương pháp quy nạp toán học

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<i>***********************************************</i>

<i><b>CHƯƠNG III</b></i>

<b>DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN</b>

<b>* PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC</b>

<b> ** DÃY SỐ</b>

<b> *** CẤP SỐ CỘNG</b>

<b> **** CẤP SỐ NHÂN</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>***********************************************</i>

<b>§ 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC</b>

I/ Mục tiêu:

1. Kiến thức: Giúp cho hs: có k.niệm về suy luận quy nạp; Nắm được PPQN toán học.
2. Kĩ năng: Giúp hs biết vdụng PPQNTH để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản

3. Tư duy, thái độ: Tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi, từ đó prát triển tư duy logic,
rèn luyện tính chặt chẽ trong giải toán.

II/ Chuẩn bị :

GV: Đọc SGK, SGV, SBT.
HS: xem trước bài ở nhà.

III/ Phương pháp dạy học: Vấn đáp, gợi mở kết hợp với các hoạt động.
IV/ Tiến trình bài học:

<b>TIẾT 41:</b>
1. Ổn định lớp.
2. Bài mới:

HĐ 1: Btoán mở đầu:

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

1/ PPQN toán học.

Bài toán : CMR, với mọi số
nguyên dương n , ta có:
1 + 2 + 3 +.... + n =

( 1)
(1)
2

<i>n n</i> 

(H1) a) Hãy kiểm chứng đẳng
thức: (1) khi n = 1, n = 2

b) Có thể kiểm chứng đẳng
thức (1) với mọi số nguyên dương
n hay không ?

(H2) Giả sử đẳng thức (1) đúng
với n = k, hãy CM (1) cũng đúng
với n = k+1.

* Khái quát PPQN: để CM mệnh
đề chứa biến A(n) đúng với mọi số
nguyên dương n, ta thực hiện hai
bước sau :

Bước 1 (bước cơ sở) : kiểm chứng
khi n = 1, ta phải có A(1) đúng.
Bước 2 (bước qui nạp, di truyền)
Giả sử A(n) đúng với n = k (k là
một số nguyên dương tuỳ ý), ta cm
A(n) đúng với n = k+1.

Nêu HĐ 1- sgk.

* Gọi 1 HS trung bình yếu lên
kiểm tra, cả lớp cùng thực hiện.
* Hỏi cả lớp câu b.

Y.cầu cả lớp CM ý thứ hai.
GV khái quát thành PPQN toán
học.

(H1) cả 4 tổ cùng thực hiện,

(H2) kiểm tra một tổ, hỏi các tổ
khác kết quả.

Ghi nhớ PPQN tốn học.

HĐ 2: Một số ví dụ áp dụng :

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

2/ Một số ví dụ:
Ví dụ 1 :

CM rằng với mọi số ngun dương
1, ta ln có

12₊₂2_{+.. + n}2₌ <i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

6

(1)

* Gọi 1 HS trung bình yếu kiểm tra

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

(Hđ1). Kiểm tra với n = 1

(Hđ2). Giả sử (1) đúng với n = k,
CM (1) đúng với n=k+1.

* Cả 4 tổ cùng thực hiện Hđ2; yêu
cầu đại diện 4 tổ đưa kết quả đã
giải lên giấy bìa lên để kiểm tra.
Ví dụ 2 : CM rằng với mọi số

nguyên dương n  3, ta ln có:
2n_{> 2n + 1} ₍₁₎

Giải:

Chú ý : Nếu phải CM A(n) đúng
với mọi n  p thì bước 1 phải
kiểm tra với n = p.

?. Ta phải kiểm tra bước 1 thế nào?
* Cho cả 4 tổ cùng thực hiện trên
giấy nháp. Gọi đại diện của 4 tổ
đưa lời giải tóm tắt trên tấm bìa lên
để kiểm tra.

Trả lời câu hỏi.

HS thực hiện theo ycầu của
GV.

VD 3: CMR,  n  N*, ta có:
u = 7. 2 + 3  5

Hdẫn hs cm ví dụ 3.
Ycầu 1 hs tbày lời giải.

Thực hiện theo ycầu của gv.

HĐ 3: BÀI TẬP THỰC HÀNH

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

Bài 1 : CM :

1 + 5 + 9 + .... + 4n = 3 = n (2n - 1)
(n N*)

Bài 2 : CM :

1. 2 + 2.3 + 3 . 4 + ... + n(n + 1)
= <i>n</i>(<i>n</i>+1)(<i>n</i>+2)

3 (n N*)

Bài 3 : CM :

n3_{+ 11n chia hết cho 6, n}__N*
Bài 4 : CM :

1+ 1

√

2+

1

√

3+.. . ..+
1

√

<i>n</i>>

√

<i>n</i>

(n  2)

GV chuẩn bị 4 bài tập ghi trên
giấy bìa, treo lên bảng (hoặc dùng

máy chiếu) cho 4 tổ, mỗi tổ thực
hiện một bài

* Mỗi tổ thực hiện một bài, sau
đó thảo luận chung rồi đưa ra kết
quả.

*Củng cố : Nhắc lại phương pháp qui nạp

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>TIẾT 42: BÀI TẬP.</b>
1. Ổn định lớp.

2. Kểm tra bài cũ: Hãy nhắc lại các bước của PPQNTH?.
3. Sửa một số bài tập ở SGK.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

BT 1: CMR:

1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n2
(n  N*)

BT 2: CMR:
22_{+ 4}2_+...+(2n)n₌

2<i>n</i>(<i>n</i>+1)(2<i>n</i>+1)

3

(nN*)

BT 3: CMR:

1+ 1

√

2+.. .. .+
1

√

<i>n</i><2

√

<i>n</i>

(nN*)

BT 4: CMR:

(

1<i>−</i>1

4

)(

1<i>−</i>
1

9

)

.. . .. .. .

(

1<i>−</i>
1

<i>n</i>2

)

=
<i>n</i>+1

2<i>n</i>

(nN*)

Gọi lần lượt hai hs tbày bài tập.

Chọn 5 hs để kiểm tra vở bài
tập.

Gọi hs khác nxét bài làm cuả
bạn.

Nhấn mạnh những lỗi hs hay
mắc phải.

Thực hiện các ycầu của GV.

HĐ 3: BÀI TẬP NÂNG CAO.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

BT 3: Cmr:  n  N* ta có:
1 + 2 + 3 +...+ n =

Gọi một hs TB khá tbày cách CM.
Chú ý: Khi biến đổi hs có thể bị

sai.

Cả lớp tbày lời giải. Một hs
trbày, các hs khác nxét.

Bài 5 : CM

1

<i>n</i>+1+

1

<i>n</i>+2+.. .. .+

1
2<i>n</i>>

13
14(1)

(nIN*)

Bài 6 : Cho x > - 1. CM :
(1 + x)n__{1 + nx. (n nguyên}
dương)

* Đây là bài khó, HS hay nhầm
lẫn.

* Đây là một bất đẳng thức quan
trọng, HS cần nhớ để vận dụng sau
này.

(H). Dấu = xảy ra khi nào ?
** Củng cố : Tóm tắt lại phương
pháp qui nạp ở các dạng,

?. Khi n = k, thì (1) viết thế nào?

Từ đó CM (1) đúng với

n = k+1.

* Cả 4 tổ cùng làm. Hỏi kết quả
của từng tổ một.

* Củng cố :

Tóm tắt lại phương pháp qui nạp ở các dạng.
* Bài tập về nhà :

Soạn các bài tập ôn chương về phương pháp qui nạp . (Sgk)
BT bổ sung:

1/ CMR: u = 13 - 1  6, n  N.

2/ CMR,  số ngun n  2, ta ln có BĐT:
a/ 1 + + +...+ >

b/ 1 + + +... + < n

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>§2. DÃY SỐ</b>
I/ Mục tiêu:

1. Kiến thức:

- Giúp HS có một cách nhìn chính xác đối với khái niệm dãy số : theo quan điểm hàm số.
- HS nắm vững các khái niệm: dãy số vô hạn, dãy số hữu han.

- Nắm được khái niệm dãy số tăng, giảm, dsố không đổi.
2. Kỹ năng:

- Biết cách xét tính tăng, giảm và bị chặn của một dãy số.
3. Tư duy và thái độ:

- Tích cực tham gia xây dựng bài học, có tinh thần làm việc theo nhóm.
- Biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự.

II/ Chuẩn bị của thầy và trò:

4. Chuẩn bị của giáo viên: Dụng cụ dạy học, bảng phụ.
5. Chuẩn bị của HS: Dụng cụ học tập.

III/ Phương pháp dạy học: Phương pháp gợi mở vấn đáp, đan xen hoạt động nhóm.
IV/ Tiến trình bài dạy:

<b> TIẾT 49:</b>
1.Ổn định lớp.
2. Bài mới.

HĐ 1: Định nghĩa dãy số.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

1. Định nghĩa và ví dụ:
ĐN: sgk- trang 101.
Tóm tắt:

- Dsố vô hạn là một hsố xđịnh trên

tập hợp các số nguyên dương N*.
- Dsố h.hạn là một hsố xđịnh trên
tập hợp m số nguyên dương đầu
tiên.( m là số nguyên dương cho
trước).

VD 1: Hsố u(n) = xđịnh trên
tập N* là một dãy số có vơ số
sh: ...

Kí hiệu ds u = u(n) bởi ( u ) và
gọi u là <i>shtq</i> của ds đó.

Dạng khai triển của ds ( u ):
u , u , ...., u ,...

VD 2: DS ở VD 1 được kí hiệu
là: (), và viết dạng khai triển là:
- , - 1, 1, ,....,,...

CHÚ Ý:

VD 3: HS u(n) = n 3_{-5 xđịnh trên}
tập hợp A(1, 2, 3, ,4 ,5) là một dsố
h.hạn. Dsố đó có năm sh: ....

Nêu vấn đề học bài mới.

- Trình bày như SGK trang 101 để
giới thiệu cho HS dãy số <i>−</i>1₂¿0

¿

,

<i>−</i>1

2¿
1

¿

, <i>−</i>1₂¿2
¿

,.... (1).
Gv nêu kniệm về SH của ds,
SH thứ nhất, SH thứ hai,...và cách
kí hiệu các giá trị của ds.

GV nêu vdụ về ds

?. Hãy tìm sh u và u của ds đó.
GV nêu kí hiệu khác của ds, nêu
cách viết dạng khai triển của ds.
GV nêu cách viết khác của dãy số
ở vdụ 1.

Nêu chú ý về dãy số hữu hạn, SH
đầu, SH cuối của dãy số hữu hạn.

Ycầu hs xđịnh năm sh của dsố ở
vd3.

- Hiểu vấn đề giáo viên trình
bày: có thể coi dãy số (1) là một
hàm số xác định trên tập các số
<i>nguyên dương</i>.

HS trả lời.
HS lắng nghe.

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

HĐ 2: Các cách cho dãy số:

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

2. Các cách cho dãy số.
C1: Cho dsố bởi CT SH tổng
quát.

Nêu ví dụ 1: “ cho ds ( u ) với
u = n 3_{-5 “. Hãy xđịnh sh thứ 10}
của ds đó?.

Nghe và ghi nhớ.
Trả lời vdụ.
C2: cho ds bằng quy nạp (hay

cho dsố bởi hệ thức truy hồi)

Vdu 2: cho ds ( u ) với u1 = 1, và

 n  2, u = 2u + 1.

Hãy tìm sh thứ 5 của dsố đó?.

Nghe và ghi nhớ.
Trả lời vdụ.
C3: diễn đạt bằng lời cách

xđịnh mỗi sh của dsố

Nêu ví dụ 5- sgk.

Chú ý: Một dsố có thể đồng thời
cho bằng nhiều cách. Cụ thể: ở vdụ
2, dsố đó được viết ở dạng CT tổng
quát là:

u = 2 -1, n N*

Nghe và ghi nhớ.

HĐ 3: Luyện tập.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

BT 9- sgk.
BT 10- sgk.
BT 12- sgk.

Ycầu hs làm việc theo nhóm, trả

lời bài tập 9, 10.

HD bt 12, gọi 1 hs trình bày lời
giải.

HĐ nhóm và trả lời bt 9, 10-
sgk.

Giải bt 12.

Củng cố: Nhấn mạnh các ndung cơ bản đã học trong tiết này. Dặn hs về nhà xem tiếp ndung còn lại của bài.
<b>TIẾT 50: tiếp theo.</b>

1/ Kiểm tra bài cũ: Câu hỏi:
1/

a. Viết 5 SH đầu của dãy có SHTQ cho bởi cơng thức <i>−</i>1¿
<i>n −</i>1

(2<i>n</i>+1)
<i>u_n</i>=¿ .

b. Tìm ví dụ về dãy số vơ hạn; dãy số hữu hạn.
2/ Nhắc lại định nghĩa hàm số tăng, hàm số giảm?.
2/ Bài mới:

HĐ 1: Dãy số tăng, dãy số giảm.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

4. Dãy số tăng, dãy số giảm
ĐN 2:

Dãy số (u ) đgl dsố tăng nếu n
ta có: u < u

Dãy số (u ) đgl dsố giảm nếu n
ta có: u > u

Dsố không thuộc hai dạng trên
đgl dsố không tăng , không giảm.

?. So sánh khái niệm hàm số tăng,
giảm với khái niệm dãy số tăng,
dãy số giảm

+ Cho một ví dụ về dãy số tăng
+ Cho một ví dụ về dãy số giảm
+ Cho một ví dụ về dãy số không
tăng, cũng không giảm

+ Cho một ví dụ về dãy số vừa
tăng vừa giảm .

Hs trả lời.

Học trị cho ví dụ .
Học trị cho ví dụ
Cách CM dãy sốtăng/ giảm:

1/ (<i>u</i>n) là dãy số tăng
(=) un < un+1  n N*
<i>2/ (un) là dãy số tăng</i>

(=) un+1 - un  0 n N*
(xét dấu un+1 - un)

3/ un >0  n, (un) là dãy số tăng
(=) <i>n</i>1

<i>n</i>

<i>u</i>
<i>u</i>

< 1

VD: Xét tính tăng , giảm của hai
dsố: (un) với un = (-1)u_n

? . Từ đn, hãy nêu một số cách để
xét tính tăng, giảm của dsố.

* Chia lớp thành hai nhóm để giải
hai ví dụ.

HD: 1<2<3 mà

HS trả lời câu hỏi.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

(un) với un = sin n

sin1< 2

2

; sin2> 2

2

; sin3 < 2

2

HĐ 2: Dãy số bị chặn.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

5. Dãy số bị chặn:
ĐN: 3- sgk.

VD : (un) với un = n 1

n

 _{là dãy số}

tăng và bị chặn vì

0 < un = n 1 1

n



 __n__N*

* Nêu ĐN.

* Nếu dãy số (un) bị chặn trên thì
có mấy số M thỏa định nghĩa? *
Dãy số tăng có thể bị chặn trên
khơng?.

JS nghe và nhớ đn.
Trả lời: có vơ số.
Trả lời: có .

Hoạ t động 3 : Củng cố.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

<i>H</i>₆ _{- sgk.}

VD:
1
<i>n</i>+<i>n</i>

2
¿0

(<i>u_n</i>)=3¿

- Cho HS làm bài tập <i>H</i>₆ a,
b trang 105.

- Cho cả lớp nxét dãy số trên và
giới thiệu khái niệm dãy số không
đổi cho HS.

- Giáo viên nhấn mạnh: định
nghĩa dãy số vô hạn trong SGK
thực chất là cách gọi tên cho một
loại hàm số xác định trên tập số N*
.

HS trả lời.
HS nxét.

HS nghe và ghi nhớ.

3/ CỦNG CỐ DẶN DÒ:

+ Hoc sinh nhắc lại định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn
+ Phương pháp CM dãy số tăng, giảm, bị chặn.

+ Bài tập 13  18 (SGK) .

<b>TIẾT 51: LUYỆN TẬP.</b>
I/ Mục tiêu: Nhằm giúp HS :

* Ôn luyện các kiến thức về dãy số tăng,giảm,bị chận, phương pháp CM qui nạp
* Rèn luyện kĩ năng tổng hợp các kiến thức

* Tư duy,thái độ: Biết khái qt hố, tích cực trong học tập, chịu khó,tập cách giải quyết vấn đề một cách có
khoa học, chính xác.

II/ Chuẩn bị của thầy và trò:

* Thầy: Giáo án. bảng trong ghi các định nghĩa, đề tốn, bài giải tóm tắt
* Trị : Xem lại lí thuyết, soạn bài tập 15,16,17,18 trang 109 sách GK nâng cao
III/ Phưong pháp dạy học: Gợi mở và giải quyết vấn đề

IV/ Tiến trình bài dạy:

HĐ 1: Củng cố dn dãy số.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

Thầy treo bảng , hoặc dùng đèn
chiếu kiến thức tương ứng lên
bảng cho HS xem

BT15: Cho (un) xác định bởi :
u1 = 3

un+1 = un + 5,n 1
a)Tính u2 , u4 , u6.

b)Ch/m un = 5n - 2, n  1

Phát biểu đ/n dãy số ?

Nêu phương pháp ch/m qui nạp
Câu hỏi : Làm thế nào để tính
u2, u4, u6 ?

Phương pháp ch/m câu b) ?
Các bước ch/m ? Nêu giả thiết
và điều phải ch/m?

Nghe, trả lời câu hỏi
Bổ sung trả lời của bạn.

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

?. Nếu thay đổi đề bởi câu
hỏi tìm Un.

HĐ 2: CM dãy số tăng, giảm.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

BT16: : Cho (un) xác định bởi :
u1= 1, un+1 = un+ (n + 1).2n_,__n_₁
a) ch/m un là dãy số tăng

b) ch/m: un =1+(n-1).2n_,__n_₁
ĐS: un+1 –un=(n+1)2n _>0,__n_₁
BT17: Cho un=1,

<i>u</i>= 2

<i>u</i>❑2+1<i>,∀n≥</i>1

Ch/m (un) là dãy số không đổi
BT18: Cho (sn) với:

(sn)= sin(4n-1) <i>π</i>

6

a)ch/m sn=sn+3,n1
b)Tính tổng 15 SH đầu

Phát biểu đ/n dãy số tăng giảm ?
Cách tìm tính tăng giảm?

Khi nào dãy số (un) khơng đổi
Có thể dự đốn trước được kết quả
khơng? Ta phải ch/ m gì?

Gọi một HS trung bình lên bảng
Tìm sn+3 ? Có nxét gì?

Nxét gì về các SH: S1,S4,S7,S10,S13
Các SH: S2,S5,S8,S11,S14;

S3,S6,S9,S12,S15

HD:

S15=5(S1+S2+S3),S1=?,S2=?,S3=?
S15 = 0

HS làm bài

HS làm bài

Ch/m : un =1,n1

HS làm bài
TL:

a) sn+3 = sin(4n -1) <i>π</i>

6 + 2

sn+3 = sn vì sin(x+2) = sinx,
xR

HĐ 3: Dãy số bị chặn.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

BT Thêm:

Xét tính bị chặn của dãy số (un)
với: <i>u</i>= <i>n</i>

<i>n</i>2

+1

Phát biểu đ/n dãy số bị chặn ?
So sánh n2_{+1 và 2n}

HD:
0 < <i>n</i>

<i>n</i>2+1<i>≤</i>

1
2

HS làm bài

TL: n2 _{+ 1 > 2n,}__n_₁

HĐ4: Củng cố: Cho HS làm các BT sau theo nhóm, các nhóm làm bài trên giấy trong, GV chiếu kết quả
của từng nhóm, điều chỉnh bài làm của các nhóm

1) Cho (un) xác định bởi : u1 = 1, un+1 = un + 7 , n  1. Tìm un . HD: un = 7n - 6 , n  1.
2) Cho (sn) với : (sn) = sin(2n - 1) <i>π</i>

3 . Tính S17. HD: S17 = 5(S1+S2+S3) + S1+S2 =

√

3
2

3) (3.12) Cho ds: (u ) xđ bởi : u = 5.4 + 3.

a/ CM: u = 4u - 9, n  1. b/ Từ đó hãy viết lại ds bởi hệ thức truy hồi.
4) (3.15) Xét tính tăng giảm của ds (u ), với:

a/ u = 2.n - 5n + 1. b/ u = 3 - n. c/ u =
5) (3.27) Cho ds (u ) xđịnh bởi:

1

1
1

3 10 , 1

<i>n</i> <i>n</i>

<i>u</i>

<i>u</i> _ <i>u</i> <i>n</i>





   

 _{. CMR: u = 2.3 -5,}__n_₁

6) (3.29) Cho ds (u ) xđịnh bởi:
1

2
1
2
4
; 1
4
<i>n</i>
<i>n</i>
<i>u</i>
<i>u</i>

<i>u</i>  <i>n</i>




 
  


 _{. CMR: (u ) là dsố không đổi.}
7) (3.21) a/ ds (u ) với u = là ds tăng và bị chặn.

(3.20) b/ ds (v ) với v = là ds bị chặn. HD:

2

2

1 1

1 2 3 5 1

2 3 5

<i>n</i>

<i>n</i>

       


8) (3.25) Cho dãy số (u ) xđ bởi:

a/ Tính u , u , u . b/ CM: u = 7n - 6, n  1.
9) (3.26) Cho ds (u ) với: u = 2, u = 5.u , n  1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>§3. CẤP SỐ CỘNG</b>
I. MỤC TIÊU:

+ Về kiến thức : Giúp HS : Nắm vững khái niệm cấp số cộng ; Nắm được TC đơn giản về ba SH liên tiếp của
một cấp số cộng ; Nắm vững cơng thức xác định SHTQ và cơng thức tính tổng n SH đầu tiên của một CSC.
+ Về kĩ năng : Giúp HS : Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một CSC ; Biết cách tìm SHTQ và cách tính
tổng n SH đầu tiên của một CSC trong các trường hợp không phức tạp; Biết vận dụng các kết quả lý thuyết đã
học để giải quyết các bài toán đơn giản liên quan đến CSC ở các môn học khác, cũng như trong thực tế .
+ Về tư duy và thái độ : Biết khái qt hố , tương tự . Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi .

II. CHUẨN BỊ CỦA THẦY & TRÒ:

- Giáo viên : SGK, Giáo án . Bảng tóm tắt nội dung của bài tốn ở ví dụ 2 và các câu hỏi .

- HS : Học thuộc bài cũ .Xem trước bài CSC,SGK , dụng cụ học tập .
III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Vấn đáp và giải quyết vấn đề .

IV. TIẾN HÀNH BÀI DẠY:
TIẾT 52:

1. Ổn định lớp

2. Kiểm tra bài cũ : + Định nghĩa dãy số ?

+ Hãy liệt kê dãy số các số tự nhiên lẻ và công thức tổng quát của số tự nhiên lẻ thứ n ?
Em có nhận xét gì về quan hệ giữa số lẻ đứng sau và số lẻ đứng ngay trước?

3. Bài mới:

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

1.Định nghĩa :

(u n) là CSCn  2, u = u+d
d là công sai của CSC.

Ví dụ 1: SGK Tr 110

H1: Trong các dãy số sau , dãy nào
là cấp số cộng ? Vì sao?

a) -5 ; -2 ; 1 ; 4 ; 7 ; 10.
b) 3,5 ; 5 ; 6,5 ; 9 ; 10,5 ; 12 .

Nhắc lại quan hệ của số tự
nhiên lẻ đứng sau và số đứng ngay
trước. Xong kết luận dãy STN lẻ
dược gọi là một CSC có cơng sai
d=2.

?. Vậy, tổng quát CSC là một
dãy số như thế nào?

Nêu H1 - sgk.

Một h/s phát biểu hình thành
định nghĩa CSC.

Trả lời H1- sgk.

a) Dãy số là cấp số cộng ; vì kể từ
SH thứ hai , mỗi SH đều bằng SH
đứng ngay trước nó cộng với 3 .

b) Không là cấp số cộng
HĐ 2: TChất.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

Định lý 1: Cho CSC (u n) ,k  2
u = .

CM : SGK

H2: Cho CSC (u n) mà u1= -5 và
u 3 = 3. Hãy tìm u2 và u4 ?

Từ VD1 cho HS nxét kể từ SH
thứ hai , mỗi SH (trừ SH cuối đ/v
CSN hữu hạn) có quan hệ thế nào
với hai SH kề nó trong dãy ?

Hãy phát biểu TC nêu trên ?
Nêu câu hỏi H2- sgk.

+ Hs nhận ra t/c số hạng đứng
giữa là trung bình cộng của 2 số
hạng liền kề.

HS phát biểu.

* u 2 = (-5 + 3) /2 = -1
u 4 = u 3 + d = 3 + 4 = 7
HĐ 3: Số hạng tổng quát.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

3. Số hạng tổng quát.

ĐL2: CSC có SH đầu u 1 và công
sai d: u n = u 1 + (n -1).d

H3 : Cho CSC (u n ) có u1 = 25 và

d = -5. Hãy tính u 21 ?

Ví dụ 2: BT 22 SGK trang 115.

* Từ công thức tổng quát số tự
nhiên lẻ thứ n là u n = 2n – 1 hãy
biểu diễn theo số hạng đầu u 1 = 1
và công sai d=2 ?

?. Tổng quát CSC (u n) có SH đầu
u1 và cơng sai d, thì có SHTQ u n =
?

u n = 1+ (n -1).2
u n = u 1 + (n -1).d

H3: u21 = 25 + 20.(-5) = -75
HS giải bt22-sgk.

HĐ 4: Tổng n SH đầu tiên của một CSC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

4. Tổng n SH đầu tiên của một
CSC

Định lý 3: (u ) là CSC:
S = u + u +... + u =
Chú ý:

n  1, S =
H4 : SGK.

H5: SGK .

* Cho CSC (u n) có SH đầu u1 và
công sai d . Xét n số hạng đầu tiên
của CSC đó . Thầy vẽ lên bảng
như SGK.

GV tổng quát thành ĐL.

?. Từ ĐL2 và ĐL3, hãy nêu một
cách khác để tính tổng n SH đầu
tiên của CSC.

Yêu cầu hs làm H4, H5- SGK.

* HS quan sát bảng như trong
SGK để thấy tổng 2 số trong cùng
một cột luôn bằng nhau và bằng
(u1 + u n ).

HS suy nghĩ và trả lời.
Hai hs trình bày trên bảng.

S17 =17.(-2 + 16.1) = 238

+ Nếu làm trong3 năm trở lại
thì theo ph / án 1 ; nếu làm hơn 3
năm thì nên theo ph / án 2

4.CỦNG CỐ: + Lý thuyết cũng cố từng phần trong quá trình dạy học .

+ Bài tập: Tìm cơng sai d và tổng S11 của CSC biết SH đầu u 1 = 3 và SH cuối u11 = 43 ?
5. DĂN DÒ : Học bài , làm các bài tập SGK 19 -> 28 Tr 114,115 .

<b>TIẾT 53: BÀI TẬP.</b>
1. Ổn định lớp

2. Kiểm tra bài cũ : + Định nghĩa dãy số ?

+ Hãy nhắc lại tính chất, SHTQ của CSC và cơng thứ tính tổng n SH đầu tiên của CSC.
3. Bài mới:

HĐ 1: BT ở SGK.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

BT 23- SGK.
BT 24- SGK.
BT 25- SGK.

Đs: d= -3; u = 5 - 3n
BT 28- SGK.

Đs: 30 ; 60 ; 90

Bt 27: hs đứng tại chỗ nêu câu
trả lời.

Gọi hs nêu cách giải, sau đó gọi
lần lượt hai hs trình bày lời giải

trên bảng.

Gọi hs khác nxét và rút kinh
nghiệm.

Hs trả lời câu hỏi.

Trình bày lời giải trên bảng.

HĐ 2: BT bổ sung- các dạng BT khác.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

Đề bài. Ghi đề bài lên bảng.

Gọi hs nêu cách giải đối với
từng bài.

Trình bày lời giải trên bảng :
BT 1 và 5.

Hs trả lời câu hỏi.

Trình bày lời giải trên bảng.

BT bổ sung:

1/ Cho CSC (u ) có u -u = 9, u + u = 153. Xđ SH đầu và công sai của CSC đó?.
2/ Cho CSC (u ) có 5 SH, biết u = 3, u = 7. Tìm u , u , u ?.

3/ Tính tổng tất cả các SH của một CSC có u = 102, u= 105 và SH cuối bằng 999.
4/ Cho CSC (u ) có u + u = 90. Tính S ?.

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>§ 4. CẤP SỐ NHÂN</b>
I. . MỤC TIÊU:

1. Về kiến thức : Giúp HS : Nắm vững khái niệm CSN ;
- Nắm được TC đơn giản về ba SH liên tiếp của một CSN ;

- Nắm vững công thức xác định SHTQ và cơng thức tính tổng n SH đầu tiên của một CSN .
2. Về kĩ năng : Giúp HS : Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một CSN ;

- Biết cách tìm SHTQ và cách tính tổng n SH đầu tiên của một CSN trong các trường hợp không phức tạp
- Biết vận dụng các kết quả lý thuyết đã học để giải quyết các bài toán đơn giản liên quan đến cấp số
nhân ở các môn học khác , cũng như trong thực tế cuộc sống .

3. Về tư duy và thái độ : Biết khái quát hoá, tương tự. Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi .
II. CHUẨN BỊ :

1. Giáo viên: SGK, Giáo án. Bảng tóm tắt nội dung của bài tốn mở đầu và bài toán nêu trong mục Đố vui
2. HS: Học thuộc bài cũ. Xem trước bài CSN, SGK, dụng cụ học tập .

III. PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Phát hiện và giải quyết vấn đề .
IV. TIẾN TRÌNH BÀI DẠY:

<b>TIẾT 54:</b>
1. Ổn định lớp
2. Kiểm tra bài cũ :
+ Định nghĩa CSC ?

+ Một CSC có 11 SH .Tổng các SH là 176. Hiệu giữa số hạng cuối và SH đầu 30 . Tìm CSC đó ?
3. Bài mới:

HĐ 1: Bài tốn mở đầu:

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

+ Với mỗi số nguyên dương n ,ký
hiệu u n là số tiền người đó rút
được (gồm cả vốn lẫn lãi) sau n
tháng kể từ ngày gửi .Ta có :
u 1 = 10 7_{.1,004 ;}

u 2 = u 1 .1,004 ;

u 3 = u 2 .1,004 ; ...
u n = u n - 1.1,004 .

Tổng quát , ta có :

u n= u n - 1 . 1,004  <i>n</i> 2

GV treo bảng phụ tóm tắt nội
dung của bài tốn mở đầu :
...Giả sử có 1 người gửi 10
triệu đồng với kỳ hạn một
tháng vào ngân hàng nói trên
và giả sử lãi suất của loại kỳ
hạn này là 0,04%.

a) Hỏi nếu 6 tháng sau , kể từ
ngày gửi , người đó đến ngân
hàng để rút tiền thì số tiền rút
được (gồm cả vốn và lãi ) là
bao nhiêu ?

b) Cùng câu hỏi như trên , với
thời điểm rút tiền là 1 năm kể
từ ngày gửi ?

* Gọi HS làm câu a) . Sau
đó gọi HS khác trả lời câu b) .

* Nxét TC dãy số (u n) nói
trên ?

* Tổng quát dãy số (u n)
được gọi là CSN khi nào ?

Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu
u n là số tiền người đó rút được (gồm
cả vốn lẫn lãi) sau n tháng kể từ ngày
gửi . Ta có :

u 1 = 10 7 _{+ 10}7_{.0,004 = 10}7_{.1,004 ;}
u 2 = u 1 + u 1 .0,004 = u 1 .1,004 ;
u 3 = u 2 + u 2.0,004 = u 2 .1,004 ; ...
u n = u n - 1 + u n - 1.0,004 = u n -1.1,004

Tổng quát , ta có :

u n= u n -1 + u n - 1.0,004 = u n - 1.1,004

2

<i>n</i>

 

a) Vậy sau 6 tháng người đó rút được
u 6 = ? u 5 .1,004

b) Sau 1 năm người đó rút được :
u 12 = ? u 11 .1,004

+ Kể từ SH thứ hai , mỗi SH đều
bằng tích của SH đứng ngay trước nó
và 1,004 .

+(u n) là CSN   <i>n</i> 2, <i>un</i> <i>un</i>1.<i>q</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS
1/ Định nghĩa:

(u n) là CSN   <i>n</i> 2,<i>un</i> <i>un</i>1.<i>q</i>
( q là số không đổi , gọi là công
bội của CSN )

Cho hs tổng quát thành ĐN. Hs đứng tại chỗ nêu ĐN CSN.

Ví dụ 1: SGK Tr 116

H1: Trong các dãy số sau , dãy nào
là CSN ? Vì sao?

a) 4 ; 6 ; 9 ; 13,5 .

b) -1,5 ; 3 ; -6 ; -12 ; 24 ; - 48 ; 96 .
c) 7 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 .

Ví dụ 2:( bt43a) Cho ds (u n) xđ
bởi: u = 1; u = 5u + 8,  n  1.
CMR ds (v ), với v = u + 2, là một
CSN. Hãy tìm sh đầu và cơng bội
của CSN đó.

ĐS: v = 3.5

GV cho vdụ để HS củng cố ĐN.
Gv nêu H1 ở SGK để hs vận dụng
ĐN.

* PP c/minh dãy số là CSN ? Áp
dụng ?

?. Dựa vào đn, để cm ds (u n) là
một CSN thì ta phải chứng tỏ được
điều gì.

?. Từ cơng thức xđịnh ds (v ), hãy
tìm sh đầu, cơng sai và cơng bội
của CSN đó.

a) Dãy số là CSN ; vì kể từ SH
thứ hai , mỗi SH đều bằng SH
đứng ngay trước nó nhân với 1,5 .

b) không là CSN .

c) là CSN , công bội q = 0 .

HS trả lời.

HĐ 3: Tính chất.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

2/ Tính chất

Định lý 1:

Nếu (u n) CSN thì
u k2_{= u k - 1 .u k +1 ,}_{ }<i>k</i> 2

Từ VD1b) sau đó là 1a) cho HS
nxét kể từ SH thứ hai , bình
phương của mỗi SH (trừ SH cuối
đ/v CSN hữu hạn) liên hệ thế nào
với hai SH kề nó trong dãy ?

* Hãy phát biểu TC nêu trên
?C/m:Gọi q là công bội của CSN

(u n) .Xét 2 trường hợp :
+ q = 0 : hiển nhiên .

+ q _{0 : Viết u k qua SH đứng}
trước và ngay sau nó ?

HS trả lời.

+ Nếu (u n) CSN thì
u k2_{= u k - 1 .u k +1 ,}_{ }<i>k</i> 2

+ u k = u k - 1 . q (<i>k</i> 2₎

1
<i>k</i>
<i>k</i>

<i>u</i>
<i>u</i>

<i>q</i>




(<i>k</i> 2₎

Nhân các vế tương ứng , ta có
đpcm

H2: Có hay khơng CSN (u n) mà u
99= -99 và u 101 = 101 ?

Ví dụ 3: ( BT31)Cho CSN (u ) có
cơng bội q<0, biết u = 4 và u = 9 ,
hãy tìm u ?.

Gọi hs trung bình trả lời câu hỏi.
Gọi hs TBkhá trả lời câu hỏi.

+ Khơng tồn tại , vì nếu ngược lại
ta có: u 2_{100= u 99.u101= -99 .101<0}
ĐS: u =

HĐ 4: Số hạng tổng quát.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

3. Số hạng tổng quát. * Từ bài toán mở đầu , biểu
diễn các SH un (<i>n</i>2_{) theo u1}
và công bội q = 1,004 ?

u 1 = 10 7_{.1,004 ; u 2 = u 1 .1,004 ;}
u 3 = u 2 .1,004 = u 1 .(1,004)2_{; un=}
u n -1.1,004 = u1.(1,004) n - 1_,_{ }<i>n</i> 2

ĐL 2: cho CSN có số hạng đầu u1

và cơng bội q ≠ 0 thì SHTQ là:
un= u1.(q ) n - 1_,_{ }<i>n</i> 2

* Tổng quát CSN (u n) có SH
đầu u 1 và cơng bội q _{0 có}
SHTQ

u n = ?

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Ví dụ 4: Từ bài tốn mở đầu , tìm
u 6 và u 12 ?

H3 : SGK Tr 119 .

*Gọi HS đứng tại chỗ giải

Có thể gợi ý xét sự tương
đồng giữa BT này và BT mở
đầu để làm

+ u n= 10 7_{.1,004.(1,004)}n - 1
= 10 7_.(1,004)n _,_{ }<i>n</i> 1
Thay n = 6; n = 12 để tính kquả.
+ u n = 3.10 6_{.(1 + 0,02)}n

= 3.10 6_{. (1,002)}n_.

Sơ kết tiết học: GV nhấn mạnh các cơng thức trong ĐN, tính chất, SHTQ của CSN; Yêu cầu hs về nhà

đọc tiếp nội dung còn lại của bài học.

<b>TIẾT 55: tiếp theo.</b>
1. Kiểm tra bài cũ:

+ Hãy nhắc lại ĐN cấp số nhân?. Nêu tính chất và cơng thức SHTQ của CSN?.

+ Áp dụng: Cho CSN (u n) có cơng bội q > 0, biết u = 4, u =1. Hãy xđịnh SHTQ của CSN đó?.
2. Bài mới.

HĐ 1: Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

4. Tổng n số hạng đầu tiên của
cấp số nhân.

ĐL3: Nếu (u n) là CSN có SH đầu
u 1 với cơng bội q _{1 thì S n là :}

S n = 1
1
.

1
<i>n</i>

<i>q</i>
<i>u</i>

<i>q</i>



 _{, q}_₁

* CSN (u n) có SH đầu u 1
và cơng bội q .Mỗi số nguyên
dương n , gọi S n là tổng n SH
đầu tiên của nó . Tính S n ?.
(S n = u 1+u 2+...+ u n )
Khi q = 1 , khi q _{1 ?}

+ Khi q = 1 thì u n= u 1 và S n= n.u 1.
+ Khi q _{1 :}

q S n = u 1+ u 2+ . . . + u n+ u n + 1
S n - q S n = u 1 - u n + 1 = u 1(1 - q n ₎
(1 - q) S n = u 1 (1 - q n _{) với q}__{1 .}
Suy ra đpcm .

Ví dụ 5: CSN (u n) có u 3 = 24 ,
u 4 = 48 . Tính S 5 ?

* Tính S 5 ta phải tìm gì ? + Tìm u 1 và q ;
u 1 = = 2

24 = u3 = u 1.22_ _{u1= 6; S5 = 186}
* ĐỐ VUI: GV treo bảng phụ đã chuẩn bị

sẵn lên bảng .

* Đây là CSN có u 1 và q là
bao nhiêu ?

a) Số tiền mà nhà tỉ phú phải
trả cho nhà toán học sau 30
ngày ?

b) Số tiền mà nhà toán học đã
bán cho nhà tỉ phú sau 30 ngày
?

c) Sau cuộc mua - bán nhà tỉ
phú "lãi" ?

+ Gọi u n là số tiền mà nhà tỉ phú phải
trả cho nhà tốn học ở ngày thứ n .Ta
có u 1 = 1 và q = 2 .

a) S 30 =

30
1

1

. 1073741823

1

<i>q</i>
<i>u</i>

<i>q</i>





b) Số tiền mà nhà toán học đã bán
cho nhà tỉ phú sau 30 ngày :

10.106_{.30 = 300.000.000 (đồng) .}
c) Sau cuộc mua - bán nhà tỉ phú "lãi"
:

300.000.000 - 1.073.741.823
= - 773.741.823 (đ)

HĐ 2: CỦNG CỐ :

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

1)Tìm cơng bội q và tổng các
SH của CSN hữu hạn , biết SH đầu
u 1 = 2 và SH cuối u 11 = 64 ?

Bài 32 SGK Tr 121 .
ĐS: 2; 1 ; ; ; ;

Bài 34 SGK Tr 121 .

+ Lý thuyết cũng cố từng
phần trong q trình dạy học , GV
có thể cũng cố lại nhanh theo dàn
bài có sẵn trên bảng .

+ Bài tập: Yêu cầu hs giải các
btập ở sgk.

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

ĐS: u = -5.(-3)
Bài 36 SGK Tr 121 .
ĐS: a/ n = 8; S = 59 040
b/ q = ; n = 13; S =

Bài 37 SGK Tr 121 .

ĐS: q = 2; CSN: 24, 48, 96, 192

3. HƯỚNG DẪN LÀM BÀI TẬP :

Học thuộc bài CSN , làm các bài tập SGK 33 - 43 Tr 121,122 .

<b> TIẾT 56 : LUYỆN TẬP </b>
I/ Mục tiêu:

1. Kiến thức: Giúp cho HS: Củng cố và tổng hợp các kiến thức cơ bản về CSC và CSN thông qua các bài tập
2. Kĩ năng: Vận dụng được các kiến thức đã học về hai loại dãy số đặc biệt để giải quyết một số bài tập liên

quan.

3. Thái độ, tư duy:

- Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi.
- Tư duy: phát triển tư duy logic, lên hệ trong thực tế.

II/ Chuẩn bị của thầy và trò:

1. Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT.
2. HS: Học bài và chuẩn bị bài tập ở nhà.

III/ Phương pháp giảng dạy: Gợi mở vấn đáp kết hợp các hoạt động.
IV/ Tiến trình bài học:

1/ Ổn định tổ chức:
2/ Kiểm tra bài cũ:

?. Nêu đn, TC, SHTQ, tổng n SH đầu của CSC và CSN.
3/ Bài mới:

HĐ 1: BT 38 ở SGK.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

+ a: sai
b: đúng
c: sai.

+ Gọi HS làm tại chỗ bài 38

a)Sai. Vì 1<i>_b−</i>1
<i>a≠</i>

1

<i>c−</i>

1

<i>b</i>

b) Đúng. Dễ dàng c/m được

(

1<i>b</i>

)

2

=1

<i>a</i>.

1

<i>c</i>

c) Sai. Vì

1+<i>π</i>+<i>π</i>2+. ..+<i>π</i>100=1

(

1<i>− π</i>

101

₎

1<i>− π</i> .

HĐ 2: BT 38 ở SGK.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

x+6y ; 5x+2y ; 8x+y là CSC
x-1 ; y+2 ; x-3y là CSN.
Tìm x,y.

ĐS: x =-6; y =-2

+ Từ giả thiết hãy rút ra
quan hệ giữa các biểu thức
rồi tìm x,y

*2(5x+2y) = (x+6y) + (8x+y)

<i>⇔</i> x = 3y (1)

* (y+2)2 _{= (x-1)(x-3y) (2)}

Giải bằng pp thế ta có: x =-6 và y =-2

HĐ 3: BT 40 ở SGK.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

<i>Bài 40: </i>+(un) là CSC với d 0.

+ u1.u2; u2.u3; u3.u1 lập thành CSN
với q 0. Tìm q.

+ Gọi HS nói cách làm sau đó
GV hướng dẫn để các em làm
ở nhà.

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

HD:

Nhận thấy u1.u2 0 vì nếu ngược
lại thì hai trong ba số u1, u2, u3 bằng
0 (sẽ mâu thuẫn với gt CSC có d

0). Ta thấy q 1.
¿

<i>u</i>2<i>u</i>3=<i>u</i>1<i>u</i>2<i>q</i>

<i>u</i>₃<i>u</i>₁=<i>u</i>₁<i>u</i>₂<i>q</i>2
<i>⇒</i>
¿<i>u</i>₁=<i>u</i>₂<i>q</i>

<i>u</i>₃=<i>u</i>₂<i>q</i>2
¿{

¿

Kết hợp (un) là CSC nên:
2u2 = u2q + u2q2_(u2 ₀₎

<i>⇔</i> q2 _{+ q - 2 = 0} <i>_⇔</i> _{q =-2}
(loại q 1).

HĐ 4: BT 41 ở SGK.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

<i>Bài 41:</i>

* u1, u2, u3 lập thành CSC với
d 0;

* u2, u1, u3 lập thành CSN. Tìm q.
HD:

Lập luận để có q 0,1 và u2
0.

Ta có q2_{+ q - 2 = 0} <i>_⇔</i> _{q = -2}
(loại q 1).

+ Gọi hs lập luận để suy ra
q {0,1} và u2 0

+ HS trả lời.

HĐ 5: BT 41 ở SGK.

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

Gọi u1, u2, u3 là 3 SH của CSN theo
thứ tự đó, q là cơng bội.

Gọi d là cơng sai của CSC nói
trong đề.

Dễ dàng thấy u1 0.

…(tiếp tục phần giải của hs)

+ Lập các mối liên hệ giữa u1,
u2, u3

<i>u</i>2=<i>u</i>1<i>q</i>=<i>u</i>1+3<i>d</i>(1)

<i>u</i>₃=<i>u</i>₂<i>q</i>=<i>u</i>₂+4<i>d</i>(2)
<i>u</i>₁+<i>u</i>₂+<i>u</i>₃=148

9 (3)

Từ (1), (2) <i>⇒</i>

<i>u</i>₁(<i>q −</i>1)=3<i>d</i>
¿

<i>q −</i>1

<i>u</i>₂(_¿)₌4<i>d</i>

¿{

¿
TH1: q = 1 <i>⇒</i> u1 = u2 = u3
=148/27 và d = 0.

TH2: q 1: <i>⇒</i> q = u2/u1 = 4/3
( kết hợp (3))

<i>⇒</i> u1 = 4; u2 = 16/3; u3 = 64/9 và
d = 4/9.

<i>Giải:</i> un = 1 và un+1 = 5un + 8;
vn = un + 2.

a) vn+1 = un+1+ 2 = 5un + 8 + 2
= 5(un+2) = 5vn

Vậy (vn) là CSN với

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

v1 = u1 + 2 = 1+2 = 3 ; q = 5
SHTQ: vn = v1qn-1 _{= 3.5}n-1_.
b) un = vn-2 = 3.5n-1_-2.

4/ Củng cố: Nắm được các công thức và cách áp dụng. Chú ý kết quả bài 24.
5/ Bài về nhà:

1. Ôn lại tất cả kiến thức của chương III, lập bảng tóm tắt đối với mỗi bài trong chương.
2. Bài tập thêm:

1/ Cho dãy số (un) với u1 = m và un+1 = aun + b ( m, a, b là hằng số, a {0,1}).
a) Tìm số c sao cho dãy số (vn) với vn = un + c là CSN với q = a.

b) Tìm SHTQ của dãy (un).

c) Áp dụng: Tìm SHTQ của dãy (un) với : u1 = 1 và un+1 = 9un + 8.
HD:

a) vn+1 = a.vn = a(un + c). Mặt khác vn+1= un+1 + c = (aun + b) + c.

<i>⇔</i> a(un + c) = (aun + b) +c <i>⇔</i> ac = b + c <i>⇔</i> <i>c</i>= <i>b</i>

<i>a −</i>1

b) <i>v_n</i>=<i>v</i>₁<i>qn −</i>1=

[

<i>m</i>+ <i>b</i>

<i>a −</i>1

]

.<i>a</i>

<i>n−</i>1<i>_⇒</i>

<i>u_n</i>=<i>v_n− c</i>=

[

<i>m</i>+ <i>b</i>

<i>a −</i>1

]

.<i>a</i>

<i>n −</i>1

<i>−</i> <i>b</i>
<i>a −</i>1

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

<b>TIẾT 57- 58 : ÔN TẬP CHƯƠNG III</b>
I/ Mục tiêu:

1/ Kiến thức: Giúp cho HS: Củng cố và tổng hợp các kiến thức cơ bản về dãy số, CSC và CSN thông qua các

bài tập

2/ Kĩ năng: Vận dụng được các kiến thức đã học về dãy số và hai loại dãy số đặc biệt để giải quyết một số
bài tập liên quan.

3/ Thái độ, tư duy:

+ Thái độ: tích cực tiếp thu kiến thức, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi.
+ Tư duy: phát triển tư duy logic, lên hệ trong thực tế.

II/ Chuẩn bị của thầy và trò:

1/ Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT.
2/ HS: Học bài và chuẩn bị bài tập ở nhà.

III/ Phương pháp giảng dạy: Gợi mở vấn đáp kết hợp các hoạt động.
IV/ Tiến trình bài học:

1/ Ổn định tổ chức:
2/ Nội dung:

I.Phần lý thuyết :

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Để CM một mệnh đề chứa biến A(n) là mệnh đề đúng _nN_{* bằng PP quy nạp ta tiến hành 3 bước}

Bước 1: CM : A(n) là mệnh đề đúng khi n=1

Bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ n=k (1_n_{k) ta CM nó cũng đúng với n=k+1}

Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng với _n_{1; n}N_*

Chú ý: Trong tường hợp phải CM một mệnh đề đúng với _n_{p (p}<i>N</i>_*)
Bước 1: CM: mệnh đề đúng với n=p

Bước 2: giả thiết mệnh đề đúng với tự nhiên n=k (k_{p) ta CM nó đúng với n=k+1}
Bước 3: Kết luận mệnh đề đúng _n_{p; n}<i>N</i>_*

Bài 2: Dãy số
1.Định nghĩa:

a/ mỗi hàm số u, xác định trên tập số tự nhiên N* gọi là dãy số vô hạn (dãy số)
u: N_* R

n _u(n)

Đặt u(n)= <i>Un</i>_{gọi là số hạng tổng quát của dãy}

b/ với mỗi hàm số u xác định trên M={1,2,3,…,m} m<i>N</i>_{* gọi là dãy hữu hạn}
2. Cách cho 1 dãy số

_ Bằng công thức của số hạng tổng quát
_ Bằng phương pháp mô tả

_ Bằng công thức truy hồi
_ Bằng cách diến đạt bằng lời

3. Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy không đổi
_ Định nghĩa

_ Phương pháp khảo sát tính tăng giảm, khơng đổi
+ Xét hiệu H= <i>Un</i>1-<i>Un</i>

+ Nếu H>0_n<i>N</i>_{* thì dãy tăng}
+ Nếu H<0_n<i>N</i>_{* thì dãy giảm}
+ Nếu H=0_n<i>N</i>_{* thì dãy khơng đổi}
+ Nếu <i>Un</i>_>0_n<i>N</i>_{*. Lập tỉ số}

1
<i>n</i>

<i>n</i>

<i>U</i>
<i>U</i>



+ Nếu
1
<i>n</i>

<i>n</i>

<i>U</i>
<i>U</i>



>1 _n<i>N</i>_{* thì dãy tăng}

+ Nếu

1
<i>n</i>

<i>n</i>

<i>U</i>
<i>U</i>



</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

+ Nếu
1
<i>n</i>

<i>n</i>

<i>U</i>
<i>U</i>



=1 _n<i>N</i>_{* thì dãy không đổi}
4. Dãy số bị chặn:

a/ ĐN: Dãy số bị chặn trên ; Dãy số bị chặn dưới; Dãy số bị chặn
b/ Xét tính bị chặn

B1: chỉ ra dãy bị chặn trên bởi số M

B2: chỉ ra dãy bị chặn dưới bởi số m
B3: Kết luận

Bài 3: Cấp số cộng

1.ĐN: <i>Un</i> là cấp số cộng khi và chỉ khi _n_{2 :}<i>Un</i>=<i>Un</i>1+d ; Số khơng đổi d gọi là cơng sai

2. Tính chất: <i>Uk</i>₌

1 1
2
<i>k</i> <i>k</i>

<i>U</i> _ <i>U</i> _

(k₂₎

3. Số hạng tổng quát : <i>Un</i>₌<i>U</i>1_{+(n-1)d (n}₂₎

4. Tổng n số hạng đầu tiên của CSC:<i>Sn</i>₌<i>U</i>1₊<i>U</i>2₊<i>U</i>3_+…+<i>Un</i>₌2

<i>n</i>

[<i>U</i>1₊<i>Un</i>_]=2

<i>n</i>

[2<i>U</i>1_{+ (n-1)d],}__n<i>N</i>_*
Bài 4: Cấp số nhân

1. Định nghĩa: (<i>Un</i>_{) là cấp số nhân} _n_2:<i>Un</i>₌<i>Un</i>1.q ; Số không đổi gọi là công bội.
2.Tính chất: <i>Uk</i>2=<i>Uk</i>1.<i>Uk</i>1 (k2)

3. Số hạng tổng quát của cấp số nhân (q_0):<i>Un</i>₌<i>U</i>1_.<i>qn</i>1

4. Tổng n số hạng đầu tiên (q_{1) :}<i>Sn</i>=

1(1 )
1

<i>n</i>

<i>U</i> <i>q</i>
<i>q</i>




Chú ý: Khi q=1 thì <i>Sn</i>= n. <i>U</i>1 (vì q=1 thì <i>U</i>1=<i>U</i>2=….=<i>Un</i>)
II. Phần bài tập bổ sung:

Bài 1: CMR với mọi số nguyên dương n ta có:
a, 3 + 9 + 27 + … + 3<i>n</i>=

1
2₍₃<i>n</i>1

-3)

b, (3.12 + 3.1 + 1) + (3.22+ 3.2 + 1) +…+(3.<i>n</i>2+ 3n + 1) = (<i>n</i>1)3-1

Bài 2: CMR_n<i>N</i>_{* thì số (}7<i>n</i>_{+ 3n-1) chia hết cho 9}

Bài 3: CMR_n<i>N</i>_{* ta ln có:}
1
2_.

3
4_…

2 1

2

<i>n</i>
<i>n</i>


<

1
2<i>n</i>1
Bài 4: Cho dãy (<i>Un</i>_{) với}<i>Un</i>_{=1 + (n-1)}2<i>n</i>

a, Viết 5 số hạng đầu của dãy
b, Tìm cơng thức truy hồi

c, CM dãy số trên tăng và bị chặn dưới
Bài 5: Tìm x từ phương trình

a, 1 + 6+ 11 + 16 +…+ x = 970 biết 1; 6; 11;…; x là cấp số cộng

b, (x + 1) + (x + 4) + …+ (x + 28)= 155 biết 1; 4; 7;…; x là cấp số cộng

Bài 6: Cho dãy (<i>Un</i>_{) mà tổng n số hạng đầu tiên của nó ký hiệu}<i>Sn</i>_{được tính theo cơng thức:} <i>Sn</i>₌
(7 3 )

2

<i>n</i>  <i>n</i>

a, Hãy tính <i>U</i>1,<i>U</i>2,<i>U</i>3

b, Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy (<i>Un</i>)
c, CMR dãy (<i>Un</i>_{) là cấp số cộng}

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Bài 8: Tìm số hạng tổng quát của dãy (<i>Un</i>_{) biết (}<i>Un</i>_{) được xác định bởi}

0

1

1 1

2
3

3 2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>U</i>
<i>U</i>

<i>U</i> _ <i>U</i> <i>U</i> _








 _ _

 ₍_n₁₎

Bài 9: Dãy (<i>Un</i>) được xác định bởi :

1 2

1 1

2; 3

3 2

<i>n</i> <i>n</i> <i>n</i>

<i>U</i> <i>U</i>

<i>U</i> _ <i>U</i> <i>U</i> _

 




 

 ₍__n__{2) ; n}<i>N</i>_*

a, CMR dãy (<i>Vn</i>) với <i>Vn</i>= <i>Un</i>1-<i>Un</i> lập thành cấp số nhân
b, Lập cơng thức tính <i>Un</i>_{theo n}

c, Tính tổng <i>Sn</i>₌<i>U</i>1₊<i>U</i>2₊<i>U</i>3_+…+<i>Un</i>

Bài 10: Cho 3 số khác nhau có tổng bằng 13, theo thứ tự lập thành cấp số nhân, đồng thời chúng lần lượt là số
hạng đầu, số hạng thứ 3 và số hạng thứ 9 của cấp số cộng. Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu tiên của cấp số
cộng để tổng của chúng bằng 300 .

Bài 11: Dãy (<i>Un</i>_{) được xác định bởi : u = 6 và u = 3u - 11,}__n__1.
CMR n  1, ta có: u = +

Bài 12: Dãy (<i>Un</i>_{) được xác định bởi : u = 1 và u = 2u + 5,}__n__1.

a/ CMR dãy số (v ), với v = u + 5, là một CSN. Hãy xđịnh số hạng tổng quát của CSN đó.
b/ Hãy xđịnh SHTQ của dãy số (u ).

Bài 13:

a/ Cho CSC (u ) có u = 33, u = 65. Hãy tìm cơng sai và SHTQ của CSC đó.

b/ Cho CSC (u ) có u + u = 101. Hãy tính tổng 100 SH đầu tiên của CSC đó.
III/ Phần bài tập ở SGK

NỘI DUNG HĐ CỦA GV HĐ CỦA HS

BT 45: Gọi hs nêu cách làm, chỉ
định hs khá trình bày lời giải.

Vận dụng PPQN để CM bài toán.
BT 47:

a/
c/

Yêu cầu hs nhắc lại cách
CM dãy số là CSC hoặc CSN.

(u ) là CSC  u - u = d là hằng số.
(u ) là CSN  = q là hằng số.
BT 50: ?. Dãy số có tính chất nào

thì được xem là CSC đồng thời
là CSN

( Gọi hs trung bình trả lời)
Gọi hs TB đã chuẩn bị bài ở
nhà trình bàylời giải.

Dsố khơng đổi là CSC có cơng sai
d = 0, đồng thời là CSN có công bội
q = 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

KIỂM TRA VIẾT

1) (5đ) Cho dãy số (un) xác định bởi u1=

1

3

_{và un+1=}

1

; 1

3 <i>n</i>

<i>n</i>

<i>u</i> <i>n</i>

<i>n</i>



 

.

a) Tìm

<i>u</i>3

b) Chứng minh rằng :

<i>n</i> 3<i>n</i> ; 1.

<i>n</i>

<i>u</i>   <i>n</i>

c) CMR dãy số (un) là dãy số giảm và bị chặn

2)(3đ) Ba số khác nhau có tổng bằng 3 lập thành một CSN đồng thời các số hạng đó tương ứng

là số hạng thứ nhất, số hạng thứ chín và số hạng thứ năm của một CSC.

a) Tìm ba số đó

b) Cần bao nhiêu số hạng đầu tiên của CSC để tổng của chúng bằng

25

2

3)(2đ) Cho CSC (un) . Hãy tìm

<i>u</i>1

và d biết rằng

10 5

1 2 3
10

3

<i>u</i> <i>u</i>
<i>u</i> <i>u</i> <i>u</i>

 




</div>

<!--links-->