Đề cương Toán 9 - Học kỳ 2 - Nguyễn Văn Thắng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Đề cương toán 9 học kì 2. §Ò C¦¥NG TO¸N 9 HäC Kú II hệ phương trình bậc nhất hai ẩn I C¸c kiÕn thøc cÇn nhí Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng a x + by +c = 0 trong đó x, y là ẩn a, b, c là các hệ số ( a, b không đồng thời = 0) x  R NghiÖm tæng qu¸t  a c  y   b x  b ax  by  c a ' x  b ' y  c '. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng . trong đó x, y là ẩn a, b , c a’ ,b ‘ c’ là các hệ số trong đó a, b a’ , b;’ không đồng thời bằng 0 a b  a' b' a b c  HÖ v« sè nghiÖm khi   a' b' c' a b c    HÖ v« nghiÖm khi a' b' c'.  HÖ cã nghiÖm duy nhÊt khi.  Các cách giải – phương pháp thế - phương pháp cộng đại số - phương pháp đặt ẩn phụ Bài tập 1 Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thích hợp 2 x  11 y  7 a.  10 x  11 y  31 2 x  5 y  8 b.  2 x  3 y  0 0,3 x  0,5 y  3 e.  1,5 x  2 y  1,5. 3 x  2 y  1 c.  2 x  y  3 4 x  3 y  6 d. 2 x  y  4.  2 x  3 y  1  x  y  52  x  40   f .  x  y  28  y  12 2 x  2 y  2. Hướng dẫn và đáp số x  2 a,  y 1 x  1 d.  y  1 1,5 x  2,5 y  1,5 x  3   1,5 x  2 y  1,5  y  4, 2. 3  x  b.  2  y  1 0,3 x  0,5 y  3 e.  1,5 x  2 y  1,5.  6  2 x  2 x  3 2 y  2  2 x  3 y  1 2 2 x  3  8    f . 2 x  3 y  1  1  2 2 x  2 y  2 2 x  2 y  2  y  4. NguyÔn V¨n Th¾ng. 1 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đề cương toán 9 học kì 2. Bài tập 2 Giải các hệ phương trình sau 1 x   b.  1   x. 2( x  y )  3( x  y )  4 a.  ( x  y )  2( x  y )  5  1 x  2   c.   2   x  2. 1 4  y 5 1 1  y 5. 5  4  2 x  3 y  3x  y  2  d. 3  3   21  2 x  y 2 x  3 y. 1 2 y 1 3 1 y 1. 5  4  2 x  3 y  3x  y  2 1 1 ;v  d. d .  §Æt u  3 3x  y 2x  3y  3   21  2 x  y 2 x  3 y 1 7   u x   4u  5v  2   3 66    3u  5v  21 v  1 y  2   2 11  x  (3  m) y  0 Bài tập 3 Cho hệ phương trình  víi m lµ tham sè (m  2) x  4 y  m  1. a. Giải hệ phương trình khi m=-1 b. Giải và biện luận hệ phương trình Bài 4 Cho hệ phương trình m. 7  33 7  33 ; m 2 2. mx  2my  10  (1  m) x  y  0. a. Giải hệ phương trình với m= -2 b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (m  1) x  y  3m  4  x  (m  1) y  m. Bài 5 Cho hệ phương trình . a. Giải hệ phương trình với m= -1 b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x+y=3 mx  y  2 m≠0 3 x  my  5. Bài 6 Cho hệ phương trình . a. Giải hệ phương trình với m = 2 b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn x+y < 1 Hưóng dẫn và đáp số Ba× 4 a. Víi m=-2 hÖ cã nghiÖm ( x, y)= ( -1;3) c. Tư phương trình 2 ta có y= (m-1) x→x,m(2n-1)=-10 10   x  m(1  2m) m ≠ 0 ;m ≠ 0,5 hÖ cã nghiÖm duy nhÊt   y  (m  1)10  m(1  2m). NguyÔn V¨n Th¾ng. 2 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Đề cương toán 9 học kì 2. Bài 5 a, m=-1 hệ phương trình có nghiệm x=5; y= 3 3m  2   x  m c. m ≠ 0 và m ≠ 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất  y  m  2  m 3m  2 m  2   3  m  4 (tm®k) x+ y =3  m m 2 2 5 5 2 6 Bài 6 a. Với m = 2 hệ phương trình có ghiệm x= ,y= 5 5 2m  5   x  m 2  3 b.Với mọi m hệ phương trình có nghiệm duy nhất   y  5m  6 m2  3  để x+ y < 1  m 2  7m  4 >0 7  33 7  33 m ; m 2 2. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình C¸ch gi¶i B1: Lập hệ phương trình -Chọn 2 ẩn thích hợp và đặt điều kiện cho ẩn -Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết -Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ các đại lượng B 2 Gải hệ phương trình trên B 3 Kiêm tra xem các nghiệm của hệ phương trình có thoả mãn điều kiÖn víi bµi to¸n vµ kÕt luËn VD 1 Lo¹i I ( To¸n t×m sè ,ch÷ sè) Tìm số tự hiên có hai chữ số biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 1 đơn vị và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số mới ( có hai chữ số) bế hơn số cũ là 27 đơn vÞ BG Gäi ch÷ sè hµng chôc cÇn t×m lµ x ch÷ sè hµng d¬n vÞ lµ y § kiÖn x, y nguyªn vµ 0< x, y ≤9 Khi đó số cần tìm là 10x+ y Khi viết theo thứ tự ngược lại ta có số 10y+ x Theo bài ta có phương trình 2y – x= 1 hay –x+2y =1(1) Theo ®iÒu kiÖn sau cña bµi ta cã (10x+y)-(10y+x)=27  x-y= 3(2)  x  2 y  1  x  7 (tm®k)  x  y  3 y  4. Từ đó ta có hệ  . VËy sè ph¶i t×m lµ 74. NguyÔn V¨n Th¾ng. 3 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Đề cương toán 9 học kì 2. Bµi tËp ¸p dông Bµi tËp 1 Tæng hai sè b»ng 59 .Hai lÇn sè nµy h¬n 3 lÇn sè kia lµ 7 ,T×m hai sè Bài tập 2 Cho một số có hai chữ số .Nếu đổi chỗ hai chữ số ấy cho nhau được một số mới lớn hơn số đã cho là 63 .Tổng của ssố đã cho và mới tạo thành là 99.Tìm số đã cho Hướng dẫn Bµi 1 Gäi hai sè ph¶i t×m lµ x,y ®k x, y nguyªn vµ 1≤x,y≤9 Theo ®iÒu kiÖn cña bµi ta cã hÖ.  x  y  59  x  34 (tm®k)   3 x  2 y  7  y  25. VËy hai sè cÇn t×m lµ 34, 25 Bµi 2 Gọi chữ số hàng chục là x chữ số hàng đơn vị là y đk x, y nguyên và 1≤x,y≤9 số đã cho là 10x+ y, số mới tạo thành là 10y+ x  x  y  7 x  1 (tm®k)  x  y  9 y  8. Theo bài ra ta có hệ phương trình . VËy sè ph¶i t×m lµ 18 Loại II (Toán chuyển động) VD 2 : Một ô tô và một xe đạp chuyển động từ hai đầu quãng đường sau 3 giê th× gÆp nhau .NÕu ®i cïng chiÒu vµ xuÊt ph¸t cïng mét lóc cùng một địa điểm sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km . Tìm vận tốc của mçi xe biÕt qu·ng ®­êng lµ 156 km BG Gäi vËn tèc cña « t« lµ x km/h vận tốc xe đạp là y km/h § kiÖn x> 0; y> 0 Sau 3h ô tô đi được 3x km còn xe đạp đi được 3y km Theo bài ta có phương trình 3x+3y=156  x+ y = 52(1) theo điện sau của bài ta có phương trình x- y = 28(2)  x  y  52  x  40 ( tm ®k)   x  y  28  y  12. Từ đó ta có hệ  . VËyvËn tèc cña « t« lµ 40 km/h vận tốc xe đạp là 12 km/h Bµi tËp ¸p dông Bµi tËp 1 Hai ®iÓm A ;B c¸ch nhau 150 km vµ hai « t« khëi hµnh cùng 1 lúc đi ngược chiều nhau .Gặp nhau ở vỉt5í C cách A 90 km .Nếu vận tốc vận tốc vẫn không đổi nhưng ô tô đi từ B đi trước ô tô đi tõ A 50 phót th× hai xe gÆp nhau ë chÝnh gi÷a qu·ng ®­êng .T×m vËn tèc cña mçi xe? Bài tập 2 Bác Toàn đạp xe từ xã về làng cô Ba đạp xe từ làng lên xã .Hä gÆp nhau khi b¸c Toµn ®i ®­îc 1,5 giê cßn c« Ba ®i ®­îc 2 giê NguyÔn V¨n Th¾ng. 4 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Đề cương toán 9 học kì 2. .Một lần khác cũng từ hai địa điểm trên nhưng họ khởi hành đồng thời sau 1h15’ họ còn cách nhau 10,5 km .Tìm vận tốc của mỗi người? Hướng dẫn Bµi1 Gäi vËn tèc cña « t« ®i tõ A lµ x km/h vËn tèc cña « t« ®i tõ Blµ ykm/h §k x,y > 0 Theo®iÒu kiÖn bµi ta cã p t 90 60 3 2    x y x y. Theo ®iÒu kiÖn sau ta cã pt. 75 75 5   x y 6  75 75 5 x  y  6  x  45  Từ đó ta có hệ  (tm®k)  y  30 3  2  x y. VËy vËn tèc cña « t« ®i tõ A lµ 45 km/ h vËn tèc cña « t« ®i tõ Blµ 30 km/ h Bµi 2 Gäi vËn tèc cña b¸c Toµn lµ x km/h vËn tèc cña c« Ba lµ y km/h §k x,y > 0 Theo®iÒu kiÖn bµi ta cã p t 1,5x +2y = 38 Theo ®iÒu kiÖn sau ta cã pt 5 5 x  y  27,5  x  y  22 4 4. 1,5 x  2 y  38  x  13 (tm®k)   x  y  22  y  10. Từ đó ta có hệ . VËy vËn tèc cña b¸c Toµn lµ 12km/h vËn ý«c cña c« Ba lµ 10 km/h Lo¹i III to¸n n¨ng suÊt VD 1 Hai c«ng nh©n cïng s¬n cöa mét c«ng tr×nh trong 4 ngµy th× xong .Nếu ngưpừi thứ nhất làm một mình 9 ngày rồi người thứ hai làm tiếp 1ngày nữa thì xong việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình bao lâu thì xong viÖc? BG Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x ngày ( x> 4) thời gian người thứ hai một mình xong công việc là yngày ( y> 4). NguyÔn V¨n Th¾ng. 5 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Đề cương toán 9 học kì 2 1 x. Một ngày người thứ nhất làm được Một ngày người thứ hai làm được Theo bµi ta cã p t. c«ng viÖc. 1 c«ng viÖc y. 1 1 1   x y 4. Theo diều kiện sau của bài ta có phương trình 9 x  Từ đó ta có hệ  1   x. 9 1  1 x y. 1 1 y  x  12  (tmđk) Giải hệ bằng p2 đặt ẩn phụ 1 1 y  6  y 4. Vậy người thứ nhất làm một mình xong việc hết 12 ngày người thứ hai làm một mình hết 6 ngày Bài tập 1 Hai người cùng làm chung một công việc trong 4 ngày thì xong . Nếu người thứ nhất làm 3h người hai làm 6 h thì hoàn thành 0.25 công việc . Hỏi nếu làm riêng mỗi người hoàn thành công việc đó trong bao lâu ? Hướng dẫn Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành cv là x h người thø hai lµ y h §k x; y > 0 Một giờ người thứ nhất làm được. 1 cv x. 1 cv y 1 Một giờ cả hai người làm được cv 16 3 6 1 x  y  4  x  24 1 1 1    Ta có phương trình   y  48 x y 16 1  1  1  x y 16. Một giờ người thứ hai làm được. 3 giờ người thứ nhất làm được 6 giờ người thứ hai làm được. 3 cv x 6 cv y. Theo điều kiện sau ta có phương trình 3 6 1   x y 4. NguyÔn V¨n Th¾ng. 6 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Đề cương toán 9 học kì 2 3 x  Từ đó ta có hệ  1   x. 6 1  y 4  x  24  1 1  y  48  y 16. Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc là 24 h; người thứ hai là 48 h *********************************************************** ***** Chuyên đề 4. hµm sè y= a x2 (a ≠ 0) phương trình bậc hai một ẩn I KiÕn thøc cÇn nhí -Hµm sè y= a x2 (a ≠ 0) TH1 a >0 hàm số đồng biến khi x > 0 hµm sè nghÞch biÕn khi x < 0 TH2 a < 0 hàm số đồng biến khi x < 0 hµm sè nghÞch biÕn khi x > 0 - Đồ thị : là một pa ra bol nhận Oy là trục đối xứng NÕu a >0 cã bÒ lâm quay lªn vµy y= 0 lµ gi¸ trÞ nhá nhÊt NÕu a < 0 cã bÒ lâm quay xuèng vµ y= 0 lµ gi¸ trÞ lín nhÊt Sự tương giao giữa đồ thị hai hàm số y = a x2 (P ) và y= m x+ n (d) Ta xét phương trình hoành độ a x2 = m x +n - Nếu phương trình có hai nghiệm thì ( P) và (d) cắt nhau tại hai điểm - Nếu phương trình có nghiệm kép thì ( P) và (d) tiếp xúc nhau - Nếu phương trình vô nghiệm thì ( P) và (d) không giao nhau Phương trình bậc hai một ẩn a x2+ bx + c = 0 (a ≠ 0) Phương trình khuyết a x2+ bx = 0 a x2+ c = 0 a x2= 0 C¸ch gi¶i kh«ng dïng c«ng thøc nghiÖm Phương trình bậc hai đầy đủ dùng công thức nghiệm hoặc công thức nghiÖm thu gän HÖ thøc ViÐt vµ øng dông Nếu phương trình a x2+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 Khi đó x1 . 75 75 1  3, x2   4 4 2. x1  x2   x1 .x2 . b a. c a. Nhẩm nghiệm nếu a+ b+c =0 phương trình có hai nghiệm x1 =1 , x2 = c a. NguyÔn V¨n Th¾ng. 7 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Đề cương toán 9 học kì 2. Nếu a- b+c =0 phương trình có hai nghiệm x1 =-1 , x2 = -. c a. Đièu kiện nghiệm của phương trình bậc hai b 2  4ac  0 Phương trình có hai nghiệm trái dấu   x1 x2 0 b 2  4ac  0  Phương trình có hai nghiệm dương  x1  x2  0  x x 0  1 2 b 2  4ac  0  Phương trình có hai nghiệm âm  x1  x2 0  x x 0  1 2. Phương trình trùng phương a x4+ bx2+ c = 0 đặt t = x2 t(≠ 0) VD Giải các phương trình sau a. 32 x2 + 40 x =0 b. 8x2 – 25 = 0 c. 2x2 -7x + 3= 0 BG a. 32 x2 + 40 x =0  8x(4x+5)=0  x= 0 hoÆc x =. 5 4. Vậy phương trình có hai nghiệm x1 = 0 ;x2 = a. 8x2 – 25 = 0  8x2 =25  x2=. 5 4. 25 25 5 2 x  8 8 4. Vậy phương trình có hai nghiệm x1,2 =  . 5 2 4. c .2x2 -7x + 3= 0 # = (-7)2 -4.3.2 = 25 phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 . 75 75 1  3, x2   4 4 2. VD2 Cho hµm sè y= x2(P) vµ y= 2x + 3(d) a. Vẽ đồ thị của hai hàm hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ b. tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số BG a. Vẽ đồ thị hai hàm số H×nh vÏ (. NguyÔn V¨n Th¾ng. 8 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Đề cương toán 9 học kì 2. Bµi tËp 1; Cho hai hµm sè y = x2 (p) vµ y = 2x + m (d) a.Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ b. Tìm m để (p) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt BG a.Víi m=3 th× d cã d¹ng y= 2 x+ 3 đồ thị hình vẽ b. Xét phương trình hoành độ x2= 2x + m  x2 – 2x – m = 0 (1) Để (p) và (d) cắt nhau tại hai điểm ohân biệt thì phương trình ( 1) có hai nghiÖm ph©n biÖt # = (-1)2-(m) = 1+m > 0 → m > -1 Bài 2; Giải các phương trình sau a. 3x2 + 5x- 2=0 b. 5x2 – 6x+ 1=0 c. 4x2 – 2 3 x -1+ 3 =0 Bài 3 ;Cho phương trình x2 -(m+2)x+2m = 0 (1) a. Giải phương trình với m=-1 b. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn (x1+x2)2-x1 x2 ≤ 5 Bài 4: Cho phương trình x2 -2(m-1)x+2m-4 = 0 (1) a. Giải phương trình với m = 2 b. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M= x1 + x2 (x1;x2 lµ hai nghiÖm cña phương trình) Bài 5:Cho phương trình x 2  6mx  4  0 . Tìm giá trị của m , biết rằng phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện 1 1 7   . x12 x22 2. Bài 6: Cho phương trình bậc hai :. x2  2(m  1) x + m  3 = 0.. (1). 1/. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm ph©n biÖt víi mäi gi¸ trÞ cña m. 2/. Tìm m để phương trình (1) có một nghiệm bằng 3 và tính nghiÖm kia. 3/. Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm đối nhau.. NguyÔn V¨n Th¾ng. 9 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Đề cương toán 9 học kì 2. Mét sè d¹ng kh¸c ( phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai ) Bài tập 1 Giải các phương trình sau a. x4 -8x2-9 = 0 b. 36 y4 – 13y2+1= 0 c. x3-5x2-x+5 = 0 d. (x-1)3 –x+1 =(x-1)(x-2) ( x  1)2  1  ( x  2)  e. f.. 16 30  3 x  3 1 x x2  9x  1 17  3 4 x 1 x  x2  x  1. Bµi gi¶i a. §Æt t = x2 (t ≥ 0) p tr×nh cã d¹ng t2 - 8t -9 = 0 → t1 = -1 (lo¹i) ; t2 =9 Víi t =9 → x2 =9 → x= ± 3 b. y = ± 0,5 ; y = ±. 1 3. c. x2(x-5) – ( x-5) =0  (x-5)(x+1)(x-1) =0  x=5 hoÆc x=1 hoÆc x= -1 d.  (x-1) ( x  1)2  1  ( x  2)  =0  (x-1)(x2-3x+2) =0  x-1 =0 hoÆc x2-3x+2=0 → x1 =x2 = 1; x3 = 2. PhÇn h×nh häc. gãc víi ®­êng trßn I KiÕn thøc cÇn nhí + Gãc ë t©m C n Gãc AOB lµ gãc ë t©m gãc AOB = s® cung AmB s® cung AnB = 360º - s® cung AmB O + Gãc néi tiÕp • gãc ACB lµ gãc néi tiÕp gãc ACB =  s® cung AmB A Trong mét ®­êng trßn m -Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n 1 cung th× b»ng nhau x - C¸c gãc néi tiÕp b»ng nhau th× ch¾n mét cung hoÆc ch¾n c¸c cung b»ng nhau -Gãc néi tiÕp há h¬n 90º cã s® b»ng. 1 sè ®o cña gãc ë t©m cïng ch¾n 2. cung đó -Gãc néi tiÕp ch¾n nöa ®­êng trßn th× b»ng 90º + Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung NguyÔn V¨n Th¾ng. 10 Lop8.net. B.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Đề cương toán 9 học kì 2. -Gãc BAx lµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn Ax vµ d©y cung AB Gãc BAx =. 1 s® cung AmB 2. -gãc BAx = gãc BCA + Góc có đỉnh bên trong , ngoài đường tròn Góc BED ; AEC là các góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn Góc CFB là góc có đỉnh ở bên ngoài ®­êng trßn. A. C E. F D. B. 1 ( s® cung BD + s® cung AC ) 2 1 Gãc AFD = ( s® cung BC - s® cung AD) 2. gãc BED =. A. + Tø gi¸c néi tiÕp -ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp T/C nÕu ABCD néi tiÕp th× gãc A + gãc C = 180º D DÊu hiÖu nhËn biÕt -Tứ giác có 4 đỉnh nằm trê đường tròn -Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180º C -Tứ giác có một góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trog của đỉnh đối diện -Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc β + Mét sè c«ng thøc tÝnh S ,C -§é dµi ®­êng trßn C = 2π R - §é dµi cung trßn l =. B.  Rn 180. -DiÖn tÝch h×nh trßn S = π R2 -DiÖn tÝch h×nh qu¹t trßn Sq =.  R2 n 360. Bài tập 1 Cho tam giác ABC trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC . VÏ ®­êng trßn t©m O ngo¹i tiÕp tam gi¸c BDC . Tõ O h¹ c¸c ®­êng vu«ng gãc OH. OK xuèng BC . BD a. C minh OH > OK b. So s¸nh hai cung nhá BD vµ BC BG a. Ta cã AB+ AC > BC ( B® t tam gi¸c ) Mµ AC = AD ( GT) K →AB + AD > BC hay BD > BC Nªn OH > OK B. NguyÔn V¨n Th¾ng Lop8.net. 11. D. O. C H.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Đề cương toán 9 học kì 2. b. Do BD> BC ( C©u a)→cung BD > cung BC. Bµi tËp 2 Cho AB , AC , BC lµ ba ®©y cña mét ®­êng trßn (O) . Tõ mét ®iÓm chÝnh gi÷a M cña cung AB vÏ MN // BC . Gäi giao ®iÓm cña MN vµ d©y AC lµ S chøng minh a, SM = SC A b. SN = S A M BG a. Ta cã  NMC =. 1 s® cung NC 2. S. 1 Gãc ACM = s® cung MA 2. N. B. Mµ cung MA = cung NC ( do hai d©y MN // BC ) C. →  NMC =  ACM hay tam gi¸c SAN c©n → SA = SN c. Chứng minh tương tự ta có tam giac SAN cân → SA = SN Bài tập 3 Cho tam giác ABC cân có đáy BC và Â = 20 º . Trên nửa mặt ph¼ng bê AB kh«ng ch­ad ®iÓm C lÊy ®iÓm D sao cho DA = DB vµ gãc DAB = 45º .Gäi E lµ giao ®iÓm cña AB vµ CD a. CMR tø gi¸c ACBD néi tiÕp b. TÝnh gãc AED BG C a.Do tam gi¸c ABC c©n nªn ta cã  BCA =(180º-25º): 2 = 80º V× tam gi¸c ABD c©n ta cã →  ADB =180º - 2. 40 = 100º E B 20º Tø gi¸c ACBD cã  BCA +  ADB = 180º 40º Hay tø gi¸c ACBD né tiÕp b.  AED là góc có đỉnh trong dường tròn →  AED =. 1 (s® cung bc + s® cung AD) 2. D. Mµ  BAC =20º→s® cung BC = 40º  ABD = 40º →s® cung AD = 80º →  AED = 60º Bài tập 4 Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O và M là một ®iÓm trªn cung nhá BC . Trªn MA lÊy D sao cho MA =MB . CMR a. Tam giác MBD đều b. # BDA = # BMC c. MA = MB + MC BG a. Theo gt MB = MC → # MBD c©n t¹i M NguyÔn V¨n Th¾ng. 12 Lop8.net. A.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> A. Đề cương toán 9 học kì 2. Mµ Gãc M = 60º ( Gãc néi tiÕp ch¾n cung 120º) Vậy # BM đều b.Ta cã  BAM =  BCM ( Gãc néi tiÕp ch¾n cung BM) D  ADB =  BMC (gãc kÒ bï víi 60º vµ gãc ch¾n cung B 240º ) →  ABD =  CBM VËy # BDA = # BMC M c.Ta cã MA = MD + MA mµ MD = MB ; DA = MC → MA = MB + MC Bµi tËp 5 Trªn ®­êng trßn ( O ;R) vÏ 3 d©y liªn tiÕp b»ng nhau AB, BC , CD mçi d©y nhá h¬n R c¸c ®­êng th¼ng AB , CD c¾t nhau t¹i I c¸c tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn t¹i B, D c¾t nhau t¹i K . CMR a.  BIC =BKD b. BC lµ tia ph©n gi¸c  KBD BG I a. Theo gt ta cã AB = BC = CD  BIC là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn B. C. K. C A 1 →  BIC= ( s® cung AD – s® cung BC ) 2  BKC là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn 1 →  BKD = (s® cungBAD-s® cung BCD) 2 1 = ( s® cung BA+s® cung AD)-(s® cung BC+s® cung CD) 2 1 →  BKD = (s® cung AD -s® cung BC) 2 VËy  BIC =  BKD b.  KBC lµ gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn vµ d©y cung 1  KBC= s® cung BC 2 1  CBD lµ gãc néi tiÕp nªn  CBD = s® cung CD 2 →  KBC =  CBD. O• D. Bài tập 6 Cho tam giácABC đều .Gọi O là trung điểm của BC trên AB . AC lần lượt lấy các điểm di động D ; E sao cho  DOE =60º a. CM tích BD . CE không đổi b. cm # BOD ~ # OED →DO lµ ph©n gi¸c cña gãc BDE c. VÏ (O) tiÕp xóc víi AB . c minh DE lµ tiÕp tuyÕn cña ( O) BG a. CM tích BD . CE không đổi XÐt BOD vµ # CDE cã NguyÔn V¨n Th¾ng. 13 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Đề cương toán 9 học kì 2. A.  B =  C =60º  BDO =  EOC (cïng= 60º -  DOE) → # BDO ~ # COD ( G-G) BD CO  BO CE. Hay BD .CE = BO. CO →BD.CE =. D. K. H. B. O. E. C. BD CO BC 2  ( Không đổi) BO CE 4. b. Tõ c©u a ta cã BD CO  MÆt kh¸c gãc DOE = gãc B = 60º BO CE → # BOD = # DOE( cg c) →  HDO =  KDO hay DO lµ tia ph©n gi¸c  BDE. b. KÎ OK vu«ng gãc víi DE → # DHO = # DKO( ch – gn ) →  H =  K = 90º Hay DE lµ tiÕp tuyÕn cña ( O) Bµi tËp lµm thªm Bµi 1 Cho nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AB vµ mét d©y CD .Q ua C vÏ ®­êng vu«ng gãc víi CD c¾t AB ë I c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A , B cña nöa ®­êng trßn c¾t CD theo thø tù t¹i E Vµ F .CMR a. Tø gi¸c AECI , BFCI néi tiÕp b. Tam gi¸c I E F vu«ng Bµi 2 Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp nöa ®­êng trßn ®­êng kÝnh AD hai ®­êng chÐo AC , BD c¾t nhau t¹i E kÎ E F vu«ng gãc víi AD gäi M lµ trung ®iÓm cña DE CMR , a. Tø gi¸c ABE F , DCE F néi tiÕp b. CA lµ ph©n gi¸c cña gãc BCE c. Tø gi¸c BCMF néi tiÕp Bµi 3 Tõ ®iÓm M n»m bªn ngoµi ®­êng trßn (O) ta vÏ c¸c tiÕp tuyÕn MA, MB víi ®­êng trßn .Trªn cung nhá AB lÊy mét ®iÓm C vÏ CD  AB , CE  MA , CF  MB Gäi I lµ giao ®iÓm BC vµ DE , K lµ giao ®iÓm cña BC vµ DF CMR a. Tø gi¸c AECD ., BFCD néi tiÕp b. CD2 = CE . CF c. Tø gi¸c ICKD néi tiÕp d. IK  CD Bài 4: Cho đường tròn (O;R). Từ một điểm M ở ngoài (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là các tiếp điểm) . Lấy một điểm C trên cung nhỏ AB (C khác A và B). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB, AM, BM. a) Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp.. NguyÔn V¨n Th¾ng. 14 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Đề cương toán 9 học kì 2. A . b) Chứng minh: CA DE  CBA. c) Gọi I là giao điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh: IK//AB. Bµi 5 : Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R . Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC a) Chứng minh tứ giác : CBMD nội tiếp được b) Chứng minh rằng : DB.DC = DN.AC c) Xác định vị trí của điểm D để diện tích hình bình hành ABCD có diện tích lớn nhất và tính diện tích trong trường hợp này Bµi 6; Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định và CD là một đường kính thay đổi không trùng với AB. Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt các đường thẳng AC và AD lần lượt tại E và F. 1) Chứng minh rằng BE.BF = 4R2. 2) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp được đường tròn. 3) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD. Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một đường thẳng cố định.. NguyÔn V¨n Th¾ng. 15 Lop8.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span>