Ôn tập Cuối năm

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (342.86 KB, 23 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II

A. ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP

CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN
1/ Chứng minh dãy số (un) có giới hạn 0.

Phương pháp: - Vận dụng định lí: Nếu |un| ≤ vn, n và lim vn = 0 thì limun = 0
- Sử dụng một số dãy số có giới hạn 0: lim 0

n  , lim 0

n  , lim3 0
1

n  , limqn 0

 với |q| < 1
3/ Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cho CSN (un) lùi vô hạn (với

|

q

|<

1

), ta có :

1 1 1

n u

S u u q u q

q


    



 

4/ Xét tính liên tục của hàm số

Phương pháp:Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x0:

+) Tính f(x0)
+) Tìm 0

 

lim

xx f x (nếu có)
- Nếu 0

 

lim

xx f x không tồn tại f(x) gián đoạn tại x

0.

- Nếu 0

 

lim

xx f x  L f x  f(x) gián đoạn tại x
0

- Nếu 0

 

lim

xx f x  L f x  f(x) liên tục tại x
0.
5/ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình.

Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]
và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b).

II. BÀI TẬP

CHƯƠNG IV: GIỚI HẠN
Bài 1: Chứng minh các dãy số sau có giới hạn 0:

 

1
)

2 1

n
n

a u
n






sin 2
)

1
n

n
b u

n


 2

cos3
) n

n n

c u

n n






cos
)

1
n

n
d u

n n








)

3
n
n n

e u    ) 2

3 1

n
n n

f u 



 

1 1

)

3 5

n

n n n

g u      ) 1

n

h u  n  n

Bài 2: Tìm các giới hạn sau:

3 2

2 3 1

)lim n n
a

n n

 



3
2

3 2

) lim

2 1

n n

b

n
 

 3

3 2

) lim

2 1

n
c

n n

 

 

3 2

1 2 3

) lim

( 2) (5 1)

n n

d

n n

 

 

4 1

) lim

1 2

n n

e

n

 


3 2.5
) lim

3.5 4

n n

f 



3 4 1

) lim

2.4 2
n n

n n

g  



2 2

4 1 9 2

) lim

n n

h

n

  



) lim n

i u với





1 1 1 1

...

1.2 2.3 3.4 1

n
u

n n

    



</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Bài 3 : Tính các giới hạn sau:

) lim(3 1)

a n  n b) lim( 2 n4n2 n3) c) lim 3



n2nsin 2n



d) lim 3n2 n 1





) lim 2.3n 5.4n

e  f) lim 3n2 1 2n

  g) lim n2 1 n



 



)lim

h n n n





) lim 3 6 1 7

i n  n  n k) lim n



n1 n



l) lim



n2 3n n



m) lim



3n3n2  n



ĐS: a) + b) -  c) + d) + e) -  f) -  g) 0 h) + i) - k) -1/2 l) -3/2 m) 1/3

Bài 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau:

1 1 1 1

1, , , ,..., ,...

2 4 8 2

n

 

   

  b)

1 1 1 1

1, , , ,..., ,...

3 9 27 3

n
 
 
 
ĐS: a) 2/3 b) 3/2

Bài 5: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng

):
a)
3
3 2
5 1
lim

2 3 1

x

x x

 

  

  b)

3
3 2
lim
2 1
x
x
x
  
 
 c) 
3 2
2
5 1
lim
3
x
x x
x x
  
 
 
d)
5 3
2 3
2 4
lim

1 3 2

x

x x x

x x
 
 
 
2
3 2
5 1
) lim

2 3 1

x
x
e
x x
 


  f)

2 2 4 2 1

lim

2 5
x

x x x

x
  

  


ĐS: a) -1/2 b) - c) -  d) - e) 0 f) -1/5

Bài 6: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng: a.):
a)

3 2

lim ( 2 3 1)

x    x x  x b)

4 3

lim ( 5 3)

x   x x  x c)

lim 4 2

x  x  x
d)

lim 3 2

x   x  x e)





lim 3 2

x  x x x f)





lim 2

x   x x x

ĐS: a) + b) -  c) +  d) + e) -  f) + 

Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Giới hạn một bên):

a) 3
1
lim
3
x

x
x




 b)





2
4
1
lim
4
x
x
x




c) 3

2 1
lim
3
x
x
x





 d) 2

2 1
lim
2
x
x
x

 
 

 e) 0 2

2
lim
x
x x
x x




 f) 1

3 1
lim
1

x
x
x

 


ĐS: a) -  b) -  c) + d) + e) 1 f) +

Bài 8: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng
0
0):
a/
2
3
9
lim
3
x
x
x



 b/

2
1
3 2
lim

1
x
x x
x

 

 c) 3 2

3
lim
2 3
x
x
x x
 


  d)

3
2
1
1
lim
1
x
x
x




 e)

2
2
1
2 3
lim
2 1
x
x x
x x

 
 

f) 2
2
lim
7 3
x
x
x



  g)

3
9
lim
1 2
x
x
x



  h) 4

2 1 3

lim
2
x
x
x

 

 i) 1

2 1
lim
5 2
x
x
x

 
 

  k)

2
2
3 2
lim
2
x
x x
x


 
 
ĐS: a) 6 b) -1 c) -4 d) 3/2 e) 4/3 f) -6 g) 24 h) 4/3 i) 2 k) 0

Bài 9: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng 0. ):
a) 0

1 1

lim 1

1
x  x x

 



 



  b) 1





2 3
lim 1
1
x
x
x
x





 c)

2
3
2 1
lim 9.
3

x
x
x
x





 d/





</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 10: Tìm giới hạn của các hàm số sau: (Dạng  - ):

a)





lim 1

x  x   x b)





2 2

lim 2 1

x  x  x x  c)





lim 4 2

x   x  x x d)





2 2

lim 1

x   x  x x 

ĐS: a) 0 b) 1 c) 1/4 d) 1/2

Bài 12: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

2 4

-2

( ) 2

4 -2

x

khi x

f x x

khi x

 


 
  

 tại x0 = -2 b)

2 4 3

khi x<3

( ) 3

5 khi 3

x x

f x x

x

  



 

 

 tại x0 = 3

2 3 5

( ) 1

7 1

x x

khi x

f x x

khi x
  


 
 

 tại x0 = 1 d)

2 1

( ) 3

3 3
x

khi x

f x x

khi x
  


 
 

 tại x0 = 3

2 2

( ) 2

2 2 2

x

khi x

f x x

khi x
 


 
 

 tại x

0 = 2 f)

( ) 1 1

3 4 2
x

khi x

f x x

x khi x





  
  

 tại x

0 = 2

ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
Bài 13: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên TXĐ của chúng:

2 3 2

( ) 2

1 2

x x

khi x

f x x

khi x
  


 
 
 b)





2
2

( )

3 2

x
khi x
x
f x
khi x










c)

 

2 2
x 2
2

5 x 2

x x

khi

f x x

x khi
  


 
  
 d)

 

0
0 1

2 1 1

x khi x

f x x khi x

x x khi x




  
   


ĐS: a) hsliên tục trên R ; b) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 2), (2; +) và bị gián đọan tại x = 2.
c) hsliên tục trên R ; d) hs liên tục trên mỗi khoảng (-; 1), (1; +) và bị gián đọan tại x = 1.
Bài 14: Tìm điều kiện của số thực a sao cho các hàm số sau liên tục tại x0.

 

2 2
1
1
1

x x
khi x

f x x

a khi x

  




 

 

 với x0 = -1 b)

1
( )

2 3 1

x khi x

f x

ax khi x

 



 

 với x0 = 1

7 3

( ) 2

1 2
x

khi x

f x x

a khi x

  




 

  

 với x0 = 2 d)

3 1 1
( )

2 1 1

x khi x

f x

a khi x

  



 

 với x0 = 1

ĐS: a) a = -3 b) a = 2 c) a = 7/6 d) a = 1/2
Bài 15: Chứng minh rằng phương trình:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

d)2x310x 7 0 có ít nhất 2 nghiệm.

e) cosx = x có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; /3)
f) cos2x = 2sinx – 2 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.

g) x33x21 0 có 3 nghiệm phân biệt.
h)









2 2

1 m x1 x  x 3 0

ln có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với mọi m.









3 2 4

1 4 3 0

m x x  x  

ln có ít nhất 2 nghiệm với mọi m.

BÀI 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ

Câu 1. Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu limun , thì limun . B. Nếu limun , thì limun  .
C. Nếu limun 0, thì limun 0. D. Nếu limun a, thì limun a.

Câu 2. Cho dãy số (un) với un =

n
n

4 và 1

1 


n
n
u
u

. Chọn giá trị đúng của limun trong các số sau:

A. 4
1

. B. 2

. C. 4

. D. 1.

Câu 3. Kết quả đúng của lim 










1
2
cos

5 2

n
n
n

là:A. 4. B. 5. C. –4. D. 4
1

Câu 4. Kết quả đúng của lim n n

n
5
.
2
3

2 2


 

là:A. –2

. B. 1. C. 2
5

. D. – 2

Câu 5. Kết quả đúng của lim 3 2

1
2

4
2






n
n
n

làA. – 3

. B. –3

.C. –2

.D. 2

Câu 6. Giới hạn dãy số (un) với un = 4 5

3 4



n

n
n

là: A. –. B. +. C. 4
3

. D. 0.

Câu 7. lim n n

n
n

4
2
.
3

3
2
.
4

3 1




 

bằng :A. +.B. –. C. 0. D. 1.

Câu 8. Chọn kết quả đúng của lim n

n
n

5
3

5
2





:A. 5. B. 5
2

. C. –. D. +.

Câu 9. Giá trị đúng của lim



n2  1 3n2 2



là:A. +. B. –. C. –2. D. 0.

Câu 10. Giá trị đúng của lim



3n  5n



là:A. –. B. C. 2. D. –2.

Câu 11. lim









 3

2 2

5
sin n n

n 

bằng:A. +. B. 0. C. –2. D. –.

Câu 12. Giá trị đúng của lim



n



n1 n1





là:A. –1. B. 0. C. 1. D. +.

Câu 13. Cho dãy số (un) với un = 1

2
2
)
1

( 4 2







n
n

. Chọn kết quả đúng của limun là:

A. –. B. 0. C. 1. D. +.

Câu 14. lim3 1

1
5



n
n

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Câu 15. lim 1
10
2
4

n

n bằng :A. +. B. 10. C. 0. D. –.

Câu 16. lim5 200 3n5 2n2 bằng :A. 0. B. 1. C. +. D. –.

Câu 17. Tìm giá trị đúng của S =












 ...
2
1
...
8
1
4
1
2
1
1
2 n
.

A. 2+1. B. 2. C. 2 2. D. 2

Câu 18. Lim
4
2
1
4
3
2
4





n
n
n
n

bằng :A. 0. B. 2
1

. C. 4
1

. D. +.

Câu 19. Tính giới hạn: lim n n

n




1
4
1

A. 1. B. 0. C. –1. D. 2
1

Câu 20. Tính giới hạn: lim 3 4

)
1
2
(
...
5
3
1
2






n
n

A. 0.B. 3
1

. C. 3
2

. D. 1.

Câu 21. Tính giới hạn: lim 









)
1
(
1
...
3
.
2
1
2
.
1
1
n

n A. 0. B. 1. C. 2
3

. D. Khơng có giới hạn.

Câu 22. Tính giới hạn: lim 









)
1
2
(
1
...
5
.
3
1
3
.
1
1
n

n A. 1. B. 0. C. 3
2

. D. 2.

Câu 23. Tính giới hạn: lim 









)
2
(
1
...
4
.
2
1
3
.
1
1
n

n A. 2

. B. 1. C. 0. D. 3
2

BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ

Câu 24. 3 2

lim





 x

x bằng :A. 0.B. 1. C. 3

. D. +.

Câu 25. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 2 2

1
2

3
2

lim

 



 x

x
x

x là:A. –. B. 0. C. 2
1

. D. +.

Câu 26. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của 2 1

1
2
5
2
3
1

lim

  



 x

x
x

x là:A. –2.B. –2
1

.C. 2
1

. D. 2.

Câu 27. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của x x nx
2
cos

2
0

lim

 là:

A. Không tồn tại. B. 0. C. 1. D. +.

Câu 28. 2

1
2

lim

x x

x 




 bằng :A. –2. B. –3
1

. C. 3
1

. D. 2.

Câu 29. x x

x
x

x   





 1 1

2
3

lim

bằng :

A. –1. B. 0. C. 1. D. +.

Câu 30. 1

2
2

lim

   

 x

x
x

x bằng :

A. –. B. –1. C. 1. D. +.

Câu 31. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của

)
1
3

( 5 3

lim

  




x
x
x

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

A. –. B. 0. C. 4. D. +.

Câu 32. Chọn kết quả đúng trong các kết quả sau của

x
x
x
x
x






2
3
4
(

lim

là:

A. –. B. 0. C. 1. D. +.

Câu 33. 2 1

lim

   

 x

x
x

x bằng :

A. –2

. B. 2

. C. 1. D. +.

Câu 34. Cho hàm số 1

1
)

2
(
)

( 4 2






x
x
x

x
x
f

. Chọn kết quả đúng của

)
(

lim

f x

x :

A. 0. B. 2

. C. 1. D. Không tồn tại.

Câu 35. Cho hàm số 






,
1
,
3
)

(
2
x
x
x
f
2
2


x
x

. Chọn kết quả đúng của

)
(

lim

2
x
f

x :

A. –1. B. 0. C. 1. D. Không tồn tại.

Câu 36. Chọn kết quả đúng của











3
2
0
2
1

lim

x x

x :

A. –. B. 0. C. +. D. Không tồn tại.

Câu 37. Cho hàm số 1

1
1
1
)
( 3





x
x
x
f

. Chọn kết quả đúng của

)
(

lim

1
x
f
x 
 :

A. –. B. –3

. C. 3

. D. +.

Câu 38. Cho hàm số 9

3
)

(
2



x
x
x
f

. Giá trị đúng của

)
(

lim

3
x
f
x 

là:

A. –. B. 0. C. 6 . D. +.

Câu 39. 3 2

1
4

lim

 



 x x

x

x bằng :

A. –. B. – 4

. C. 4

. D. +.

Câu 40. Giá trị đúng của 1

4
4

lim




 x

x

x là:

A. –1. B. 1. C. 7. D. +.

BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC

Câu 41. Cho hàm số 1

1
)
( 2



x
x
x
f

và f(2) = m2 – 2 với x  2. Giá trị của m để f(x) liên tục tại x = 2 là:

A. 3. B. – 3. C.  3. D. 3.

Câu 42. Cho hàm số f(x) x2  4. Chọn câu đúng trong các câu sau:
(I) f(x) liên tục tại x = 2.

(II) f(x) gián đoạn tại x = 2.

(III) f(x) liên tục trên đoạn



 2;2



</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

A. Chỉ I đúng. B. Chỉ (I) và (II). C. Chỉ (I) và (III). D. Chỉ (II) và (III).

Câu 43. Cho hàm số











3
2

3
3
)

(

x
x
x
f

3
,



x
x

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f(x) liên tục tại x = 3.

II. f(x) gián đoạn tại x = 3.
III. f(x) liên tục trên R.

A. Chỉ (I) và (II). B. Chỉ (II) và (III). C. Chỉ (I) và (III). D. Cả (I),(II),(III) đều đúng.

Câu 44. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. f(x) = x5 – 3x2 +1 liên tục trên R.

II. 1

1
)

(




x
x
f

liên tục trên khoảng (–1;1).
III. f(x) x 2 liên tục trên đoạn [2;+).

A. Chỉ I đúng. B. Chỉ (I) và (II). C. Chỉ (II) và (III). D. Chỉ (I) và (III).

Câu 45. Cho hàm số 5 6

1
)

( 2







x
x

f

. f(x) liên tục trên các khoảng nào sau đây ?

A. (–3;2). B. (–3;+) C. (–; 3). D. (2;3).

Câu 46. Cho hàm số f(x) = x3 – 1000x2 + 0,01 . phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng

sau đây ?

I. (–1; 0). II. (0; 1). III. (1; 2).

A. Chỉ I. B. Chỉ I và II. C. Chỉ II. D. Chỉ III.

Câu 47. Cho hàm số 







0
tan
)

( x

x
x

f

0
,




x
x

. f(x) liên tục trên các khoảng nào sau đây ?

A. 








2
;
0 

. B.












4
;

. C.











4
;
4




. D.



 ;



Câu 48. Cho hàm số 







 2

2
2

)

2
(
)
(

x
a
x
a
x
f

2
,

,
2
,






x

R
a
x

. Giá trị của a để f(x) liên tục trên R là:

A. 1 và 2. B. 1 và –1. C. –1 và 2. D. 1 và –2.

Câu 49. Cho hàm số


















0
x
,
sin

1
x

0

,
1

1
x
,
)

( 3

x
x

x
x
x
x
f

. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. f(x) liên tục trên R. B. f(x) liên tục trên R\

 

0 .
CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM

1/ Tìm đạo hàm của hàm số

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2
( ) ' ' '
( . ) ' '. '.
( . ) ' . '

'. '.

1 '

u v u v

u v u v v u

k u k u

u u v v u

v v

v

v v

  

 



 


 
 
 


 

 

 

1
'

' . . '

1 '

'
'

n n

u n u u

u

u u

u
u

u



 

 
 



+) Đạo hàm của hàm hợp: Nếu yf u x[ ( )] thì

' '

.

x u x

y



f u

+) Đạo hàm của các hàm số lượng giác:













sin ' cos
cos ' sin

1
tan '

cos
1
(cot ) '

sin

x x

x

x
x

x




















sin ' '.cos
cos ' '.sin

'
tan '

cos
'
(cot ) '

sin

u u u

u
u

u
u
u

u








2/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Phương pháp:pt tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M0 có hồnh độ x0 có dạng:

y = f’(x0) (x – x0) + f(x0)

3/ Vi phân

- Vi phân của hàm sốtại nột điểm: df x( )0 f x'( ).0 x

- Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f x( 0  x)f x( )0  f x'( )0 x

- Vi phân của hàm số: df x( )f x dx'( ) hay dyy dx'
4/ Đạo hàm cấp cao:

- Đạo hàm cấp hai của hàm số: f’’= (f’)’.

- Đạo hàm cấp n của hàm số: f(n) = [f(n-1)]’

-CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM
Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau:

a) y x 3 b)y3x21 c) y x1 d)

1
1

y
x




Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:

1)    

3 2

x x

y x

2) y=2x

−x

2+3 3)   2  3  4

2 4 5 6

y

x x x x

y

=

5 x

(

3 x

−

1 )

5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) 6)

y

=(

x

+

5 )

3 7)

y

=(

x

+

1 )(

5 −

3 x

)

8) y=x(2x−1)(3x+2) 9)

y

=(

x

+

1 )(

x

+

2 )

(

x

+

3 )

10)





 

   

2 3  1

y x x

x 11)y 2x3

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

13)y 3x4x2 14)







 



2 1 2 3 7

y x  x x

15)

2 5

2
x
y

x





16) 2

2 3 5

y

x x



  17)

3
2

2
1

x x

y

x x




  18)

  




2
2

7 5

x x

y

x x

19)

y

=

√

x

+

6 x

+

7

20)

y

=

√

x

−

1 +

√

x

+

2

21)

y

=(

x

+

1 )

√

x

+

x

+

1

22)

y

=

√

x

−

2

x

+

3

2 x

+

1

23)

1 x
y

1 x




 24)





3
2

2 3 1

y x  x

25)





2 3 2

y x  x  x  x

26) y =

√

x

(x2-

√

x

+1) 27)

3
2

2 3

x

y x x

x

 

    



 

Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x3) 3) y = x.cotx 4)

y

=(

1 +

cot

x

)

2

y

=

cos

x

.sin

x

6)

1
cos cos

y x x

7) y=sin

4x

2 8) y=

sinx+cosx

sinx−cosx

y cot (2x )
4



 

10) ysin (cos 3 )2 x 11) y cot 1 x 3  2 12)

y

=

3sin

x

.sin 3

x

13) y 2 tan x 2 14) 3

cosx 4

y cot x

3sin x 3

 

15)ysin(2sin )x 16) y=sin4 p- 3x

17)

y= 1

(1+sin22x)2 18)

xsin x
y

1 tan x



 19)

sin x x

x sin x

 

20) y 1 2 tan x
Bài 4: Cho hai hàm số : f x( ) sin 4 xcos4x và

1
( ) cos 4

g x  x

Chứng minh rằng: f x'( )g x'( ) (  x ).

Bài 5: Cho

y

=

x

−

3 x

+

2

. Tìm x để: a) y’ > 0 b) y’ < 3

ĐS: a)
0
2
x
x



 

 b) 1 2x 1 2
Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:

a) f(x) = cos x + sin x + x. b) f(x) =

√

3sin

x

−

cos

x

+

x

c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1

Bài 7: Cho hàm số f(x) 1 x. Tính : f(3) (x 3)f '(3) 
Bài 8: a) Cho hàm số: y=

x2+2x+2

2 . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2

b) Cho hàm số y =
x−3

x+4 . Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’

c) Cho hàm số y 2x x 2 . Chứng minh rằng:y y" 1 03  
Bài 9: Chứng minh rằng f x'( ) 0    x , biết:

9 6 3 2

( ) 2 3 6 1

f x  x  x  x  x  x

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 10: Cho hàm số

x x

y
x




 (C)
a) Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1.

b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hồnh độ x0 = -1.

Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C)

a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hồnh độ x0 = 2.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2.
Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y x 3 5x22. Viết phương trình tiếp tuyến của (C )

a) Tại M (0;2).

b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1.
c) Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y =

1
7x – 4.
Bài 13: Cho đường cong (C):

2 x

y

x







. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

a) Tại điểm có hồnh độ bằng 1
b) Tại điểm có tung độ bằng

1

3

c) Biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là



4

Bài 14: Tính vi phân các hàm số sau:
a)

y

=

x

−

2 x

+

1

b) y=sin

4x

2 c)

y

=

√

x

+

6 x

+

7

d)

y

=

cos

x

.sin

x

e)

y

=(

1 +

cot

x

)

Bài 15: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
1)

1
2

x
y

x




 2) 2
2 1

x

y

x x




  3) 2 1

x
y

x



 4) y x x 21 
5) y x 2sinx 6) y (1 x2) cosx 7) y = x.cos2x 8) y = sin5x.cos2x

ĐS: 1)





6
''

y
x








3 2

3
2

4 10 30 14

x x x

y

x x

  



 









2
3
2

2 3

x x
y

x










2 2

2 3

1 1

x x

y

x x




 





'' 2 sin 4 cos

y   x x x x

6) y'' 4 sin x x(x2 3) cosx 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x
8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x

Bài 16: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:a)

1
1

y
x



 b) y = sinx

ĐS: a)

 









!
1

1
n
n

n

n
y

x 

 



  sin

2
n

y  x n  

 

C. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Dạng 1: Đạo hàm của hàm đa thức – hữu tỷ - căn thức và hàm hợp

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

A. 5x211x 4. B. 6x218x12. C. 6x218x12. D. 6x2 9x12.

Câu 2. Đạo hàm của hàm số y x33mx23(1 m x m2)  3 m2(với m là tham số) bằng:
A. 3x26mx 1 m2. B. x23mx 1 3m.

C. 3x2 6mx 3 3 m2. D. 3x26mx 3 3m2.

Câu 3. Đạo hàm của hàm số y(x21) (3 5 )2  x2 bằng biểu thức có dạng ax5bx3cx. Khi đó a b c 

bằng:

A. 0. B. 1. C. 2. D. 5.

Câu 4. Đạo hàm của hàm số y(x21)(x32)(x43) bằng biểu thức có dạng

8 6 5 15 4 3 2

ax bx cx  x dx ex gx. Khi đó a b c d e g     bằng:

A. 0. B. 2. C. 3. D. 5.

Câu 5. Đạo hàm của hàm số

2 1
1

x
y

x




 bằng biểu thức có dạng ( 1)2
a

x . Khi đó a nhận giá trị nào sau đây?
A. a2 . B. a1 . C. a3 . D. a3 .

Câu 6. Đạo hàm của hàm số

2 3 3

2( 1)

x x

y

x
  


 bằng biểu thức có dạng

2
2

2( 1)

ax bx

x


 . Khi đó .a b bằng:

A. 2 . B. 1 . C. 4. D. 6 .

Câu 7. Đạo hàm của hàm số

2
2

2 3 1

5 2

x x

y

x x

 


  bằng biểu thức có dạng

( 5 2)

ax bx c

x x

 

  . Khi đó a b c  bằng:

A. 1. B. 2. C. 3 . D. 2.

Câu 8. Đạo hàm của hàm số

2
3

2 3

x x

y

x

  



 bằng biểu thức có dạng

4 3 2

3 2

( 2)

ax bx cx dx e

x

   

 . Khi đó
a b c d e    bằng:

A. 12 . B. 10 . C. 8. D. 5.

Câu 9. Đạo hàm của hàm số y(x 2) x21 biểu thức có dạng

2
2 1

ax bx c

x
 

 . Khi đó . .a b c bằng:

A. 2. B. 4. C. 6 . D. 8 .

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Câu 11. Đạo hàm của hàm số y 5x2 2x1 biểu thức có dạng 5 2 2 1

ax b

x x



  . Khi đó

a
T

b



bằng:
A. T 5 . B. T 5. C.T 10. D.T 10.

Câu 12. Đạo hàm của hàm số

1 1

y

x x



   bằng biểu thức nào sau đây?

A. 2

1
( x 1 x 1)


   . B.

2 x 1 2 x1.

C.

1 1

4 x1 4 x1 . D.

1 1

2 x1 2 x 1.

Câu 17: Cho hàm số

2 1

x
y

x



 

 



  . Đạo hàm y bằng biểu thức nào sau đây?

A.









2
4

3 2 1
1
x
x




. B.









2
4

2 1

1
x
x




. C.









2
4

2 1

1
x
x

 



. D.









2
4

9 2 1
1
x
x

 



Câu 18: Cho hàm số













3 2

1 3 2 6 2 1

y m x  m x  m x

. Tập giá trị của m để y 0   x là

A.



3;



. B.



1;



. C. . D. 4 2;



.

Câu 19: Cho hàm số

 

0
1

x x

khi x

f x x

x ax b khi x
  




 

   

 . Tìm a, b để hàm số f x

 

có đạo hàm trên .
A. a0, b11. B. a10, b11. C. a20, b21. D. a0, b1.

Câu 20: Cho hàm số

 





2 2

3 2

mx mx

f x     m x

. Tìm m để f x

 

0 có hai nghiệm phân biệt cùng
dấu.

A.

3
; 2
2

m  

 . B. m  





. C.

12
;3
5

m  

 . D.

3
;
2

m 

 .

Dạng 2: Đạo hàm các hàm số lượng giác

Câu 21: Hàm số ycos .sinx 2 x có đạo hàm là biểu thức nào sau đây?

A.





sinx 3cos x1

. B.





sinx 3cos x1

. C.





sinx cos x1

. D.





sinx cos x1

Câu 22: Hàm số





1 tan
2

y  x

có đạo hàm là biểu thức nào sau đây?

A.





1 tan x

. B. 1 tan 2x.

C.









1 tan x 1 tan x

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Câu 23: Đạo hàm của hàm số 2
cos
2sin

x
y

x



là biểu thức nào sau đây?

A.

2
3

1 sin
2sin

x
x



. B.

2
3

1 cos
2sin

x
x




. C.

2
3

1 sin
2sin

x
x


. D.

2
3

1 cos
2sin

x
x


Câu 24: Cho hàm số

 

cos
1 sin

x
f x

x



 . Giá trị của 6 6

f  f  

    là

A. 
4

3. B.

9. C.

9. D.

8
3.

Câu 25: Hàm số

sin cos
cos sin

x x x

y

x x x




 có





cos sin

ax bx c

y

x x x

 
 



. Hỏi T   a b c bằng:

A. 1. B. 2. C. 0. D. 1.

Câu 26: Cho hàm số

cos 2 .sin
2

x

y x

. Xét hai kết quả:

(I)

2sin 2 .sin sin .cos 2
2

x

y  x  x x

(II)

2 1

2sin 2 .sin sin .cos 2
2 2

x

y  x  x x

.
Cách nào đúng?

A. Chỉ (I). B. Chỉ (II). C. Cả 2 đều đúng. D. Khơng có cách nào.

Câu 27: Đạo hàm của hàm số

sin

x x

y

x x

 

là biểu thức nào sau đây?

A.





2 2

1 1

cos sin

sin

x x x

x x

 

   

 . B.





2 2

1 1

cos sin

sin

x x x

x x

 

   

 .

C.





2 2

1 1

sin cos

sin

x x x

x x

 

   

 . D.





2 2

1 1

sin cos

sin

x x x

x x

 

   

 .

Câu 28: Đạo hàm của hàm số

1
sin
y

x


là biểu thức nào sau đây?

A. 
cot
sin

x

x


. B.

cot
sin
x

x . C. cotsinxx. D. sincotxx .

Câu 29: Cho hàm số









2 2

sin cos .cos sin

y x x

. Đạo hàm y a.sin 2 .cos cos 2x



x



. Giá trị của a là số
nguyên thuộc khoảng nào sau đây?

A.



0;2



. B.



1;5



. C.



3; 2



. D.



4;7



Câu 30: Cho hàm số f x

 

có đạo hàm với mọi x và thỏa mãn f



2x



4cos .x f x

 

 2x. Tính f

 

0 .
A. f

 

0 0. B. f

 

0 1. C. f

 

0 2. D. f

 

0 3.

Câu 31: Cho hàm số ycot 2x. Hệ thức nào sau đây là đúng?

A. y2y2 2 0. B. y 2y2 2 0 . C. y3y2 5 0. D. y3y2 7 0.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

A. m 2, M  2. B. m1, M 1. C. m2, M 2. D. m 5, M  5.

Câu 33: Cho hàm số f x

 

 cosxsinx cos 2x. Phương trình f x

 

1 tương đương với phương trình nào
sau đây?

A. sinx0. B. sinx1 0 .

C.



sinx1 cos

 

x1



0. D. cosx0.

Câu 34: Cho hàm số f x

 

sin2x3cos2x. Tập giá trị của hàm số f x

 

trên  là:
A.



4; 4



. B.



2; 2



. C.



1;1



. D.



3;3



Câu 35: Cho hàm số

 

cos

2 sin 2cos 3sin

3
x

f x   x x x

. Biểu diễn nghiệm của phương trình lượng giác

 

f x

trên đường trịn ta được mấy điểm phân biệt?

A. 1 điểm. B. 2 điểm. C. 4 điểm. D. 6 điểm.

Câu 36: Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có đạo hàm là sin2x?

A.

sin
3

x
y

. B.

1
sin 2
2 4

x

y  x

. C.

sin
3

x
y x 

. D.

1
sin 2
2 4

x

y  x

Câu 37: Hàm số nào sau đây có đạo hàm ln bằng 0?

A. y 1 sin2x. B. ysin2x cos2x.C. ysin2xcos2x. D. ycos 2x.

Câu 38: Hàm số nào sau đây có đạo hàm y x.sinx?

A. yxcosx. B. y x cosx sinx.C. ysinx x cosx. D.

1
.sin
2

y x x

Câu 39: Xét hàm số f x

 

3cos 2x. Chọn câu sai:

A.

1
2

f  

  . B.

 

3 2

2sin 2
3 cos 2

x
f x

x



 

.C.

1
2

f 

  . D. 3 .y y2 2sin 2x0.

Câu 40: Cho hàm số

 

2 2 2 2 2 2 2

cos cos cos cos 2sin

3 3 3 3

f x    x  x    x   x x

        . Hàm số có

 

f x

bằng:

A. 6. B. 2sin 2x. C. 0. D. 2 cos 2x.

Câu 42. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1
1

x
y

x




 tại điểm có hồnh độ x0 0

A. y2x1. B. y2x 1. C. y x 2. D. y x 2.

Câu 43. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x2 tại điểm có tung độ y0 2

A.

1 3

4 2

y x

. B.

1 3

4 2

y x

. C.

3 3

2 2

y x

. D.

3 1

2 4

y x

Câu 44. Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số f x( ) sin x, x[0; 2 ] song song với đường thẳng
1

3
2

y x

là :

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Câu 45. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 3 x2 1 tại điểm x0 1 có hệ số góc bằng :

A. 7. B. 5. C. 1. D. 1.

Câu 46. Cho hàm số

2 4

x
y

x




 có đồ thị là

 

C . Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của

 

C với trục hoành
là:

A. y2x 4. B. y3x1. C. y2x4. D. y2x.

Câu 47. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 

x

y C

x




tại các giao điểm của

 

C với các trục tọa độ
là :

A. y x 1. B. y x 1 và y x 1.
C. yx1. D. y x 1.

Câu 48. Cho hàm số y x 2  6x5 có tiếp tuyến song song trục hồnh. Phương trình tiếp tuyến đó là :

A. x3. B. y4. C. y4. D. y3.

Câu 49. Cho hàm số

4
2

y

x

 

có đồ thị là (C). Phương trình tiếp tuyến với (C) vng góc với đường thẳng
2

y x là:

A. y x 4. B. y x 2 và y x 4.

C. y x 2 và y x 6. D. y x 3 và y x 1.

Câu 50. Cho hàm số

1
1

x
y

x




 có đồ thị là

 

C . Có bao nhiêu nhiêu cặp điểm thuộc

 

C mà tiếp tuyến tại đó
song song với nhau?

A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.

Câu 51. Trên đồ thị hàm số

1
1

y
x



 có điểm M x y( ; )0 0 sao cho tiếp tuyến tại đó cùng vói các trục tọa độ tạo

thành một tam giác có diện tích bằng 2. Khi đó x0 y0 bằng :

A. 3 . B.

3 . C.

1
7


. D.

13
4


Câu 52. Cho hàm số

 

3 2

: 2

C y  x x 

. Phương trình tiếp tuyến của

 

C tại điểm có hồnh độ là nghiệm
của phương trình y 0 là

A.

7
3
yx

. B.

7
3
yx

. C.

3
y x

. D.

7
3
y x

Câu 53. Số cặp điểm A, B trên đồ thị hàm số y x 33x23x5 mà tiếp tuyến tại A B, vng góc với nhau
là:

A.1. B. 2. C. 0 . D. Vô số.

Câu 54. Qua điểm (0;2)A có thể ké được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số yx4  2x2 2 ( )C ?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.

Câu 55. Cho hàm số y x 3 3x32 có đồ thị

 

C . Đường thẳng nào sau đây là tiếp tuyến với

 

C và có hệ số
góc nhỏ nhất?

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Câu 56. Cho hai hàm số

 

2
f x

x



và

 

2
x
g x 

. Góc giữa hai tiếp tuyến của mỗi đồ thị hàm số đă cho tại
giao điểm của chúng là:

A. 60 .0 B. 90 .0 C. 45 .0 D. 30 .0

Câu 57. Tìm m để đồ thị:













3 2

: 1 4 3 1

3
m

C y mx  m x   m x

tồn tại đúng 2 điểm có hồnh độ dương
mà tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng x2y 3 0 .

A.

1 1 2

0; ;

4 2 3

m  

   .B.

1 1 7

0; ;

4 2 3

m  

   .

C.

1 1 8

0; ;

2 2 3

m  

   .D.

1 1 2

0; ;

2 2 3

m  

   .

Câu 58. Cho hàm số

2 1

1
x
y

x



 có đồ thị

 

C . Viết phương trình tiếp tuyến với

 

C biết tiếp tuyến này cắt
,

Ox Oy lần lượt tại A, B sao cho OA4OB.

A.

1 5

4 4

y x
và

1 13

4 4

y x

. B.

1 5

4 4

y x
và

1 13

4 4

y x
.
C.

1 5

4 4

y x
và

1 3

4 4

y x

. D.

1 1

4 2

y x
và

5
2
1
4

y x

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

B. HÌNH HỌC

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. SA  (ABC).
a) Chứng minh: BC  (SAB).

b) Gọi AH là đường cao của SAB. Chứng minh: AH  SC.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng. SA  (ABCD). Chứng minh rằng:
a) BC  (SAB).

b) SD  DC.
c) SC  BD.

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có AB=AC, DB=DC. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC  AD.

b) Gọi AH là đường cao của ADI. Chứng minh: AH  (BCD).

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng, tâm O và SA = SC = SB = SD = a 2.
a) Chứng minh SO  (ABCD).

b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Chứng minh IKSD
c) Tính góc giữa đt SB và mp(ABCD).

Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB  CD, BC  AD. Gọi H là hình chiếu của A lên mp(BCD). Chứng minh:
a) H là trực tâm BCD.

b) AC  BD.

Bài 6: Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện vng góc với nhau từng đơi
một.

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, tâm O và AB = SA = a, BC =

a

√

3

, SA  (ABCD).
a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là những tam giác vng.

b) Gọi I là trung điểm của SC. Chứng minh IO (ABCD).
c) Tính góc giữa SC và (ABCD).

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng, tâm O và SA ¿ (ABCD) . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu
vng góc của A lên SB, SD.

a) Chứng minh BC  (SAB), BD  (SAC).
b) Chứng minh SC  (AHK).

c) Chứng minh HK  (SAC).

Bài 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại A, SA = AB = AC = a, SA  (ABC).
Gọi I là trung điểm BC.

a) Chứng minh BC  (SAI).
b) Tính SI.

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B. SA  (ABC) và SA = a, AC = 2a.
a) Chứng minh rằng: (SBC)  (SAB).

b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC).

c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC).

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 1: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi một vng góc và OA= OB = OC = a.

Gọi I là trung điểm BC; H, K lần lượt là hình chiếu của O lên trên các đường thẳng AB và AC.
 1. CMR: BC(OAI).

2. CMR: (OAI)(OHK).

3. Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC). ĐS:a / 3
 5. Tính cơsin của góc giữa OA và mp (OHK). ĐS:cos  6 / 3
6. Tính tang của góc giữa (OBC) và (ABC). ĐS: tan  2
7. Tìm đường vng góc chung của hai đường thẳng HK và OI. Tính khoảng cách giữa hai
đường ấy. ĐS: a / 2
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA (ABCD) và SA a 2 .

1.CMR: Các mặt bên của hình chóp là các tam giác vng.
2.CMR: mp (SAC)mp(SBD) .

3. Tính góc  giữa SC và mp (ABCD), góc  giữa SC và mp (SAB). ĐS:  45 , 300   0
4. Tính tang của góc  giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD). ĐS: tan 2
 5. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC), khoảng cách từ điểm A đến mp (SCD).
 ĐS: a 6 / 3
 6. Tìm đường vng góc chung của các đường thẳng SC và BD. Tính khoảng cách giữa hai
 đường thẳng ấy. ĐS: a / 2
 7. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, C, D và tính SI. ĐS: SI a
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh a, SA SB SD a 3 / 2  

và . Gọi H là hình chiếu của S trên AC.
1.CMR: BD(SAC) và SH (ABCD) .

2.CMR: ADSB.
 3.CMR: (SAC)(SBD).

4. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) và SC. ĐS: SH a 15 / 6 và SC = a 7 / 2
 5. Tính sin của góc  giữa SD và (SAC), cơsin của góc giữa SC và (SBD).

ĐS: sin  3 / 3 và cos 3 / 14.

6. Tính khoảng cách từ H đến (SBD). ĐS: a 10 / 12
7. Tính góc giữa(SAD)và (ABCD). ĐS: tan  5

8. Tìm đường vng góc chung của các đường thẳng SH và BC. Tính khoảng cách giữa hai
 đường thẳng ấy. ĐS: a 3 / 3

9. Hãy chỉ ra điểm I cách đều S, A, B, D và tính MI. ĐS: 3 15a / 20

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vng tại A, AB = BC = a và .

Hai mặt bên SAB, SAD cùng vng góc với mặt đáy và SA = a 2.
1.CMR: BC mp(SAB).

2.CMR: CDSC.

3. Tính góc  giữa SC và (ABCD), góc  giữa SC và (SAB), góc  giữa SD và (SAC). 
 ĐS:  45 , 30 , tan0   0  2 / 2

4. Tính tang của góc  giữa mp(SBC) và mp(ABCD). ĐS: tan  2

 0

BAD 60

 0

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

5. Tính khoảng cách giữa SA và BD. ĐS: 2a / 5
 6. Tính khoảng cách từ A đến (SBD). ĐS: 2a / 7
7. Hãy chỉ ra điểm M cách đều S, A, B, C; điểm N cách đều S, A, C, D.

Từ đó tính MS và NS. ĐS: MS a , NS a 6 / 2

Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạch a. Gọi O là tâm của tứ giác ABCD; và M, N lần lượt là
trung điểm của AB và AD.

1.CMR: BD(ACC'A') và A’C(BDC').
2.CMR: A'C AB' .

3.CMR: (BDC’) (ACC’A’) và (MNC’)(ACC’A’).

4. Tính khoảng cách từ C đến mp(BDC’). ĐS: a / 3
 5. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNC’). ĐS: 3a / 17

6. Tính tang của góc giữa AC và (MNC’). ĐS:tan 2 2 / 3
 7. Tính tang của góc giữa mp(BDC’) và mp(ABCD). ĐS:tan  2
8. Tính cơsin của góc giữa (MNC’) và (BDC’). ĐS:cos 7 / 51
9. Tính khoảng cách giữa AB’ và BC’. ĐS: a 3 / 3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG

Câu 1. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
B. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.

C. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c khi b song song với c
(hoặc b trùng với c).

D. Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng góc giữa hai đường thẳng a và c thì b song song với c.
Câu 2: Cho hình hộp ABCD A B C D. 1 1 1 1 . Khi đó: tổng 3 góc (D A1 1, CC1) ( C B1 , DD ) (1  DC1, A1B)

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

là:

A. 1800 B. 2900 C.3600 D. 3150

Câu 3: Cho hình lập phương ABCD A B C D. 1 1 1 1, đặt  (AC DC, 1);  (DA1, BB );1 (AA C C1, 1 )

     

Khi đó: là
  :

A. 3600 B. 3750 C. 3150 D. 2750

Câu 4. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vng cạnh a, đường thẳng SA vng góc với mặt phẳng đáy,
SA a . Góc giữa mặt phẳng



SCD



và mặt phẳng



ABCD



là  . Khi đó tan nhận giá trị nào trong
các giá trị sau:

A.

2
tan

2
 

. B. tan 1 C. tan  2. D. tan  3.

Câu 5. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD, là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là

A. 1200. B. 600. C. 900. D. 300.

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

B. AB C . B. DA C . C. BB C . D. DAC.

Câu 7. Cho tứ diệnABCD. Gọi I , J, K lần lượt là trung điểm của BC, CA và BD. Khi đó góc giữa AB và
CD là:

A. JIK . B. ABC. C. IJK. D. JKI.

Câu 8. Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa hình thoi sao cho SA a
và vng góc với



ABC



. Tính góc giữa SD và BC

A. 60. B. 90. C. 45. D. arctan 2 .

Câu 9. Cho tứ diện ABCD.Gọi M, N , I lần lượt là trung điểm của BC, AD và AC. Cho AB2a ,

2 2

CD a và MN a 5. Tính góc  



AB CD,



A. 135. B. 60. C. 90. D. 45.

Câu 10. Cho hình chóp .S ABC có SA



ABC



, SA a , ABC đều cạnh a. Tính góc giữa SB và



ABC



A. arctan 2 . B. 60. C. 45. D. 90.

Câu 11. Cho hình chóp .S ABC có SA



ABC



, SA a , ABC đều cạnh a. Tính











tan SC SAB,

A. 
3

5 . B.

3 . C.

2 . D. 2.

Câu 12. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng



ABC



và



DBC



. Tính cos?

A. 3. B.

3. C.

3 . D.

1
2.

Câu 13. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh a; SA



ABCD



và SA a . Tính góc 
giữa hai mặt phẳng



ABCD



và



SBC



A. 4


. B. 3



. C.

2
3



. D. 6


.

Câu 14. Cho hình chóp .S ABCD có cạnh đáy bằng a; SA



ABCD



và SA a . Tính góc  giữa hai mặt
phẳng



SBC



và



SDC



A. 
2

3


. B. 6



. C. 4



. D. 3


.

Câu 15. Cho ba tia Ox, Oy, Oz trong không gian sao cho xOy120, zOy90, xOz60 Trên ba tia ấy
lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho OA OB OC a   . Gọi  ,  lần lượt là góc giữa mặt phẳng



ABC



</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

A. 
1

2 . B. 2 . C.

2 . D. 1.

Câu 16. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; SA



ABCD



và SA a 3. Tính góc giữa hai
đường thẳng SD và BC

A. 60. B. 30. C. 45. D. 90.

Câu 17. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình thoi cạnh a; SA



ABCD



và SA a 3. Gọi I và J lần
lượt là trung điểm của SA và SC. Tính góc giữa hai đường thẳng IJ và BD

A. 90. B. 60. C.

1
arctan

3 . D. 45.

Câu 18. Cho tứ diện ABCD có

4
3

CD AB

. Gọi I , J , K lần lượt là trung điểm của BC, AC, DB. Biết

5
6

IK  AB

.Tính góc giữa hai đường thẳng CD và IJ

A. 90. B. 60. C. 45. D. 30.

Câu 19. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Tính

góc giữa hai đường thẳng MN và C D 

A. 90. B. 45. C. 60. D. 30.

Câu 20. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a. Tính góc giữa hai đường thẳng BD và AD

A. 90. B. 45. C. 60. D. 30.

Câu 21. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC,

C D . Tính góc giữa hai đường thẳng MN và AP

A. 90. B. 45. C. 60. D. 30.

Câu 22. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a. Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của AB, BC,
C D . Tính góc giữa hai đường thẳng DN và A P

A. 90. B. 45. C. 60. D. 30.

Câu 23. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a; SA



ABCD



và SA a 6. Tính
cosin góc tạo bởi SC và mặt phẳng



SAB



.

A. 
1

3 . B.

6 . C.

8 . D.

3
7 .

Câu 24. Cho hình chop S ABCD. có đáy ABCD là hình vng cạnh ,a SA vng góc với



ABCD



cà
6

SA a . Tính sin của góc tạo bởi AC và mặt phẳng



SBC



.

A.
1

3 . B.

6 . C.

7 . D.

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Câu 25. Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ’ ’ ’ có đáy ABC cân đỉnhA ABC,  , BC' tạo đáy góc . Gọi I là
trung điểm củaAA’ , biếtBIC 900 . Tính tan2tan2

A.
1

2. B. 2 . C. 3 . D.1 .

Câu 26. Cho hình chóp S ABC. có SA là đường cao và đáy là tam giác ABC vuông tạiB . ChoBSC450 ,
gọiASB . Tìm sin để góc giữa hai mặt phẳng



ASC



và



BSC



bằng 600

15
sin

5
 

. B.

2
sin

2
 

. C.

3 2
sin

9
 

. D.

1
sin

5
 

Câu 27. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đơi một vng góc. Giả sử AB1, AC2, AD3. Khi đó 
khoảng cách từ A đến mặt phẳng



BCD



bằng:

A. 
7

5. B.

7 . C.

7 . D.

7
11.

Câu 28. Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có AB a , AD b , AA c. Khoảng cách giữa hai đường 
thẳng BB và AC là:

A. 2 2

bc

b c . B. 2 2

ab

a b . C. 2 2

bc

a b . D.

2 2

2 a b .

Câu 29. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SAB là tam giác đều và nằm trong mặt
phẳng vng góc với đáy. Tính theo a khoảng cách từ A đến mặt phẳng



SCD



A. 
7
7

a

. B.

7
21

a

. C.

21
7

a

. D.

7
3
a

.

Câu 30. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi A là hình chiếu của A trên mặt phẳng



BCD



. Độ dài cạnh
AA là:

A. 
6
3

a

. B.

6
4

a

. C.

3
2

a

. D.

6
3
a

.

Câu 31. Cho tứ diện ABCD có AC a , BD3a. Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết
ACBD. Tính MN.

A. 
6
3

a

. B.

2 3
3

a

. C.

3 2
2

a

. D.

10
2

a

.

Câu 32. Cho hình lập phương ABCD EFGH. có cạnh a. Tính tích AB EG. ?

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

Câu 33. Cho tứ diện ABCD có AB6, CD3. Góc giữa AB và CD bằng 60o. Điểm M nằm trên đoạn
BC sao cho BM 2MC. Mặt phẳng

 

P qua M song song với AB và CD cắt AC, AD và BD lần
lượt tại N, P, Q . Tính diện tích MNPQ?

A. 2 2. B. 2 3. C. 3. D. 3 2.

Câu 34. Cho tứ diện ABCD có AB CD , AB CD 6; M là điểm thuộc cạnh BC sao cho



0 1



MC xBC x

. Mặt phẳng

 

P song song với AB và CD lần lượt cắt BC, AC, AD, BD tại
M, N , P, Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác MNPQ là:

A. 9. B. 6. C. 10. D. 12.

Câu 35. Cho tứ diện ABCD có DA



ABC



, AC AD4, AB3, CD5. Tính khoảng cách từ A đến 
mặt phẳng



BCD



A. 
12

5 . B.

34 . C.

34 . D.

3 .

Câu 36. Cho hình chóp .S ABC có SA



ABC



, SA3a, AB BC 2a, ABC120o. Tính khoảng cách từ
A đến



SBC



.

A. a. B. 2a. C.

3
2

a

. D.

3
2

a

.

Câu 37. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, AB AD a  , CD2a, 
cạnh SD vng góc với



ABCD



, SD a . Tính d A SBC



;





.

A. 
3
3

a

. B. a 3. C.

6
6

a

. D.

6
3

a

.

Câu 38. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD2a, SA



ABCD



, SA a . 
Tính khoảng cách từ trung điểm I của SC đến



SBD



A. 
3
3

a

. B. 3

a

. C.

3
2

a

. D.

2
3

a

.

Câu 39. Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vng cạnh a. Đường thẳng SA



ABCD



, SA a . Tính 
khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.

A. a. B. a 2. C. a 3. D. 2a.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

A. 
2
2

a

. B. a. C. a 2. D. 2a.

Câu 41. Cho hình chóp .S ABC trong đó SA, AB, BC đơi một vng góc và SA AB BC  1. Tính độ dài
SC.

A. 2. B. 3. C. 2. D.

3
2 .

Câu 42. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA



ABCD



, SA a 3. Tính
khoảng cách từ A đến mặt phẳng



SBC



A. 2

a

. B.

3
2

a

. C.

3
2

a

. D. 3

a

.

Câu 43. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là nữa lục giác đều với đáy lớn AD2a SA



ABCD



và
3

SA a . Tính khoảng cách từ A đến



SBC



.

A. a. B.

3
2

a

. C.

3
5
a

. D.

3
7
a

.

Câu 44. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi một vng góc với nhau. Gọi a, b, c tương ứng là độ dài

của các cạnh OA, OB, OC. Gọi h là khoảng cách từ O đến



ABC



thì h có giá trị là:

A.

1 1 1
h

a b c

  

. B. 2 2 2

1 1 1

h

a b c

  

.

C.

222222

222

abbcca

h

abc





. D. 222222

abc

h

abbcca



.

I. Phần trắc nghiệm(6 điểm/20 câu, từ câu 1 đến câu 20): Chung cho tất cả thí sinh.
Câu 1: Đạo hàm của hàm số ytanx là

A. 2

sin x B. 2

1
sin x



C. 2

1
os

c x D. - 2

1
os

c x

Câu 2: Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng

 

 . Mệnh đề nào là mệnh đề đúng trong các
mệnh đề sau ?

A. Nếu a/ /

 

 và

 

 / /b thì b a/ / B. Nếu a/ /

 

 và ba thì

 

 b
C. Nếu a/ /

 

 và b

 

 thì a b . D. Nếu a

 

 và ba thì

 

 / /b
Câu 3: Vi phân của hàm số

2 1

y x

x

  

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

A. 2

1 1

2 1

dy dx

x
x

 

  



  B. 2

2 1

x

dy dx

x
x

 

  



 

C. 2

2 1

x

dy dx

x
x

 

  



  D. 2

1 1

2 1

dy dx

x
x

 

  



 

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA  (ABCD). Tính khoảng cách từ

điểm B đến mp (SAC).
A. 2

a

B. 
2
3

a

C. 
2
4

a

D.

2
2
a

Câu 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, cạnh bên SA vng góc với đáy, M là
trung điểm BC, J là trung điểm BM. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A. BC(SAB) B. BC(SAM) C. BC(SAC) D. BC(SAJ)

Câu 6: Cho hàm số

3
2

( ) 4 6.

3 2

x

f x   x  x

Phương trình f x( ) 0 có nghiệm là:

A. x1, x4 B. x1, x4 C. x0, x3 D. x1

Câu 7: Đạo hàm cấp hai của hàm số ytanx là:

A. y'' 2 tan (1 tan ). x  2x B.

C. D.

Câu 8:

2
2

3 5 1

lim

2 3

n n

  

  bằng:A.

2 B.



C. 0 D.

3
2



Câu 9: Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số yf x( )x3x tại điểm M( 2;6). Hệ số góc của (d) là

A. 11 B. 11 C. 6 D. 12

Câu 10: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp
và bằng vectơ AB là:

A. DC A B D C; ' '; ' '

  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
  
  
  
  

B. DC A B C D; ' '; ' '

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

C. DC C D B A; ' '; ' '

  
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

D. CD D C A B; ' '; ' '

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Câu 11:

3
0

1 1
lim

x

x
x



 

bằng A. 0 B. 1 C.

1
3 D.

1
9

Câu 12:





4 2

lim 3 9 5

x   x  x  bằng: A. -2 B.  C.  D. 2

Câu 13: 1

2 1
lim

1
x

x
x





 

 bằng:A.

3 B. −∞ C.

3 D. +∞

Câu 14: Điện lượng truyền trong dây dẫn có phương trình Q t 2. Tính cường độ dịng điện tức thời tại
thời điểm t0 3(giây) ?

A. 3( )A B. 6( )A C. 2( )A D. 5( )A

Câu 15: Cho hàm số yf x( )x3 3x212. Tìm x để f x'( ) 0.

A. x ( 2;0)B. x   ( ; 2) (0; )C. x  ( ;0) (2; )D. x(0;2)

Câu 16: Đạo hàm của hàm số

7
4

5
6
3

y x  x

  là:

A.

6
4

7 6

3x x

 



 

  B.

6
3

20
6
3 x

 



 

  C.

4 4

5 5

7 6 6

3x 3x x

   

 

   

    D.

3 4

20 5

7 6 6

3 x 3x x

   

 

   

   

Câu 17: Tính chất nào sau đây khơng phải là tính chất của hình hộp?

A. Có số cạnh là 16.B. Có số đỉnh là 8.C. Có số mặt là 6.D. Các mặt là hình bình hành
Câu 18: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A. Trong không gian, hai đường thẳng vng góc với nhau thì có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

B. Trong không gian cho hai đường thẳng song song. Đường thẳng nào vng góc với đường thẳng
này thì vng góc với đường thẳng kia.

C. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song song
với nhau.

D. Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thứ ba thì song
song với nhau.

Câu 19: Cho hàm số:

2 1 0

( )

x khi x

f x

x khi x

  





 trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. xlim ( ) 10 f x  B. xlim ( ) 00 f x 

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

A. Có vơ số đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vng góc với mặt phẳng cho trước.

B. Đường thẳng vng góc với một mặt phẳng thì vng góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng
đó .

C. Nếu một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vng
góc với mặt phẳng ấy.

D. Có vơ số mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vng góc với đường thẳng cho trước.

II. Phần tự luận

Câu 21 a. (1.0điểm) 1. Tìm giới hạn:

2 11
lim

5 3

x

x
x

 

 
 .
2. Tìm đạo hàm của các hàm số: y x 3cos (3x+1).

Câu 22a(1.0điểm) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm sốyx26x4 tại điểm A(-1;-3) 
Câu 23a (2.0điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA  (ABCD) và SA

</div>

Ôn tập Cuối năm

<b>ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II</b>

|

<i>q</i>

|<

1

 

 

 

 

 

 

 





 









































































 

 

 

















<b>BÀI 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ</b>

















<b>BÀI 2: GIỚI HẠN HÀM SỐ</b>

lim

lim

lim

lim

lim

lim

lim