Chuyên đề Phương trình bậc hai một ẩn

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn Nhắc lại về biến đổi đồng nhất.. I.PhÐp nh©n c¸c ®a thøc: Với A, B, C, D, E là các đơn thức thì: A(B + C) = (B + C)A = AB + AC (A + B)(C + D - E) = AC + AD – AE + BC + BD – BE. II.Những hằng đẳng thức đáng nhớ: (A + B)2 = A2 + 2AB + b2 (A - B)2 = A2 - 2AB + b2 A2 – b2 = (a + b)(a – b). (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3ab2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3ab2 - B3 A3 – b3 = (a – b)( A2 + AB + b2) = (A - B)3 + 3ab(a – b) A3 + b3 = (a + b)( A2 - AB + b2) = (A + B)3 - 3ab(a + b) (A + B+c)2 = A2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca. Lưu ý: - Khi giải các bài toán vận dụng hằng đẳng thức, chúng ta phải vận dụng các hằng đẳng thức theo cả hai chiÒu khai triÓn vµ thu gän mét c¸ch linh ho¹t. - Hai đa thức bằng nhau với mọi giá trị của biểu thức khi tất cả các hệ số của chúng đều tương ứng b»ng nhau - Một đa thức bằng đa thức không khi tất cả các hệ số của nó đều bằng không. III. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: 1. PP đặt nhân tử chung 2. PP dùng hằng đẳng thức. 3. PP nhãm nhiÒu h¹ng tö. 4. PP t¸ch mét h¹ng tö thµnh nhiÒu h¹ng tö. 5. PP thªm bít cïng mét h¹ng tö. 6. PP xÐt gi¸ trÞ riªng. ( NÕu ®a thøc A(x) cã nghiÖm x = a th× tån t¹i ®a thøc B(x) sao cho A(x) = (x- a).B(x) ). Chó ý: Khi sö dông mét trong c¸c PP 3, 4 , 5 : sau khi nhãm, t¸ch, thªm bít h¹ng tö th× qu¸ tr×nh ph©n tÝch ph¶i tiÕp tôc ®­îc ( Sö dông PP 1 hoÆc 2 ). IV. Phân thức đại số. 1. Hai ph©n thøc b»ng nhau:. A C   AD  BC B D. Lop7.net-1-.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn. 2. NÕu ®a thøc M kh¸c ®a thøc kh«ng th×:. AM A A : M A  ;  BM B B : M B. 3. C¸c phÐp tÝnh: a) PhÐp céng:. A B A B   ( M ≠ 0). M M M. Nếu hai phân thức khác mẫu thì cần quy đồng mẫu thức rồi thực hành cộng như trên. Các bước quy đồng mẫu thức: (Biến đổi các phân thức thành các phân thức mới có cùng mÉu) Bước 1: Tìm mẫu thức chung (MTC) : -. MTC phải chia hết cho tất cả các mẫu cần quy đồng.. -. Nếu các mẫu cần quy đồng không có nhân tử chung thì lấy MTC là tích của tất cả các mẫu đó.. Bước 2: Tìm nhân tử phụ (NTP): NTP = MTC chia cho mẫu tương ứng Bước 3: Lấy cả tử và mẫu của từng phân thức nhân với NTP tương ứng, ta được các ph©n thøc cã cïng mÉu thøc. b) PhÐp trõ:. A C A C    ( ) B D B D. c) PhÐp nh©n: d) PhÐp chia:. A C A.C .  B D B.D A C A D AD :  .  B D B C BC. Một số lưu ý: - Trước khi quy đồng mẫu thức hay thực hiện các phép tính, nếu có thể thì nên rút gọn phân thức trước. Kết quả sau khi biến đổi các biểu thức hữu tỷ cũng cần được rút gọn. - Các phép tính với đa thức cũng có đầy đủ các tính chất của các số thực ( giao hoán, kết hîp, ph©n phèi). - Khi gi¶i c¸c bµi to¸n liªn quan tíi gi¸ trÞ cña ph©n thøc cÇn chó ý t×m §KX§ cña ph©n thøc.. Lop7.net-2-.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.. 1. Dạng của phương trình: ax2 + bx + c = 0. (a ≠ 0).. 2. Giải và biện luận: ∆ = b2 – 4ac ( Hoặc ∆’ = b’2 – ac, với b’ = b/2) +) Nếu ∆ > 0 ( Hoặc ∆’ > 0): Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1,2 . b   2a. (Hoặc x1,2 . b '  ' ) a. +) Nếu ∆ = 0 ( Hoặc ∆’ = 0): Phương trình có nghiệm kép: x1  x2  . b a. ( Hoặc x1  x2  . b' ) a. +) Nếu ∆ < 0 ( Hoặc ∆’ < 0): Phương trình vô nghiệm. 3. Hệ thúc Vi-ét: Nếu phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì: b   x1  x2   a   x .x  c  1 2 a. C¸c d¹ng to¸n. Dạng 1: Xác định số nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0. 1. Phương pháp giải: Xác định các hệ số a, b, c của phương trình: -. Nếu a = 0: Phương trình trở thành PT bậc nhất một ẩn: bx + c =0.. -. NÕu a ≠ 0: TÝnh biÖt thøc ∆ = b2 – 4ac ( hoÆc ∆’ = b’2 – ac, víi b’ =. b ) 2. . Nếu ∆ < 0 ( Hoặc ∆’ < 0): Phương trình vô nghiệm.. . Nếu ∆ = 0 ( Hoặc ∆’ = 0 ): Phương trình có nghiệm kép.. . Nếu ∆ > 0 ( Hoặc ∆’ > 0 ): Phương trình có hai nghiệm phân biệt.. L­u ý: - Kh«ng cÇn tÝnh ra nghiÖm.. - Nếu ac<0 thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 1.1: Xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức ∆ và cho biết số nghiệm của các phương trình bậc hai sau: 1) 3x2 – 7x + 3 = 0. 2) -2x2 - 8x -7 =0 Lop7.net-3-.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn. 3) ( 3  1) x 2  5 x  3  1  0 5) x 2 . 3 9 x 0 2 16. 4) 2x2 + 5x +. 25 =0 8. 6) 2 x 2  6 2 x  9  0. Bài 1.2: Không cần tính biệt số ∆, chứng tỏ rằng các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: a). 2 x2  9x  3 7  0. b) (2  3) x 2  4 x  m 2  3m  4  0 ( m lµ tham sè) Bài 1.3: Hãy xác định tham số k để phương trình vô nghiệm? a) 3 x 2  2 x  k  0. c) 3 x 2  kx  2  0. b) 2 x 2  2kx  k  0. 4 d) 3 x 2  4kx  k 2  k  2  0 3. Bài 1.4: Hãy xác định tham số k để phương trình sau có: hai nghiệm phân biệt, nghiệm kép: a) 20 x 2  4 x  3k  1  0. b) (k  1) x 2  2kx  k  2  0. c) 3 x 2  4kx  k 2  0 Bµi 1.5: Cho c¸c hÖ sè a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn a > c > 0, b > a + c. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt. Bài 1.6: Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác, chứng minh phương trình c 2 x 2  (a 2  b 2  c 2 ) x  b 2  0 ( x lµ Èn sè) v« nghiÖm. ( HDÉn: Sö dông B§T tam gi¸c) Dạng 2: Giải phương trình bậc hai . 1. Phương pháp giải: - Đưa phương trình cần giải về dạng: ax2 + bx + c = 0. - Xác định các hệ số a, b, c của phương trình. - TÝnh ∆ hoÆc ∆’. -áp dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để kết luận nghiÖm ( Chó ý rót gän c¸c nghiÖm nÕu cã thÓ) 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 2.1: Giải các phương trình sau: a) 3x2-5x-8=0. b) 5x2 - 3x + 15 = 0. c) x2 – 4x + 1 = 0. d) 3x2 + 7x + 2 = 0. Bài 2.2: Giải các phương trình sau: a) 5 x 2 . 10 5 x 0 7 49. b). x2 4x 1   0 3 5 12. Lop7.net-4-.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Phan huy Th«ng c) x 2 . Phương trình bậc hai một ẩn. 3 9 x 0 2 16. Bài 2.3: Giải các phương trình sau: a) (5  2) x 2  10 x  5  2  0. b) ( 5  2) x 2  ( 5  1) x  3 5  0. c*) x 2  x  2  0. d*) (1  2) x 2  2(1  2) x  1  3 2  0. e) ( 2  1) x 2  x  2  0. f) 2 x 2  (2 6  3) x  3 6  0. Dạng 3: Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 . 1. Phương pháp giải: * Với a = 0: Phương trình trở thành phương trình bậc nhất bx + c = 0. - Nếu b ≠ 0 thì phương trình có một nghiệm duy nhất: x  . c b. - Nếu b = 0 và c ≠ 0 thì phương trình có vô nghiệm. - Nếu b = 0 và c = 0 thì phương trình có vô số nghiệm. * Với a ≠ 0 : Phương trình trở thừnh phương trình bậc hai . Ta có: ∆ = b2 - 4ac. ( hay ∆’ = b’2 – ac ). - Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm. - Nếu ∆ = 0 thì phương trình có một nghiệm kép: x1 = x2 = -. b 2a. (=-. - Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 . b   b   ; x2  2a 2a. ( x1,2 . * Kết luận cho tất cả các trường hợp đã biện luận. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 3.1: Giải và biện luận các phương trình: ( x là ẩn) a) (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0. b) x2 + (1 – m)x – m = 0. c) (m – 3)x2 - 2mx +m – 6 = 0. d) (m – 3 )x2 – 2(3m + 1)x + 9m – 2 = 0 e) (3 – k)x2 + 2(k – 2)x – k + 2 = 0. 1 f) (4 + 3m)x2 + 2(m + 1)x + ( m – 2) = 0. 3. g) ( m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 h) 2x2 – 2(2m + 1) x + 2m2 + m – 2 = 0. Lop7.net-5-. b '  ) a. b' ) a.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn. Bài 3.2: Giải và biện luận phương trình ( ẩn x) : 2 x3  (3  2m) x 2  2mx  m 2  1  0 ( HDÉn: Coi m lµ Èn, x lµ tham sè ). Dạng 4: Hệ phương trình chứa hai ẩn x và y gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc. hai. 1. Phương pháp giải: - Từ phương trình bậc nhất của hệ, tìm y theo x ( hoặc x theo y ). - Thay biểu thức y theo x tìm được ở trên vào phương trình bậc hai của hệ ta được phương trình bậc hai đối với . - Giải phương trình tìm x, sau đó thay vào biểu thức của y để tìm y. 2. C¸c bµi tËp vËn dông:. 2 x  y  5  0 Bài 4.1: Giải hệ phương trình:  2  y  x  4x x  y  6 Bài 4.2: Cho hệ phương trình:  2 2 y  x  a Xác định a để: a) HÖ v« nghiÖm. b) HÖ cã nghiÖm duy nhÊt. c) HÖ cã hai nghiÖm ph©n biÖt.. 3 x  4 y  1  0 Bài 4.3: Giải các hệ phương trình: a )   xy  3( x  y )  9. 2 x  3 y  2 b)   xy  x  y  6  0. x  y  m Bài 4.4: Giải và biện luận hệ phương trình:  2 2 x  y  2x  2 Dạng 5: Định tham số để hai phương trình có nghiệm chung. 1. Phương pháp giải: - Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x = x0 vào hai phương trình ta được hệ phương trình với ẩn là các tham số. - Giải hệ để tìm tham số. -Thử lại với tham số vừa tìm, hai phương trình có nghiệm chung hay không. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 5.1: Cho hai phương trình : x2 + x + a = 0 và x2 + ax + 1 = 0 a) Định a để hai phương trình trên có nghiệm chung. Lop7.net-6-.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn. b) Định a để hai phương trình tương đương. Bài 5.2: Chứng minh rằng nếu hai phương trình : x2 + ax + b = 0 và x2 + cx + d = 0, có nghiệm chung thì: (b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = 0. Bài 5.3: Xác định m để hai phương trình sau có nghiệm chung: x2 + mx + 2 = 0 và x2 + 2x + m = 0 ? Bài 5.4: Xác định m, n để hai phương trình sau tương đương: x2 – (2m + n)x – 3m = 0 vµ x2 – (m + 3n)x – 6 = 0. HDẫn: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình (1); x3, x4 là nghiệm của phương trình (2). Để hai Phương trìh tương đương thì x1 = x3 và x2 = x4 hoặc ngược lại. Nên S1 = S2 và P1 = P2. Bài 5.5: Tìm các giá trị của m để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: x2+ (m – 8)x + m + 3 = 0. (1). x2 + (m – 2)x + m - 9 = 0. (2). Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung: a) x2 + x + a = 0. x2 + ax + 1 = 0. b) x2 + ax + 2 = 0. x2 + 2x + a = 0. c) x2 + ax + 8 = 0. x2 + x + a = 0. Bài 5.6: Tìm các giá trị của a để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt : (x2 + x + a)( x2 + ax + 1) = 0. Dạng 6: Phương trình có hai ẩn số. 1.Phương pháp giải: Trong một phương trình có hai ẩn số, ta xem một ẩn là tham số rồi giải phương trình ấy theo ẩn còn lại. PP này gọi là phương pháp đặt tham số mới. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 6.1: Chứng minh rằng chỉ có một cặp số duy nhất (x, y) thoả mãn phương trình: x2 - 4x + y - 6 y + 13 = 0 3 2  x  y  2 Bài 6.2: Giải hệ phương trình:  2 2  x  xy  y  y  0. Bài 6.3: Giải phương trình: y 4  4 y 2 x  11 y 2  4 xy  8 y  8 x 2  40 x  52  0 2 2 10 x  5 y  2 xy  38 x  6 y  41  0 Bài 6.4: Giải hệ phương trình:  2 2 3 x  2 y  5 xy  17 x  6 y  20  0. 698  4 2 x  y  Bài 6.5: Giải hệ phương trình:  81  x 2  y 2  xy  3 x  3 y  4  0  Dạng 7: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm số. Lop7.net-7-.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn. 1.Phương pháp giải: - Tính ∆ và chứng tỏ ∆ ≥ 0 để phương trình có nghiệm. - áp dụng định lý Vi-ét :. S  x1  x2  . b a. ;. P  x1.x2 . c a. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 7.1: Không giải phương trình, tính tổng và tích các nghiệm của các phương trình sau: a) 2 x 2  3 x  7  0 c). b) 3 x 2  6 x  8  0. 3x 2  x  1  0. d) 7 x 2  2 7 x  9  0. Dạng 8: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm. 1.Phương pháp giải: - áp dụng địnhlý Vi-ét : x1 + x2 = -. b c ; x1.x2 = a a. - Nhẩm : x1 + x2 = m + n ; x1.x2 = m.n thì phương trình có nghiệm là x1 = m ; x2 = n. - NÕu a + b + c = 0 th×: x1 = 1 ; x2 =. c a. - NÕu a - b + c = 0 th×: x1 = -1 ; x2 = -. c a. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 8.1: Dùng định lý Vi-ét để nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) x 2  10 x  16  0. b) x 2  15 x  50  0. c) (m + 1)x2 + 3mx + 2m – 1 = 0. ( m ≠ -1). d) (2m – 1)x2 – mx – m – 1 = 0. (m≠. 1 ) 2. Bài 8.2: Phương trình 3x2 + 7x + m = 0 có một trong các nghiệm bằng 1. Xác định số m và nghiệm còn lại ? Bài 8.3: a) Phương trình 0,1x2 - x + k = 0 có một trong các nghiệm bằng -1. Xác định số k và nghiệm còn lại ? b) Phương trình 15x2 + bx - 1 = 0 có một trong các nghiệm bằng. 1 . Xác định số b và nghiệm còn lại ? 3. D¹ng 9: Ph©n tÝch ax2 + bx + c thµnh nh©n tö. Phương pháp giải: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm x1, x2 thì ax2 + bx + c = a( x – x1)(x – x2) Dạng 10: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó. 1.Phương pháp giải: - TÝnh tæng hai nghiªm : S  x1  x2 vµ tÝch hai nghiÖm : P  x1.x2 - Phương trình nhận x1, x2 làm nghiệm là: X2 – SX + P = 0. Lop7.net-8-.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 10.1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là các cặp số sau: b) 1  2 vµ 1  2. a) 7 vµ 3. Bài 10.2: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là :. 1 1 vµ 10  72 10  6 2. Bài 10.3: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là : a) 4  15 vµ 4  15. b) 9  2 5 vµ 9  2 5. c) 2 5  4 3 vµ 2 5  4 3. d). 5 3 vµ 5 3. 5 3 5 3. Bài 10.4: Gọi m, n là các nghiệm của phương trình : x 2  (1  2) x  2  0 bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ:. (m<n). Lập phương trình. 1 1 vµ . 1 n m 2. Bài 10.5: Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là :. 5 3 5 3. Bài 10.6: Lập phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có một nghiệm là :. 5 3 5 3. Dạng 11: Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai. 1.Phương pháp giải: Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) : * Phương trình có hai nghiệm trái dấu.  P < 0.. * Phương trình có hai nghiệm cùng dấu.   0  P  0. * Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.   0   S  0 P  0 . * Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.   0   S  0 P  0 . 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 11.1: Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x + m + 1 = 0. (1). Định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu. b) Có hao nghiệm dương phân biệt. Lop7.net-9-.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn c) Có đúng một nghiệm dương.. Bài 11.2: Cho phương trình : (m – 4)x2 - 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Định m để phương trình : a) Có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương? b) Cã hai nghiÖm cïng dÊu? Bài 11.3: Cho phương trình : x2 + 2(m – 2)x – 2m + 1 = 0. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm cùng dương ? hai nghiệm trái dấu ? Bài 11.4: Cho phương trình x2 – mx + m2 – 3 = 0. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ? b) Tìm m để phương trình chỉ có một nghiệm dương ? Bài 11.5: Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm cùng dấu ? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì? a) x2 – 2mx + (5m – 4) = 0. b)mx2 + mx + 3 = 0.. Bài 11.6: Cho phương trình : mx2 – 2(m + 1)x + m + 2 = 0 a) Định m để phương trình có nghiệm b) Định m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu. Dạng 12: Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thoả điều kiện cho trước. 1.Phương pháp giải: * Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : ∆ ≥ 0 * Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét giải hệ đối với nghiệm x1, x2 rồi thay vào phương trình thứ ba của hệ để tìm tham số. * KiÓm tra l¹i m cã tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cã nghiÖm kh«ng råi kÕt luËn. 2. C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 12.1: Xác định m để phương trình x2 + 2x + m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 3x1 + 2x2 = 1? Bài 12.2: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0. a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: 3x1 - 4x2 = 11. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều âm. c) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m. Bài 12.3: Xác định k để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 = 2x2: a) x2 + 6x + k = 0. b) x2 + kx + 8 = 0.. Bài 12.4: Xác định k để phương trình x2 + 2x + k = 0 có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn một trong các điều kiện sau:. a) x12 - x22 = 12 ;. b) x12 + x22 = 1.. Bài 12.5: Cho phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 3m – 1 = 0. a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12. b) T×m mét hÖ thøc gi÷a x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m. Lop7.net -10-.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn. Bài 12.6: Cho phương trình (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + m – 2 = 0. a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 ; tính nghiệm kia. c) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn:. 1 1 7   . x1 x2 4. d) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = 2x12 + 2x22 + x1 x2. Bài 12.7: Cho phương trình :. x2 - 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0.. (1).. a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Cho biểu thức: A = x12 + x22 + 6x1 x2. Tìm m sao cho A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó? Bài 12.8: Cho phương trình (m - 1)x2 - 2m x + m + 2 = 0. a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Khi đó hãy tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức : Bài 12.9: Cho phương trình :. x2 - 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0.. x1 x2   6  0. x2 x1. ( m lµ tham sè).. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và -x12 - x22 + 2006 đạt giá trị lớn nhất. Dạng 13: Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của phương trình bậc hai. 1.Phương pháp giải: * Biểu thức giữa x1, x2 gọi là đối xứng nếu ta thay x1 bởi x2 và x2 bởi x1 thì biểu thức không đổi. * Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P ( tổng và tích các nghiệm số).. Ch¼ng h¹n: x12 + x22 = (x1+ x2)2 - 2 x1x2 = S2 – 2P. x12 + x23 = (x1+ x2)3 - 3 x1x2(x1+ x2) = S3 – 3PS.. 1 1 x1  x2 S x1 x2 x1  x2 S 2  2 P .    ;    x1 x2 x1 x2 P x2 x1 x1 x2 P 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 13.1: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 + mx + 1 = 0. Tính giá trị của các biểu thức sau; a) x13 + x23. b). x12 x2 2  x2 2 x12. Bài 13.2: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 + 2mx + 4 = 0. Xác định m sao cho x14 + x24 ≤ 32. Dạng 14: Tìm hệ thức giữa các nghiệm x1 , x2 của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số. 1.Phương pháp giải: Lop7.net -11-.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn. * Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm: ∆ ≥ 0. * Tõ hÖ thøc Vi-Ðt t×m S, P theo tham sè m. * Khử tham số m từ S, P để có hệ thức giữa S, P ( tức là hệ thức giữa x1, x2 ) không phụ thuéc vµo m 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 14.1: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m2 - 1 = 0 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m? Bài 14.2: Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình: x2 – (m – 3)x + 2m + 1 = 0 . Tìm hệ thức giữa x1, x2 kh«ng phô thuéc vµo m? Bài 14.3: Cho phương trình : x 2  (2m  3) x  m 2  3m  2  0. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m ; b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau ; c) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m ? Bài 14.4: Cho phương trình : (m  2) x 2  2(m  4) x  (m  4)(m  2)  0. (m  2). a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép : b) Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2. Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập với m ; c) TÝnh theo m biÓu thøc A . 1 1  ; x1  1 x2  1. d) Tìm m để A = 2. Bài 14.4: Cho phương trình : x 2  mx  4  0 a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m ; b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A . 2( x1  x2 )  7 x12  x2 2. c) Tìm giá trị của m sao cho hai nghiệm của phương trình đều là số nguyên. HDÉn: b) Theo hÖ thøc Vi-Ðt ta cã x1 + x2 = m ; x1x2 = -4. Ta cã A  A. 2m  7 xác định với mọi m và m2  8. 2m  7  Am 2  2m  8 A  7  0 2 m 8. (*). . Víi A = 0 th× m = 3,5.. . Víi A ≠ 0, ta coi (*) lµ PT bËc hai Èn lµ m vµ cã nghiÖm nªn ∆ ≥ 0  1  A . Lop7.net -12-. 1 8.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn .  MaxA . 1 . Khi đó PT (*) có nghiệm kép m = 8. 8. Dạng 15: Giải hệ phương trình đối xứng hai ẩn. 1.Phương pháp giải: * Hệ gọi là đối xứng hai ẩn x, y nếu hệ không thay đổi khi thay x bởi y, y bởi x. * C¸ch gi¶i: + §Æt S = x + y, P = x.y. + Đưa hệ đã cho về hệ mới hai ẩn S, P. Chú ý đến các biểu thức đối xứng x, y. + Giải tìm S, P. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P = 0. + NÕu ( x, y ) lµ nghiÖm th× ( y, x ) còng lµ nghiÖm. 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 15.1: Giải hệ phương trình:.  x  y  xy  5 a)  2 2 x  y  5.  x  y  2 xy  7 b)  2 2 x  y  5.  x  y  xy  11 c)  2 2  x  y  3( x  y )  28.  x y 13    d)  y x 6 x  y  5 . 2 2 x  xy  3 x e)  2 2 y  xy  3 y. Một số phương trình quy về phương trình bậc hai. Dạng 1: Giải phương trình trùng phương(ax4 + bx2 + c = 0) 1.Phương pháp giải: Đặt t = x2 ( t  0), đưa về phương trình bậc hai at2 + bt + c = 0. (1) . Phương trình trùng phương có 4 nghiệm phân biệt khi (1) có hai nghiệm dương.   0  phân biệt, khi đó ta giải hệ sau theo m :  S  0 P  0  . Phương trình trùng phương có hai nghiệm trái dấu  P  0. . Phương trình trùng phương vô nghiệm khi (1) vô nghiệm (∆ < 0) hoặc (1) có hai.   0  nghiÖm cïng ©m, tøc lµ:  S  0 P  0  2.C¸c bµi tËp vËn dông: Lop7.net -13-.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn. Bài 1.1: Cho phương trình: x 4  2(m  1) x 2  m 2  0. (1). Xác định m để phương trình :. a) Cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. b) V« nghiÖm. c) Cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. Dạng 2: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. 1.Phương pháp giải: Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình. Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu. Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm được với ĐKXĐ, loại các giá trị không thoả mãn, các giá trị thoả mãn ĐK là nghiệm của phương trình đã cho.  Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu. * Đặt ĐK để phương trình có nghĩa; * Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu; * Giải và biện luận phương trình bậc hai; * KiÓm tra ®iÒu kiÖn vµ kÕt luËn. 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 2.1: Giải các phương trình sau: a). 2x  5 3x  x 1 x  2. b). 4x x 1  x2 x2. c). 2x 5 5   2 x  2 x  3 x  5x  6. d). 1 3 1   1 3 x  27 4 x 3 2. Bài 2.2: Giải các phương trình sau: a). 2 x 1 x2  4x  5   1 2x  3 2  x 2x2  x  6. b). 1 1 1 1 1  2  2  2  x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2 2. Bài 2.3: Giải phương trình sau: (1  x) 2  1 x 1  mx. ( m lµ tham sè ). Bài 2.4: Giải các phương trình sau: a). 3 x2 (3 x  2)(3 x  2)  2  x  2 x  2x  4 x3  8. Lop7.net -14-.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Phan huy Th«ng b). Phương trình bậc hai một ẩn. 2 x2 10   2 x  3 3x  x x( x 2  9). Dạng 3: Giải phương trình đưa về dạng tích. 1.Phương pháp giải:.  A( x)  0 A( x) B( x)  0    B( x)  0 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 3.1: Giải các phương trình sau: a) (4x2 - 25)(2x2 – 7x – 9) = 0. b) (2x2 – 3)2 – 4(x – 1)2 = 0. c) 2x(3x – 1)2 – 9x2 – 1 = 0. d) x3 + 3x2 + x + 3 = 0.. Dạng 4: Phương trình bậc ba có một nghiệm cho trước. 1.Phương pháp giải: Phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm x =  . Bằng phép chia đa thức ( Hoặc dùng sơ đồ Hoocner) phân tích vế trái thành:. x   ( x   )(ax 2  b1 x  c1 )  0   2  ax  b1 x  c1  0 Giải phương trình bậc hai ax 2  b1 x  c1  0 ta được các nghiệm khác ngoài nghiệm x   của phương trình bậc ba.  Sơ đồ Hoocner: Chia ®a thøc P( x)  a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an cho x   ta cã:. P( x)  ( x   )(a0 x n  a1 x n 1  ...  an 1 x  an ) . Sơ đồ xác định các bi :. . a0. a1. a2. …. an. b0. b1. b2. …. bn. Víi b0 = a0 vµ bi =  bi-1 + ai ( i = 1, 2, 3, … , n ) 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 4.1: Giải các phương trình sau:. a ) x3  6 x 2  11x  6  0 b) x 3  5 x 2  7 x  2  0 Bài 4.2: Xác định m để phương trình : x3  (2m  3) x 2  (m 2  2m  2) x  m 2  0 có ba nghiệm phân biệt ? Bài 4.3: Xác định m để phương trình : 6 x3  7 x 2  16 x  m  0 có một nghiệm là 2. Tìm các nghiệm còn lại ? Bài 4.4: Xác định m để phương trình : x3  (2m  1) x 2  3(m  4) x  m  12  0 có ba nghiệm phân biệt ? Lop7.net -15-.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn. Dạng 5: Phương trình bậc bốn dạng (x + a)(x + b)(x + c)( x + d) =m với a + b = c + d. 1.Phương pháp giải: * Phương trình được viết thành [ x2 + (a + b)x + ab][x2 + (c + d)x + cd] = m. * Đặt t = x2 + (a + b)x, ta được phương trình bậc hai : (t + ab)(t + cd) = m. * Giải tìm t sau đó tìm x bằng cách giải phương trình : x2 + (a + b)x – t = 0. 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 5.1: Giải phương trình : (x - 1)(x + 5)(x - 3)( x + 7) =297. Bài 5.2: Xác định m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt :. a )( x 2  1)( x  3)( x  5)  m b) x 4  (2m  1) x 2  m 2  0 Bµi 5.3: Cho c¸c sè a, b, c, d tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : a  b  c  d vµ ad  bc  2m . Giải phương trình : ( x  a )( x  b)( x  c)( x  d )  m 2  0. HDẫn: Phương trình đã cho tương ứng với : x 2  (a  b) x  ab x 2  (c  d ) x  cd  m 2  0 §Æt t  x 2  (a  b) x. V× a  b  c  d nªn Ta cã :. (t  ab)(t  cd )  m 2  0  t 2  (ab  cd )t  abcd  m 2  0   (ab  cd ) 2  4(abcd  m 2 )  (ab  cd ) 2  4m 2 .. Vì ad  bc  2m nên (ab  cd ) 2  4m 2 , do đó   0 . Vậy phương trình vô nghiệm. Dạng 6: Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c. 1.Phương pháp giải: §Æt t  x . ab ab ab 4 ab 4  xt )  (t  ) c . Phương trình trở thành: (t  2 2 2 2. Khai triển và rút gọn ta được phương trình trùng phương của ẩn t. Chó ý: ( x  y ) 4  x 4  4 x3 y  6 x 2 y 2  4 xy 3  y 4 2.C¸c bµi tËp vËn dông: Bài 6.1: Giải phương trình : (x + 3)4 + (x + 5)4 = 2 . Bài 6.1: Giải các phương trình :. a )( x  2) 4  ( x  4) 4  82 b)( x  2) 4  ( x  8) 4  272. c)( x  2) 4  ( x  1)  33  12 2. HDÉn: a) §Æt x + 3 = y. Lop7.net -16-.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Phan huy Th«ng. Phương trình bậc hai một ẩn. b)§Æt x + 5 = y. c) x = 1 lµ mét nghiÖm. Víi x > 1, VT > VP. Víi x < 1, VT < VP. VËy x = 1 lµ nghiÖm duy nhÊt. Dạng 6: Phương trình dạng ax 4  bx3  cx 2  bx  a  0. (1). ( PT bậc 4 có hệ số đối xứng).. 1.Phương pháp giải: * x = 0 không là nghiệm của phương trình; * Chia hai vế của phương trình cho x2, ta được: a ( x 2  * §Æt x . 1 1 1  t  ( x  ) 2  t 2  x 2  2  t 2  2 . Phương trình trở thành: x x x. at 2  bt  c  2a  0 -. 1 1 )  b( x  )  c  0 2 x x. (2).. Giải phương trình tìm t, thay vao phương trình x . Dạng 7: Phương trình dạng ax 4  bx3  cx 2  bx  a  0. 1  t để tìm x. x. (1)( PT bậc 4 có hệ số đối xứng lệch).. 1.Phương pháp giải:. Lop7.net -17-.

<span class='text_page_counter'>(18)</span>