Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 3 (Lecture 6) - Trần Quang Việt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (304.28 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Ch-3: Biểu diễn tín hiệu tuần hồn dùng chuỗi Fourier

Lecture-6

3.3. Chuỗi Fourier và tính chất
3.4. Chuỗi Fourier và hệthống LTI

3.3. Chuỗi Fourier và các tính chất

3.3.1. Chuỗi Fourier

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.1. Chuỗi Fourier

Xét tập tín hiệu:

{

e

jnω0t

}

; n=0, ±1, ±2,....

Ta có: 0 0 1 0 0 0

1
t T

jnωt jmωt jnωt jmωt
t

(e , e )=

∫

+ e e− dt

0
0

2 T

ω

π

=

và
1 0
0
1

t T j(n m)ωt
t

∫

+ e − dt

1 0
0

1
t T
j(n m)ωt

t
0

= e

j(n m)ω

−
−

0 1 0 0
j(n m)ωt j(n m)ωT

= e [e 1]

j(n m)ω

− −

−

− =0

Và: 0 0 1 0 0 0

1
t T

jnωt jnωt jnωt jnωt

0 n

(e , e )=

∫

+ e e− dt=T =E

Vậy tập tín hiệu trên là khơng gian tín hiệu trực giao.

Dùng kết quảphần trước ta có biểu diễn chuỗi Fourier cho f(t)
trong khoảng t1<t<t1+T0

jnωt
n
n=

f(t)=

D e

∞

−∞

∑

1 0

0
1

t +T -jnωt

n t

1 D =

f(t)e

dt

T

∫

với

3.3.1. Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier cho tín hiệu tuần hồn:

jnωt
n
n=

f(t)=

D e

∞

−∞

∑

1 0

0
1

t +T jnω t

n t

1 D =

f(t)e

dt

T

−

∫

với
Ta có:

chỉ đúng trong khoảng t1<t<t1+T0. Trên tồn trục thời gian:

jnωt
n
n=

(t)=

D e

ϕ

∞

−∞

∑

jnω0(t+T )0

0 n

(t+T )=

D e

(t)

ϕ

∞

−∞

⇒

∑

=

Suy ra chuỗi Fourier biểu diễn cho tín hiệu tuần hồn. Tóm lại,
nếu f(t) tuần hồn với chu kỳT0sẽ được biểu diễn bởi chuỗi
Fourier nhưsau:

jnωt
n
n=

f(t)=

D e

∞

−∞

∑

jnωt

n T

1

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.1. Chuỗi Fourier

Ví dụ: tìm chuỗi Fourier biểu diễn cho TH tuần hồn nhưhình vẽ

1
1
T
1
0 -T
2T
1 1

D = dt

∫

= T =3

1 1

0 0

1
1

T jnωt jnωtT

n -T T

1 1

D = e dt e

T jnω T

− −

−

=
−

∫

1 (e jnω0 1T ejnω0 1T)

j2nπ
−
= −
−
0 1
1

sin(nωT )
nπ

= 1 sin n

n 3
π
π
 
=  
 
1 n
sinc
3 3
π
 
=  
 
0

jnωt
n=

1 n

f(t)=

sinc

e

3 π

∞
−∞













∑

3.3.1. Chuỗi Fourier

Chuỗi Fourier lượng giác: trong trường hợp f(t) là tín hiệu thực
*

f(t)=f (t)

jnω0t

n
n=

f(t)=

D e

∞

−∞

∑

* jnω0t

n
n=

D e

∞
−
−∞

=

∑

* jnω0t

n
n=

D e

∞
−
−∞

=

∑

n n

D

=

D

∗−

D

=

D

−n

chuỗi Fourier được viết lại nhưsau:

0 0

jnωt jnω t

0 n n

n=1

f(t)=D

(D e

D e

)

∞

−
−

+

∑

+

jnω0t * jnω0t

0 n n

n=1

=D

(D e

D e

)

∞

−

+

∑

+

0 n 0 n

n=1

f(t)=C

C cos(nω

t+θ

)

∞

+

∑

0 0 n n n n

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.1. Chuỗi Fourier

Phổcủa tín hiệu tuần hồn: chuỗi Fourier biểu diễn tín hiệu tuần
hồn thành tổng các thành phần tần số. Phân bốgiá trịcủa các
thành phần trên thang tần sốgọi là phổtần số(thường gọi là phổ)
tín hiệu. Trong trường hợp tổng quát người ta dùng phổbiênđộvà
phổpha.

jnω t
n=

1 n

f(t)=

sinc

e

3 π

∞

−∞













∑

Xét ví dụtrước:

3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier

Các tín hiệu tuần hồn có năng lượng trong 1 chu kỳhữu hạnđều
có thểbiểu diễn bằng chuỗi Fourier (Dnhữu hạn & năng lượng sai
sốbằng 0). Thực tếf(t) & chuỗi Fourier sẽkhơng có sựphân biệt
đối với các hệthống vật lý vì chúngđápứng trên cơsởnăng lượng
Điều kiện Dirichlet: chuỗi Fourier hội tụvềgiá trịtrung bình tại

điểm giánđoạn

Điều kiện 1: Dnhữu hạn
T

|f(t)|dt<

∞

∫

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier

Điều kiện 2: có sốcựcđại và cực tiểu hữu hạn trong 1 chu kỳ

Ex: f(t)=sin(2 /t); 0<t

π

≤

1

Thỏa ĐK 1 nhưng không thỏa 2

Điều kiện 3: có số điểm giánđoạn và giá trịgiánđoạn là hữu hạn
trong 1 chu kỳ

Không thỏa ĐK 3

3.3.2. Điều kiện tồn tại chuỗi Fourier

Hiện tượng Gibbs: phát hiện: nhà vật lý Michelson giải thích:
nhà tốn học Gibbs

9%
9%

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier

Tính tuyến tính:

1 1n

2 2n

f (t)

D

f (t)

D

↔

f(t)=k f (t)+k f (t)

1 1 2 2

↔

D =k D

n 1 1n

+

k D

2 2n

Phép dịch thời gian:
n

f(t)

↔

D

jnω0 0t

0 n

f(t

−

t )

↔

e

−

D

Phépđảo thời gian:
n

f(t)

↔

D

f(

−

t)

↔

D

−

Phép tỷlệthời gian:
n

f(t)

↔

D

jnaω0t

n n

f(at)

D ; f(at)=

D

n

e

∞

=−∞

↔

∑

3.3.3. Các tính chất của chuỗi Fourier

Nhân 2 tín hiệu:

1 1n

2 2n

f (t)

D

f (t)

D

↔

1 2 n 1n 2(n-k)

f(t)=f (t)f (t)

D =

D D

∞

−∞

↔

∑

Liên hiệp phức:
n

f(t)

↔

D

* *

f (t)

↔

D

−

Định lý Parseval :

2 2

f T n

1 P

|f(t)| dt=

|D |

T

∞

−∞

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3.4. Chuỗi Fourier và hệthống LTI

Xét hệthống LTI vớiđápứng xung là h(t)

và f(t) là tín hiệu tuần hồn thỏađiều kiện Dirichlet. Khiđó có thể
biểu diễn f(t) thành chuỗi Fourier là tổng của các thành phần TS ejnωot

jnωt
n
n=

f(t)=

D e

∞

−∞

∑

jnω t
n
n=

y(t)=f(t) h(t)=

D [e

h(t)]

∞

−∞

∗

∑

∗

jnω (t τ)
n

y(t)=

D

h(τ)e

dτ

∞ ∞

−
−∞

−∞

∑ ∫

jnω τ0 jnω0t

n
n=

=

D

h(τ)e

dτ

e

∞ ∞

−
−∞
−∞













∑

∫

jnωt

n 0

y(t)=

D H(nω

)e

∞

−∞

∑

jωt

H(ω)=

∞

h(t)e

−

dt

−∞

∫

3.4. Chuỗi Fourier và hệthống LTI

Nhận xét về đápứng của hệthống LTI với tín hiệu tuần hồn
y(t) cũngđược biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier với các hệsốlà

DnH(nω0)y(t) là tín hiệu tuần hồn cùng tần sốvới f(t)

Các thành phần tần sốkhác nhau của f(t) khi qua HT LTI sẽbịthay
đổi khác nhau vềbiênđộvà pha tùy thuộc vào H(ω) HT LTI
đóng vai trị là một bộchọn lọc tần số; H(ω): đápứng tần số.
Ví dụ: xácđịnh chuỗi Fourier của ngỏra HT LTI cóđápứng xung

h(t)=e-2tu(t) với ngõ vào f(t) nhưví dụphần 3.3.1 có T=π

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 3 (Lecture 6) - Trần Quang Việt

<b>Lecture-6 </b>

{

<sub>e</sub>

}

<sub>; n=0, ±1, ±2,....</sub>

∫

2

T

ω

π

=

∫

∫

f(t)=

D e

∑

1

D =

f(t)e

dt

T

∫

f(t)=

D e

∑

1

D =

f(t)e

dt

T

∫

(t)=

D e

ϕ

∑

(t+T )=

D e

(t)

ϕ

ϕ

⇒

∑

=

f(t)=

D e

∑

1

∫

∫

1

n

f(t)=

sinc

e

3

3

π













∑

f(t)=f (t)

f(t)=

D e

∑

D e

=

∑

D e

=

∑

D

=

D

D

=