Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 4 (Lecture 7) - Trần Quang Việt

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Signal & Systems</b>-<b>Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11</b>

<b>Ch-4: Bi</b>

ể

<b>u di</b>

ễ

<b>n tín hi</b>

ệ

<b>u dùng bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier</b>

<b>Lecture-7 </b>

<b>4.1. Bi</b>

ể

<b>u di</b>

ễ

<b>n tín hi</b>

ệ

<b>u khơng tu</b>

ầ

<b>n hồn dùng bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier</b>

<b>4.2. Các tính ch</b>

ấ

<b>t c</b>

ủ

<b>a bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier</b>

<b>4.3. Bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier c</b>

ủ

<b>a tín hi</b>

ệ

<b>u tu</b>

ầ

<b>n hồn</b>

<b>4.1. Bi</b>

ể

<b>u di</b>

ễ

<b>n tín hi</b>

ệ

<b>u khơng tu</b>

ầ

<b>n hồn dùng bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier</b>

4.1.1. Bi

ế

n

đổ

i Fourier

4.1.2.

Đ

i

ề

u ki

ệ

n t

ồ

n t

ạ

i bi

ế

n

đổ

i Fourier

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>Signal & Systems</b>-<b>Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11</b>

<b>4.1.1. Bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier</b>

0

( )

<i>T</i>

<i>f</i>

<i>t</i>

0

<i>T</i>

Tín hi

ệ

u khơng tu

ầ

n hồn

đượ

c xem nh

ư

tín hi

ệ

u tu

ầ

n hồn có

chu k

ỳ

dài vơ h

ạ

n

Xét f(t) là tín hi

ệ

u khơng tu

ầ

n hồn:

( )

<i>f t</i>

Ta có quan h

ệ

gi

ữ

a f(t) và f

_T0

(t) nh

ư

sau:

0
0

T

T

f(t)= lim f (t)

→∞









và f

_T0

(t) là tín hi

ệ

u tu

ầ

n hoàn

đượ

c t

ạ

o thành do s

ự

l

ặ

p l

ạ

i f(t) v

ớ

i

chu k

ỳ

T

₀

:

0 <i>n</i>

<i>T D</i>

2sin

ω

<i>S</i>

ω

0

0

2

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>T</i>

π

ω

=

ω

=

2 /

<i>T</i>

ω

=

π

0

<i>n</i>

ω

0 <i>n</i>

<i>T D</i>

2sin

ω

<i>S</i>

ω

0

0

2

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>T</i>

π

ω

=

ω

=

0

2 /

<i>T</i>

0

ω

=

π

0

<i>n</i>

ω

<b>4.1.1. Bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier</b>

Bi

ể

u di

ễ

n f

_T0

(t) dùng chu

ỗ

i Fourier

0

0 0

0
0

T /2

_-jnω

_t

S

_-jnω

_t

0

n

_{-T /2}

T

_-S

0

0

0

0

sinn

ω

S

1

1

2

D =

f (t)e

dt=

e

dt=

T

∫

T

∫

T

n

ω

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>Signal & Systems</b>-<b>Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11</b>

0 <i>n</i>

<i>T D</i>

2sin

ω

<i>S</i>

ω

0
0

2

<i>n</i>

<i>n</i>

<i>T</i>

π

ω

=

ω

=

0

2 /

<i>T</i>

0

ω

=

π

0

<i>n</i>

ω

<b>4.1.1. Bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier</b>

Ti

ế

p t

ụ

c t

ă

ng T

₀

[

]

0

0
0
0

0 0

T /2

_-jnω

_t

_-jωt

0

n

_{-T /2}

T



-T

lim T .D = lim

T

f (t)e

dt =

f(t)e

dt=F(

ω

)

∞

∞

→∞

→∞











∫



∫

Khi T

₀

∞

, T

₀

D

_n

hàm liên t

ụ

c

Ph

ổ

c

ủ

a tín hi

ệ

u khơng tu

ầ

n hồn:

0 0

0

n

T

T

∆ω

0

0

F(n

ω

)

1

D(

ω

)= lim [D ]

lim

F(

ω

) lim [

∆ω

]

T

2

π

→∞

=

→∞

=

→

=

0

Ph

ổ

c

ủ

a tín hi

ệ

u khơng tu

ầ

n hồn có tính ch

ấ

t phân b

ố

Hàm m

ậ

t

độ

ph

ổ

tín hi

ệ

u, F(

ω

),

đượ

c xem là ph

ổ

tín hi

ệ

u

<b>4.1.1. Bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier</b>

Tích phân Fourier

0
0

T

T

f(t)

lim f (t)

→∞

=

jn

ωt

n

1

lim

F(n

ω

)e

ω

2

ω

_π

∞

∆

∆ →∞

=−∞

=

∑

∆

∆

0
0

jnω

t

n

T

n

lim

D e

∞

→∞

=−∞

=

∑

jωt

1

f(t)

F(

ω

)e d

ω

2

π

∞

−∞

=

∫

Tóm l

ạ

i ta có k

ế

t qu

ả

:

f(t)

↔

F(

ω

)

jωt

F(

ω

)=

∞

f(t)e

−

dt

−∞

∫

<b>Ph</b>

ươ

<b>ng trình phân tích – Bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier thu</b>

ậ

<b>n</b>

jωt

1

f(t)=

F(

ω

)e d

ω

2

π

∞

−∞

∫

<b>Ph</b>

ươ

<b>ng trình t</b>

ổ

<b>ng h</b>

ợ

<b>p – Bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier ng</b>

ượ

<b>c</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Signal & Systems</b>-<b>Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11</b>

<b>4.1.2. </b>

Đ

<b>i</b>

ề

<b>u ki</b>

ệ

<b>n t</b>

ồ

<b>n t</b>

ạ

<b>i bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier</b>

Tín hi

ệ

u f(t) có n

ă

ng l

ượ

ng h

ữ

u h

ạ

n

đề

u t

ồ

n t

ạ

i F(

ω

) h

ữ

u h

ạ

n và

n

ă

ng l

ượ

ng sai s

ố

b

ằ

ng 0.

Đ

i

ề

u ki

ệ

n Dirichlet:

Đ

i

ề

u ki

ệ

n 1:

T

|f(t)|dt<

∞

∫

Đ

i

ề

u ki

ệ

n 2: f(t) có h

ữ

u h

ạ

n c

ự

c

đạ

i và c

ự

c ti

ể

u trong kho

ả

ng th

ờ

i

gian h

ữ

u h

ạ

n

Đ

i

ề

u ki

ệ

n 3: f(t) có h

ữ

u h

ạ

n s

ố

gián

đ

o

ạ

n trong kho

ả

ng th

ờ

i gian

h

ữ

u h

ạ

n và gián

đ

o

ạ

n ph

ả

i có

độ

l

ớ

n là h

ữ

u h

ạ

n

<b>4.1.3. Bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier c</b>

ủ

<b>a m</b>

ộ

<b>t s</b>

ố

<b>tín hi</b>

ệ

<b>u c</b>

ơ

<b>b</b>

ả

<b>n</b>

<b>f(t)=</b>

δ

δ

δ

δ

<b>(t):</b>

-jωt

F(

ω

)=

∞

δ

(t)e

dt=

∞

δ

(t)dt=1

−∞

−∞

∫

∫

δ

(t)

↔

1

( )

<i>t</i>

δ

<i>t</i>

0

0

ω

↔

1

<b>f(t)=e</b>

<b>-at</b>

<b>_{u(t); a>0:}</b>

at

jωt

(a+jω)t

(a+jω)t

0

0

1

1

F(

ω

)=

e u(t)e

dt=

e

dt=

e

=

a+j

ω

a+j

ω

∞

∞

₋

₋

∞

₋

₋

−∞

−

∫

∫

at

1

e u(t); a>0

a+j

ω

−

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>Signal & Systems</b>-<b>Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11</b>

<b>4.1.3. Bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier c</b>

ủ

<b>a m</b>

ộ

<b>t s</b>

ố

<b>tín hi</b>

ệ

<b>u c</b>

ơ

<b>b</b>

ả

<b>n</b>

2 2

1

( )

<i>F</i>

<i>a</i>

ω

ω

=

+

1

( )

tan ( / )

<i>F</i>

ω

−

ω

<i>a</i>

∠

= −

( )

<i>F</i>

ω

1/

<i>a</i>

ω

ω

/ 2

π

/ 2

π

−

( )

<i>F</i>

ω

∠

<b>4.1.3. Bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier c</b>

ủ

<b>a m</b>

ộ

<b>t s</b>

ố

<b>tín hi</b>

ệ

<b>u c</b>

ơ

<b>b</b>

ả

<b>n</b>

<b>f(t)=u(t):</b>

0

0

1

( )

( )

<i>j t</i>

<i>j t</i>

<i>j t</i>

?

<i>F</i>

<i>u t e</i>

<i>dt</i>

<i>e</i>

<i>dt</i>

<i>e</i>

<i>j</i>

ω

ω

ω

ω

ω

+∞

+∞

₋

+∞

₋

₋

−∞

=

∫

=

∫

= −

=

( )

<i>at</i>

<i>e</i>

−

<i>u t</i>

( )

<i>u t</i>

<i>t</i>

0

1

2

2

0

0

0

1

( )

lim

<i>at</i>

( )

<i>j t</i>

lim

lim

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>j</i>

<i>F</i>

<i>e</i>

<i>u t e</i>

<i>dt</i>

<i>a</i>

<i>j</i>

<i>a</i>

ω

ω

ω

ω

ω

+∞

−

−

−∞

→

→

→

−





⇒

=

=

=

_

_

+



+



∫

0

( )

lim

<i>at</i>

( )

<i>a</i>

<i>u t</i>

<i>e</i>

−

<i>u t</i>

→

=

2

2

0

1

( )

lim

<i>a</i>

<i>a</i>

<i>F</i>

<i>a</i>

<i>j</i>

ω

ω

ω

→

⇒

=

+

+

<b>Di</b>

ệ

<b>n tích b</b>

ằ

<b>ng</b>

π

π

π

π

1

( )

( )

<i>F</i>

<i>j</i>

ω

πδ ω

ω

⇒

=

+

( )

( ) 1/

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<b>Signal & Systems</b>-<b>Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11</b>

<b>4.1.3. Bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier c</b>

ủ

<b>a m</b>

ộ

<b>t s</b>

ố

<b>tín hi</b>

ệ

<b>u c</b>

ơ

<b>b</b>

ả

<b>n</b>

<b>f(t) xung c</b>

ổ

<b>ng</b>

đơ

<b>n v</b>

ị

<b>:</b>

( )

e

<i>t</i>

<i>r ct</i>

τ

=

0

/ 2

1

/ 2

<i>t</i>

<i>t</i>

τ

τ

>

<

/ 2

_{/ 2}

_{/ 2}

/ 2

/ 2

/ 2

1

( )

( )

<i>j</i>

<i>j</i>

<i>j t</i>

<i>j t</i>

<i>j t</i>

<i>t</i>

<i>e</i>

<i>e</i>

<i>F</i>

<i>rect</i>

<i>e</i>

<i>dt</i>

<i>e</i>

<i>dt</i>

<i>e</i>

<i>j</i>

<i>j</i>

τ

_ωτ

_ωτ

τ

ω

ω

ω

τ

_τ

τ

ω

ω

ω

−

+∞

₋

₋

−∞

−

−

−

=

∫

=

∫

= −

=

( )

( )

( )

( )

2 2

2
2

2sin

sin

( )

<i>j</i>

sin

<i>F</i>

<i>c</i>

<i>j</i>

ωτ

ωτ

ωτ

ωτ

ω

τ

τ

ω

⇔

=

=

=

⇒

<i>rect</i>

( )

_τ

<i>t</i>

↔

τ

sin

<i>c</i>

( )

ωτ

₂

<b>4.2. Các tính ch</b>

ấ

<b>t c</b>

ủ

<b>a bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier</b>

<b>Tính ch</b>

ấ

<b>t tuy</b>

ế

<b>n tính:</b>

1

1

2

2

f (t)

↔

F (

ω

); f (t)

↔

F (

ω

)

1 1

2 2

1 1

2 2

a f (t)+a f (t)

↔

a F (

ω

)+a F (

ω

)

<b>Phép d</b>

ị

<b>ch th</b>

ờ

<b>i gian:</b>

jωt

f(t)

F(

ω

)=

∞

f(t)e

−

dt

−∞

↔

∫

0

0

(

)

( )

<i>j t</i>

<i>f t t</i>

−

↔

<i>F</i>

ω

<i>e</i>

−

ω

<b>Linear phase shift</b>

jωt

1

0

1

0

f (t)=f(t

t )

F (

ω

)=

∞

f(t

t )e

−

dt

−∞

−

↔

∫

−

0

jω( +t )

=

∞

f( )e

τ

−

τ

d

τ

−∞

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>Signal & Systems</b>-<b>Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11</b>

<b>4.2. Các tính ch</b>

ấ

<b>t c</b>

ủ

<b>a bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier</b>

<b>Ví d</b>

ụ

<b>:</b>

/ 2

ωτ

−

<b>4.2. Các tính ch</b>

ấ

<b>t c</b>

ủ

<b>a bi</b>

ế

<b>n</b>

đổ

<b>i Fourier</b>

<b>Phép d</b>

ị

<b>ch t</b>

ầ

<b>n s</b>

ố

<b>(</b>

đ

<b>i</b>

ề

<b>u ch</b>

ế

<b>):</b>

0

j

ω

t

0

f(t)e

↔

F(

ω ω

−

)

jωt

f(t)

F(

ω

)=

∞

f(t)e

−

dt

−∞

↔

∫

0 0

jω

t

jω

t

jωt

1

1

f (t)=f(t)e

F (

ω

)=

∞

f(t)e

e

−

dt

−∞

↔

∫

j(ω ω

0

)t

0

=

∞

f(t)e

−

−

dt

F(

ω ω

)

−∞

=

−

∫

<b>Ví d</b>

ụ

<b>:</b>

0

0

0

1

1

f(t)cos

ω

t

F(

ω

)

F(

ω

+

)

2

ω

2

ω

↔

−

+

0

0

0

1

1

f(t)sin

ω

t

F(

ω

)

F(

ω

+

)

j2

ω

j2

ω

</div>

<!--links-->