Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 6 (Lecture 10) - Trần Quang Việt

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (160.49 KB, 7 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
Ch-6: Phân tích hệthống liên tục dùng biếnđổi Laplace

Lecture-10

6.1. Biếnđổi Laplace

6.1. Biếnđổi Laplace

6.1.1. Biếnđổi Laplace thuận

6.1.2. Biếnđổi Laplace của một sốtín hiệu thơng dụng
6.1.3. Các tính chất của biếnđổi Laplace

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.1. Biếnđổi Laplace thuận

Biếnđổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng của các
thành phần tần sốphân tích hệthốngđơn giản & trực quan hơn
trong miền tần số.

| ( ) |f t dt & | ( ) |h t dt

∞ ∞

−∞ < ∞ −∞ < ∞

∫

Biếnđổi Fourier là công cụchủyếuđểphân tích TH & HT trong
nhiều lĩnh vực (viễn thơng, xửlýảnh, …)

Muốn áp dụng biếnđổi Fourier thì tín hiệu phải suy giảm & HT
vớiđápứng xung h(t) phảiổnđịnh.

Đểphân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,…) và hệ

thống khôngổnđịnhdùng biếnđổi Laplace (là dạng tổng quát
của biếnđổi Fourier)

6.1.1. Biếnđổi Laplace thuận

Xét tín hiệu f(t) là hàm tăng theo thời giantạo hàm mớiφ(t) từ

f(t) sao cho tồn tại biếnđổi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R

Biếnđổi Fourier củaφ(t) nhưsau:

( )

ω [ ( )]φ t ∞ f t e( ) −σte−j tωdt

−∞

Φ =F =

∫

( ) ( j )t

f t e σ ω dt

∞ − +

−∞

∫

Đặt s=σ+jω: ( ) ( ) st

f t e dt

ω ∞ −

−∞

Φ =

∫

F(s)=Φ(ω)

Hay: F(s)= ∞ f(t)e dt−st

−∞

∫

(Biếnđổi Laplace thuận)

( )t f t e( ) σt

φ = −

t

( )

f t

t

( ) ( )]

F s =L[f t

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.1. Biếnđổi Laplace thuận

Miền hội tụ(ROC) của biếnđổi Laplace: tập hợp các biến s trong
mặt phẳng phức cóσ=Re{s} làm choφ(t) tồn tại biếnđổi Fourier
Ví dụ: tìm ROC đểtồn tại F(s) của các tín hiệu f(t) sau:

( ) ( ) at ( ); 0

a f t =e− u t a> ( ) ( ) at ( ); 0

b f t =e− u −t a> ( ) ( )c f t =u t( )

6.1.2. Biếnđổi Laplace của một sốtín hiệu thơng dụng
(a) f(t)=δ(t)

-at

(b) f(t)=e u(t); a>0

-at

( ) 1; ROC: s-plane
F s

⇒ =

( ) ; : Re{ }

F s ROC s a

s a

⇒ = > −

( ) ; : Re{ }

F s ROC s a

s a

⇒ = < −

(d) f(t)=u(t) F s( ) 1;ROC: Re{ }s 0

s

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11

6.1.3. Các tính chất của biếnđổi Laplace

Tính chất tuyến tính:

1( ) 1( )

f t ↔F s
⇒

1 1

( )

2 2

( )

1 1

( )

2 2

( )

a f t

+

a f t

↔

a F s

+

a F s

2( ) 2( )

f t ↔F s

Dịch chuyển trong miền thời gian:

( ) ( )

f t ↔F s ⇒ 0

(

)

( )

st

f t t

−

↔

F s e

−

2 2 1

: 2 ( ) ( ) ; : Re{ } 1

1 2

t t

Ex e u t e u t ROC s

s s

− + − ↔ + > −

+ +

(

3 5

)

4 1

: ( 3) ( 5)

s s

t

Ex rect u t u t e e

s

− −
−
 
= − − − ↔ −
 
 

6.1.3. Các tính chất của biếnđổi Laplace
Dịch chuyển trong miền tần số:

( ) ( )

f t ↔F s ⇒ 0

( )

s t

(

)

f t e

↔

F s s

−

( )

2 2

: cos ( ) s
Ex bt u t

s b
↔

+ cos

( )

( ) 2 2

( )

at s a

e bt u t

s a b

− +

⇒ ↔

+ +
Đạo hàm trong miền thời gian:

( ) ( )
f t ↔F s

⇒ ( ) 1 2 (1) ( 1)

( ) (0 ) (0 ) ... (0 )

n

n n n n

n
d f t

s F s s f s f f

dt

− − − − − −

↔ − − − −

(1)

( )t s

⇒ ↔

( )t 1

δ ↔ ( )
( )
n n
t s
δ
⇒ ↔
4
( )
2
t
f t =rect − 

 

2
2

( )
?

d f t
dt

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.3. Các tính chất của biếnđổi Laplace

Tích phân miền thời gian:

( ) ( )
f t ↔F s ⇒

( )

t

F s

f

d

s

τ τ

−

↔

∫

( )

( )

( )

t

f

d

F s

f

d

s

τ τ

−

−∞

↔

+

∫

Tỷlệthời gian:

( ) ( )

f t ↔F s ⇒

f at

( )

1 F

s

;

a

0

a

 

↔

 

>

 

6.1.3. Các tính chất của biếnđổi Laplace
Tích chập miền thời gian:

1( ) 1( ); 2( ) 2( )

f t ↔F s f t ↔F s ⇒

f t

1

( )

∗

f t

2

( )

↔

F s F s

1

( ) ( )

2
Tích chập miền tần số:

1( ) 1( ); 2( ) 2( )

f t ↔F s f t ↔F s ⇒

f t f t

1

( ) ( )

2

↔

21πj

[

F s

1

( )

∗

F s

2

( )

]

Đạo hàm trong miền tần số:

( ) ( )

f t ↔F s ⇒

tf t

( )

dF s

( )

ds

↔−

( )

t
e u t

s

− ↔

(

)

1
( )

1
t

te u t
s

−

⇒ ↔

+
2

( )

?

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biếnđổi Laplace ngược

Tín hiệu f(t) được tổng hợp nhưsau: ( ) ( ). t
f t =φ t eσ

1 1

( ) [ ( )]. t ( ) j t . t

f t − ω eσ π ∞ F s eωdω eσ

−∞

 

= Φ = 



∫



1
2

( ) j j ( ) st

j

f t π σ F s e ds

σ
+ ∞
− ∞

∫

(Biếnđổi Laplace ngược)

Chúng ta không tập trung vào việc tính trực tiếp tích phân trên!!!

Mơ tảF(s) vềcác hàmđơn giản màđã có kết quảtrong bảng các cặp
biếnđổi Laplace. Thực tếta quan tâm tới các hàm hữu tỷ!!!

Zero của F(s): các giá trịcủa s đểF(s)=0

Pole của F(s): các giá trịcủa s đểF(s)→∞

Nếu F(s)=P(s)/Q(s) Nghiệm của P(s)=0 là các zero & nghiệm
của Q(s)=0 là các pole

Ký hiệu: f(t)=L-1

[

F s( )

]

6.1.4. Biếnđổi Laplace ngược

Dùng bảng

Dùng ?

Ví dụ:

3 2

2 1 1 1

3 2 1 2

s

s s s s s s

−

= − + +

+ + + +

(

)

-1 -1 2

3 2

2 1 1 1

1 ( )

3 2 1 2

t t

s

e e u t

s s s s s s

− −

 −   

⇒  = − + + = − + +

+ +  + + 

 

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Signal & Systems-Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6.1.4. Biếnđổi Laplace ngược

start

m<n

m≥≥≥≥n Polynomicaldividing;

in case m=n
F(s)/s

Expend
the proper.
The result
depends on
n unknown
coefficients
(k1, k2,…)

Find unknown
coefficients
by using:
[1] Clearing func
[2] Heaviside
[3] Mixing boths
Xét hàm hữu tỷsau:

1 1 0

... ( )

( )

... ( )

m m

n n

n

b s b s b s b P s
F s

s a s a s a Q s

−
−

+ + + +

= =

+ + + +

m≥n: improper; m<n: proper, chúng ta chỉ tập trung vào proper!!!

6.1.4. Biếnđổi Laplace ngược

( ) ( ) / ( )

F s ====P s Q s

Xácđịnh zero & pole của F(s); zero & pole phải khác nhau

Khai triển các hàm proper:

Giảsửcác pole là: s=λ1,λ2,λ3,…

Khai triển F(s) dùng quy luật sau:
• Các pole không lặp lại:

1 2

1 2 3

( ) ...

( ) ( ) ( )

k

k k

F s

s λ s λ s λ

= + + +

− − −

• Các pole lặp lại, giảsửλ2lặp lại r lần

2 3

1 2 3

( ) ...

( ) ( ) ( )

r

j
r j
j

k k

k
F s

s λ s λ s λ

−

−
=

= + + +

</div>

Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 6 (Lecture 10) - Trần Quang Việt

<b>Lecture-10 </b>

∫

∫

( )

∫

∫

∫

∫

( )

( )

( )

( )

<i>a f t</i>

+

<i>a f t</i>

↔

<i>a F s</i>

+

<i>a F s</i>

(

)

( )

<i>f t t</i>

−

↔

<i>F s e</i>

(

)

( )

(

)

<i>f t e</i>

↔

<i>F s s</i>

−

( )

( )

( )

( )

<i>F s</i>

<i>f</i>

<i>d</i>

<i>s</i>

τ τ

↔

∫

( )

<sub>( )</sub>

( )

<i>f</i>

<i>d</i>

<i>F s</i>

<i>f</i>

<i>d</i>

<i>s</i>

<i>s</i>

τ τ

τ τ

↔

+

∫

∫

<i><sub>f at</sub></i>

<sub>( )</sub>

1

<i><sub>F</sub></i>

<i>s</i>

<sub>;</sub>

<i><sub>a</sub></i>

<sub>0</sub>

<i>a</i>

<i>a</i>

 

↔

 

>

 

<i><sub>f t</sub></i>

( )