Ma trận xác định dương và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH TRỌNG SỸ

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN – NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




Header Page 1 of 1.

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH TRỌNG SỸ

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. Tạ Duy Phượng

THÁI NGUYÊN – NĂM 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




1

Mục lục
Trang
Lời nói đầu…………………………..…………….…………………………… 3

Chương I Ma trận xác định dương…….………………………………………5
1 Ma trận…………………………….………………………………..…………5
1.1 Số phức và không gian vectơ ….………………………………….…………5
1.2 Định nghĩa ma trận ………………………………….………… ……………8
1.3 Ma trận không ………….……………………………………...……………9
1.4 Ma trận đường chéo .……………………………………………………...…9
1.5 Ma trận đơn vị …………….…………………………………………………9
1.6 Các phép toán trên ma trận .…………………………………………………9
1.7 Ma trận nghịch đảo ………………………………………...……………….10
1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp ………………….………11
1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita …………………………………………12
1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng ……………………………………………….13
1.11 Ma trận đối xứng ma trận Hermite

…………………………..………13

2 Ma trận xác định dương…………………………………………….………24
2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương………………………………………...24
2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương….………………………………27
Kết luận Chương……………………………………………………………..…44
Chương 2 Một số ứng dụng của ma trận xác định dương………………….45
1 Lý thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân…………………......45

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




2

1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính với
hệ số hằng...……………………………………………….......………………...45
1.2 Phương pháp Lyapunov…………………….………………………………47
1.3 Điều kiện cần và đủ để ma trận là ma trận ổn định ………...………………48
1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng…………...………………50
2 Bài toán tối ưu hàm toàn phương………………………………………......52
2.1 Tối ưu hàm một biến…………………….………….………………………52
2.2 Tối ưu hàm hai biến ………...…………………………………...…………52
2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế………….……54
Kết luận chương ……………………………………………………………….55
Kết luận……………………………………………………………....………...56
Tài liệu tham khảo……………………………………….................................57

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




3

LỜI NÓI ĐẦU
Lớp ma trận xác định dương là một lớp ma trận có cấu trúc riêng (tạo
thành một đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007]) và có nhiều ứng dụng
trong lý thuyết đa thức, trong lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,…
Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích trình
bày các kiến thức cơ bản của ma trận xác định dương: các định nghĩa, tính chất
của ma trận và ma trận xác định dương cũng như các tiêu chuẩn để nhận biết về
ma trận xác định dương. Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác định dương có
thể giúp ta giải quyết được khá nhiều các bài toán liên quan đến đa thức, và đặc
biệt là trong lý thuyết ổn định, trong toán kinh tế và tối ưu,…
Trong luận văn này, chúng tơi cố gắng trình bày theo một logic chặt chẽ
về mặt toán học, các chứng minh định lí được trình bày với mức độ chi tiết. Nội
dung trong luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Ma trận xác định dương
Phần đầu của Chương 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất về ma trận:
ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận Hermite,… Nội dung chủ
yếu của Chương 1 là trình bày khái niệm và các tính chất của ma trận xác định
dương cũng như các dấu hiệu để nhận biết về ma trận xác định dương.
Chương 2. Một số ứng dụng của ma trận xác định dương
Chương hai đề cập tới một số ứng dụng của ma trận xác định dương đối
với lý thuyết đa thức và lý thuyết ổn định, tốn kinh tế và tối ưu,…

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

4

Luận văn được hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của PGS-TS Tạ Duy
Phượng, Em xin bầy tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy.
Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học
Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Viện Toán học, Viện Khoa học và Cơng nghệ
Việt Nam; Khoa Tốn Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên; Khoa công nghệ
thông tin, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong quá trình học tập tại trường.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh
Thái Nguyên, Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trường THPT Phổ Yên đã tạo
điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010
Tác giả

Đinh Trọng Sỹ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




5

CHƯƠNG I

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG
Chương này nhắc lại một số những kiến thức cơ bản về ma trận có liên quan đến
ma trận xác định dương, các tiêu chuẩn để kiểm tra một ma trận là xác định
dương và các tính chất của ma trận xác định dương. Nội dung chương này chủ
yếu được tổng hợp dựa trên các trên tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [8] và [9].
Chúng tơi cố gắng chứng minh chi tiết các tính chất và các định lí, trình bày có
hệ thống, độc lập và đầy đủ về ma trận xác định dương.
1 MA TRẬN
1.1 Số phức và không gian vectơ phức
Cho z  a  bi là một số phức.
Ký hiệu z là liên hợp phức của z , tức là z  a  bi .
Nhận xét rằng, z  z khi và chỉ khi b  0 , hay z là số thực.
Số phức z  a  bi  0 khi và chỉ khi z  a  bi  0 , tức là a  0 hoặc b  0 .
Ta ln có zz   a  bi  a  bi   a 2  b2  0 với mọi số phức z ; zz  0 khi và
chỉ khi z  0 .
Giả sử H là không gian Hilbert với các phần tử là các vectơ cột x số chiều n có
các thành phần là các số phức.
Định nghĩa ([3], trang 1) Tích vơ hướng giữa hai vectơ x và y trong H là một
số  ( x, y) : x, y : x y  x1 y1  x2 y2  ...  xn yn , trong đó

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




6

 x1 
 y1 

 
 
x   ....   H , y   ...   H , xk  ak  bk i , xk  ak  bk i , k  1, 2,..., n và
x 
y 
 n
 n

 x1   a1  ib1 
  

x  x   ...    ....    a1  ib1,..., an  ibn  .
 x   a  ib 
n
 n  n
Khi H là không gian Euclid với các phần tử là các vectơ cột số chiều n có các
thành phần là các số thực, thì tích vô hướng giữa hai vectơ được định nghĩa là

 ( x, y) : x, y : xy  x1 y1  x2 y2  ...  xn yn .
Ánh xạ f : H   được gọi là tuyến tính trên H nếu với mọi t1 , t2  , mọi

x1, x2  H ta có f  t1x1  t2 x2   t1 f  x1   t2 f  x2  .
Ánh xạ f : H   được gọi là tuyến tính liên hợp trên H nếu với mọi t1 , t2  ,
mọi x1, x2  H ta có f  t1x1  t2 x2   t1 f  x1   t2 f  x2  .
Tính chất Tích vơ hướng .,. tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và tuyến
tính theo biến thứ hai, tức là khi cố định biến thứ hai thì tích vơ hướng là ánh xạ
tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và khi cố định biến thứ nhất thì tích vơ
hướng là ánh xạ tuyến tính theo biến thứ hai.

 x1 

 x1 


Chứng minh Thật vậy, vì x   ...  nên x   ...  , x*   x    x1 ,..., xn  ;
x 
x 
 n
 n
 y11 
 y12 
 y11 
 y12   t1 y11  t2 y12 
 
 
 
  

y1   ...  , y 2   ...  nên t1 y1  t2 y 2  t1  ...   t2  ...   
....

 y1 
 y2 
 y1 
 y 2   t y1  t y 2 
 n
 n
 n
 n 1 n 2 n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

7

Do đó

 t1 y11  t2 y12 

 n
1
2
*
1
2
 ( x, t1 y  t2 y )  x (t1 y  t2 y )   x1,..., xn   .........    xi t1 y1i  t2 yi2 
 t y1  t y 2  i 1
1 n 2 n



n

 t1 

xi yi1

n











 t2  xi yi1  t1x* y1  t2 x* y 2  t1 x, y1  t2 x, y 2 .

i 1

i 1

Vậy theo định nghĩa, tích vơ hướng .,. tuyến tính theo biến thứ hai.
Bây giờ cố định biến thứ hai, vì z1 z2  z1z2 và z1  z2  z1  z 2 nên



 t1 x11  t2 x12 


 
t1x1  t2 x 2  t1x1  t2 x 2   ..........   t1x11  t2 x12 ,..., t1xn1  t2 xn2 .
 t x1  t x 2 
1 n 2 n











Do đó

t x

1

1

n

 t2 x

2 





y



t1x11





t2 x12 ,..., t1 xn1



n

n

t2 xn2



 y1 
 
 .... 
y 
 n
*

 

i 1

i 1

*

 

  t1xi1  t2 xi2 yi  t1  xi1 yi  t2  xi2 yi  t1 x1 y  t2 x 2

y.

i 1

tức là



  t (x ) y  t (x ) y   t



 t1x1  t2 x 2 , y  t1x1  t2 x 2 , y  t1x1  t2 x 2
1 *

1

2 *

2

1









y  t1 ( x1 )*  t2 ( x 2 )* y

x1 , y  t2 x 2 , y  t1 ( x1, y )  t2 ( x 2 , y ).

Vậy  là tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất.
Nếu H là không gian Euclid hữu hạn chiều  n với các phần tử là các vectơ có
các thành phần là các số thực thì  là tuyến tính theo từng biến.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




8

Nhận xét Trong một số tài liệu, Ví dụ, [6, trang 197], định nghĩa tích vơ hướng
của hai vectơ x và y là f ( x, y ) : x, y : x1 y1  ...  xn yn . Khi ấy tích vơ hướng
tuyến tính theo biến thứ nhất và tuyến tính liên hợp theo biến thứ hai.
1.2 Định nghĩa ma trận
Cho m, n là hai số tự nhiên. Một m  n -ma trận (ma trận cấp m  n ) là một bảng

 a11 a12 ......a1n 


a21 a22 .....a2 n 

số hình chữ nhật gồm m dịng và n cột
.
 ......................... 


 am1 am 2 ....amn 
Các số (thực hoặc phức) a được gọi là phần tử ở dòng i cột j ( i  1, m ; j  1, n )
ij
của ma trận.
Ma trận được viết dưới dạng rút gọn A   a  .
 ij 
Khi cần chỉ rõ cụ thể cấp của ma trận thì ta viết A   a  .
 ij  mn
Khi m  n thì ta có ma trận vng cấp n . Kí hiệu ma trận vuông cấp n là An .

 x1 
 
x
Khi n  1 ma trận A có cấp m  1 được gọi là vectơ cột x   2  số chiều m .
 ... 
 
 xm 
Khi m  1 ma trận có cấp 1  n được gọi là vectơ hàng x   x1 , x2 ,..., xn  cấp n .
Không gian vectơ (thực hoặc phức) là tập hợp các phần tử gồm tất cả các vectơ
cột với các tọa độ là các số (thực hoặc số phức) thỏa mãn các tiên đề của không

gian vectơ.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




9

1.3 Ma trận không
Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử của nó bằng 0, tức là aij  0, i, j
và được kí hiệu là On hay O .
1.4 Ma trận đường chéo
Ma trận đường chéo là ma trận vng mà các phần tử ngồi đường chéo bằng 0,
tức là aij  0, i  j . Kí hiệu ma trận đường chéo là A  diag( a11, a22 ,..., ann ) .
1.5 Ma trận đơn vị
Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo aii bằng 1,
kí hiệu là I hay E . Để chỉ rõ số chiều của ma trận, ta viết I n hay En .
1.6 Các phép toán trên ma trận
Cho hai ma trận cùng cấp A   aij 

mn

, B   bij 

mn

.

Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m  n , được viết là A  B và

được xác định bởi công thức A  B   aij  bij  , Tức là

 a11  a1n   b11  b1n   a11  b11  a1n  b1n 
        
;




 
 

a





 m1  amn   bm1  bmn   am1  bm1  amn  bmn 
Tích của ma trận A với đại lượng vô hướng  (một số  ,  là một số thực hay
một số phức) được xác định bởi hệ thức  A  A    aij  , tức là

 a11  a1n    a11   a1n 
        

  .
a
 

 m1  amn    am1   amn 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




10

 

 

Giả sử A  aij là một m  n ma trận và B  b jk là một n  p ma trận.
Tích của hai ma trận A và B là một m  p -ma trận  cik  với
n

cik  ai1b1k  ai 2b2 k  . . .  ainbnk   aij b jk .
j 1

Nhận xét Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số
phần tử trong một dòng bằng số phần tử trên một cột của ma trận thứ hai.
Tích của hai ma trận là một ma trận có số dịng bằng số dịng của ma trận thứ
nhất và số cột bằng số cột của ma trận thứ hai.
Phép nhân hai ma trận có tính chất kết hợp, tức là A  BC    AB  C nếu các
phép nhân ma trận thực hiện được.
Phép nhân hai ma trận khơng có tính chất giao hốn, tức là nói chung AB  BA .
Thậm chí có thể thực hiện được phép nhân AB , cịn BA thì khơng.
Ta ln có AI  IA  A với mọi ma trận A .

7

Ví dụ, cho A  
1

7
AB  
1

0
2

0
2

0
1
4
, B   3 5  . Khi đó ta có

1
2
3 


0
1
4 
  15

3
5

  3
1  

3 
2

 7
12 
; BA   16

13 
 17


0
10
6

4 
 7  .
11 

1.7 Ma trận nghịch đảo
Cho A là ma trận vuông cấp n . Một ma trận vuông B cấp n được gọi là ma
trận nghịch đảo của ma trận A nếu AB  BA  I , trong đó I là ma trận đơn vị.
Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo thì A được gọi là ma trận khả nghịch.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

11

Nếu A là ma trận khả nghịch thì A chỉ có duy nhất một ma trận nghịch đảo.
Thật vậy, giả sử B và C là hai ma trận nghịch đảo của ma trận A thì theo tính
chất kết hợp của phép nhân ma trận ta có B  IB  (CA) B  C ( AB)  CI  C.
Vậy ma trận nghịch đảo của ma trận A (nếu có) là duy nhất.
Ma trận nghịch đảo của ma trận khả nghịch A được ký hiệu là A1 .
Tính chất Tích AB của hai ma trận khả nghịch A, B cùng cấp là ma trận khả
1

nghịch và  AB   B 1 A1 .
Chứng minh Theo tính chất kết hợp của phép nhân hai ma trận ta có

 AB   B 1 A1   A  BB 1  A1  AIA1  AA1  I ,

B

1







A1  AB   B 1 A1 A B  B 1IB  B 1B  I .

Vậy theo định nghĩa ma trận B 1 A1 là ma trận nghịch đảo của ma trận AB hay

 AB 

1

 B 1 A1 .

1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp
Ma trận A   a 
được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A   aij  .
mn
 ji  nm
Các dòng của ma trận A là cột tương ứng của ma trận A và các cột của ma trận

A là các dòng tương ứng của ma trận A .
Ma trận chuyển vị liên hợp của ma trận A   aij  là ma trận A   a ji  .
Để đơn giản, từ nay về sau ta kí hiệu: A  A* .
Hiển nhiên ta có  A   A và A*

*

 

 A . Hơn nữa, ta cịn có

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

12

Tính chất

 AB   BA và  AB 

*

 B* A* với mọi ma trận A, B mà phép nhân

ma trận thực hiện được.
Chứng minh Kí hiệu A   aij 

mn

 

, B  b jk

n p

, C  AB   cik m p , trong đó
n

cik  ai1b1k  ai 2b2 k  . . .  ainbnk   aij b jk .
j 1

Tương tự, kí hiệu A   ajk 

nm

, B   bkj 

pn

và D : BA   d ki  pm với
n

 ani   bkj aji .
d k i  bk1a1i  bk 2a2 i  . . .  bkn
j 1

Các phần tử của ma trận C    AB    cki  pm được tính theo cơng thức

ck i  cik  ai1b1k  ai 2b2 k  . . .  ainbnk  b1k ai1  b2 k ai 2  . . .  bnk ain
n

 ani   bkj aji  d ki .
 bk1a1i  bk 2 a2i  . . .  bkn
j 1

Nghĩa là, ck i  dki hay C   D , tức là  AB   C   D  BA .
*

Tương tự, ta dễ dàng chứng minh được  AB   B* A* .
1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita
Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao (ma trận vng góc) nếu

AA  I , trong đó I là ma trận đơn vị và A là ma trận chuyển vị của A.
Ma trận U gọi là ma trận unita nếu U U  I , trong đó I là ma trận đơn vị và

U  là ma trận chuyển vị liên hợp của U .
Nếu U là ma trận unita thì U khả nghịch. Hơn nữa, det U  1 (Trong đó detU





2

là định thức của ma trận U ) vì 1  det I  det U *U  det U *.det U   det U  .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




13

1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận
Số phức    (số thực   ) được gọi là giá trị riêng của ma trận A nếu tồn
tại vectơ v  H , v  0 sao cho Av   v .
Vectơ v được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  của ma trận A .
Nhận xét Nếu v là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  của ma trận A thì  v
cũng là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  của ma trận A .
Thật vậy, ta có A  v    Av  v    v  . Vì vậy, sau này ta thường xét
n

vectơ riêng đã được chuẩn hóa, tức là v 

vi , vi 

 vivi  1 .
i 1

Phương trình Av   v   A   I  v =0 có nghiệm khơng tầm thường v  0 . Suy
ra det  A   I   0 . Như vậy, các giá trị riêng của ma trận A chính là nghiệm
của phương trình đa thức det  A   I   0 .
Nếu T là ma trận đối xứng, tức là T T  I thì det T  1.
Mặt khác, vì T T  I nên T AT   I  T AT  T T  T   A   I  T , nên

det T AT   I   det T   A   I  T   det T  det  A   I  det T  det  A   I  .
Chứng tỏ hai ma trận A và T AT có cùng giá trị riêng.
Nói cách khác, giá trị riêng không thay đổi qua phép biển đổi bởi ma trận trực
giao. Tương tự cho ma trận unita.
1.11 Ma trận đối xứng và ma trận Hermite
Ma trận Ann với các phần tử là số thực thỏa mãn điều kiện A= A được gọi là
ma trận đối xứng.
Ma trận đối xứng được đặc trưng bởi điều kiện a = a , i, j  1,..., n .
ij
ji

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




14

Ma trận thỏa mãn A  A được gọi là ma trận Hermite.

Định lí 1.1 Mọi giá trị riêng của ma trận đối xứng là số thực.
Chứng minh Vì ma trận A là thực nên nếu  là giá trị riêng phức của A (là
nghiệm của phương trình đa thức đặc trưng det  A   I   0 với các hệ số thực)
thì  cũng là giá trị riêng phức của A .
Giả sử  và x là cặp giá trị riêng và vectơ riêng tương ứng của ma trận A , tức
là Ax   x . Khi ấy vì  .x   .x và Ax  Ax với mọi số phức  , ma trận thực

A và vectơ phức x nên  x   x  Ax  Ax . Như vậy, ta có

x , Ax  x ,  x   x , x và x, Ax  x,  x   x, x .
Do A là ma trận đối xứng nên x , Ax  Ax , x  x, Ax .
Do đó  x , x  x , Ax  x, Ax   x, x hay      x, x  0 .
n

Do x  0 , x   x1,..., xn  nên x, x   xi xi  0 . Vậy    hay  là số thực.
i 1

Tương tự ta cũng có: Mọi giá trị riêng của ma trận Hermite là số thực.
Định lí 1.2 Hai vectơ riêng v1, v2 ứng với hai giá trị riêng khác nhau 1, 2 của
ma trận đối xứng vng góc với nhau, tức là v1 , v2  0 .
Chứng minh Từ các đẳng thức Av1  1v1 và Av2  2v2 ta có

v2 , Av1  1 v2 , v1

và v1, Av2  2 v1, v2 .

Do A là ma trận đối xứng nên v1, Av2  Av1, v2  v2 , Av1 .
Trừ các đẳng thức trên ta có 0   1  2  v1 , v2 . Do 1  2 nên v1 , v2  0 hay
hai vectơ v1 , v2 vng góc với nhau.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




15

Định lí 1.3 Mọi ma trận đối xứng thực A có thể đưa về dạng đường chéo nhờ
một phép biến đổi trực giao nào đó. Nói cách khác, tồn tại ma trận trực giao T
sao cho T AT có dạng đường chéo, nghĩa là T AT  diag(1, 2 ,..., n ) , trong đó

i - là các giá trị riêng (không nhất thiết khác nhau) của ma trận A .
Chứng minh Trước tiên ta xét trường hợp các giá trị riêng 1 , 2 ,..., n của ma
trận A là khác nhau. Khơng giảm tổng qt, ta có thể coi các vectơ riêng

x1 , x 2 ,..., x n tương ứng với 1 , 2 ,..., n là đã được chuẩn hóa (xem mục 1.10), tức
là x i , x i  1 , i  1,2,..., n . Hơn nữa, do 1 , 2 ,..., n của ma trận A là khác nhau
(Định lí 1.2) nên x1 , x 2 ,..., x n độc lập tuyến tính và vng góc, nghĩa là

x i , x j  0 , i, j  1, 2,..., n , i  j . Xây dựng ma trận T có các cột là các vectơ
x1 , x 2 ,..., x n . Khi ấy
 x11
x
T   12
 ...

 x1n

x21 ... xn1 
 x11


x
x22 ... xn 2 
, T    21
 ...
... ... ... 


x2 n ... xnn 
 xn1

 x11 x12
x x
T T   21 22
 ... ...

 xn1 xn 2

... x1n  x11
... x2 n 
 x12
... ...  ...

... xnn  x1n

x12
x22
...
xn 2

... x1n 
... x2 n 
,
... ... 

... xnn 

1
1
x21 ... xn1   x , x

x22 ... xn 2   x 2 , x1

... ... ...   ...
 
x2 n ... xnn   x n , x1


x1 , x 2

...

x2 , x2

...

...
xn , x 2

...

...

x1 , x n 

x2 , xn 
I.
... 
x n , x n 

Vậy T là ma trận trực giao. Hơn nữa, vì Ax i   x i , i  1,2,..., n nên
 1x11 2 x21

x  x
AT   1 12 2 22
 ...
...

 1 x1n 2 x2n

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

... n xn1 

... n xn 2 
... ... 

... n xnn 

16

 x11
x
và T AT   21
 ...

 xn1

x12
x22
...
xn 2

x1n  1 x11
... x2 n 
 1 x12
... ...  ...

... xnn  1 x1n
...

2 x21
2 x22
...
2 x2 n

... n xn1   1 0
... n xn 2   0 2


...
...   ... ...
 
... n xnn   0 0

...

0
... 0 
.
... ... 

... n 

Vậy ma trận A có thể đưa được về dạng đường chéo bởi ma trận T .
Bây giờ giả sử các giá trị riêng 1 , 2 ,..., n của ma trận A là bất kì.
Trước tiên ta xét trường hợp đơn giản nhất là ma trận đối xứng thực cấp hai.
1
 a11 a12   a 
Cho A là ma trận đối xứng thực cấp hai, tức là A  
   2  , trong đó
 a12 a22   a 

a1   a11 a12  và a 2   a12

a22  .

x 
Giả sử 1   và x1   11  là các giá trị riêng với vectơ riêng tương ứng, tức là

 x12 
có hệ thức Ax1 = 1 x1 . Suy ra

 a1, x1

x
a
a
x
a
x

a
x







1x1   1 11   Ax 1   11 12  11    11 11 12 12   
 1 x12 
 a12 a22  x12   a12 x11  a22 x12   a 2 , x1






hay a11 x11  a12 x12  a1, x1  1 x11 , a12 x11  a22 x12  a 2 , x1  1 x12 .
Chú ý Ta có thể coi x11 , x12 là các thành phần của vectơ x1 đã được chuẩn hóa,
2
tức là x1, x1  x11
 x122  1.

x
Ta xây dựng một ma trận trực giao T   11
 x12

x21 
 x1

x22 

x 

cột là vectơ x1   11  sao cho T  AT   1
 x12 
0

0 
 , trong đó 1 , 2 là các giá trị
2 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên





x 2 cấp 2  2 mà một




17

riêng (không nhất thiết phải khác nhau) của ma trận A.
Vì T là ma trận trực giao nên T T  I , tức là

 x11
x
 21

x12  x11
x22 
 x12

2
x21   1 0   x112  x12



x22   0 1   x21 x11  x22 x12

x11 x21  x12 x22   1 0 

.
2

2
0
1
x21
 x22

 

2
2
2
Suy ra x112  x12
 1, x11 x21  x12 x22  0, x21
 x22
 1.

Ta có

 a a  x
AT   11 12   11
 a12 a22   x12

x21   a11x11  a12 x12 a11x21  a12 x22   1x11


x22   a12 x11  a22 x12 a12 x21  a22 x22    x
 1 12

a1, x 2 
.

2
2 
a ,x


Vậy

x
T  AT   11
 x21

x12   1 x11

x22   1 x12


2
2
 1 ( x11
 x12
)

  (x x  x x )
 1 11 21 12 22

a1 , x 2 

2
2 
a ,x 

x11 a1 , x 2  x12 a 2 , x 2   1
 
1
2
2
2 
x21 a , x  x22 a , x   0

b12 
.
b22 

Ta có thể xác định b12 và b22 như sau. Vì  AB   BA và T    T nên

T  AT   T  AT  T  T  A  T  A(T  ) T  AT  T  AT
hay T  AT là ma trận đối xứng. Suy ra b12 = 0.

0 

Như vậy ta có T  AT   1
.
0
b

22 
Vì T là ma trận trực giao, nên hai ma trận A và T  AT có cùng giá trị riêng. Mà

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

18

0 
0 
0 


  
nên T  AT   I   1
T  AT   1
 I  1


.
0
b
0
b
0
b



22 

22 

22


Vậy T  AT có giá trị riêng là   1 và   b22 .
Vậy b22 cũng chính là giá trị riêng thứ hai của ma trận A .
Ta sẽ chứng minh trong trường hợp n chiều bằng phương pháp quy nạp.
Giả sử với mỗi k , k  1,2,..., n ta có thể xác định ma trận trực giao Tk đưa ma

 

trận đối xứng thực Ak  aij về dạng đường chéo Tk  ATk  diag(1, 2 ,..., k ) .
Các phần tử trên đường chéo chính i là các giá trị riêng của ma trận Ak .
Ta đã chứng tỏ được điều này cho n  2 . Giả sử qui nạp điều đó đúng cho k  n ,
ta sẽ chứng minh điều đó đúng với k  n  1.

 a1 
 x11 




Xét ma trận An1   aij    ...  có 1 , x 1   ...  là giá trị riêng và vectơ riêng
x 
 a n1 
 1n1 


tương ứng của ma trận An1 , x1 đã được chuẩn hóa ( x1  x112  ...  x12n1  1 ).
Tương tự như trường hợp hai chiều, ta lập ma trận trực giao T có cột đầu là x1 .
Gọi các cột chưa biết còn lại là x 2 , x 3 , ., x n1 thì ma trận T có dạng:

 x11

 x
T   12
 ...

 x1n1

x21
x22
...
x2n1

... xn11 
 x11

 x
... xn12 
. T    21
 ...
...
... 


... xn1n1 
 xn11

x12
x22
...
xn12

... x1n1 
... x2 n1 
.
...
... 

... xn1n1 

Vì T là ma trận trực giao nên T T  I , hay là

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




19

 x11
 x
T T   21
 ...

 xn11

x12
x22
...
xn12

... x1n1  x11

... x2 n 1 
 x12
...
...  ...

... xn 1n 1  x1n1

x21
x22
...
x2 n1

... xn11 
... xn12 

...
... 

... xn 1n 1 

2

x11
 ...  x12n1
b12 ... b1n1   1

 
x21 x11  x22 x12  ...  x2 n 1 x1n1
b22 ... b2 n1   0





...
... ...
...   0

 
x
x


x
x

...

x
x
b
...
b
0
 n11 11
n  22 12
n 1n 1 1n 1
n 12
n 1n 1 

0 ... 0 

1 ... 0 
.
0 ... 0 

0 ... 1 

Suy ra, x112  ...  x12n1  1 ; x21 x11  x22 x12  ...  x2 n1 x1n1  0 ; … ;

xn11 x11   xn 22 x12  ...  xn1n1 x1n1  0 .

(1.1)

Ta có

 a1 , x1
a1 , x 2 ...... a1, x n1

 a 2 , x1
a 2 , x 2 ...... a 2 , x n1
An1T = 
 ..............
 n1 1
 a ,x
a n1, x 2 ... a n1 , x n1


  1x11 a1, x 2 ....... a1 , x n1
 
  x
a 2 , x 2 ....... a 2 , x n1

1 12
=
  ..............
 
  1x1,n1 a n1, x 2 ... a n1, x n1
 

Thực hiện phép nhân ma trận và sử dụng (1.1) ta được:

 x11
 x
T An1T   21
 ...

 xn11

x12
x22
...
xn12

  x a1 , x 2 ........ a1, x n1
  1 11
   x a 2 , x 2 ......... a 2 , x n1
  1 12
  ........

... xn1n1    x
a n1, x 2 .. a n1, x n1
 1 1,n1

...
...
...

x1n1
x2n1
...

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




=










;





20





2
 1 x112  x12
 ...  x12n1
b12
b13

   x x  x x  ...  x2n1x1n1 
=  1 21 11 22 12
.
.
.
.
 ...
  x x   x x  ...  x
n  22 12
n 1n 1 x1n 1 
 1  n11 11

. . . b1,n1   1 b12 ... b1,n1 
 

 0

.


An
An
  ...

  0



trong đó:
- Mọi phần tử của cột thứ nhất đều bằng 0 , trừ phần tử ban đầu (bằng 1 );
- Các đại lượng b12 , b13 , ... , b1n sẽ được xác định sau;
- Ma trận An có cấp n  n .
Do T    T nên ta có



T  An1T





 T  An1 T  T  T  An1  T  An 1 (T  )  T  An 1T  T  An1T

 







hay T  An1T là ma trận đối xứng. Suy ra b12  ...  b1n1  0 .

 1 0... 0 


0

,

Vậy ta đã chỉ ra tồn tại ma trận trực giao T sao cho T An1T 
 ... An 


0

với An là ma trận đối xứng.
Vì T là ma trận trực giao, tức là T T  I nên det T  1 (xem mục 1.9).
Cũng vì T T  I nên T AT   I  T An1T  T T  T   An1   I  T .
Do đó
det T An1T   I   det T   An1   I T   det T  det  An1   I  det T  det  An1   I  .

Suy ra các giá trị riêng của ma trận An1 cũng chính là các giá trị riêng của

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên

21

T An1T . Nhưng det T An1T   I      1  det  An   I  nên các giá trị riêng

2 , 3 , ..., n1 , của ma trận An1 cũng chính là các giá trị riêng của An .
Bây giờ ta sử dụng giả thiết quy nạp. Giả sử Tn là ma trận trực giao đưa An về

 1 0 ... 0
0
dạng đường chéo. Ta lập ma trận Sn1  
 ... Tn

0



 cấp  n  1 .




Do Tn trực giao nên Sn1 cũng là ma trận trực giao, và khi đó





Sn 1 T  An1T Sn1  diag(1, 2 ,..., n1 ) .





Vì có thể viết S n 1 T  An1T S n1  TS n1  An1 TS n1 

nên TSn1 là ma trận

trực giao đưa ma trận An1 về dạng đường chéo hay nói cách khác là tồn tại ma
trận trực giao T sao cho T AT  diag(1, 2 ,..., n1 ) . Định lí chứng minh xong.
Đặt x  Ty hay y  T Ty  T x ,   diag(1, 2 ,..., n ) . Từ Định lí 1.3 ta cũng có
Hệ quả Nếu A là ma trận đối xứng thì tồn tại một ma trận trực giao T sao cho
n

x, Ax   i yi 2 .

(1.2)

i 1

Chứng minh Đặt x  Ty . Ta có
n

x, Ax  Ty , ATy  y ,T ATy  y , y   i yi 2 .
i 1

Tương tự Định lí 1.3 ta cũng có
Định lý 1.4 Nếu ma trận A là ma trận Hermite thì tồn tại ma trận unita U sao

cho A  U U * (hay U * AU   ), trong đó i , i  1,2,..., n là các giá trị riêng

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




22

của A và   diag(1, 2 ,..., n ) .
Định lý 1.5 Cho A và B là hai ma trận đối xứng. Khi đó điều kiện cần và đủ để
tồn tại một ma trận trực giao T đưa A và B đồng thời về dạng đường chéo

T ' AT  diag(1, 2 ,..., n ) và T ' BT  diag( 1 ,  2 ,...,  n )

(1.3)

là ma trận A và B có tính chất giao hốn.
Chứng minh
Điều kiện cần Giả sử tồn tại T thỏa mãn (1.3), khi ấy A và B có tính chất giao
hốn. Thật vậy, từ (1.3) ta cũng có

A  Tdiag(1, 2 ,..., n )T  và B  Tdiag( 1 ,  2 ,...,  n )T  .
Suy ra

AB  Tdiag(1 , 2 ,..., n )T  Tdiag( 1 ,  2 ,..., n )T 
 Tdiag(1 , 2 ,..., n )diag( 1, 2 ,..., n )T   Tdiag(11, 2 2 ,..., n n )T  .
Mặt khác, ta cũng có

BA  Tdiag( 1, 2 ,...,  n )T  Tdiag(1, 2 ,..., n )T 

 Tdiag( 1, 2 ,..., n )diag(1 , 2 ,..., n )T   Tdiag( 11,  22 ,...,  nn )T  .
Vậy AB  BA , tức là hai ma trận A và B có tính chất giao hốn.
Điều kiện đủ Giả sử A và B giao hoán, ta chứng minh tồn tại T thỏa mãn (1.3).
Trước tiên giả sử ma trận A có các giá trị riêng khác nhau 1  2  ...  n ứng
với các vectơ riêng x1, x 2 ,..., x n đã được chuẩn hóa. Khi ấy các vectơ x1, x 2 ,..., x n
vng góc với nhau, tức là x i , x j  0 với i  j và x i , x i  x12i  ...  xni2  1 .
Do Ax i  i x i nên

A( Bxi )  ( AB ) xi  ( BA) xi  B ( Axi )  B(i xi )  ( Bi ) x i  (i B) xi  i ( Bxi ) . (1.4)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên




23

Suy ra Bxi cũng là vectơ riêng của A ứng với i . Vì các giá trị riêng đều khác
nhau nên vectơ riêng bất kỳ ứng với cùng một giá trị riêng phải tỉ lệ với nhau,
tức là Bx i  i x i , i  1, 2,..., n . Nhưng khi ấy, i cũng chính là các giá trị riêng
của ma trận B với các vectơ riêng x i tương ứng. Như vậy, các ma trận A và B
có cùng các vectơ riêng x1 , x 2 ,..., x n .

 x11
x
1
2
n
Đặt T  ( x , x ,..., x )   12
 ...


 x1n

x21 ... xn1 
 x11
x

x22 ... xn 2 
thì T    21
 ...
... ... ... 


x2 n ... xnn 
 xn1

 x1 , x1

 x 2 , x1
và T T  
 ...
 n 1
 x ,x


x1, x 2

...

x2 , x2

...

...

...

xn , x2

...

x12
x22
...
x2 n

... x1n   x1 
 
... x2n   x 2 

... ...   ... 
  
... xnn   x n 

x1 , x n 

2
n 
x ,x
I.

... 

xn , xn 


Xét trường hợp tổng quát, khi i là giá trị riêng bội k ứng với các vectơ riêng

x1 , x 2 ,..., x k của ma trận A . Từ (1.4), vectơ Bx i cũng là vectơ riêng ứng với giá trị
riêng i , do đó Bxi có thể biểu diễn tuyến tính qua x1 , x 2 ,..., x k :
k
i

Bx   cij x j , i  1, 2,..., k .

(1.5)

i 1

Vì các vectơ x i trực giao và B là ma trận đối xứng nên

( x j , Bx i )  cij  ( Bx j , x i )  c ji . Chứng tỏ ma trận C   cij  là ma trận đối xứng.
k

Xét tổ hợp tuyến tính

i

1

2

 a x của các vectơ x , x ,..., x
i

k

. Ta có

i 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên