tiểu luận lý thuyết modun với đề tài Môđun Artin

Lý thuyết Mơđun

Mơđun Artin

A.MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Có thể nói rằng mọi ngành tốn học hiện đại ngày nay trong quá trình phát
triển đều cần tới cấu trúc đại số. Vì thế, Đại số chiếm một vị trí quan trọng trong
tốn học. Nó góp phần thúc đẩy sự phát triển của tốn học hiện đại và nó cũng là
đầu tàu để dẫn dắt đào sâu hơn nữa những nghiên cứu toán học.
Ngày nay, nhu cầu học hỏi toán học nói chung và Đại số nói riêng của sinh
viên chun ngành Tốn học cũng như những người u thích toán ngày càng
tăng. Đối tượng chủ yếu của Đại số là cấu trúc Đại số như nhóm, vành, trường,
mơđun, … trong đó, mơđun là một trong những khái niệm quan trọng nhất của
Đại số hiện đại, trong đó khơng kể đến mơđun Noether và mơđun Artin.
Với mong muốn tìm hiểu sâu sắc lý thuyết và các bài tập của môđun Artin
nên chọn đề tài: “Môđun Artin” làm đề tài nghiên cứu của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu đề tài, em trình bày các định nghĩa, định lý, các hệ
quả, mệnh đề và một số bài toán chứng minh môđun Artin để giúp nắm chắc lý
thuyết và bài tập mơđun Artin, từ đó có thể giải được các bài tốn liên quan.
3. Đối tượng nghiên cứu
Mơđun Artin
4. Phương pháp nghiên cứu
+ Tham khảo tài liệu có sẵn
+ Tham khảo ý kiến chuyên gia
+ Phương pháp phân tích
+ Phương pháp tổng hợp

SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 1


Lý thuyết Môđun

Môđun Artin

+ Tham khảo tài liệu internet
5. Cấu trúc đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, bài tiểu luận của được
trình bày trong 2 chương:
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Chương 2: Môđun Artin và các bài toán chứng minh

SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 2


Lý thuyết Môđun

Môđun Artin

B. NỘI DUNG
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Môđun
1.1.1. Định nghĩa
Giả sử R là vành. Một R-môđun trái M là một nhóm cộng giao hốn M cùng
với một ánh xạ:

(gọi là phép nhân với vô hướng) sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:

với các phần tử tùy ý và .
Ta cũng nói rằng, R tác động (về bên trái) lên M và M là một môđun trên R.
1.1.2. Tính chất
Nếu và tương ứng là các phần tử trung hịa của M và R thì ta có thể suy ra
rằng:
(1)
(2)
với mọi và mọi.
Thật vậy,
.
Tương tự
SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 3


Lý thuyết Môđun

Môđun Artin

Đối với các đẳng thức (2), ta có:

Tương tự, ta có: .
1.2.Mơđun con
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử M là một R-môđun. Tập con của M được gọi là môđun con của M
nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân vô hướng của M hạn chế trên
A.

1.2.2. Các mệnh đề
Mệnh đề 1
Cho M là một R-môđun. Nếu A là một tập con khác rỗng của M thì các điều
kiện sau là tương đương:
(a) A là mơđun con trong M.
(b) A là nhóm con cộng của M và đối với mọi , mọi , ta có .
(c) Với mọi và mọi , ta có .
Chứng minh
Là hiển nhiên theo định nghĩa của môđun con.
Trước hết, với và , ta có và .
Do A là nhóm cộng aben nên .
Với mọi và , ta có , nên A đóng kín với phép cộng trong M.
Với ta có , với mọi , nghĩa là A là nhóm cộng của M. Các tính chất cịn lại
được thỏa mãn trên A do thỏa mãn trong M.
Mệnh đề 2
SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 4


Lý thuyết Môđun

Môđun Artin

Giao của một họ bất kỳ những môđun con của R-môđun M là một môđun
con của M.

SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 5

Lý thuyết Mơđun

Mơđun Artin

Chương 2: MƠĐUN ARTIN VÀ CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH
2.1. Mơđun Artin
Định nghĩa
Cho M là R-mơđun
(i) Ta nói dây chuyện (hay chuỗi, xích) các mơđun con của M:

là đường (hay ổn định) nếu nó chỉ chứa một số hữu hạn các khác nhau,
tức là
(ii) Môđun M được gọi là Artin nếu mọi tập con không rỗng các mơđun con
của nó đều có phần tử tối tiểu.
Do đó, một R-môđun M được gọi là môđun Artin nếu mỗi tập khác rỗng các
mơđun con của M ln chứa ít nhất một phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm.
Từ đó, ta có nhận xét: Các mơđun Artin cịn gọi là môđun thỏa mãn điều
kiện tối tiểu.
Định lý 1
Cho M là R-môđun, A là môđun con của M.
Các điều kiện sau là tương đương:
(i) M là môđun Artin
(ii) A và cũng là các môđun Artin
(iii) Mọi chuỗi giảm các môđun con của M đều dừng, tức là tồn tại sao cho .
Chứng minh

Giả sử là một chuỗi giảm các môđun con của M, mà M là Artin nên tập có một
phần tử cực tiểu, chẳng hạn là , khi đó: .

SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 6


Lý thuyết Môđun

Môđun Artin

Giả sử S là tập con khác rỗng các mơđun con của M là A.
Vì nên ta chọn được một mơđun con .
Khi đó, nếu khơng cực tiểu thì tồn tại thực sự chứa trong .
Như vậy, nếu trong S khơng có phần tử cực tiểu thì sẽ tồn tại một chuỗi giảm
không dừng các môđun con của M: mẫu thuẫn với .

Giả sử M là môđun Artin, .
+ Chứng minh A là Artin
Gọi là tập hợp các môđun con của A, .
cũng là tập hợp các môđun con của M.
Từ giả thiết M là Artin nên có phần tử tối tiểu.
Do đó, A là Artin.
+ Chứng minh là Artin.
Ta có phép chiếu và .
Gọi là tập hợp các mơđun con của M.
Lại có M là Artin nên có phần tử tối tiểu là .
là phần tử tối tiểu của .
Vậy là Artin.
Giả sử là một chuỗi tăng các mơđun con của M.
Khi đó, theo (iii): là Artin, ta có dãy giảm các mơđun con:

đều dừng,
SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 7


Lý thuyết Mơđun

Mơđun Artin

tức là
Vậy là tối tiểu.
Do đó M là Artin.
Hệ quả 1
Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những mơđun con Artin thì nó cũng là
mơđun Artin.
Chứng minh
Đặt .
Chứng minh hệ quả trên bằng quy nạp theo n.
+ Với thì mệnh đề đúng.
+ Giả sử mệnh đề đúng với , tức là là Artin.
Theo định lí đã biết (trong Đại số đại cương):
cũng là Artin.
Suy ra cũng là Artin.
Hệ quả 2
Nếu vành R là Artin và M là R-mơđun hữu hạn sinh thì M cũng là mơđun
Artin.
Chứng minh
Giải sử là tập sinh của R-môđun M.
Với mỗi . Xét ánh xạ:

SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 8


Lý thuyết Môđun

Môđun Artin

Ta chứng minh là đồng cấu R-môđun.
Thật vậy, :
(1)
, ta có:

(2)

Từ (1) và (2), suy ra: là đồng cấu R-mơđun.

Khi đó: .
Theo định lý 1 ở trên, do R là Artin nên cũng là Artin.
Theo hệ quả 1 ở trên, suy ra M là Artin.
Hệ quả 3
Cho dãy khớp ngắn các R-mơđun:

Khi đó, là mơđun Artin khi và chỉ khi và là các môđun Artin.
Chứng minh
Không gian tổng qt có thể coi là một mơđun con của và

Giả sử M là mơđun Artin.

Khi đó, mỗi dãy giảm các môđun con của cũng là một dãy giảm các mơđun
con của , do đó nó phải dừng.
Vậy là mơđun Artin.
SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 9


Lý thuyết Mơđun

Mơđun Artin

Vì mỗi dãy các mơđun con của đều là ảnh của một dãy giảm trong qua toàn
cấu chính tắc, và mọi dãy giảm trong đều dừng, nên mọi dãy giảm trong đều
dừng.
Vậy là môđun Artin.
Giả sử , đều là môđun Artin, và cho là một dãy giảm các mơđun con của .
Khi đó ta nhận được hai dãy giảm
Và các môđun con của và tương ứng.
Do và là môđun Artin nên tồn tại số tự nhiên để:
với
.
Vậy M là môđun Artin.
Hệ quả 4
Tổng trực tiếp của một họ hữu hạn các R-mơđun Artin là một R-mơđun
Artin.
Các ví dụ
(1) Mọi không gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường K là môđun Artin.
Thật vậy, giả sử là cơ sở của V và là một dây chuyền các không gian con
của V.

Mỗi tập con không rỗng của không gian vectơ V đều có phần tử tối tiểu là .
Vậy mọi không gian vectơ hữu hạn chiều V trên trường K là môđun Artin.
(2) Mọi không gian vectơ vô hạn chiều V không là Artin, V là K-môđun.
Thật vậy, giả sử là tập các phần tử độc lập tuyến tính của V.
SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 10


Lý thuyết Mơđun

Mơđun Artin

Khi đó:
Vậy khơng dừng.
Suy ra, khơng gian vectơ V khơng là mơđun Artin.
Ta có thể hiểu theo cách khác:
Giả sử là cơ sở của V. Khi đó:
.
là môđun con cực đại của .
là môđun con cực đại của .
là môđun con cực đại của .
là K-môđun đơn.
Tương tự: là môđun đơn.
...
là môđun đơn.
Suy ra, V không là môđun Artin.
(3) -môđun là Artin.
Thật vậy, để chứng minh -môđun là Artin, ta chỉ ra rằng chuỗi
với là môđun con của -môđun sinh bởi phần tử ; chứa tất cả các mơđun thực sự

của nó.
Từ đó, suy ra rằng mỗi tập khơng rỗng những mơđun con của đều có mơđun
con nhỏ nhất.
Trước hết, ta nhận xét rằng:
Thật vậy, do và nguyên tố cùng nhau nên tồn tại sao cho
SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 11


Lý thuyết Mơđun

Mơđun Artin

Suy ra:
Do đó, -mơđun là Artin.
(4) Vành số ngun là -mơđun, khơng là mơun Artin vì ta có dãy mơđun sau
đây là khơng dừng: .
(5) Một R-mơđun đơn là mơđun Artin. Do đó trường cũng là một môđun Artin.
(6) V là K không gian vectơ vô hạn chiều thì V khơng là mơđun Artin.
Thật vậy, giả sử là tập hợp các phần tử độc lập tuyến tính trong V. khi đó,
dãy sau khơng dừng:
.
2.2. Các đặc trưng khác của môđun Artin
Mệnh đề 1
R-môđun M hữu hạn sinh khi và chỉ khi đối với mỗi tập các môđun con của
M thỏa mãn , đều tồn tại một tập con hữu hạn sao cho .
Chứng minh
Giả sử M là hữu hạn sinh, .
Do nên mỗi phần tử là tổng hữu hạn của các phần tử thuộc .

Do đó tồn tại một tập con hữu hạn để .
Từ đó, suy ra: .
Xét tập hợp các môđun con dạng . Khi đó, theo giả thiết tồn tại tập hữu hạn sao
cho .
Điều này chứng tỏ M là hữu hạn sinh.
Đặc trưng này của nhóm mơđun hữu hạn sinh cho phép ta đưa ra khái niệm
đối ngẫu với nó như sau.

SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 12


Lý thuyết Môđun

Môđun Artin

Định nghĩa
Môđun được gọi là hữu hạn đối sinh nếu đối với mỗi tập hợp các mô đun
con của M, thỏa mãn , đều tồn tại một tập con hữu hạn sao cho .
Ví dụ
(1) Mơđun khơng là hữu hạn sinh đối sinh do , là tập tất cả các số nguyên
tố, nhưng .
(2) Không gian vectơ V trên trường K là hữu hạn đối sinh khi và chỉ khi nó
hữu hạn chiều.
Bây giờ chúng ta trình bày đặc trững của môđun Artin liên quan tới khái
niệm hữu hạn sinh (hữu hạn đối sinh).
Định lí 2
Các điều sau là tương đương:
(i) Môđun là Artin.

(ii) Mỗi môđun thương của M là hữu hạn đối sinh.
(iii) Đối với mỗi tập hợp những môđun con của môđun M tồn tại một tập con
hữu hạn sao cho .

SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 13


Lý thuyết Mơđun

Mơđun Artin

Chứng minh

Đặt và xét phép chiếu chính tắc , ta có: .
Theo giả thiết tồn tại tập con hữu hạn sao cho .
Khi đó, dễ dàng suy ra .

Giả sử là tập hợp nào đó các mơđun con của thỏa mãn .
Khi đó: , với là phép chiếu.
Khi đó, theo giả thiết tồn tại tập con hữu hạn sao cho .
Từ đó suy ra rằng .

Đối với tập những môđun con của M, ta xét tập hợp tất cả các .
Theo , trong tập này, tồn tại phần tử tối tiểu . Do tính tối tiểu của D, đối với
mỗi , ta có và vì vậy .
Giả sử là dãy giãm các môđun con trong M. Khi đó, tìm được sao cho .
Do đó với . Vậy M là Artin (theo định lý đầu tiên)
Mệnh đề 1

Cho N là mơđun con của R-mơđun M. khi đó M là Artin khi và chỉ khi N và
là Artin.
Chứng minh
Giả sử M là R-môđun Artin.

SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 14


Lý thuyết Môđun

Môđun Artin

+ Xét mọi dãy giảm các môđun con của N: cũng là dãy giảm các môđun con
của M.
Do M là môđun Artin nên tồn tại để
Vậy N là môđun Artin.
+ Giả sử là dãy giảm các môđun con của mơđun .
Trong đó, mơđun con của có dạng với P là mơđun con của M và .
Do đó, tồn tại dãy giảm các môđun con của M: sao cho .
Do M là môđun Artin nên dãy trên dừng.
Do đó, tồn tại để
Tức là tồn tại để
Hay
Vậy là mơđun Artin.
Nếu N và là môđun Artin.
Với mọi dãy giảm các mơđun con của mơđun M:
Ta có dãy giảm tương ứng các môđun con của N là:
Và dãy giảm các môđun con của môđun là:

Do và N là môđun Artin nên hai dãy trên phải dừng tức là tồn tại để:
Suy ra
Với mọi , ta có:

SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 15


Lý thuyết Môđun

Môđun Artin

Thật vậy,
+ Với mọi , đặt , trong đó:
Do đó:
Suy ra:
Hay
Vậy

(1)

+ Ngược lại:
Với mọi thì .
Đặt với
Thì , vì .
Từ .
Vậy

(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

Tức với mọi .
Vậy M là R-môđun Artin.
Mệnh đề 2
Cho R là vành có đơn vị, là tự đồng cấu của R-mơđun Artin M. Khi đó nếu
là đơn cấu thì là đẳng cấu.
Chứng minh
SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 16


Lý thuyết Môđun

Môđun Artin

Giả sử M là R-môđun Artin, là tự đồng cấu và là đơn cấu. ta có dãy giảm
các môđun con của M:

Do M là môđun Artin nên dãy trên phải dừng,
tức là tồn tại để
Với mọi , ta có: , do đó, tồn tại để:

Tức .
Do là đơn cấu nên cũng là đơn cấu.
Vì vậy, hay mọi đều có tạo ảnh tức là tồn cấu.
Vậy là đẳng cấu.
2.3. Bài tập

Bài tập 1
Cho M là R-môđun. Chứng minh rằng nếu là các môđun con của M sao
cho , là các mơđun Artin thì cũng là mơđun Artin.
Giải
Ta có đồng cấu:

Theo định lý đồng cấu .
Nếu , là môđun Artin thì là mơđun Artin.
Ta đã biết mơđun con của môđun Artin nên là môđun Artin.
SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 17


Lý thuyết Mơđun

Mơđun Artin

Ta có:
.
Như vậy, là mơđun Artin.
Bài tập 2
Chứng minh rằng mỗi tự đơn cấu của một môđun Artin là một tự đẳng cấu.
Giải
Giả sử M là R-môđun Artin và là một tự đồng cấu.
Ta cần chứng minh:
.
.
Hay .
Từ đó, ta có dãy giảm các mơ đun con của môđun Artin M:

(*)
Do M là môđun Artin nên dãy (*) dừng,
tức là:
Nói riêng, .
Đặt , ta có: .
.
Suy ra: là toàn cấu.
Suy ra, là toàn cấu.
Kết hợp với giả thiết, suy ra là tự đẳng cấu.
SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 18


Lý thuyết Môđun

SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Môđun Artin

Trang 19


Lý thuyết Môđun

Môđun Artin

C.KẾT LUẬN
Thông qua việc nghiên cứu, bài tiểu luận của em thu được một số kết quả
sau:

1. Hệ thống hóa các định nghĩa, định lý, hệ quả và mệnh đề và một số kiến thức
liên quan đến môđun Artin.
2. Chứng minh được các định lý, hệ quả và mệnh đề; và tìm được một số ví dụ
của môđun Artin và môđun không là Artin.
3. Sử dụng các kiến thức thu thập được vào chứng minh một số bài toán liên
quan.

SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 20


Lý thuyết Môđun

Môđun Artin

D.TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Nguyễn Tiến Quang, Giáo trình Mơđun và nhóm Aben, NXB Đại học Sư
phạm, 2008.
[2]. Nguyễn Tiến Quang – Nguyễn Duy Thuận, Cơ sở lý thuyết Môđun và vành,
NXB Giáo dục, 2001.
[3]. Dương Quốc Việt, Bài tập Lý thuyết Module, NXB Đại học Sư phạm, 2015.
[4]. />
SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 21


Lý thuyết Môđun

Môđun Artin

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài...............................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu.........................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu.......................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu...................................................................................1
5. Cấu trúc đề tài...................................................................................................2
B. NỘI DUNG.......................................................................................................3
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.....................................................................3
1.1. Mơđun............................................................................................................3
1.1.1. Định nghĩa...................................................................................................3
1.1.2. Tính chất.....................................................................................................3
1.2. Mơđun con.....................................................................................................4
1.2.1. Định nghĩa...................................................................................................4
1.2.2. Các mệnh đề................................................................................................4
Chương 2: MƠĐUN ARTIN VÀ CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH....................6
2.1. Mơđun Artin.....................................................................................................6
2.2. Các đặc trưng khác của môđun Artin.............................................................13
2.3. Bài tập............................................................................................................19
C. KẾT LUẬN.....................................................................................................21
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................22

SVTH: Nguyễn Thị Xuân Quỳnh

Trang 22