Đề 10 tự luyện thpt quốc gia năm học 2014 - 2015 môn: Toán thời gian làm bài: 180 phút

<span class='text_page_counter'>(1)</span>www.VNMATH.com Chuyên đề MŨ_LOGARITH Luyện thi Đại học 2012 Dạng toán: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC MŨ_ LOGARITH Bài tập 1: Chứng minh rằng: x2 x 1) e ³ 1 + x + ( "x ³ 0 ) 2 2) Hàm số y = f ( x ) = 5x. (. ). x 2 + 1 - x đồng biến trên R.. Bài giải:. x2 1) Xét hàm số f ( x ) = e - 1 - x với x ³ 0 , ta có: 2 f / ( x ) = e x - 1 - x; f / / ( x ) = e x - 1 Þ f / / ( x ) = 0 Û x = 0 . Lập bảng biến thiên suy ra: f / / ( x ) ³ f / / (0) = 0 Þ f / ( x ) ³ f / (0) = 0 ( "x ³ 0 ) x. Þ f ( x ) ³ f (0) = 0 ( "x ³ 0 ) (đ.p.c.m) 2) TXĐ: D = R . Ta có: y / = f / ( x ) = ( 5x ln 5). (. ). æ x ö x 2 + 1 - x + 5x ç - 1 ÷ = 5x 2 è x +1 ø. (. ). æ 1 ö x 2 + 1 - x ç ln 5 ÷. 2 x 1 + è ø. ì x2 + 1 - x > x2 - x ³ 0 ï Ta có: í Þ f / ( x ) > 0 ( "x Î R ) 1 1 Þ ln 5 >0 ïln 5 > 1 > x2 + 1 x2 + 1 î Vậy hàm số y = f ( x ) đồng biến trên R (đ.p.c.m) Bài tập 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a+b 1) ln a + ln b £ 2 ln ( "a, b > 1) 2) a log c + blog a + c log b ³ 3 3 abc ( "a, b > 1) 2 b. 2y æ x+yö 3) ln ç > ( "x, y > 0 ) ÷ è x ø 2x + y Bài giải:. c. a. b. 1ö æ 1ö æ 4) ç 2 a + a ÷ £ ç 2 b + b ÷ 2 ø è 2 ø è. a. ( "a ³ b > 0 ). a+b æa+bö 1) Ta có: ln a + ln b £ 2 ( ln a + ln b ) = 2 ln ab £ 2 ln ç = 2 ln ÷ 2 è 2 ø Dấu “=” xãy ra Û a = b . 2. 2) Ta có: a log c = c log a Þ a log c + c log b = c log a + c log b ³ 2 c log a .c log Tương tự: a log c + b log c ³ 2 a , b log a + c log b ³ 2 b Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta có: a log c + b log a + c log b ³ a + b + c ³ 3 3 abc Dấu “=” xãy ra Û a = b = c . x+y > 1 Þ tx = x + y Û y = x ( t - 1) 3) Đặt t = x b. b. b. b. c. b. a. a. c. b. a. b. a. b. ³ 2c. a. a. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Trang1 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> www.VNMATH.com Chuyên đề MŨ_LOGARITH 2 x ( t - 1) 2y t -1 =2 = Do đó: t +1 2 x + y 2 x + x ( t - 1) Bài toán trở thành chứng minh: ln t > 2. Luyện thi Đại học 2012. t -1 ( "t > 1) t +1. t -1 ( "t ³ 1) t +1 2 t - 1) ( = ³ 0 ( "t ³ 1) Þ f (t ) ³ f (1) = 0 ( "t ³ 1) 2 t ( t + 1). Xét hàm số f (t ) = ln t - 2. 1 4 Ta có: f / (t ) = t ( t + 1) 2. t -1 ( "t > 1) (đ.p.c.m) t +1 4) Ta có BĐT cần chứng minh tương đương với b a b a æ a 1ö æ b 1ö a b 2 2 4 1 4 1 £ + Û + £ + Û b ln ( 4 a + 1) £ a ln ( 4 b + 1) + ( ) ( ) ç ç b ÷ a ÷ 2 ø è 2 ø è hay ln t > 2. Û. ln ( 4 a + 1) a. £. ln ( 4 b + 1). (1) b ln ( 4 t + 1). ( t > 0) . t 4 t ln ( 4 t + 1) - ( 4 t + 1) ln ( 4 t + 1). Xét hàm số f (t ) = Ta có: f / (t ) =. t 2 ( 4 t + 1). nên hàm số f (t ) nghịch biến trên ( 0;+¥ ) . Vậy: a ³ b > 0 Û f (a) £ f (b) Û. ln ( 4 a + 1). < 0 ( "t > 0 ) ln ( 4 b + 1). £ (đ.p.c.m) a b Bài tập 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1 x 2) < ln (1 + x ) < x ( "x > 0 ) 1) ln 1 + 1 + x 2 < + ln x ( "x > 0 ) x 1+ x. (. æ x+aö 3) ç ÷ è x+bø. ). x +b. æaö >ç ÷ èbø. æ x +1ö 5) x ³ ç ÷ è 2 ø Bài giải: x. x +1. b. ( "x, a, b > 0, a ¹ b ). y. x. ( "x > y > 0 ). ( "x > 1). (. ). 1) Xét hàm số f ( x ) = ln 1 + 1 + x 2 Ta có: f / ( x ) =. 4) ( 2 x + 3x ) < ( 2 y + 3y ). x2 + 1 - x x 2 + 1x 2. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. 1 - ln x ( "x > 0 ) x. > 0 ( "x > 0 ) Þ f ( x ) là hàm tăng trên ( 0;+¥ ) .. Trang2 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> www.VNMATH.com Chuyên đề MŨ_LOGARITH æ 1 + 1 + x2 1 ö - ÷ = 0 Þ f ( x ) < 0 "x > 0. Mặt khác: lim ç ln x ®+¥ ç x x ÷ø è. Luyện thi Đại học 2012. x với x > 0 . x +1 x +b æ x+aö æ x+aö Þ ln f ( x ) = ( x + b ) ln ç 3) Xét hàm số f ( x ) = ç ÷ ÷ è x+bø è x+bø é æ x +aö b-aù f / (x) æ x+aö b-a = ln ç + Þ f / ( x ) = ê ln ç Þ ÷ ÷+ ú f ( x) f (x) è x+bø x+a ë è x + b ø x + aû. 2) Xét hai hàm số f ( x ) = ln (1 + x ) - x và g ( x ) = ln (1 + x ) -. ( b - a) æ x+aö b-a Þ g / (x) = < 0 , suy ra g ( x ) nghịch biến, Đặt g ( x ) = ln ç ÷+ 2 è x+bø x+a ( x + a) ( x + b) 2. mà lim g ( x ) = 0. x ®+¥. Þ g ( x ) > 0 ( "x > 0 ) Þ f / ( x ) > 0 ( "x > 0 ) suy ra f ( x ) đồng biến trên [ 0;+¥ ) æaö Þ f ( x ) > f (0) = ç ÷ èbø. b. ( "x > 0 ). 4) Ta có: ( 2 x + 3x ) < ( 2 y + 3y ) y. y. x. (đ.p.c.m) y. x. é æ 3 öx ù é æ 3 öy ù xy xy Û 2 ê1 + ç ÷ ú < 2 ê1 + ç ÷ ú ëê è 2 ø ûú ëê è 2 ø ûú 1. x. 1. é æ 3 öx ù x é æ 3 öy ù y é æ 3 öx ù é æ 3 öy ù 1 1 Û ê1 + ç ÷ ú < ê1 + ç ÷ ú Û ê1 + ç ÷ ú < ê1 + ç ÷ ú Û ln (1 + a x ) < ln (1 + a y ) (1) x y êë è 2 ø úû êë è 2 ø úû êë è 2 ø úû êë è 2 ø úû 3 với a = . 2 a t ln (1 + a t ) - (1 + a t ) ln (1 + a t ) 1 / t < 0 ( "t > 0 ) Đặt f (t ) = ln (1 + a ) Þ f (t ) = t t2 Vậy f (t ) nghịch biến trên ( 0;+¥ ) mà x > y > 0 Þ f ( x ) < f ( y) vậy (1) đúng nên BĐT được chứng minh. 5) Ta có x +1 x +1 æ x +1ö x x ³ç Û x ln x - ( x + 1) ln > 0 Û x ln x - ( x + 1) ln ( x + 1) + ( x + 1) ln 2 > 0 ÷ 2 è 2 ø Khảo sát hàm số f ( x ) = x ln x - ( x + 1) ln ( x + 1) + ( x + 1) ln 2 ( "x ³ 1) ta có điều phải chứng minh. 1. Bài tập 4: Chứng minh với a, b, c > 0 ta có: a a .b b .c c ³ ( abc ) 3. ( a+ b+c). Bài giải: Vì hàm số y = lg x đồng biến trên ( 0;+¥ ) . Ta lấy logarith với cơ số 10 hai vế của BĐT trên ta được BĐT tương đương cần được chứng minh: 3 ( a lg a + b lg b + c lg c ) ³ ( a + b + c )( lg a + lg b + lg c ) . Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Trang3 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> www.VNMATH.com Chuyên đề MŨ_LOGARITH Ta có: ( a - b ) ( lg a - lg b ) ³ 0 Û a lg a + b lg b ³ a lg b + b lg a (1). ( b - c ) ( lg b - lg c ) ³ 0 Û b lg b + c lg c ³ b lg c + c lg b ( c - a ) ( lg c - lg a ) ³ 0 Û c lg c + a lg a ³ c lg a + a lg c. Luyện thi Đại học 2012. (2) (3). a lg a + b lg b + c lg c = a lg a + b lg b + c lg c (4) Cộng (1), (2), (3) và (4) vế theo vế ta được đ.p.c.m. Bài tập 5: a) Chứng minh với a, b > 1 thì với mọi c ³ 0 ta có log a b ³ log a + c b và dấu đẳng thức xãy ra khi c = 0. b) Chứng minh rằng với b ³ a > 1 thì với mọi c ³ 0 ta có log a b ³ log a + c ( b + c ) và dấu đẳng thức xãy ra khi c = 0 hoặc a = b. 3 c) Không dùng bảng số và máy tính, chứng tỏ rằng log3 29 < 2 + log2 7. 2 2 d) Tìm x thỏa mãn phương trình log 2 x - 4 x + 4 ( 3 x - 6 x + 5) = log3 x -6 x + 5 ( 4 x 2 - 8 x + 6 ) 2. 2. Bài giải: a) Vì a, b > 1 và c ³ 0 nên log b ( a + c ) ³ log b a . Dấu “=” xãy ra Û c = 0. Do đó:. 1 1 hay log a b ³ log a + c b (đ.p.c.m) £ log b ( a + c ) log b a. b) Ta có: log a b ³ log a + c ( b + c ) Û log a b - 1 ³ log a + c ( b + c ) - 1 Û log a. b+c b ³ log a + c a a+c. b b+c b+c ³ 1 và ³ , do đó: a+c a a+c b b+c b+c ( theo c©u a ) log a ³ log a ³ log a + c a a+c a+c Rõ ràng dấu đẳng thức xãy ra khi chỉ khi c = 0 hoặc a = b. c) Ta có 3 3 1 1 log3 29 < 2 + log2 7 Û log3 29 < log2 28 Û log3 29 < log2 28 Û log9 29 < log8 28 2 2 2 3 Áp dụng BĐT ở câu b) với a = 8, b = 28, c = 1 ta suy ra đ.p.c.m. d) Ta có: log 2 x - 4 x + 4 ( 3x 2 - 6 x + 5) = log3 x -6 x + 5 ( 4 x 2 - 8 x + 6 ). Vì b ³ a > 1, c ³ 0 suy ra. 2. Û log 2 x. 2. 2. -4 x +4. ( 3x. 2. - 6 x + 5) = log 2 x. 2. - 4 x + 4 + ( x +1). 2. é( 3 x 2 - 6 x + 5) + ( x + 1) 2 ù ë û. é2 x 2 - 4 x + 4 = 3x 2 - 6 x + 5 Ûê ( Theo kÕt qu¶ c©u b) ) 2 êë( x + 1) = 0 Û ( x + 1) = 0 Û x = 1 2. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Trang4 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> www.VNMATH.com Chuyên đề MŨ_LOGARITH. Luyện thi Đại học 2012 3. Bài tập 6: Chứng minh với a, b, c > 1 thỏa mãn ( a + b )( b + c )( c + a ) = ( a + b + c ) 2 :. log a + b a + log b + c b + logc + a c <. 3 2. Bài giải: Ta có, theo bài tập 5, ta có: log a ( a + b ) > log a + c ( a + b + c ) Þ log a + b a < log a + b + c ( a + c ) (1). log b + c b < log a + b + c ( a + b ) (2). Tương tự, ta có:. logc + a c < log a + b + c ( b + c ) (3) Cộng vế theo vế các BĐT (1), (2) và (3), kết hợp với giả thiết, ta suy ra điều phải chứng minh. Bài tập 7: Chứng minh với mọi "x Î ( 0;1) ta có: 1 2 ne. xn. 1 - x < Bài giải:. 1 BĐT cần chứng minh Û 2 n (1 - x ) x 2 n < . Ta có: e Theo BĐT Cauchy: 2 n +1 2 n +1 é ( 2 n - 2 nx ) + 2 nx ù æ 2n ö 2n x . x...x £ ê 2 n (1 - x ) x = ( 2 n - 2 nx ) .  =ç ú ÷ 1 2 n + è 2n + 1 ø 2n ë û 2 n +1. 1 æ 2n ö < hay ( 2 n + 1) éë ln 2 n - ln ( 2 n + 1) ùû < -1 Ta cần chứng minh: ç ÷ e è 2n + 1 ø 1 hay ln ( 2 n + 1) - ln 2 n > . 2n + 1 1 Xét hàm số f ( x ) = ln x, ( 2n £ x £ 2n + 1) có f / ( x ) = x ln ( 2 n + 1) - ln 2 n 1 = Theo định lí La-gơ-răng thì $c Î ( 2 n;2 n + 1) để: c ( 2n + 1) - 2n 1 1 > suy ra đ.p.c.m c 2n + 1 Bài tập 8: Chứng minh với x > 0, a > 1 ta có:. mà c < 2 n + 1 nên. a. x. ( x ln a ) > 1 + x ln a +. 2. ( x ln a ) + ... +. n. n!. 2!. Bài giải: Ta có: a x = e x ln a và đặt t = x ln a > 0 .. t2 tn BĐT cần chứng minh trở thành: Với t > 0 , ta có: e > 1 + t + + ... + 2! n! t. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Trang5 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> www.VNMATH.com Chuyên đề MŨ_LOGARITH. Luyện thi Đại học 2012. t2 tn - ... 2! n! t / t Với n = 1: f1 (t ) = e - 1 - t Þ f1 (t ) = e - 1 > 0 ( "t > 0 ) Chứng minh bằng quy nạp fn (t ) = et - 1 - t -. ( "t > 0 ). (*). Suy ra f1 (t ) đồng biến trên [ 0; +¥ ) Þ f1 (t ) > f1 (0) = 0 . BĐT (*) đúng với n = 1. Giả sử (*) đúng đến n = k Î N * , tức là fk (t ) > 0 ( "t > 0 ) .. Ta cần chứng minh (*) đúng đến n = k + 1 Î N * , tức là fk +1 (t ) > 0 ( "t > 0 ) .. t2 tk t k +1 Thật vậy, ta có: fk +1 (t ) = e - 1 - t - - ... - 2! k ! ( k + 1) ! t. tk t2 - ... - = fk (t ) > 0 ( "t > 0 ) ( theo giả thiết quy nạp ) 2! k! Vậy fk +1 (t ) đồng biến trên [ 0; +¥ ) Þ fk +1 (t ) > fk +1 (0) = 0 (đ.p.c.m) Þ fk/+1 (t ) = et - 1 - t -. Bài tập 9: Chứng minh rằng với 0 < a < b ta có: b-a b b-a < ln < b a a Bài giải: 1 ln b - ln a 1 < (*) BĐT cần chứng minh tương đương với < b b-a a Xét hàm số f ( x ) = ln x, x Î [ a; b ] . Rõ ràng f ( x ) là hàm số liên tục trên [ a; b ] và ta có. ln b - ln a 1 1 "x Î ( a; b ) ) , vậy tồn tại c Î ( a; b ) để = . ( x b-a c 1 1 1 Mà 0 < a < c < b nên < < . Từ đây, BĐT (*) được chứng minh. b c a f / (x) =. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO. Trang6 Lop12.net. Tổ Toán THPT Phong Điền.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>