Giáo án môn Giải tích 12 tiết 59-61: Tích phân

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Tiết PPCT:59-60-61 Ngày:18/02/2009. §3 TÍCH PHÂN. I. Mục tiêu: a) Về kiến thức : khái niệm tích phân, diện tích hình thang cong, tính chất của tích phân, -Học sinh hiểu được bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được của một vật. - Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lí về diện tích hình thang cong. - Viết được các biểu thứcbiểu diễncác tính chất của tích phân b) Về kỹ năng:Học sinh rèn luyện được kĩ năng tính một số tích phân đơn giản. Vận dụng vào thực tiễn để tính diện tích hình thang cong , giải các bài toán tìm quãng đường đi được của một vật c) Về tư duy và thái độ : -Thái độ: tích cực xây dựng bài, chủ động,sáng tạo trong quá trình tiếp cận tri thức mới . - Tư duy: hình thành tư duy logic, lập luận chặt chẽ, và linh hoạt trong quá trình suy nghĩ. II. Phương pháp : - Thuyết trình, kết hợp hỏi đáp. - Phương tiện dạy học: SGK. III. Chuẩn bị: + Chuẩn bị của giáo viên : bảng phụ. + Chuẩn bị của học sinh : -. Hoàn thành các nhiệm vụ ở nhà.. -. Đọc qua nội dung bài mới ở nhà.. IV. Tiến trình tiết dạy : 1.Ổn định lớp : 2.Kiểm tra bài cũ : 5’ - Viết công thức tính nguyên hàm của một số hàm số hàm số thường gặp. - Tính :  ( x  1)dx -. GV nhắc công thức :. f '  x0   lim. x  x0. f  x   f  x0  x  x0. 3.Vào bài mới Tiết1: Hoạt động 1: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Hoạt động của giáo viên I/Khái niệm hình thang cong y 7 B H f(t)=t+1 3. Hoạt động của Hs. Nội dung ghi bảng. A. 1 -1 O. D. G. C x. 2. t. 6. ( Hình 1) -Dựng hình thang ABCD khi biết các đường thẳng: AB: f(x)=x+1,AD: x=2, CB: x=6 và y = 0 (trục hoành) -Tính diện tích S hình thang ABCD -Lấy t  2;6 . Khi đó diện tích hình thang AHGDbằng bao nhiêu?. S=. 73 .4  20 2. S(t) = 3  t 1 t2 (t  2)   t  4 2 2 t  2;6 S’(t) = t+1= f(t)  S(t) là nột. -S’(t) = ?.Khi đó S(t) và f(t) có liên hệ như thế nào ? -Tính S(6) , S(2) ? và S ABCD ? nguyên hàm của f(t) = t+1 Từ lập luận trên dẫn đến k/n hình S(6) = 20,S(2) = 0 thang cong và công thức tính d/t nó. và S ABCD = S(6)-S(2) y B. 1/ Hai bài toán dẫn đến khái niệm tích phân: A a) Diện tích hình thang cong -Bài toán 1: (sgk) -Bài toán tích diện tích hình y x phẳng giới hạn bởi một y=f(x) O a b đường cong có thể đưa về bài -Giáo viên đưa ra bài toán: Tính diện toán tính diện tích của một số tích của hình thang cong aABb hình thang cong Giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x) , f(x)  0, trục Ox và các S(x) đương thẳng x = a , x = b (a<b) x -Cho học sinh đọc bài toán 1 sgk o a x b -Kí hiệu S(x) là diện tích hình Hình 3 thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) KH: S(x) (a  x  b ) của hàm số y = f(x), trục Ox và các đường thẳng đi qua a, x và song song Oy. Hãy chứng minh S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b] y= f (x). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> y y=f(x) F. E. f(x) f(x 0 ) -Giả sử x0 là điểm tùy ý cố định thuộc (a ; b) SMNEQ = S(x) – S(x0) *Xét điểm x  (a ; b ] -Diện tích hình thang cong SMNPQ < SMNEQ < SMNEF MNEQ? -Dựa vào hình 4 so sánh diện lim f  x   f(x0) tích x x SMNPQ , SMNEQ và SMNEF S ( x)  S ( x0 ) lim  f(x0) (2) *f(x) liên tục trên [ a; b ] x x x  x0 lim f  x   ? 0. 0. . x  x0. S ( x)  S ( x0 ) ? - Suy ra lim x  x0 x  x0 x  x0. *Xét điểm x  [a ; b ). S ( x)  S ( x0 ) lim  f(x0) x  x0 x  x0. Từ (2) và (3) suy ra gì?. S(x) - S(x 0 ) <f(x) (1) x - x0 Vì lim f x   f(x0).  f(x0)< x  x0. -Giáo viên củng cố kiến thức BT1 + Giả sử y = f(x) la một hàm số liên tục và f(x)  0 trên [ a; b ]. Khi đó diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b là S = F(b) – F(a) trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kì của hàm số f(x) trên [ a; b ]. S ( x)  S ( x0 )  f(x0)(2) x  x0. Tương tự: lim x  x0. . S ( x)  S ( x0 )  x  x0. f(x0)(3) Từ (2) và (3)ta có: x  x0. * SMNEQ = S(x) – S(x0)  S =?. . *Xét điểm x  [a ; b ). lim. S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [ a; b ] ta biểu diễn S(x)?. x. a. x  x0. S ( x)  S ( x0 )  f(x0) (3) x  x0. P. x M N b Hình 4 *Xét điểm x  (a ; b ] SMNEQ là S(x) – S(x0) Ta có:SMNPQ < SMNEQ < SMNEF  f(x0)(x-x0)<S(x)-S(x0)<f(x)(x-x0) 0. (1)  lim lim. S ( x)  S ( x0 ) ? Tương tự lim x  x0 x  x0. Q xo. S ( x)  S ( x0 )  f(x0) x  x0. S(x) = F(x) +C (C: là hằng số) Hay S’ (x) = f(x0) Suy ra S’ (x) = f(x) (vì x  (a ; b ) nên suy ra S’ (a) = f(a),S’(b) = f(b) S = S(b) – S(a) Vậy S(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên [ a; b ]  S(x)= F(x) +C (C: là hằng số) S = S(b) – S(a) = (F(b) +C) – (F(a) + C) = F(b) – F(a). Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> -Giáo viên định hướng học sinh -Học sinh tiến hành giải dưới sự giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học định hướng của giáo viên: tập số 1 x5 4  C ( C là hằng I =  x dx = -Tìm họ nguyên hàm của f(x)? 5 số) -Chọn một nguyên hàm F(x) của x5 f(x) trong họ các nguyên hàm đã Chọn F(x) = 5 tìm được ? -Tính F(1) và F(2) 1 32 F(1) = , F(2) = 5 5 Diện tích cần tìm ? 31 (dvdt ) S = F(2) –F(1) = 5. GIẢI: x5 C 5 x5 Chọn F(x) = ( C là hằng số) 5. I =  x 4 dx =. 1 32 , F(2) = 5 5 31 (đvdt ) S = F(2) –F(1) = 5. F(1) =. Tiết2: Hoạt động 2: Tìm hiểu khái niệm tích phân qua bài toán diện tích hình thang cong Hoạt động của giáo viên -Giáo viên định hướng học sinh giải bài toán 2 (sgk) +Gọi s(t) là quãng đường đi được của vật cho đến thời điểm t. Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là bao nhiêu? + v(t) và s(t) có liên hệ như thế nào? +Suy ra f(t) và s(t) có liên hệ như thế nào? +Suy ra s(t) và F(t) có liên hệ như thế nào? +Từ (1) và (2) hãy tính L theo F(a) và F(b)? -Giáo viên định hướng học sinh giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập 2 +Tìm họ nguyên hàm của f(t)? +Lấy một nguyên hàm của F(t) của f(t) trong họ các nguyên hàm đã tìm được +Tính F(20) và F(50)? +Quãng đường L vật đi được trong khoảng thời gian từ t1 =20 đến t2=50 liên hệ như thế nào với F(20) và F(50). Hoạt động của Hs -Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là : L = s(b) – s(a) (1) v(t) = s’(t)  s’(t) = f(t). Nội dung ghi bảng b, Quãng đường đi đượccủa1 vật Bài toán 2: (sgk) CM: Quãng đường đi được trong khoảng thời gian từ thời điểm t = a đến thời điểm t = b là : L = s(b) – s(a) (1) v(t) = s’(t). s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2) Từ (1) và (2)  L= F(b)–F(a).  s’(t) = f(t). s(t) là một nguyên hàm của f(t) suy ra tồn tại C: s(t) = F(t) +C (2) Từ (1) và (2)  L= F(b)–F(a). -Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên 3 2. I =  (3t  2)dt  t 2  2t  C F(t) =. 3 t2  2t 2. F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy ra L = F(50)– F(20)=3210(m). Lop12.net. GIẢI: 3 2. I =  (3t  2)dt  t 2  2t  C F(t) =. 3 t2  2t 2. F(20) = 640 ; F(50) = 3850 Suy ra L = F(50)– F(20)=3210(m).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Hoạt động 3: Tìm hiểu khái niệm tích phân Hoạt động của giáo viên -Giáo viên nêu định nghĩa tích phân (sgk) -Giáo viên nhấn mạnh. Trong trường hợp a < b, ta gọi. Hoạt động của Hs Học sinh tiếp thu và ghi nhớ. Nội dung ghi bảng 2/Khái niệm tích phân Định nghĩa: (sgk). b.  f ( x)dx là tích phân của f trên a. đoạn [a ; b ]. Giáo viên yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi (H2) Gợi ý: -Gọi F(x) = g(x) +C là họ các nguyên hàm của f(x) -Chọn nguyên hàm F1(x) = g(x)+C1 bất kì trong họ các nguyên hàm đó. -Tính F1(a), F1(b)?. Học sinh tiến hành giải dưới sự định hướng của giáo viên b. Giả sử: F(x) =.  f ( x)dx = a. g(x)+C Chọn F1(x) = g(x)+C1 bất kì  F1(a) = g(a)+C1. F1(b) = g(b)+C1. b. b. -Tính.  f ( x)dx ? a. -Nhận xét kết quả thu được -Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| b a để chỉ hiệu số F(b) -F(a). -Hãy dùng kí hiệu này để viết b.  f ( x)dx a. -Giáo viên lưu ý học sinh: Người ta gọi hai số a, b là hai cận tích phân, số a là cận dưới, số b la cận trên, f là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và x là biến số lấy tích phân -Giáo viên định hướng học sinh giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập số 3.  f ( x)dx = [g(b)+C1]a. [g(a)+C1] = g(b) – g(a) Không phụ thuộc vào cách chọn C1  đpcm Học sinh tiếp thu , ghi nhớ. Người ta còn dùng kí hiệu F(x)| b a để chỉ hiệu số F(b) -F(a).Như vậy nếu F là một nguyên hàm b. của f trên k thì :  f ( x)dx = a. Giả sử F(x) là một nguyên b. hàm của f(x) thì:.  f ( x)dx = a. F(x)|. b a. Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên:. Lop12.net. F(x)|. b a.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Giải:. 5. a)  2xdx 1. -Tìm nguyên hàm của 2x? -Thay các cận vào nguyên hàm trên. 5. a)  2xdx = x2| 15 = 25 – 1 = 24 1. 5. a)  2xdx = x2| 15 = 25 – 1 = 24 1.  /2.  sin xdx. b). 0. -Tìm nguyên hàm của sinx? -Thay các cận vào nguyên hàm trên.  /2.  /2  sin xdx = - cosx | 0 =- (0 - b). b).  /2.  sin xdx = - cosx |. 0. 1) =1.  /2 0. =- (0 -. 0. 1) =1.  /3. dx 2 / 4 cos x.  . c). 1 -Tìm nguyên hàm của ? cos 2 x.  /3. c). dx = tanx|  // 34 = 2   / 4 cos x.  /3. 3 1. c). dx = tanx|  // 34 = 2 / 4 cos x.  . 3 1. -Thay các cận vào nguyên hàm trên 4. 4. dx d)  2 x. -Tìm nguyên hàm của. 1 ? x. -Thay các cận vào nguyên hàm trên +Với định nghĩa tích phân như trên, kết quả thu được ở bài toán 1 được phát biểu lại như thế nào? -Giáo viên thể chế hóa tri thức, đưa ra nội dung của định lý 1:Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên K; a và b là hai số thuộc K ( a<b). Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và 2 đường thẳng x = a, b. x =b là: S =.  f ( x)dx a. -Giáo viên hướng dẫn học sinh trả lời H3. -Theo kết quả của bài toán 2. quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b được tính như thế nào?. dx d)  = ln|x|| 42 = ln4 – ln2 =ln 2 x 4 2. dx = ln|x|| 42 = ln4 – ln2 =ln x 2. d)  4 2. = ln2 Học sinh thảo luận theo nhóm trả lời.. = ln2. ĐỊNH LÍ1: Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên K; a và b là hai số thuộc K ( a<b). Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) trục hoành và 2 đường thẳng x = a, x =b là: b. Học sinh giải quyết dưới sự định hướng của giáo viên: Theo kết quả của bài toán 2. Quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b là: L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm của f(x) Theo định nghĩa tích phân b.  f ( x)dx = F(b) –F(a) a. b.  L=. -Dựa vào định nghĩa tích phân hãy viết lại kết quả thu được?. 4.  f ( x)dx. (đpcm). a. S=. a. Theo kết quả của bài toán 2. Quãng đường vật đi được từ điểm a đến thời điểm b là: L = F(b) –F(a) F(x) là nguyên hàm của f(x) Theo định nghĩa tích phân b.  f ( x)dx = F(b) –F(a) a. b.  L=.  f ( x)dx a. Lop12.net.  f ( x)dx. (đpcm).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Tiết3: Hoạt động 4: Tìm hiểu các tính chất của tích phân; Hoạt động của giáo. Hoạt động của Hs. viên -Giáo viên phát biểu định lí 2(sgk) -Giáo viên định hướng học sinh chứng minh các tính chất trên: Giả sử F là một nguyên hàm của f, G là một nguyên hàm của g .. Học sinh tiếp thu và ghi nhớ Học sinh thực hiện dưới sự định hướng của giáo viên. . a. f ( x)dx = 0. . -Nguyên hàm của f(x) ? -Thay các cận vào nguyên hàmtrên?. 0. a. . a. 1)  f ( x)dx = F(x)| aa =F(a) – F(a)=. f ( x)dx = F(x)| aa = F(a) – F(a) =. a. b. 2). 3 Tính chất của tích phân ĐỊNH LÍ2: (sgk). CM:(Giáo viên HD chứng minh tính chất 3,4,5). a. 1). Nội dung ghi bảng. a. f ( x)dx = -. a. . a. 0. b. . f ( x)dx. b. b. 2)  f ( x)dx = F(x)| ba = F(b) – F(a). f ( x)dx = F(x)| ba = F(b) – F(a). a. a. b.  f ( x)dx = ?. a. . a. a. a. b.  f ( x)dx = ?. b. a. a. b. c. a. b. b.  f ( x)dx = -  f ( x)dx. b. b. b. b. 3)  f ( x)dx +. b a. b. a. c b. c.  f ( x)dx =F(x)|. b a. b. c b. +F(x)| =F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) – F(a).  f ( x)dx. a. a. c. a. c. = F(a) – F(b).  f ( x)dx = -  f ( x)dx. .  f ( x)dx +  f ( x)dx =F(x)|.  f ( x)dx +  f ( x)dx =. a b. b. . b. 3).  f ( x)dx = F(x)|. f ( x)dx = F(x)| ba = F(a) – F(b). +F(x)| =F(b) – F(a) + F(c) – F(b)= F(c) – F(a). a. b.  f ( x)dx = ?. c.  f ( x)dx = F(x)|. a.  f ( x)dx = ?. b. . b. . . c. f ( x)dx =. b. . b. f ( x)dx . a. 4) F(x) là nguyên hàm của f(x), G(x) là nguyên hàm của g(x)  nguyên hàm của f(x) + g(x) =?.   f ( x)  g ( x)dx  F ( x)  G( x). b.   f ( x)  g ( x)dx  ? a. b. b. a. a. = F (b)  G (b)  F (a)  G (a) = F(b) – F(a) + G(b) – G(a) b. b. 4).  f ( x)dx +  g ( x)dx = F(x)| a. a. b a. +G(x)|.  b.  f ( x)dx a.   f ( x)  g ( x)dx  F ( x)  G( x) a. b a. = F (b)  G (b)  F (a)  G (a) = F(b) – F(a) + G(b) – G(a) b. b a. . c. f ( x)dx =. b. a. b a. = F(c) – F(a). c. f ( x)dx +. a. b. 4). c a. a. c. f ( x)dx +. a. c. a.  f ( x)dx = F(x)|. = F(c) – F(a). a. c.  f ( x)dx = ?. c. c a. b.  f ( x)dx +  g ( x)dx = F(x)| a. b a. a. b a. = F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm).  f ( x)dx +  g ( x)dx = ? Lop12.net. = F(b) – F(a) + G(b) –G(a) (đpcm). +G(x)|.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 5) F(x) là nguyên hàm của f(x)  nguyên hàm của kf(x)? b.  kf ( x)dx =?. b. 5)  kf ( x)dx = kF ( x). b. b a. a. =kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)] b. k  f ( x)dx =? a. b. F(a)]. F(a)]. b. b. a. a.   kf ( x)dx = k  f ( x)dx. Giáo viên định hướng học sinh giải quyết nhiệm vụ ở phiếu học tập số 4 Biểu thức của tính chất 4?. =kF(b)- kF(a) = k[F(b) – F(a)] k  f ( x)dx = kF(x) ba =k[F(b) –. a. b. a. k  f ( x)dx = kF(x) =k[F(b) – b a. a. 5)  kf ( x)dx = kF ( x) ba. Học sinh thực hiện dưới sự định hướng của giáo viên  /2.  (sin 2 x  cos x)dx. I=. a.   /2. 2. =  sin 2 xdx   cos xdx 0. 0. 1 cos2x | 0 / 2 - sinx | 0 / 2 2 1  = - (cos  - cos0 ) - sin 2 2. =-. Xét dấu của x – 2 trên [1: 3]?. sin0 =0. Áp dụng tính chất 3 tính tích phân trên?. = [-.  (sin 2 x  cos x)dx 0.   /2. 2. 0. 0. =  sin 2 xdx   cos xdx 1 cos2x | 0 / 2 - sinx | 0 / 2 2 1  = - (cos  - cos0 ) - sin 2 2. =-. sin0 =0.  x  2 dx 1 2. 3. =  ( x  2)dx +  ( x  2)dx 1. a. 3.  x  2 dx 1 2. a.  /2. J=. 3. J=. b. I=. 0. Áp dụng tính chất này tính tích phân trên?. b.   kf ( x)dx = k  f ( x)dx. 2. x2 x2  2 x ] 12 +[  2 x ] 32 2 2. 3. =  ( x  2)dx +  ( x  2)dx 1. 2. 2. x x2 2 = [-  2 x ] 1 +[  2 x ] 32 2 2. =1. =1 IV. CỦNG CỐ: - Phát biểu lại kết quả cuă bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật. - Phát biểu được định nghĩa tích phân, định lý về diện tích hình thang cong. - Viết được các biểu thức biểu diễn các tính chất của tích phân. - Trả lời câu hỏi H5. V.NHIỆM VỤ VỀ NHÀ: -Xem lại bài toán tính diện tích hình thang cong và bài toán quãng đường đi được một vật. -Học thuộc các tính chất của tích phân. - Giải bài tập sách giáo khoa - Bài tập làm thêm: 1) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = -2x2 +3x +6 ,trục hoành , trục tung và đường thẳng x =2 . 1. 2) Tính : I =. x. 2.  x dx .. 2. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> VI. PHỤ LỤC Phiếu học tập số 1 Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x4 trục hoành và hai đường thẳng x =1 , x =2 Phiếu học tập số 2 Vật chuyển động thẳng có vận tốc thay đổi theo thời gian v = f(x) = 3t + 2 m/s. Tìm quãng đường L vật đi được trong khoange thời gian từ t1 = 20 s đến t2 = 50 s? Phiếu học tập số 3 Tính giá trị các tích phân sau:  /2. 5. a)  2xdx. b). 1.  /3.  sin xdx. c). 0. dx 2   / 4 cos x. Phiếu học tập số 4 Tính các tích phân sau:  /2. I=.  (sin 2 x  cos x)dx. 3. ,. J=.  x  2 dx 1. 0. Lop12.net. 4. d). dx 2 x. .

<span class='text_page_counter'>(10)</span>