Bài soạn Đề kiểm tra Học kì 1 - Toán 10 - đề số 4

SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4
Đề số 4
ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 10
Thời gian làm bài 90 phút
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,5 điểm) Cho phương trình:
x mx m m
2 2
2 2 1 0− + − + =
(1)
1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
2) Tìm m để (1) có hai nghiệm
x x
1 2
,
sao cho biểu thức T =
x x x x
1 2 1 2
4( )+ +
đạt giá trị nhỏ
nhất
Câu II (2,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 6), B(8; 0) và C(1; –3).
Gọi I là trung điểm của AB.
1) Tìm tọa độ của I, tọa độ của
AB
uuur
và tọa độ trọng tâm tam giác ABC.
2) Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
2010. 2011.= +OM OA OB

uuuur uuur uuur
(O là gốc tọa độ).
Câu III (2,0 điểm)
1) Giải phương trình:
5 1 5x x− = −
2) Cho ba số không âm x, y, z thoả mãn
1 1 1
2
1 1 1x y z
+ + =
+ + +
. Chứng minh rằng
1
8
xyz ≤
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu IVa (3,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình:
1 3
4
1 1
3 2
5
1 1
x y
x y


− =

− +



− =

− +

2) Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = 2a, đáy nhỏ BC = a và đáy lớn AD = 3a.
Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng BM
AC⊥
.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu IVb (3,0 điểm).
1) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
( 1) 1
( 1) 2
m x y m
x m y
+ − = +


+ − =

Khi đó hãy tìm giá trị nhỏ nhất của x + y .
2) Cho tam giác ABC. Lần lượt lấy các điểm M, N, P trên các đoạn thẳng AB, BC, CA sao cho
1 1 1
; ;

3 3 3
AM AB BN BC CP CA= = =
. Chứng minh rằng
0AN BP CM+ + =
uuur uuur uuuur r
.
––––––––––––––––––––Hết–––––––––––––––––––
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . .
1
SỞ GD & ĐT THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4
Đề số 4
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KÌ 1 – Năm học 2010 – 2011
Môn TOÁN Lớp 10
Thời gian làm bài 90 phút
Câu Hướng dẫn chấm Điểm
I 2,5
1) Để phương trình có nghiệm thì:
' 0
∆
≥

m m
1
2 1 0
2
⇔ − ≥ ⇔ ≥
1,5
2) Với
m

1
2
≥
theo định lí Viét ta có
x x m
x x m m
1 2
2
1 2
2
2 1

+ =


= − +


.
( )
T x x x x
1 2 1 2
4= + +
=
m m f m
2
6 1 ( )+ + =
.
Lập BBT của
f m( )

trên
1
;
2
 
+∞
÷

 
ta tìm được GTNN của T bằng
11
4
khi
m
1
2
=
.
0,5
0,5
II 2,5
1) I(4; 3);
( )
AB 8; 6−
uuur
; G(3; 1)
3x 0,5
2) Tam giác OAB vuông tại O nên AB = 10 suy ra OI = 5
Suy ra
OM OM OI R

2011 2011 2011
. 2 .5
2010 1005 201
= = = = =
uuur uur
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm O bán kính R =
2011
201
.
0,5
0,5
III 2,0
1)
x x5 1 5− = −
. ĐKXĐ
x
1
5
≥
( )
x x
x x
x x x
x
x
2
2
5 1 5
15 26 0
5 1 5 13

5
5



− = −
− + =
− = − ⇔ ⇔ ⇔ =
 
≥

≥


KL: Phương trình có một nghiệm x = 13
0,25
0,5
0,25
2) Từ giả thiết ta có
y z
x y z y z
1 1 1
2
1 1 1 1 1
= − − = +
+ + + + +
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
y z
x y z
1

2 .
1 1 1
≥
+ + +
. Dấu “=” xảy ra khi y = z
Tương tự ta có:
x z
y x z
1
2 .
1 1 1
≥
+ + +
. Dấu “=” xảy ra khi x = z

x y
z x y
1
2 .
1 1 1
≥
+ + +
. Dấu “=” xảy ra khi x = y
Vì hai vế không âm nên nhân các BĐT trên vế theo vế ta được đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z.
0.25
0.25
0.25
0.25
IVa 3,0

1) ĐK:
x y1; 1≠ ≠ −
.
Đặt
u
x
1
1
=
−
,
v
y
1
1
=
+
. Ta được:
u v u
u v v
3 4 1
3 2 5 1
 
− = =
⇔
 
− = = −
 

Thay

x
1
1−
= 1;
y
1
1+
= –1
⇒
Nghiệm của hpt là: (2; –2)
0,5
1,0
0,5
2)
0,5
2

( ) ( )
AC BM AB BC BC CM. = + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=
( )
CB BA AD
AB BC BC
2
 
+ +
+ +
 ÷
 ÷

 
uuur uur uuur
uuur uuur uuur
=
AB BC BC AD
2 2
1
.
2
 
− + +
 ÷
 
uuur uuur uuur uuur
=0
Suy ra: đpcm
0,5
IVb 3,0
1) D = m
2
, D
x
= m
2
+ 3; D
y
= m + 1
Để hệ có nghiệm duy nhất thì: D
≠
0 ⇔ m

≠
0
Khi m
≠
0 thì nghiệm của hệ:
m
x
m
2
2
1+
=
;
m
y
m
2
1+
=
⇒
y + x =
m m
m
2
2
2+ +
có giá trị nhỏ nhất là
7
8
đạt đựơc khi m = –4

1,0
0,5
0,5
2). Ta có:
AN BP CM+ + =
uuur uuur uuur
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
AB BN BC CP CA AM AB BC CA AC CB BA
1
0
3
= + + + + + = + + + + + =
uuur uuur uuur uuur uur uuur uuur uuur uur uuur uuur uur r
0,5
+
0,5
Ghi chú: Nếu HS làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa
3