Bài giảng Bài 3: Một số quy luật phân phối xác suất quan trọng - Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm Tp. Hồ Chí Minh

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>BÀI 3: M</b>

<b>Ộ</b>

<b>T S</b>

<b>Ố</b>

<b> QUY LU</b>

<b>Ậ</b>

<b>T PHÂN PH</b>

<b>Ố</b>

<b>I </b>

<b>XÁC SU</b>

<b>Ấ</b>

<b>T QUAN TR</b>

<b>Ọ</b>

<b>NG </b>

<b>Các kiến thức cần có </b>

<b>Mục tiêu </b>

Các quy luật phân phối xác suất
chủ yếu của biến ngẫu nhiên
thường gặp trên thực tế là nội
dung chính của bài 3. Các quy
luật phân phối xác suất và các
tham số của chúng là cơ sở đặt
nền móng cho phần Thống kê
tốn của mơn học.

<b>Thời lượng </b>
• 8 tiết.

• Quy luật phân phối khơng − một A(p);

• Khái niệm;

• Các tham sốđặc trưng;

• Quy luật phân phối nhị thức B(n, p);

• Khái niệm;

• Các tham sốđặc trưng;

• Quy luật phân phối Poisson;

• Khái niệm;

• Các tham sốđặc trưng;F n , n

(

₁ ₂

)

• Quy luật phân phối đều U [a, b];

• Khái niệm;

• Các tham sốđặc trưng;

• Quy luật phân phối chuẩn_{N ,}

(

_{μ σ}2

)

_;

• Khái niệm;

• Các tham sốđặc trưng;

• Phân phối chuẩn tắc;

• Cơng thức xác suất đối với biến ngẫu nhiên phân
phối chuẩn;

• Giá trị tới hạn chuẩn tắc;

• Quy luật phân phối Khi − bình phươngχ2(n);

• Quy luật phân phối Student T(n);

• Quy luật phân phối Fisher − Snedecor F (n1, n2);

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI </b>

<b>Tình huống </b>

Siêu thị Metro nhận thấy thời gian này số lượng khách hàng phải đợi ở quầy để chờđược thanh
toán là quá lâu. Siêu thị quyết định cần thêm số quầy phục vụ. Số lượng quầy phục vụ sau khi
nâng cấp là bao nhiêu thì hợp lý?

Biết: Thời gian phục vụ trung bình 01 khách là 3 phút. Điều tra trong 100 giờĐếm số khách
hàng đến quầy phục vụ trong vịng mơt giờ:

Số

khách/giờ 0 100 200 300 400 500 600 700

Số lần 13 27 27 18 9 4 1 1

<b>Câu hỏi </b>

<b>1. </b>Biểudiễn bảng phân phối xác suất giữa tiền lãi bảo hiểm và khả năng nhận được lãi?

<b>2.</b> Số tiền lãi trung bình là bao nhiêu?

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<b>3.1.</b> <b>Quy luật phân phối không</b>−<b>một A(p) </b>
<b>3.1.1.</b> <b>Khái niệm </b>

Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong hai giá trị có thể có là 0 hoặc 1 với các xác
suất tương ứng được cho bởi công thức:

(

)

x 1 x

P X x= =p q − trong đó 0 p 1< < , q 1 p= − và x 0;1= (3.1)

được gọi là có phân phối theo quy luật 0 − 1 với tham số p, ký hiệu X ~A p

( )

.
Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X có phân phối khơng − một dạng:

X 0 1
P q p

<b>Ví dụ1:</b><i> </i>

Tỷ lệ các thí nghiệm thành cơng trong một viện nghiên cứu là 25%. Gọi X là số thí
nghiệm thành cơng khi chọn ngẫu nhiên một cuộc thí nghiệm. Khi đó X là biến ngẫu
nhiên nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1 với các xác suất tương ứng là:

(

) (

) (

0

)

1

P X 0= = 0, 25 × 0, 75 =0, 75

(

) (

) (

1

)

0

P X 1= = 0, 25 × 0, 75 =0, 25.

Vậy X là biến ngẫu nhiên có phân phối A(0.25).
<b>3.1.2.</b> <b>Các tham sốđặc trưng </b>

Cho X ~ A(p), ta có:

( )

E X = × + × =0 q 1 p p (3.2)

( )

2 2 2

E X =0 × + × =q 1 p p

( )

( )

2

( )

2 2

V X =E X −⎡_⎣E X ⎤_⎦ = −p p =pq (3.3)
X pq

σ = (3.4)

<b>Ví dụ 2: </b>

Với biến ngẫu nhiên X trong Ví dụ 1, ta có:

( )

E X 0,25=

( )

V X =0, 25 0, 75 0,1875× = .

Trên thực tế, quy luật không – một thường được áp
dụng để mơ tả cho các dấu hiệu định tính có hai

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

là nghiên cứu giới tính của khách hàng trong phân tích chiến lược marketing hoặc
nghiên cứu tỷ lệ chính/phế phẩm trong dây chuyền sản xuất,… Nếu dấu hiệu định
tính có nhiều hơn hai thuộc tính thì có thể sử dụng nhiều biến ngẫu nhiên phân

phối không – một trong cùng một nghiên cứu.

<b>Kết luận:</b>

Phân bố không − một A(p) là phân bố của một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận hai giá trị,

được hoàn toàn xác định bởi tham số p, kỳ vọng của nó.
<b>3.2.</b> <b>Quy luật phân phối Nhị thức B(n, p) </b>

<b>3.2.1.</b> <b>Khái niệm </b>

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân
<i>phối theo quy luật nhị thức v</i>ới tham số p, ký hiệu
X ~B n, p

( )

, nếu X nhận một trong các giá trị 0, 1,
2, ... , n với xác suất tương ứng cho bởi công thức
Bernoulli:

(

)

x x n x

p X x= =C p q_n − trong đó x 0,1,...,n= và

q 1 p= − (3.5)

<b>Ví dụ 1: </b>

Tỷ lệ các thí nghiệm thành công trong một viện

nghiên cứu là 25%. Tiến hành quan sát 5 cuộc thí nghiệm của viện nghiên cứu. Gọi X
là số thí nghiệm thành cơng trong 5 cuộc thí nghiệm đó. Khi đó X nhận các giá trị: 0,
1, 2, 3, 4, 5 với xác suất.

(

)

x

(

) (

x

)

5 x
5

P X x= =C 0, 25 0, 75 − với x 0,1,...,5=

Vậy X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B(5, 0,25).
<b>3.2.2.</b> <b>Các tham sốđặc trưng </b>

Xét X (i = 1, 2, … , n) là các bi_i ến ngẫu nhiên độc
lập, cùng có phân phối A(p). Lập tổng của các biến
ngẫu nhiên đó:

n
i
i 1

X X

=

=

∑

Khi ấy có thể dễ dàng chứng minh được rằng biến ngẫu nhiên tổng có phân phối nhị

thức, X ~B n, p

( )

. Áp dụng các tính chất tình chất của phân phối khơng − một, cụ

thể là:

( )

i

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Ta tính ngay được kỳ vọng và phương sai của phân phối nhị thức như sau:

( )

n i n i

i 1 i 1

E X E( X ) E(X ) np

= =

=

∑

=

∑

= (3.6)

n n

i 1

i 1 i 1

V(X) V( X ) V(X ) npq

= =

=

∑

=

∑

= (3.7)

Mốt của X là giá trị

<i>x</i>

₀sao cho giá trịp(X x )= ₀ trong cơng thức (3.5) đạt cực đại. Ta
có thể chỉ ra rằng nếu np – q là một số nguyên thì vế phải của (3.5) đạt cực đại tại hai
giá trị x₀ =np q− và x₀+ =1 np q 1 (n 1)p− + = + . Còn nếu np − q khơng phải là số

ngun thì vế phải của (3.5) đạt cực đại tại điểm x₀ =[(n 1)p]+ , trong đó ký hiệu [t]

dùng để chỉ phần nguyên của số i, tức là số nguyên lớn nhất khơng vượt q t .

<b>Ví dụ 2:</b>

Với biến ngẫu nhiên X trong Ví dụ 1, ta có:

( )

E X = ×5 0.25 1.25=

( )

V X = ×5 0.25 0.75 0.9375× =

<b>Kết luận: </b>

Phân bố nhị thức B(n,p) là phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận
(n+1) giá trị, được hoàn toàn xác định bởi hai tham số n, số phép thử, và p, kỳ vọng
của nó.

<b>3.3.</b> <b>Quy luật phân phối Poisson </b>
<b>3.3.1.</b> <b>Khái niệm </b>

Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Poisson với tham số

λ

, ký hiệu
X ~P

( )

λ , nếu X nhận một trong các giá trị 0,1,2,...,n,... với xác suất tương ứng cho
bởi công thức:

(

)

x

P X x e
x!

−λ λ

= = với x 0,1, 2,..., n,....= và λ >0 (3.8)
Phân phối Poisson có ứng dụng trong các quá trình liên quan đến số quan sát với một

đơn vị thời gian hoặc không gian, chẳng hạn như số cuộc điện thoại nhận được ở một
trạm điện trong một phút, số người xếp hàng chờ thanh toán tại quầy thu tiền của một
siêu thị, v.v.

<b>3.3.2.</b> <b>Các tham sốđặc trưng </b>

Cho biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson X ~P

( )

λ . Lúc đó ta dễ dàng chứng minh

được rằng:

( )

( )

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Mốt của X (tức là của P( )λ ) là giá trị

x

₀ sao cho
giá trị trong công thức (3.8) đạt cực đại. Ta có thể

chứng minh được rằng nếu λ là một số ngun thì
phân phối P( )λ có hai mốt là λ −1 và λ, cịn nếuλ
khơng phải là số ngun thì mốt của P( )λ là [ ]λ ,
số nguyên lớn nhất không vượt quá λ.

<b>Ví dụ 1</b><i><b>:</b></i>

Một trạm cho thuê xe taxi có 3 xe, hàng ngày phải
nộp thuế 80 nghìn/xe. Mỗi chiếc xe cho thuê được

với giá 200 nghìn/ngày. Giả sử yêu cầu thuê xe của
trạm là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với
tham sốλ =3.

a. Tính xác suất trong một ngày có 3 khách thuê
(lấy e 2,718≅ ).

b. Tính tiền lãi trung bình trạm thu được trong một ngày.

<b>Giải: </b>

a. Xác suất để trong một ngày có 3 khách thuê xe là:

(

)

3 3

e 3

P X 3 0, 2241.

3!

− _×

= = ≅

b. Gọi Y là tiền lãi trạm thu được trong một ngày, ta xét các trường hợp sau

• Khơng có xe nào được th:

(

) (

)

e 3 30

P Y 240 P X 0 0,0498

0!

− _ì

= = = = .

ã Cú 1 xe được thuê:

(

) (

)

e 3 31

P Y 40 P X 1 0,1494

1!

− _×

= − = = = ≅ .

• Có 2 xe được th:

(

) (

)

e3 32

P Y 160 P X 2 0,2241.
2!

− _ì

= = =

ã Cú 3 xe c thuờ:

(

)

(

)

2

(

)

i 0

P Y 360 P X 3 1 P X i 0,5767

=

= = ≥ = −

∑

= = .

Vậy tiền lãi trung bình của trạm trong một ngày là:

( )

E Y = −240 0, 0498 40 0,1494 160 0, 2241 360 0,5767× − × + × + × =225, 54 (nghìn).

<b>Kết luận:</b>

Phân bố Poisson (3.8) là phân bố xác suất của một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận vô số

giá trị, được hoàn toàn xác định bởi tham số λ, kỳ vọng của nó.
<b>CHÚ Ý </b>

Người ta chứng minh được rằng,
với n khá lớn và p đủ bé, biến
ngẫu nhiên có phân phối nhị

thức B (n, p) hội tụ rất nhanh về

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>3.4.</b> <b>Quy luật phân phối đều U [a; b] </b>
<b>3.4.1.</b> <b>Khái niệm </b>

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối đều trên đoạn [a; b], ký hiệu:
X ~U a; b

[ ]

, nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

( )

[ ]

[ ]

1

x a;b
b a

f x

0 x a;b

⎧ _∈

⎪ −
= ⎨

⎪ _∉

⎩

(3.10)

f(x)

a b x

a - b
1

a b

f(x)

x

<b>Hình 3.2: </b>Hàm mật độ xác suất f(x) và hàm phân phối F(x) của luật phân phối đều

Hàm phân phối của X được xác định bởi giá trị của tích phân sau đây:

( )

x

( )

[ ]

0 x a

x a

F x f x dx x a; b

b a

1 x b

−∞

<
⎧

⎪ −
⎪

= =_{⎨ −} ∈

⎪

>
⎪⎩

∫

(3.11)

<b>Ví dụ 1:</b>

Một xe buýt xuất hiện tại bến đợi cứ 15 phút một chuyến. Một hành khách tới biến
vào một thời điểm ngẫu nhiên. Gọi X là thời gian chờ xe của hành khách đó. Khi đó X
có phân bốđều trên khoảng (0; 15).

a. Viết hàm phân phối xác suất của X.
<b>CHÚ Ý </b>

Trong các máy tính thơng dụng đều có trang bị một mơ đun phần mềm nhỏ để tạo các số

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

b. Tìm xác suất để hành khách đó phải đợi ít hơn 5 phút; nhiều hơn 10 phút.

<b>Giải:</b>

Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất

( )

(

)

(

)

1

x 0;15
15

f x

0 x 0;15

⎧ _∈

⎪
= ⎨

⎪ _∉

⎩

• Hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X là:

( )

(

)

0 x 0

x

F x x 0;15

15

1 x 15

≤
⎧

⎪⎪

=_⎨ ∈

⎪

≥
⎪⎩

• Xác suất để hành khách phải đợi dưới 5 phút là:

(

) ( ) ( )

1 1

P X 5 F 5 F 0
3 3

< = − −∞ = − = .
Xác suất để hành khách phải đợi quá 10 phút là:

(

) ( ) ( )

2 1

P X 10 F F 10 1 .
3 3

> = +∞ − = − =

<b>Ví dụ 2:</b>

Khi thâm nhập thị trường mới, doanh nghiệp chưa
thể khẳng định chắc chắn doanh thu hàng tháng là
bao nhiêu. Với những phân tích dự báo thì con sốđó
trong khoảng từ 20−40 triệu đồng/tháng. Tìm xác
suất để doanh nghiệp đạt được tối thiếu là 35
triệu/tháng.

<b>Giải:</b>

Gọi X là doanh thu hàng tháng mà doanh nghiệp
có thể đạt ở thị trường mới. Do khơng có thêm
thơng tin gì nên có thể coi X là biến ngẫu nhiên

phân phối đều trên khoảng (20;40). Hàm mật độ xác suất của X có dạng như sau:

( )

0 x (20;40)

f x ₁

0,05 x (20;40)
40 20

∉
⎧

⎪

=⎨ ₌ _∈

⎪ ₋
⎩

Khi đó xác suất để doanh nghiệp có doanh thu tối thiểu hàng tháng là 35 triệu sẽđược
tính bằng cơng thức:

(

)

( )

40 ₄₀

35

35 35

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>3.4.2.</b> <b>Các tham sốđặc trưng </b>
Cho X ~ U a; b

[ ]

khi đó:

( )

( )

a

( )

b

( )

( )

a b

E X xf x dx xf x dx xf x dx xf x dx

+∞ +∞

−∞ −∞

=

∫

=

∫

+

∫

+

∫

b

b 2 2 2

a a

x 1 x 1 b a a b

dx

b a b a 2 2 b a 2

− +

= = = =

− − −

∫

(3.12)

( )

2 2

( )

a 2

( )

b 2

( )

E X x f x dx x f x dx x f x dx

a

+∞

= _∫ = _∫ + _∫

−∞ −∞

( )

2 2

( )

a 2

( )

b 2

( )

E X x f x dx x f x dx x f x dx

a
+∞
= _∫ = _∫ + _∫
−∞ −∞

(

)

2 3 3 3

2 2

b

b x 1 x 1 b a 1

dx . b ab a

b a b a 3 _a 3 b a 3
a

−

=_∫ = = = + +

− − −

Từđó suy ra:

( )

(

)

(

)

2
2 _{b a}
1 ₂ ₂ a b

V X b ab a .

3 2 12

−
+

⎛ ⎞

= + + −_⎜ _⎟ =

⎝ ⎠ (3.13)

<b>Kết luận: </b>

Phân bốđều U[a;b] là phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục nhận mọi
giá trị của đoạn thẳng [a;b] và được hoàn toàn xác định bởi hai tham số a và b, hai

đầu mút của đoạn thẳng đó.

<b>3.5.</b> <b>Quy luật phân phối chuẩn _N</b>

(

<b>_μ_,_σ2</b>

)

<b></b>
<b>3.5.1.</b> <b>Khái niệm </b>

Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân
<i>phối theo quy luật chuẩn, ký hi</i>ệu _{X N ,}

(

_{μ σ}2

)

,

nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng:

( )

( )2
2
x
2

1

f x e a

2

− −μ
σ

=

σ π (3.14)

Đường cong mật độ có dạng hình chng (the bell curve), đối xứng qua

đường x= μvà nhận Ox làm tiệm cận ngang. Đỉnh của hàm mật độđạt tại:

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

( ) ( )

1
max f x f

2

= μ =

σ π (3.15)

Hàm phân phối xác suất của X có dạng:

( )

( )2
2

x
x

2

1

F x e dx

2

− −μ
σ
−∞
=

σ π

∫

(3.16)

Đường cong hàm phân phối tiệm cận ngang trái với trục Ox, tiệm cận ngang phải với

đường thẳng y = 1, đối xứng tâm qua điểm (µ ; 0,5).
ƒ(x)

F(x)

x
0

0,5
1

0 m x

m

sƯ p2

1

<b>Hình 3.4: </b>Hàm mật độ và hàm phân phối của luật phân phối chuẩn X N ,

(

μ σ2

)

Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn thường gặp rất nhiều trong thực tế, nó đóng vai
trị quan trọng lý thuyết xác suất và chiếm vị trí trung tâm trong các kết luận thống kê

được đề cập đến trong các bài tiếp sau của giáo trình này.
<b>3.5.2.</b> <b>Các tham sốđặc trưng </b>

Cho _{X N ,}

(

_{μ σ}2

)

, khi đó có thể chứng minh được rằng:

( )

E X =μ và _{V X}

( )

_=σ2_._(3.17)

Thật vậy, ta có:

( )

( )

2
2

x
2

1

E X x.e dx.

2

− −μ
+∞

σ
−∞
=

σ π

∫

Đặt t=x− μ

σ , ta có x= σ + μt . Do vậy

1
dt= dx

</div>

<!--links-->