Bài tập về Hệ thức lượng trong tam giác

<span class='text_page_counter'>(1)</span>HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC c m 1. Tam giác ABC có  b  1 . CMR: 2cot A  cot B  cot C b mc c m 2.  b và A  600 . CMR: Tam giác ABC đều b mc ab A B 1 3. Tam giác ABC có tan tan  . CMR: c  2 2 2 3 A B C p 4. ABC hãy CMR: cot  cot  cot  2 2 2 r A B B C C A 5. ABC hãy CMR: tan tan  tan tan  tan tan  1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6. Cho a  x  2 x  3; b  x  1; c  x  4 x  5 a) Tìm x để a, b, c là ba cạnh của một tam giác b) CMR: tam giác đó bán kính đường tròn nội tiếp r . 3 6. x. 2.  2 x  1x 2  6 x  7 . 7. Cho a  x 2  x  1; b  2 x  1; c  x 2  1 a) Tìm x để a, b, c là ba cạnh của một tam giác b) CMR tam giác đó có một góc bằng 1200 1 8. Tam giác ABC có tính chất gì nếu: a) S  a  b  c a  b  c  4 1  cos B 2a  c  b) sin B 4a 2  c 2. cos 2 A  cos 2 B 1  cot 2 A  cot 2 B  2 2 sin A  sin B 2 10. Cho tam giác ABC nhọn CMR: a sin A, b sin B, c sin C là ba cạnh của một tam giác a 2  b2  c2 11. ABC hãy CMR: cot A  cot B  cot C  4S 4 4 4 12. Tam giác ABC có a  b  c CMR: tam giác ABC nhọn và 2sin 2 A  tan B tan C 13. Tam giác ABC có hai trung tuyến AA1 , BB1 CMR: AA1  BB1  cot A  2 cot B  cot C  14. Tam giác ABC có trọng tâm G a) M là điểm bất kỳ CMR: MA2  MB 2  MC 2  3MG 2  GA2  GB 2  GC 2 b) CMR a 2  b 2  c 2  9 R 2 9 c) CMR: sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  4 15. ABC có B > C,  là góc hợp bởi trung tuyến AM và đường thẳng BC hãy CMR: 2cot   cot C  cot B 16. M là điểm trong ABC và các góc MAB  MBC  MCA   . Cmr: cot   cot A  cot B  cot C 17. ABC có trọng tâm G ; các góc GAB   , GBC   , GCA   9. CMR tam giác ABC cân nếu. Cmr:. cot   cot   cot  . 3 a 2  b 2  c 2 . 4 S Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> C A B  b  c cot  c  a cot  0 2 2 2 19. ABC có a  c  2b hãy CMR: C A A B 1  a) ac  6 Rr b) tan tan  ; c) c  a  3r  tan  tan  2 2 2 2 3  2a  b  1  cos C   sin C 20. CMR ABC đều nếu  4a 2  b 2 a 2 b  c  a   b3  c 3  a 3  21. ABC đều . Trên cung nhỏ AB của đường tròn ngoại tiếp ABC lấy điểm M sao cho MA  1, MB  2 tính MC sin A  sin B  sin C A C 22. CMR tam giác ABC cân nếu  cot cot sin A  sin B  sin C 2 2 23. ABC có trung tuyến AM. Đặt góc AMB =  ; AB = c; AC = b b2  c2 a) CMR: cot   ; b) Nếu   450 CMR: 2  cot C  cot B 4S 9R 24. ABC hãy CMR: ma  mb  mc  2 25. Trong tất cả các tam giác nội tiếp một đường tròn cho trước , tìm tam giác có a) a 2  b 2  c 2 max ; b) Smax. 18. ABC hãy CMR:. a  b cot. 26. Trong tất cả các tam giác ngoại tiếp một đường tròn cho trước, tìm tam giác có S min 1 1 1 27. CMR ABC đều     sin A  sin B  sin C cot A  cot B cot B  cot C cot C  cot A 28. CMR ABC đều  a 2  b 2  c 2  36r 2 27 R 3 29. ABC hãy CMR: ma .mb .mc  8 30. Trong tam gi¸c ABC h·y CMR : ab+bc+ca = p 2  r 2  4rR 31. Trên các cạnh AB,BC,CA của tam giác ABC lấy lần lượt ba điểm M,N,P sao cho MA NB PC   . Cho tam giác ABC cố định .Hãy tìm min của diện tích tam giác MNP MB NC PA. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1. Tam giác ABC có các đường cao AA' , BB ' , CC ' và trực tâm H CMR: HA.HA'  HB.HB '  HC.HC ' 2. Tam giác ABC không cân tại A. AM, AD lần lượt là các trung tuyến và phân giác. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB, AC tại E và F CMR: BE = CF 3. Cho nửa đường tròn đường kính AB; M là điểm trên nửa đường tròn đó . Hạ MH  AB tại H . Đường tròn đường kính MH cắt nửa đường tròn trên tại N , cắt MA, MB tại E và F a) CMR: ABEF là tứ giác nội tiếp b) CMR: AB, EF, MN đồng quy 4. Tam giác ABC nhọn có các đường cao AA' , BB ' , CC ' và trực tâm H 1 CMR: AA' . AH  BB ' .BH  CC ' .CH  BC 2  CA2  AB 2  2 5. Tam giác ABC đều cạnh a. Một đường tròn cắt các cạnh AB tại H và F, cạnh BC tại I và G, cạnh CA tại K và E ( AH < AF , BI < BG , CK < CE) CMR: AH  BI  CK  AE  BF  CG 6. Cho đường tròn tâm O bán kính R cố định . d là đường thẳng cố định không cắt (O) ; A là điểm di chuyển trên d . Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là các tiếp điểm) Hạ OK  d tại K; OK  BC  E a) Tính OE.OK b) CMR đường thẳng BC đi qua một điểm cố định. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>