Dạy học mô hình hóa toán học chủ đề hàm số lũy thừa hàm số mũ hàm số logarit

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN ĐỨC CƢỜNG

DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC CHỦ ĐỀ
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2021


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN ĐỨC CƢỜNG

DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC CHỦ ĐỀ
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Lý luận và phƣơng pháp dạy học bộ mơn Tốn
Mã số: 8140209.01

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Hữu Châu

HÀ NỘI - 2021

LỜI CẢM ƠN
Luận văn tốt nghiệp cao học đƣợc hoàn thành tại Trƣờng Đại học Giáo
dục - Đại học Quốc gia Hà Nội.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Trƣờng Đại học Giáo dục - Đại học
Quốc gia Hà Nội, phòng Đào tạo sau Đại học, Khoa Sƣ phạm đã giúp đỡ tơi
trong suốt q trình nghiên cứu và hồn thiện đề tài. Đặc biệt xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TS. Nguyễn Hữu Châu - ngƣời đã hƣớng dẫn,
giúp đỡ tơi hồn thành đề tài với những định hƣớng, chỉ dẫn khoa học sâu
sắc, quý giá.
Qua đây, tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn tới các quý thầy cô giáo là
giảng viên tại Trƣờng Đại học Giáo dục - Đại học Quốc gia Hà Nội trong
năm vừa qua đã giảng dạy, giúp tơi có nhiều bài học q giá khơng chỉ cho
đề tài này, mà cịn cho cả công việc giảng dạy của tôi.
Xin cảm ơn những sự giúp đỡ trong quá trình học của các bạn học viên
lớp cao học, các quý đồng chí đồng nghiệp.
Kính mong nhận đƣợc sự góp ý, phê bình từ các thầy cô, độc giả và
các bạn đồng nghiệp để đề tài hồn thiện và có thể áp dụng rộng rãi hơn trong
thực tế.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 01 năm 2021
Tác giả

Nguyễn Đức Cƣờng

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

STT

Từ, cụm từ

Viết tắt là

1

Công nghệ thông tin

CNTT

2

Sách giáo khoa

SGK

3

Trung học cơ sở

THCS

4

Trung học phổ thông

THPT

ii

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1. Mục tiêu dạy học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit.38
Bảng 2.2. Quy mơ và trình độ đội ngũ giáo viên ......................................................41
Bảng 2.3. Quy mô và kết quả học tập của học sinh của trƣờng THPT chuyên
Hà Nội - Amsterdam ........................................................................ 42
Bảng 2.4. Thống kê về cơ sở vật chất trƣờng THPT chuyên Hà Nội
Amsterdam năm học 2019 - 2020 .................................................... 43
Bảng 2. 5. Mơ hình SWOT ............................................................................. 44
Bảng 2. 6. Đánh giá của giáo viên về ý nghĩa của việc .................................. 46
Bảng 2. 7. Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả việc .......................... 48
Bảng 2. 8. Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả của việc thực hiện
phƣơng pháp dạy học mơ hình hóa trong mơn Tốn ....................... 50
Bảng 2. 9. Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả của việc ứng dụng CNTT
và truyền thơng (ICT) vào dạy học mơ hình hóa ở mơn Tốn .............. 53
Bảng 2. 10. Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả của việc kiểm tra,
đánh giá trong dạy học mơ hình hóa ở mơn Tốn ........................... 54
Bảng 2. 11. Đánh giá của giáo viên về mức độ hiệu quả của việc hƣớng dẫn
học sinh tự học trong dạy học mơ hình hóa ở mơn Tốn ................ 57
Bảng 2. 12. Đánh giá của giáo viên về các yếu tố ảnh hƣởng đến ................. 58
Bảng 4.1. Bảng phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra 45 phút nhóm thực
nghiệm và nhóm đối chứng ........................................................... 119

iii


DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ VÀ HÌNH
Sơ đồ 1.1. Các hoạt động của q trình tốn học hóa [Dẫn theo 23, tr.17] ............23
Sơ đồ 1.2. Quy trình mơ hình hóa (Pollak, 1979) .....................................................23

Sơ đồ 1.3. Quy trình mơ hình hóa theo Swetz & Hartzler (1991) ...........................24
Sơ đồ 1.4. Tóm lƣợc các bƣớc của q trình mơ hình hóa Sơ đồ mơ hình hóa theo
Blum và Leib [47] .......................................................................................24
Sơ đồ 1.5. Quy trình mơ hình hóa của Blum và Leib [47] .......................................25
Sơ đồ 1.6. Quy trình mơ hình hóa mơ phỏng theo Stillman, Galbraith, Brown,
Edwards [dẫn theo 3, tr.24] ........................................................................26
Sơ đồ 1.7. Quy trình mơ hình hóa tốn học ...............................................................26
Sơ đồ 1. 8. Sơ đồ mơ hình hóa tốn học ....................................................................27
Hình 1.1. Tám năng lực toán học đặc trƣng ..............................................................29

iv


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .................................................................................................... i
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ............................................................... ii
DANH MỤC CÁC BẢNG............................................................................... iii
DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ VÀ HÌNH ............................................................ iv
MỤC LỤC ......................................................................................................... v
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 4
4. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu .............................................................. 5
5. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 5
6. Giả thuyết khoa học ...................................................................................... 5
7. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 5
8. Dự kiến những đóng góp của luận văn ......................................................... 7
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA TỐN
HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT

Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG...................................................... 8
1.1. Sơ lƣợc lịch sử nghiên cứu vấn đề ........................................................................ 8
1.1.1. Những cơng trình nghiên cứu ngồi nƣớc .............................................. 8
1.1.2. Những cơng trình nghiên cứu trong nƣớc ............................................. 12
1.2. Khái niệm cơ bản của đề tài ..................................................................... 19
1.2.1. Mơ hình ................................................................................................. 19
1.2.2. Mơ hình hóa tốn học............................................................................ 20
1.3. Quy trình mơ hình hóa tốn học .......................................................................... 23
1.4. Năng lực mơ hình hóa tốn học........................................................................... 27
1.5. Một số ngun tắc dạy học mơ hình hóa tốn học ............................................ 31
1.6. Các yếu tố tác động đến việc dạy học mơn Tốn trong trƣờng Trung học phổ
thơng theo mơ hình hóa ............................................................................................... 32
v


1.6.1. Đặc điểm tâm sinh lý học sinh trung học phổ thông ............................ 32
1.6.2. Sự phát triển của các lý thuyết học tập ................................................. 33
1.6.3. Các yếu tố ảnh hƣởng khác ................................................................... 35
Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 36
CHƢƠNG 2. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA TỐN
HỌC CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG.................................................... 37
2.1. Chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit trong chƣơng trình tốn
phổ thơng....................................................................................................................... 37
2.1.1. Nội dung chƣơng trình .......................................................................... 37
2.1.2. Mục tiêu cần đạt .................................................................................... 38
2.2. Đặc điểm trƣờng THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam ..................................... 41
2.2.1. Đặc điểm đội ngũ giáo viên trƣờng THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam .. 41
2.2.2. Đặc điểm học sinh trƣờng THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam.......... 42
2.2.3. Đặc điểm cơ sở vật chất, trang thiết bị trƣờng THPT chuyên Hà Nội Amsterdam ...................................................................................................... 43

2.3. Khái quát về quá trình tổ chức khảo sát thực trạng ........................................... 43
2.3.1. Mục đích khảo sát ................................................................................. 43
2.3.2. Nội dung khảo sát.................................................................................. 43
2.3.3. Phƣơng pháp khảo sát ........................................................................... 44
2.3.4. Đối tƣợng, địa bàn và khách thể khảo sát ............................................. 45
2.3.5. Kết quả quy ƣớc .................................................................................... 45
2.4. Thực trạng dạy học mơ hình hóa tốn học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số
mũ, hàm số logarit ở trƣờng THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam.......................... 45
2.4.1. Thực trạng ............................................................................................. 46
2.4.2. Đánh giá chung ..................................................................................... 60
Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 61

vi


CHƢƠNG 3. CÁC BIỆN PHÁP DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA TOÁN HỌC
CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT Ở
TRƢỜNG PHỔ THÔNG ................................................................................ 63
3.1. Rèn luyện kĩ năng chuyển đổi ngôn ngữ cho học sinh trong q trình dạy học
mơ hình hóa tốn học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trƣờng
phổ thông....................................................................................................................... 63
3.1.1. Mục tiêu của biện pháp ......................................................................... 63
3.1.2. Nội dung của biện pháp ........................................................................ 63
3.1.3. Cách thức thực hiện............................................................................... 63
3.1.4. Điều kiện thực hiện ............................................................................... 75
3.2. Rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh khi học chủ đề hàm số lũy thừa,
hàm số mũ, hàm số logarit ......................................................................................... 75
3.2.1. Mục tiêu của biện pháp ......................................................................... 75
3.2.2. Nội dung của biện pháp ........................................................................ 76
3.2.3. Cách thức thực hiện............................................................................... 76

3.2.4. Điều kiện thực hiện ............................................................................... 93
3.3. Rèn luyện kĩ năng đánh giá lời giải cho học sinh khi học chủ đề hàm số lũy
thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ............................................................................... 93
3.3.1. Mục tiêu của giải pháp .......................................................................... 93
3.3.2. Nội dung của giải pháp ......................................................................... 93
3.3.3. Cách thức thực hiện............................................................................... 93
3.3.4. Điều kiện thực hiện ............................................................................. 105
Kết luận chƣơng 3 ......................................................................................... 105
CHƢƠNG 4. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM ................................................. 107
4.1. Mục đích thực nghiệm sƣ phạm ........................................................................107
4.2. Thời gian thực nghiệm sƣ phạm........................................................................107
4.3. Đối tƣợng thực nghiệm sƣ phạm.......................................................................107
4.4. Nội dung thực nghiệm sƣ phạm ........................................................................107
4.5. Cách tiến hành thực nghiệm sƣ phạm...............................................................118
vii


4.6. Đánh giá kết quả thực nghiệm ...........................................................................118
4.6.1. Phân tích định tính .............................................................................. 118
4.6.2. Phân tích định lƣợng ........................................................................... 119
Kết luận chƣơng 4 ......................................................................................... 120
KẾT LUẬN ................................................................................................... 121
CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ ĐÃ ĐƢỢC CƠNG BỐ CĨ
LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN VĂN .................................................... 122
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................... 123
PHỤ LỤC

viii

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
1.1. Vai trị của hoạt động mơ hình hóa tốn học trong dạy học toán
* Tăng cường mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn
Tốn học và thực tiễn có mối quan hệ biện chứng. Xuyên suốt lịch sử
nhân loại, toán học đƣợc hình thành và phát triển. Nó khơng phải là sản phẩm
thuần túy từ tƣ duy của con ngƣời mà sinh ra từ thực tiễn, từ nhu cầu của loài
ngƣời trong sinh hoạt, giao thƣơng, chiến tranh và phát triển… Thực tiễn vừa
là động lực, mục đích để phát triển tốn học, vừa là cơ sở, chân lí của tốn
học. Tốn học khi đã phát triển dƣới hình thức tƣ duy trừu tƣợng sẽ trở lại
thúc đẩy thực tiễn phát triển với vai trị là cơng cụ giải quyết các bài tốn
thực tiễn đề ra.
Tốn học là mơn học đƣợc ƣu tiên ở nhiều nƣớc trên thế giới, trong đó
có Việt Nam vì tốn học là mơn học nền tảng, giúp học sinh có tƣ duy và kiến
thức để học tốt các mơn học khác. Ứng dụng của tốn học là to lớn, trong
nhiều ngành khoa học nhƣ vật lí, hóa học, địa lí, sinh học, kĩ thuật, kiến trúc,
trong cuộc sống thƣờng nhật và công việc của con ngƣời. Trong dạy học tốn
ở trƣờng phổ thơng, một trong những thách thức đối với giáo viên chính là
làm thế nào để tạo ra hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh và đảm bảo
cho tất cả các em có đƣợc kiến thức, kĩ năng để vận dụng toán học vào giải
quyết các nhiệm vụ đặt ra trong thực tiễn.
Mơ hình hóa tốn học chỉ ra cho học sinh mối liên hệ giữa tốn học và
thực tiễn, với các mơn học khác, giúp việc học toán trở nên thiết thực, thỏa
mãn nhu cầu cuộc sống.
* Nâng cao khả năng xử lý các vấn đề thực tiễn
Mơ hình hóa tốn học giúp học sinh hiểu đƣợc lịch sử, quá trình và
cách thức hình thành kiến thức mới, góp phần phát triển tƣ duy sáng tạo, tìm

1

tòi và phát triển cái mới cho học sinh, đồng thời giúp học sinh hiểu sâu, nhớ
lâu, có thái độ tích cực với tốn học. Mơ hình hóa tốn học giúp trang bị cho
học sinh công cụ để giải quyết các vấn đề xuất hiện trong những tình huống
thực tiễn.
Dạy học mơ hình hóa tốn học gắn với thực tiễn giúp học sinh:
- Tạo hứng thú, gợi động cơ học tốn cho học sinh (với sự hấp dẫn của
các tình huống thực tế, kích thích sự tị mị và ham muốn giải quyết vấn đề,
thấy đƣợc sự gắn bó giữa thực tiễn và toán học của bản thân ngƣời học).
- Giúp học sinh thấy rõ tốn học có vai trị, ứng dụng to lớn, là công cụ
hữu hiệu trong đời sống xã hội, củng cố cho học sinh nhận thức đúng về
nguồn cội và giá trị thực tiễn của toán học.
- Góp phần phát triển các năng lực chung cũng nhƣ các năng lực đặc thù
đối với mơn Tốn, song trƣớc hết và trực tiếp là phát triển năng lực giải quyết
vấn đề - một năng lực vô cùng cần thiết đối với học sinh Việt Nam hiện nay.
- Góp phần thực hiện một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của
giáo dục toán học là dạy ứng dụng toán học.
* Phát triển tư duy sáng tạo và nâng cao năng lực đặt vấn đề
Chƣơng trình kháo sát và đánh giá học sinh quốc tế (PISA) đã đƣa ra 8
năng lực đánh giá hiểu biết cho học sinh 15 tuổi ở lĩnh vực tốn học. Ở đó,
năng lực mơ hình hóa là một năng lực quan trọng, đƣợc xác định là một trong
4 năng lực thuộc nhóm năng lực cốt lõi của ngƣời học là “khả năng đặt ra và
giải đáp các vấn đề trong, với và về toán học”. Mơ hình hóa tốn học góp
phần hình thành cho học sinh các năng lực tốn học một cách tồn diện, nhƣ
đặt vấn đề, khám phá, suy luận, sáng tạo, giải quyết và phát triển vấn đề.
Mặt khác, trong chƣơng trình giáo dục phổ thơng mới, năng lực mơ hình
hóa tốn học là một trong những thành phần cốt lõi cần đƣợc hình thành và
phát triển cho học sinh thơng qua mơn Tốn: “Lựa chọn đƣợc các phép tốn,
cơng thức số học, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ để trình bày, diễn đạt (nói hoặc
2

viết) đƣợc các nội dung, ý tƣởng của tình huống xuất hiện trong bài toán thực
tiễn đơn giản; giải quyết đƣợc những bài toán xuất phát từ sự lựa chọn trên;
nêu đƣợc câu trả lời cho tình huống xuất hiện trong bài toán thực tiễn” [8].
Vậy nên, việc dạy học tốn khơng chỉ dừng là việc dạy học tiên đề, khái
niệm, định lí, tính chất đơn thuần mà cịn cần dạy cho học sinh ngun lí hình
thành tốn học từ thực tiễn, sau đó phát triển, đƣợc kiểm nghiệm trong thực
tiễn, rồi quay lại phát triển thực tiễn.
1.2. Vị trí của chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit trong
chương trình phổ thơng
Chủ đề “Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit” nằm trong
chƣơng trình lớp 12 của chƣơng trình giáo dục phổ thơng hiện hành và nằm
trong chƣơng trình lớp 11 của chƣơng trình giáo dục phổ thơng mới, là một
chủ đề có tính liên mơn cũng nhƣ thực tiễn cao. Nó có một tầm quan trọng
trong chƣơng trình mơn Tốn THPT vì chủ đề này khơng chỉ ln xuất hiện
trong kì thi THPT Quốc gia và các câu hỏi về nội dung này đang có xu hƣớng
khai thác các vấn đề thực tiễn xung quanh mà cịn có tính ứng dụng lớn trong
thực tiễn (trong phát triển văn hóa, kinh tế - xã hội, các vấn đề về dân số,…).
Ngoài ra, chủ đề có tính liên mơn cao, đƣợc ứng dụng rộng rãi trong các mơn
Vật lí, Hóa học và Sinh học [50].
Tuy nhiên, thực trạng cho thấy việc dạy học chủ đề này vẫn cịn nhiều
hạn chế nhƣ mang nặng tính lí thuyết, áp đặt cơng thức và cách giải, chƣa thể
hiện rõ cũng nhƣ chƣa giải quyết đƣợc nhiều các vấn đề trong thực tiễn và
liên môn. Khi nhắc đến chủ đề này, đa phần giáo viên và học sinh nghĩ ngay
đến việc giải, biện luận các phƣơng trình, bất phƣơng trình mũ và logarit.
Trong khi đó, ứng dụng của chủ đề này trong cuộc sống là rất to lớn, điển
hình là các bài tốn về lãi suất. Chủ đề này cũng đƣợc ứng dụng trong cả vật
lí, hóa học, sinh học …

3


2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là đề xuất những biện pháp giúp giáo viên toán
thiết kế đƣợc hoạt động dạy học theo mơ hình hóa tốn học chủ đề hàm số lũy
thừa, hàm số mũ, hàm số logarit để sử dụng chúng trong quá trình dạy học
Giải tích, góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học Giải tích ở trƣờng THPT.
- Sơ lƣợc đƣợc lịch sử dạy học mơ hình hóa tốn học chủ đề hàm số lũy
thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trƣờng THPT.
- Chỉ ra thực trạng việc dạy học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ,
hàm số logarit ở trƣờng THPT hiện nay.
- Trên cơ sở đó nghiên cứu dạy học mơ hình hóa tốn học chủ đề hàm số
lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trƣờng THPT nhằm góp phần nâng cao
chất lƣợng dạy học về hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit. Từ đó
giúp phát triển năng lực tốn học, đặc biệt là năng lực mơ hình hóa tốn học
của học sinh.
- Thực nghiệm sƣ phạm nhằm khẳng đinh, củng cố, rút kinh nghiệm về
tính đúng đắn của các giải pháp.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn trả lời những câu hỏi sau:
(1) Vì sao cần dạy học mơ hình hóa tốn học chủ đề hàm số lũy thừa,
hàm số mũ, hàm số logarit?
(2) Thực tiễn việc dạy học mơ hình hóa tốn học chủ đề hàm số lũy
thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trƣờng THPT hiện nay nhƣ thế nào?
(3) Biện pháp dạy học mơ hình hóa tốn học chủ đề hàm số lũy thừa,
hàm số mũ, hàm số logarit là những biện pháp nào?
(4) Những biện pháp dạy học mơ hình hóa tốn học chủ đề hàm số lũy
thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trƣờng THPT đã đề xuất có tính khả thi và
hiệu quả hay khơng?

4


Để đạt đƣợc mục đích trên, luận văn cần thực hiện những nhiệm vụ sau:
- Nghiên cứu các lí thuyết về dạy học mơ hình hóa tốn học.
- Nghiên cứu phƣơng pháp dạy học mơ hình hóa tốn học.
- Nghiên cứu nội dung chủ để hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số
logarit.
- Nghiên cứu dạy học mơ hình hóa chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ,
hàm số logarit.
- Thực nghiệm sƣ phạm, đánh giá tính phù hợp của phƣơng pháp dạy
học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit.
4. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
4.1. Khách thể nghiên cứu
Giáo viên và học sinh trƣờng THPT chuyên Amsterdam Thành phố Hà Nội.
4.2. Đối tượng nghiên cứu
Dạy học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trƣờng THPT.
5. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung: Chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit và các
dạng toán liên quan ở trƣờng THPT.
Địa điểm: Trƣờng THPT chuyên Hà Nội - Amsterdam.
6. Giả thuyết khoa học
Nếu dạy chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trƣờng
THPT theo mơ hình hóa tốn học sẽ giúp học sinh chủ động tiếp thu kiến
thức, góp phần hình thành năng lực mơ hình hóa tốn học ở học sinh, giúp
học sinh hiểu đƣợc mối liên hệ giữa chủ đề này với thực tiễn và với các môn
học khác.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
7.1. Nhóm các phương pháp nghiên cứu lý thuyết
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu: đọc, phân tích, tổng hợp các văn bản,

chủ trƣơng, tài liệu lý luận về về dạy học mơ hình hóa tốn học và dạy học chủ
5


đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trƣờng THPT và các tài liệu
có liên quan nhằm tìm ra bản chất của vấn đề nghiên cứu. Trên cơ sở đó sắp
xếp chúng thành hệ thống lý thuyết của luận văn.
- Phương pháp khái quát hóa: đƣợc sử dụng để hình thành, xây dựng
những luận điểm mang tính khái quát từ các quan điểm, quan niệm độc lập về
vấn đề nghiên cứu.
- Phương pháp mơ hình hóa: sử dụng để xây dựng mơ hình khái qt về
lý luận và thực tiễn từ đối tƣợng nghiên cứu.
7.2. Nhóm các phương pháp nghiên cứu thực tiễn
- Phương pháp điều tra sử dụng phiếu hỏi: dựa trên hệ thống câu hỏi đƣợc
soạn sẵn, thiết kế phiếu hỏi nhằm phục vụ mục đích điều tra, thu thập thơng tin
quan trọng, cần thiết về vấn đề nghiên cứu.
- Phương pháp quan sát: quan sát học sinh trong hoạt động học toán;
dự giờ của các giáo viên dạy toán nhằm đánh giá đƣợc chính xác thực trạng
dạy học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trƣờng THPT.
- Phương pháp trao đổi, phỏng vấn theo chủ đề: sử dụng để tìm hiểu
sâu thêm các vấn đề về thực trạng dạy học hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm
số logarit ở trƣờng THPT thông qua việc trao đổi trực tiếp với các đối tƣợng
khảo sát, các chuyên gia.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: đúc kết kinh nghiệm của các giáo
viên dạy mơn Tốn trƣờng THPT chun Hà Nội - Amsterdam và các giáo
viên dạy toán ở Thành phố Hà Nội.
- Phương pháp xử lý số liệu bằng thống kê toán học: tiến hành thực
hiện thống kê và xử lý bằng các cơng thức; từ đó thu đƣợc về mặt định lƣợng;
so sánh, đánh giá và đƣa ra kết quả nghiên cứu phù hợp với luận văn.
- Phương pháp thử nghiệm sư phạm: sử dụng để đánh giá tính hiệu quả

của dạy học mơ hình hóa tốn học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số
logarit ở trƣờng THPT đã đề xuất.
6


8. Dự kiến những đóng góp của luận văn
- Góp phần làm sáng tỏ và phong phú các vấn đề về lý thuyết cũng nhƣ
thực hành dạy học tốn thơng qua việc nghiên cứu lý thuyết dạy học mơ hình
hóa toán học, vận dụng lý thuyết vào đổi mới dạy học mơn Tốn.
- Tổng quan và làm sáng tỏ cơ sở lí luận về dạy học mơ hình hóa tốn
học, quy trình, năng lực, ngun tắc mơ hình hóa tốn học theo hƣớng phát
triển năng lực học sinh.
- Đề xuất một số giải pháp dạy học mơ hình hóa tốn học chủ đề hàm
số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit ở trƣờng THPT.

7


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC
CHỦ ĐỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
Ở TRƢỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
1.1. Sơ lƣợc lịch sử nghiên cứu vấn đề
1.1.1. Những cơng trình nghiên cứu ngoài nước
1.1.1.1. Những nghiên cứu về dạy học mơ hình hóa tốn học
Về mơ hình hóa tốn học
Mơ hình hóa tốn học (Mathematising) là vấn đề từ lâu đã đƣợc các nhà
khoa học quan tâm nghiên cứu. Có thể kể đến: The International Community
of Teacher of Mathematical Modelling, viết tắt là ICTMA, trong cơng trình
của Werner Blum về dạy - học toán và các ứng dụng [46, tr.149-171]; [47,

tr.222-231]; [48, tr.45-56], của Gloria Stillman (2012) [51]; của nhiều tác giả
[54], [57]. Tuy nhiên các nghiên cứu này hoặc là nghiên cứu chung (Werner
Blum, Ok. Ki Kang; nhiều tác giả), hoặc là nghiên cứu ở cấp THCS (Gloria
Stillman), không nghiên cứu trực tiếp vào những dạng toán cụ thể ở THPT.
Tại sao phải mơ hình hóa tốn học
Các nghiên cứu đều chỉ ra sự cần thiết của mơ hình hóa tốn học nhằm
hƣớng đến việc dạy tốn gắn với thực tiễn cuộc sống, làm cho tốn học trở
nên ích dụng hơn với con ngƣời. Có thể kể đến:
Francis Bacon (1561-1626) từ thế kỷ XVI đã sử dụng “phƣơng pháp tự
nhiên” trong dạy học: Giảng dạy bắt đầu với những tình huống trong cuộc
sống hàng ngày [Dẫn theo 41, tr.8].
Theo Kirstin Kremer (2015), từ những năm 90, học sinh Mỹ đã đƣợc
thảo luận và giải quyết các vấn đề liên quan tới nhà trƣờng và xã hội trong
chƣơng trình sau giờ học (After-School), trong dự án kết nối STEM: Khoa
học - Cơng nghệ - Kỹ thuật tốn học [53, tr.616-636]. Mơ hình hóa tốn học

8


ứng dụng trong sinh thái học [20]; công nghệ [64]. Theo Vanden HeuvelPanhuizen, M. (2003), từ những năm 2003, dựa trên nghiên cứu toán học là
một hoạt động của con ngƣời và học sinh cần phải trải nghiệm “tái phát minh”
toán học cho bản thân, học sinh Hà Lan đƣợc học “Giáo dục toán học thực tế”
(Realistic Mathematics Education – viết tắt là RME) [72, tr.9-35]. Triết lý
của RME cũng đƣợc nhiều nhà giáo dục nghiên cứu và đƣa vào chƣơng
trình dạy tốn ở bậc đại học nhƣ Rasmussen & King (2000) [68, 161-172],
Kwon (2002) [64, tr.53-63]. Tƣ tƣởng của RME dựa trên 5 nguyên tắc: 1)
Nguyên tắc sử dụng ngữ cảnh; 2) Ngun tắc sử dụng mơ hình; 3) Nguyên
tắc sản phẩm của học sinh; 4) Nguyên tắc tƣơng tác; 5) Nguyên tắc mạch
kiến thức toán đƣợc lồng ghép với nhau.
Tác giả Freudenthal từ năm 1991 đã chỉ ra có hai cách tiếp cận trong

giảng dạy tốn học: 1) Coi toán học nhƣ là sản phẩm khoa học thuần túy
(những tiên đề, mệnh đề, định lý, hệ quả, phƣơng trình, bất phƣơng trình,…);
2) Coi tốn học nhƣ sản phẩm - thành quả hoạt động của con ngƣời.
Freudenthal chú trọng đến cách tiếp cận thứ hai. Tác giả nhấn mạnh sản phẩm
của hoạt động tốn học đƣợc hiểu khơng chỉ là những tiên đề, định lý, hệ quả
mà cách chứng minh, lập luận mà học sinh phải đƣợc học toán nhƣ quá trình
khám phá tri thức. Dạy học theo phƣơng pháp này, học sinh học tập và tiếp
nhận tri thức đúng với quá trình mà nhân loại khám phá ra tri thức. Giáo dục
là tạo cơ hội để học sinh khám phá lại tri thức dƣới sự dẫn dắt của giáo viên
nhƣ xây dựng giả thuyết, kiểm chứng, đối chiếu bài toán toán học với thực
tiễn cuộc sống. học sinh cần phải học cách tìm, khám phá tri thức theo đúng
con đƣờng mà tri thức toán học đƣợc tạo ra là xuất phát từ thực tiễn và trở lại
phục vụ thực tiễn [dẫn theo 25, tr.15].
Tác giả Marta Civil (1995) [65] nghiên cứu về sự kết nối giữa toán học
gắn với bối cảnh thực tiễn, “toán học thuần túy” và tốn học ngồi nhà trƣờng
cần kết nối thơng qua việc tổ chức các hoạt động toán học cụ thể cho học sinh.
9


Van den Heuvel-Panhuizen (2003) [72, tr.35] cho rằng “thực tiễn” ở
đây liên quan đến việc học sinh đƣợc tiếp cận những vấn đề, tình huống mà
có thể hình dung/tƣởng tƣợng, có nghĩa là tiếp cận những vấn đề thực tiễn
phù hợp với học sinh. Trên thế giới, một số tác giả cũng đã nghiên cứu về mối
quan hệ biện chứng giữa “toán học hàn lâm” (academic mathematics) và
"toán học gắn liền với bối cảnh thực tiễn" (everyday mathematics). Tác giả
Abraham Arcavi (2002) đã chứng minh mối quan hệ đó bằng việc đƣa ra 3
khái niệm: tính thƣờng xun (everydayness), tốn học hóa (mathematization)
và tính quen thuộc của ngữ cảnh (context familiarity) [43].
Tác giả Reidar Mosvold (2005) đã nghiên cứu cách kết nối toán học
với thực tế, tập trung vào sự phát triển những ý tƣởng trong lịch sử và cá

nhân, đặt trong một mơ hình theo ngữ cảnh [70].
Chƣơng trình đánh giá học sinh quốc tế (Programme for International
Student Assessment, viết tắt là PISA) tổng kết có “Khoảng 66% câu hỏi khoa
học của PISA yêu cầu học sinh liên hệ kiến thức học đƣợc với những tình
huống thực tế trong cuộc sống” [42]. “Mục đích của PISA đối với năng lực
toán học là xây dựng các chỉ số cho thấy các nƣớc chuẩn bị có hiệu quả nhƣ
thế nào khi cho học sinh sử dụng tốn học vào mọi khía cạnh của cuộc sống
cá nhân”. Toán học “thúc đẩy học sinh sử dụng kiến thức đã biết bằng cách
để các em tham gia vào các quy trình và áp dụng khả năng bản thân vào giải
quyết những vấn đề phát sinh từ trải nghiệm thực tế” [6, tr.21].
Tác giả Norbert Herrmann (2012) [66] đặt ra vấn đề các bài toán gắn
liền với thực tiễn nhằm giúp ngƣời học có thể thấy đƣợc lợi ích của tốn học
trong cuộc sống. Đối với mỗi tình huống đƣa ra tác giả đều phân tích vẻ đẹp
của tốn học gắn với bối cảnh cuộc sống.
Rõ ràng, trong suốt lịch sử phát triển của giáo dục ln có những
nghiên cứu chứng minh việc dạy các mơn khoa học nói chung, tốn học nói
riêng phải gắn với thực tiễn cuộc sống. Những nghiên cứu này cần đƣợc quan
10


tâm và phát triển trong dạy học toán ở nƣớc ta cả về việc dạy và học toán; mọi
quan hệ giữa lý thuyết và ứng dụng toán học. Quan điểm gắn dạy toán với
thực tiễn cần đƣợc quán triệt trong tồn bộ q trình dạy học tốn và từ đó
cũng tạo ra cách làm đúng đắn để tăng cƣờng mạch ứng dụng tốn học trong
trƣờng phổ thơng Việt Nam.
Khi nào cần mơ hình hóa tốn học
Nghiên cứu của PISA chỉ ra rằng ở một số nhiệm vụ, việc mơ hình hóa
tốn học là khơng cần thiết. Ví dụ nhƣ khi vấn đề đã có trong hình thức tốn
học đầy đủ và mối quan hệ giữa mơ hình và tình huống mà mơ hình đó đại
diện đều là cần thiết đối với giải quyết vấn đề. “Nhu cầu về việc mô hình hóa

tốn học phát sinh trong hình thức ít phức tạp nhất của nó khi ngƣời giải
quyết vấn đề cần diễn giải và kết luận trực tiếp từ một mô hình đã cho, hoặc
diễn giải trực tiếp từ một tình huống vào tốn học”; “nhu cầu về việc mơ hình
hóa tốn học có liên quan tới sự cần thiết phải tạo ra hoặc diễn giải một mơ
hình trong một tình huống có rất nhiều giả thiết, các biến, các mối quan hệ và
khuôn khổ ràng buộc sẽ đƣợc xác định, và để kiểm tra xem mơ hình có thỏa
mãn các yêu cầu của nhiệm vụ; hoặc là để đánh giá hay so sánh các mơ
hình”[6, tr.22].
Quy trình mơ hình hóa tốn học
Theo Swetz & Hartzler (1991), quy trình mơ hình hóa gồm 4 giai đoạn
chủ yếu: 1) Quan sát hiện tƣợng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện
các yếu tố (tham số) quan trọng có ảnh hƣởng đến thực tế; 2) Lập giả thiết về
mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài sử dụng ngơn ngữ tốn học để thiết lập
mơ hình tốn học tƣơng ứng; 3) Áp dụng các phƣơng pháp và cơng cụ tốn
học phù hợp để mơ hình hóa bài tốn và phân tích mơ hình đó; 4) Thơng báo
kết quả, đối chiếu mơ hình với thực tiễn và đƣa ra kết luận [Dẫn theo 24, tr.2].
1.1.1.2. Những nghiên cứu về dạy học mô hình hóa tốn học
Glenda Anthony và Margaret Walshaw (2009) cung cấp mƣời nguyên
11


tắc đƣợc xem nhƣ là những cách thức để làm cho dạy học tốn hiệu quả hơn,
trong đó ngun tắc 3 nhấn mạnh vào việc hƣớng dẫn học sinh học tập dựa trên
kinh nghiệm và lợi ích của chính ngƣời học và nguyên tắc 8 nhấn mạnh vào
phát triển ngôn ngữ toán học cho học sinh [63]. Nhƣ vậy, nghiên cứu giảng dạy
và học tập thơng qua các mơ hình toán học và các ứng dụng ngày càng phát
triển trên thế giới.
Những kết quả nghiên cứu trên đều nhằm đến khả năng áp dụng tốn
học để xử lí những vấn đề thực tiễn, tập trung chủ yếu ở năng lực mơ hình hóa
tốn học các vấn đề thực tiễn. Tuy nhiên, chúng tơi cũng chƣa thấy cơng trình

nào đề cập đến dạy học mơ hình hóa tốn học chủ đề hàm số lũy thừa, hàm số
mũ, hàm số logarit ở trƣờng THPT theo hƣớng gắn với thực tiễn.
1.1.2. Những công trình nghiên cứu trong nước
1.1.2.1. Những nghiên cứu về dạy học mơ hình hóa tốn học
Về mơ hình hóa
Tác giả Nguyễn Thị Tân An (2012) chỉ ra các yếu tố cơ bản của chu
trình mơ hình hóa và minh họa cho các yếu tố đó; giới thiệu tóm tắt lịch sử và
các tiếp cận lí thuyết về mơ hình hóa trong dạy học toán để thấy đƣợc sự quan
tâm của thế giới trong lĩnh vực này [3, tr.4-7]. Tuy nhiên tác giả khơng đi sâu
vào dạy học chủ đề tốn nào trong nghiên cứu này.
Về mơ hình hóa tốn học
Theo tác giả Lâm Thùy Dƣơng và Trần Việt Cƣờng (2018), một trong
những vấn đề trọng tâm đặt ra của giáo dục tốn học trong thời gian qua là mơ
hình hóa trong giáo dục toán học và ứng dụng vào thực tiễn. Mơ hình hóa trong
giáo dục tốn học chính thức xuất hiện đầu tiên vào năm 1968 [15, tr.127]. Các
nhà nghiên cứu đã đƣa ra nhiều vấn đề liên quan đến mơ hình hóa. Cho đến nay
đã có nhiều nghiên cứu về các khía cạnh của tốn học ứng dụng trong giáo dục.

12


Cụ thể là:
Tại sao phải mơ hình hóa tốn học?
- Giúp dạy tốn gắn với thực tiễn cuộc sống
Có thể kể đến các nghiên cứu:
Tác giả Bùi Duy Hƣng (2014) đã chỉ ra trong nghiên cứu của mình về
việc dạy học mơn Tốn ở trƣờng THPT theo hƣớng phát triển năng lực cho
học sinh phải thông qua các hoạt động tổ chức dạy học sao cho học sinh có cơ
hội đƣợc “trải nghiệm, đo đạc, tính tốn, mị mẫm, dự đoán, xác minh, bác bỏ
hay khẳng định vấn đề” [19, tr.47].

Tác giả Vũ Hữu Tuyên (2016) đã nêu lên từ các cơng trình đã cơng bố ở
ngồi nƣớc cho thấy có một số nƣớc đã có những chƣơng trình, dự án, những
kỳ thi kết nối toán học với cuộc sống, nhƣ “Chƣơng trình đánh giá học sinh
quốc tế” (PISA) hay những “Kì thi về mơ hình tốn học hóa” (HiMCM), đã
giúp tăng cƣờng khả năng vận dụng kiến thức và kỹ năng tốn học vào thực
tiễn thơng qua việc giải quyết các tình huống nảy sinh trong cuộc sống [41].
Theo Nguyễn Dƣơng Hồng, Nguyễn Thị Thu Ba (2019), vai trị của
hoạt động mơ hình hóa tốn học trong dạy học toán là: 1) Tăng cƣờng mối
liên hệ giữa toán học và thực tiễn; 2) Phát triển năng lực giải quyết vấn đề
thực tiễn. Tuy nhiên, tác giả chƣa đề cập đến vai trò nâng cao khả năng xử lý
các vấn đề thực tiễn của dạy học mơ hình hóa tốn học [18, tr.218].
- Giúp phát triển năng lực toán học của học sinh
Các văn bản chỉ đạo đổi mới giáo dục đã chỉ ra cần chuyển từ dạy học
cung cấp kiến thức sang dạy học phát triển năng lực ngƣời học [10], [16], [29].
Nhiều nghiên cứu đã tập trung vào nghiên cứu những năng lực đặc thù cần hình
thành cho học sinh theo từng môn học nhƣ: [2], [13], [14], [31], [32], [44],
[55], [58], [59], [62].
Tác giả Trần Kiều (2014) chỉ ra các năng lực mơ hình hóa tốn học là
một trong 6 năng lực cần hình thành và phát triển cho học sinh qua dạy học
13


mơn Tốn trong trƣờng phổ thơng Việt Nam (bao gồm năng lực tƣ duy; mơ
hình hóa tốn học; giải quyết vấn đề; giao tiếp; sử dụng các công cụ học toán;
tự học) [21, tr.1,2]. Song tác giả chƣa nêu ra các năng lực đặc thù của mơn
Tốn so với các môn học khác.
Theo tác giả Hà Xuân Thành (2017), năng lực giải quyết vấn đề thực
tiễn của học sinh sẽ bao gồm những thành phần sau đây: 1) Năng lực hiểu đƣợc
vấn đề, thu nhận đƣợc thơng tin từ tình huống thực tiễn; 2) Năng lực chuyển
đổi thông tin từ tình huống thực tiễn về mơ hình tốn học; 3) Năng lực tìm

kiếm chiến lƣợc giải quyết mơ hình tốn học; 4) Năng lực thực hiện chiến
lƣợc để tìm ra kết quả; 5) Năng lực chuyển từ kết quả giải quyết mơ hình tốn
học sang lời giải của bài tốn có tình huống thực tiễn; 6) Năng lực đƣa ra các
bài toán khác [35, tr.34]. Theo nhiều tác giả, một trong những năng lực quan
trọng cần hình thành và phát triển cho học sinh trong dạy học mơn Tốn ở
trƣờng phổ thơng hiện nay đó là năng lực mơ hình hóa tốn học [33].
Nhƣ vậy, dạy học bằng mơ hình hóa góp phần giúp ngƣời học phát
triển hứng thú, động cơ học tập, tạo động lực cho sự tìm tịi, sáng tạo trong
quá trình khám phá, hình thành và lĩnh hội kiến thức mới; giúp học sinh thông
hiểu các khái niệm, con đƣờng hình thành các khái niệm và quy trình tốn học
hóa, hệ thống hóa ý tƣởng, khái niệm tốn học, đồng thời biết liên kết các ý
tƣởng đó bằng xây dựng các mối liên hệ giữa những ý tƣởng.
Về dạy học mơ hình hóa tốn học
Dạy học mơ hình hóa tốn học xuất phát từ dạy học gắn với thực tiễn
Theo Bùi Huy Ngọc (2003) [27, tr.25,26], quá trình vận dụng tốn học
vào thực tiễn thực hiện theo 4 bƣớc: 1) Xây dựng bài toán thực tế; 2) Tốn
học hóa tình huống thực tế; 3) Giải tốn: lựa chọn, sử dụng phƣơng pháp và
cơng cụ tốn học phù hợp để giải quyết một vấn đề đã đƣợc thiết lập dƣới
dạng mơ hình tốn học; 4) Chuyển từ kết quả trong mơ hình tốn học sang lời
giải của bài toán thực tế.
14


Tác giả Lê Văn Tiến (2005) kết luận: Dạy học bằng mơ hình hóa đƣợc
hiểu từ việc dạy học cách thức xây dựng mơ hình tốn học của thực tiễn,
nhằm trả lời cho những câu hỏi, vấn đề xuất phát từ thực tiễn. Nhƣ vậy, tri
thức toán học cần giảng dạy sẽ nảy sinh qua quá trình giải quyết các bài tốn
thực tiễn. Quy trình dạy học tƣơng ứng có thể là: Bài tốn thực tiễn → Xây
dựng mơ hình toán học → Câu trả lời cho bài toán thực tiễn → Tri thức cần
giảng dạy → Vận dụng tri thức này vào giải các bài toán thực tiễn [39].

Nghiên cứu của tác giả Phan Anh (2012) chỉ ra cần “Góp phần phát
triển năng lực tốn học hóa tình huống thực tiễn cho học sinh THPT qua dạy
học Đại số và Giải tích” [4].
Tác giả Lê Thị Hồi Châu (2014) đã cụ thể hóa 4 bƣớc của q trình
mơ hình hóa nhƣ sau: 1) Xây dựng mơ hình phỏng thực tiễn của vấn đề; 2)
Xây dựng mơ hình tốn học cho vấn đề đang xét; 3) Sử dụng các công cụ toán
học để khảo sát và giải quyết bài toán hình thành ở bƣớc 2; 4) Phân tích và
kiểm định lại các kết quả thu đƣợc trong bƣớc 3 [12].
Trong một nghiên cứu sâu sắc, tỉ mỉ, dựa trên cơ chế điều chỉnh q
trình mơ hình hóa, tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) đƣa ra 7 bƣớc tổ chức
hoạt động mơ hình hóa trong dạy học mơn Tốn là: 1) Tìm hiểu, xây dựng
cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết,
tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế; 2) Thiết lập mối liên hệ
giữa các giả thiết khác nhau đã đƣa ra; 3) Xây dựng bài toán bằng cách lựa
chọn và sử dụng ngơn ngữ tốn học mơ tả tình huống thực tế cũng nhƣ tính
tốn đến độ phức tạp của nó; 4) Sử dụng các cơng cụ tốn học thích hợp để
giải các bài tốn; 5) Hiểu đƣợc lời giải bài tốn, nghĩa của mơ hình tốn học
trong hồn cảnh thực tế; 6) Kiểm nghiệm mơ hình (ƣu điểm và hạn chế), kiểm
tra tính hợp lý và tối ƣu của mơ hình đã xây dựng; 7) Thơng báo, giải thích,
dự đốn, cải tiến mơ hình hoặc xây dựng mơ hình có độ phức tạp cao hơn sao
cho phù hợp với thực tiễn [26, tr.2,3].
15