Bài tập Hàm số luỹ thừa - Logarit

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit. CHÖÔNG II HAØM SỐ LUỸ THỪA – HAØM SỐ MŨ – HAØM SỐ LOGARIT. I. LUỸ THỪA 1. Định nghĩa luỹ thừa Soá muõ . Cô soá a.   n N*  0. aR a0.   n ( n  N * ). a0. m (m  Z , n  N * ) n   lim rn (rn  Q, n  N * ). . Luỹ thừa a. a  a n  a.a......a (n thừa số a) a  a 0  1 1 a   a n  n a m. a0. a   a n  n a m (n a  b  b n  a). a0. a   lim a rn. 2. Tính chất của luỹ thừa  Với mọi a > 0, b > 0 ta có: . . a .a  a.  . ;. . a  a    a.  a > 1 : a  a      ;  Với 0 < a < b ta có:. . . ; (a )  a.  .. . . ; (ab)  a .b. . a a ;     b b. 0 < a < 1 : a  a     . am  bm  m  0 ; am  bm  m  0 Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0. + Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương. 3. Định nghĩa và tính chất của căn thức  Caên baäc n cuûa a laø soá b sao cho b n  a .  Với a, b  0, m, n  N*, p, q  Z ta có: n. ab  n a .n b ;. Neáu. n. a na  (b  0) ; b nb. n. p q n m  thì a p  a q (a  0) ; Ñaëc bieät n m.  Neáu n laø soá nguyeân döông leû vaø a < b thì. n. p. a p   n a  (a  0) ; n. a. mn. mn. a  mn a. am. anb.. Neáu n laø soá nguyeân döông chaün vaø 0 < a < b thì Chuù yù:. n. anb.. + Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a . + Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau. 4. Công thức lãi kép Gọi A là số tiền gửi, r là lãi suất mỗi kì, N là số kì. Số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:. C  A(1  r )N. Bài 1. Thực hiện các phép tính sau::. Trang 51 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit 3. 2. c) C . 3 42. 2  83. d) D  7. 3. f) F . 23.21  53.54   0,01. 2. 0. 103 :102   0,25  102. 4.4 64.  3 2    i) I  3 32 5.   3 32 2. . 2 5 3. 18 .24.  50   e) E  4 5 2  25 .  4  .  27. g) G . 6. 3 .  15 .84  b) B  6 4 92.  5 .  6 . 2.  7 7  2 a) A   1    .    .  7  .     8  7  14  3.  0,01. 2 253  5   . h) H   4. .102 3. 3. 1256.  16  .  2  4. 1  253. 2. 1 3. 1  10 3. 5. 81.5 3.5 9. 12. 1 3. 1  53. . 4. k) K . 2.  3 3  . 18 5 27. 6     Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: a). 4. x2 3 x ,  x  0. d). 3. 23 3 2 3 2 3. b3 a ,  a, b  0  a b. b). 5. e). 43. a. c). 8. f). 5. 23 2 2. 5. b2 b. 3. b b. Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau:. a1,5  b1,5. a) a. 0,5. b. 0,5.  a 0,5b 0,5 . ab.  a 0,5  2 a 0,5  2  a 0,5  1  b)  . a  1  a 0,5  a  2a 0,5  1 1 1 1  1 1  1 2 2 2 2  x 2  3y 2  x  3y x y d)   . 2 xy  2 1  1   x2  y2     . 2b 0,5. a 0,5  b 0,5 1 1 1  3 1  1 2 2 2  x2  y2  x y x y2 2y  .  c)   1 1 1 1  2  xy xy 2y 2  x2y xy  x xy  . e)  a. 1 3. 2  b3.  . a. a 1   b  c . 2 3. 1 2  a 3 .b 3. 4  b3. f)  a. . 1 4. 1  b4.  . a. 1 4. 1  b4.  . a. 1 2. 1 2 b. . 1 1   1 2  a2  2 a  2  (a 2  1)  h)  . 1 1 a  1   2 2  a  2a  1  a. 1.  b2  c2  a2  2 g) .1   . a  b  c  1   2bc a 1   b  c    Bài 4. Đơn giản các biểu thức sau:. a). 3. a3b. 6. a6 b.  a2 4 x  x a  c)   a2  x  2a x  4  a x  ax .  ab  4 ab  b b)  ab  : ab a  ab   a x. 4. d). 3. 3. a2  x 2. Trang 52 Lop12.net. . 3 3. 3. ax 2  a2 x 3. a2  2 3 ax  x 2  6 x 6 a6 x.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit 3  a 3 a  2a 3 b  3 a2 b2 3 a2 b  3 ab2   x x x  e)   f)  3 3 2 3 4 4      3 3 a3b  x 1  a  ab x 1       x   x   4 4   x  1  x 1    3 a2 b  3 ab2 1 a  b   6   . a  6 b  6 a g)  3 a2  2 3 ab  3 b2 3 a2  3 b2  Baøi 5. So saùnh caùc caëp soá sau:. a)  0,01.  2.  vaø 10 . 2.     b)   vaø   4 4. 2. e)  0,001. d) 5300 vaø 8200 g)  2 . k). 3. vaø  2 . 4 h)   5. 5. 1 4. . 3  1 vaø  3  1. 2 2. 4.  3 l)    5 . 0,3. 6.  2. 3. vaø. 5 vaø   4. c) 52 100. 5. f) 4. 3. vaø 53.  :3 a . 2. vaø  0,125. 2.  2. i) 0,0210 vaø 5011.  2 vaø    2 .  2.   m)   2. 5 2.   vaø   2. 10 3. Baøi 6. So saùnh hai soá m, n neáu: m. a) 3,2  3,2. n. m. b) n.  3  3 d)  e)     2   2  Baøi 7. Coù theå keát luaän gì veà soá a neáu: a)  a  1. . 2 3. d) 1  a . . 1 3. 3. n. 3. 1. b)  2a  1.  1  a . . 1 2. 3 2  a4. 5. a) 4  1024 d)  3 3 . m.   a  1. e). 1   9. x 2. . 1 17. 2 e)   9 x. x.   2a  1.  2  a . 1 8. x1. .  8  .   27 . 8 125. x. a) 0,1  100. 27  64. x. x. 12  .  3   x. 1 b)    3 0,04  5. Trang 53 Lop12.net. 1 6. n. m. 2  1   2  1. 1 c)   a. 0,2.  a2.  1 2  1  f)      a a. c) 81  3 x . 3 f)   2. . 1 2. 3. 1 32. x 2 5 x  6.  9  i)    49 . h) 0,2  0,008. . . i) a 0,25  a . Baøi 9. Giaûi caùc baát phöông trình sau: x. 2. x. l). f). 1. a. 5 2   2 5. b).  0,25  1 g) .322 x 8    0,125  8  k) 5x .2 x  0,001. h) a. m. 1 1 c)      9 9. n. 5  1   5  1. 1 3. 7. 2x. .   2. . g) a  a Baøi 8. Giaûi caùc phöông trình sau: x.  2. m. 1 3 x 7. 7   3. m) 71 x .41 x . c) 0,3x . 100 9. 1 28. 7 x 3. n.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit d) 7. x 2. . 49  343. 1 27 Baøi 10. Giaûi caùc phöông trình sau:. g).  3. x. .3 . 1 e)   3. x 2. 1 9 27. h) 27 x .31 x . 1 3. f) 3x . 1 9 3 x.  1  i)   .3 2  1  64 . a) 2 x  2 x2  20. b) 3x  3x1  12. c) 5x  5x1  30. d) 4 x 1  4 x  4 x 1  84. e) 42 x  24.4 x  128  0. f) 4 x 1  22 x 1  48. g) 3.9 x  2.9 x  5  0. h) 3x. 2. 5 x  6. 1. Trang 54 Lop12.net. i) 4 x  2 x1  24  0.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit. II. LOGARIT 1. Ñònh nghóa  Với a > 0, a  1, b > 0 ta có: loga b    a  b a  0, a  1 Chuù yù: loga b coù nghóa khi  b  0 lg b  log b  log10 b  Logarit thaäp phaân: n.  1 ln b  loge b (với e  lim  1    2,718281 )  n.  Logarit tự nhiên (logarit Nepe): 2. Tính chaát  loga 1  0 ;. loga a b  b ;. loga a  1 ;. a. loga b.  b (b  0).  Cho a > 0, a  1, b, c > 0. Khi đó: + Neáu a > 1 thì loga b  loga c  b  c + Neáu 0 < a < 1 thì loga b  loga c  b  c 3. Caùc qui taéc tính logarit Với a > 0, a  1, b, c > 0, ta có:  loga (bc)  loga b  loga c. b  loga    loga b  loga c  loga b   loga b c. 4. Đổi cơ số Với a, b, c > 0 và a, b  1, ta có: loga c  logb c  hay loga b.logb c  loga c loga b  loga b . 1 logb a. 1.  loga c . . loga c (  0). Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:. b) log5. a) log2 4.log 1 2 d) 4 g). log2 3. 9. 4 log. 3. 2. log 1 a. 7. c) loga 3 a. 8. f) 27. h) log3 6.log8 9.log6 2. i) 9. e) log. loga3 a.loga4 a1/3. 1 .log27 9 25. 2 2. log9 2. 4. log8 27. 2 log3 2  4 log81 5. a. log3 5. k) 81 n) 9. 1 log6 3.  27. 4. log9 36. 1 log8 2. 4 log9 7. 3. log5 6. l) 25.  49. 1 log9 4. o) 3. 4. 32 log5 4. log7 8. 2 log2 3. m) 5 log125 27. 5. q) lg(tan10 )  lg(tan 20 )  ...  lg(tan 890 ) r) log8  log4 (log2 16) .log2  log3 (log4 64) Bài 2. Cho a > 0, a  1. Chứng minh: loga (a  1)  loga1 (a  2) Trang 55 Lop12.net. p) log. 6. 3.log3 36.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit HD: Xeùt A = =. loga1 (a  2) loga (a  1). loga1 a(a  2). 2 Baøi 3. So saùnh caùc caëp soá sau: 1 a) log3 4 vaø log4 3 d) log 1 3.  loga1 a.loga1 (a  2) . . loga1 (a  1)2 2. 2. 4. g) log7 10 vaø log11 13 d) Chứng minh: log 1 3. =. 1. b) log0,1 3 2 vaø log0,2 0,34 c) log 3. 1 1 vaø log 1 80 15  2 2. HD:. loga1 a  loga1 (a  2). 2 3 vaø log 5 5 4. log6 3. vaø. 2 1 log6 3 2. e) log13 150 vaø log17 290. f) 2. h) log2 3 vaø log3 4. i) log9 10 vaø log10 11. 1 1  4  log 1 80 15  2 2. e) Chứng minh: log13 150  2  log17 290 g) Xeùt A = log7 10  log11 13  =. log7 10.log7 11  log7 13 log7 11. 1  10.11.7 10 11   log7 .log7  > 0  log7 log7 11  7.7.13 7 7. h, i) Sử dụng bài 2. Bài 4. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho: a) Cho log2 14  a . Tính log49 32 theo a. b) Cho log15 3  a . Tính log25 15 theo a. c) Cho lg3  0,477 . Tính lg 9000 ; lg 0,000027 ;. 1 log81 100. .. d) Cho log7 2  a . Tính log 1 28 theo a. 2. Bài 5. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho:. 49 theo a, b. 5 8 b) Cho log30 3  a ; log30 5  b . Tính log30 1350 theo a, b.. a) Cho log25 7  a ; log2 5  b . Tính log 3. c) Cho log14 7  a ; log14 5  b . Tính log35 28 theo a, b. d) Cho log2 3  a ; log3 5  b ; log7 2  c . Tính log140 63 theo a, b, c. Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa):. a) b. loga c. c. loga b. b) logax (bx ) . loga b  loga x 1  loga x. c). loga c. logab c. ab 1  (logc a  logc b) , với a2  b2  7ab . 3 2 1 e) loga ( x  2 y )  2 loga 2  (loga x  loga y ) , với x 2  4 y 2  12 xy . 2. d) logc. f) logbc a  logcb a  2 logc b a.logcb a , với a2  b2  c2 . Trang 56 Lop12.net.  1  loga b.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit g). 1 1 1 1 1 k (k  1)     ...   . loga x loga2 x loga3 x loga4 x logak x 2 loga x. h) loga N .logb N  logb N .logc N  logc N .loga N  i) x  10 k) l). 1 1 lg z. , neáu y  10. 1 1 lg x. vaø z  10. 1 1 lg y. loga N .logb N .logc N logabc N. .. 1 1 1 1 .   ...   log2 N log3 N log2009 N log2009! N. loga N  logb N logb N  logc N. . loga N logc N. , với các số a, b, c lập thành một cấp số nhân.. Trang 57 Lop12.net. ..

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit. III. HAØM SỐ LUỸ THỪA HAØM SOÁ MUÕ – HAØM SOÁ LOGARIT 1. Khaùi nieäm a) Hàm số luỹ thừa y  x ( là hằng số) Soá muõ . Haøm soá y  x. Taäp xaùc ñònh D.  = n (n nguyeân döông). y  xn. D=R.  = n (n nguyên âm hoặc n = 0). y  xn. D = R \ {0}.  là số thực không nguyên. y  x. D = (0; +). Chuù yù: Haøm soá y . 1 xn. không đồng nhất với hàm số y  n x (n  N *) .. b) Haøm soá muõ y  a x (a > 0, a  1).  Taäp xaùc ñònh: D = R.  Taäp giaù trò: T = (0; +).  Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.  Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang.  Đồ thị: y. y=ax. y. y=ax 1. 1. x. x. a>1. 0<a<1. c) Haøm soá logarit y  loga x (a > 0, a  1)  Taäp xaùc ñònh: D = (0; +).  Taäp giaù trò: T = R.  Khi a > 1 hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1 hàm số nghịch biến.  Nhận trục tung làm tiệm cận đứng.  Đồ thị: y y y=logax. O. x. 1. O. x. 1. 0<a<1. a>1 Trang 58 Lop12.net. y=logax.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit 2. Giới hạn đặc biệt . 1 x) x. lim (1 . x 0. x.  1  lim  1    e x   x. ex 1 1  lim x 0 x. ln(1  x ) 1  lim x 0 x. 3. Đạo hàm .  x    x 1 ( x  0) ;.  n x  . Chuù yù:. . . 1 n. n x n1.  u    u 1.u  với x  0 nếu n chẵn   với x  0 nếu n lẻ  .  .  a x   a x ln a ;.  au   au ln a.u.  e x   e x ;.  eu   eu .u.  loga x   x ln1 a ;.  loga u   u lnu a.  ln x   1.  ln u   u. x. (x > 0);.  n u  . u n. n u n1. u. Bài 1. Tính các giới hạn sau:.  x  a) lim   x   1  x . x. x 1  3x  4  3. x 1 1 x.  b) lim  1   x   x. d) lim   x   3 x  2 .  x 1  e) lim   x   2 x  1 . ln x  1 g) lim x e x  e. e2 x  1 h) lim x 0 3 x. x. e x  e x esin 2 x  esin x k) lim l) lim x 0 sin x x 0 x Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau: 3. 2. x 1 x 1. a) y  x  x  1. b) y . d) y  3 sin(2 x  1). e) y  cot 1  x 2. g) y  3 sin. x 3 4. 4. 11. 5. 9  6 x9. 2 x 1.  2x  1  f) lim   x   x  1 . m). lim x  e  1 1 x. x . f) y . 5. x2  x  2 x2  1. 1 3 2x 1 3 2x. i) y  4. x2  x  1 x2  x  1. Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:. a) y  ( x 2  2 x  2)e x d) y  e. 2x  x 2. g) y  2 x .ecos x. b) y  ( x 2  2 x )e x 1 x x 3. e) y  x.e h) y . 3x 2. x  x 1. Trang 59 Lop12.net. x. ex  e i) lim x 1 x  1. c) y . 3. h) y .  x 1  c) lim   x   x  2 . c) y  e2 x .sin x f) y . e2 x  e x e2 x  e x. i) y  cos x.ecot x.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Hàm số luỹ thừa – mũ –logarit Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:. a) y  ln(2 x 2  x  3). b) y  log2 (cos x ). c) y  e x .ln(cos x ). d) y  (2 x  1) ln(3 x 2  x ). e) y  log 1 ( x 3  cos x ). f) y  log3 (cos x ). 2. g) y . ln(2 x  1) h) y  x 1. ln(2 x  1). 2x  1 Bài 5. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra: a) y  x.e. . x2 2 ;. xy  (1  x 2 ) y. . i) y  ln x  1  x 2. . b) y  ( x  1)e x ; y  y  e x. c) y  e4 x  2e x ;. y  13y  12 y  0. d) y  a.e x  b.e2 x ; y  3y  2 y  0. g) y  e x .sin x;. y  2 y  2 y  0. 4 h) y  e x .cos x; y    4 y  0. i) y  esin x ; l) y . 1 2 x x .e ; 2. y cos x  y sin x  y  . k) y  e2 x .sin 5 x; y  4 y  29 y  0. y  2 y  y  e x. m) y  e4 x  2e x ; y  13y  12 y  0. n) y  ( x 2  1)(e x  2010);. y . 2 xy 2. x 1.  e x ( x 2  1). Bài 6. Chứng minh hàm số đã cho thoả mãn hệ thức được chỉ ra:.  1  a) y  ln  ;  1 x . xy  1  e y. c) y  sin(ln x )  cos(ln x ); y  xy  x 2 y  0. b) y . 1 ; xy  y  y ln x  1 1  x  ln x. d) y . 1  ln x ; 2 x 2 y  ( x 2 y 2  1) x (1  ln x ). x2 1  x x 2  1  ln x  x 2  1; 2 y  xy  ln y e) y  2 2 Bài 7. Giải phương trình, bất phương trình sau với hàm số được chỉ ra:. a) f '( x )  2 f ( x ); f ( x )  e x ( x 2  3 x  1) b) f '( x ) . 1 f ( x )  0; x. f ( x )  x 3 ln x. c) f '( x )  0; f ( x )  e2 x 1  2.e12 x  7 x  5 d) f '( x )  g '( x ); f ( x )  x  ln( x  5); g( x )  ln( x  1) 1 e) f '( x )  g '( x ); f ( x )  .52 x 1; g( x )  5x  4 x ln 5 2. Trang 60 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span>