Ôn tập Giới hạn dãy số

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Lêi nãi ®Çu Trong chương trình toán trung học phổ thông,tính giới hạn và ứng dụng của giới hạn là một phần rất quan trọng mà thường xuyên học sinh phải sử dụng. Tuy nhiên giới hạn dãy số thường khó với học sinh khá và học sinh trung bình. Nhưng trong đề thi đại học thường chỉ có giới hạn hàm số chứa tỷ lệ lớn nên khi các em gặp thường các em làm khá tốt . Tôi viết chuyên đề này nhằm mục đích đưa ra các phương pháp tính giới hạn cơ bản và thường được sử dụng rộng dãi nhất ; để các thầy cô và các em có thể tham kh¶o vµ còng lµ gãp ý cho t¸c gi¶. Rất mong quý thầy cô và các em học sinh quan tâm góp ý cho đề tài hoàn thiện hơn.. Hoµng quý. T«i xin tr©n träng c¶m ¬n ! T¸c gi¶. - Thpt lương tài 2 – SĐT:01686.909.405. Môc lôc. PhÇn I giíi h¹n cña d·y sè.. A - C¸c kiÕn thøc cÇn nhí. B - Giíi h¹n d·y sè D¹ng I : C¸c bµi to¸n giíi h¹n c¬ b¶n D¹ng 2 T×m giíi h¹n khi biÕt biÓu thøc truy håi cña d·y sè. PhÇn ii : Giíi h¹n hµm sè A - C¸c kiÕn thøc cÇn nhí. B- C¸c d¹ng to¸n .. I / d¹ng c¬ b¶n sin x 1 x 0 x III/ Giíi h¹n d¹ng: 1. II/ Giíi h¹n d¹ng : lim.  . iV/ Giíi h¹n d¹ng Mò vµ l«garit V/ SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN PhÇn iII : øng dông cña giíi h¹n A- Sử dụng giới hạn để tìm tiệm cận của hàm số: B- Sử dụng giới hạn để xét tính liên tục. Phần iV Giới thiệu một số đề thi. 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PhÇn I giíi h¹n cña d·y sè. A - C¸c kiÕn thøc cÇn nhí.. 1) §Þnh nghÜa . Dãy số  un  có giới hạn là a nếu với mọi số dương . cho trước ( nhá bao nhiªu tuú ý ) tån t¹i mét sè tù nhiªn N sao cho víi mäi n > N th× un  a   . Ta viÕt lim un  a hoÆc viÕt lim un  a n. 2. Các định lý.. +) §Þnh lý 1. NÕu (un) lµ d·y sè t¨ng vµ bÞ chÆn trªn th× nã cã giíi h¹n. Nếu (un) là dãy số giảm và bị chặn dưới thì nó có giới hạn. +) §Þnh lý 2. C¸c phÐp to¸n trªn c¸c giíi h¹n cña d·y sè +) §Þnh lý 3. [Nguyªn lý kÑp gi÷a] . Gi¶ sö ba d·y sè tho¶ m·n: vn  un  wn víi n  N * vµ lim vn  lim wn  a th× lim un  a n . n . n . 3. C¸c giíi h¹n c¬ b¶n. +) lim C  C vµ lim q n  0 víi q  1 . n . n . 1  un 1 0 +) NÕu un   th× un. +) NÕu un  0 th×. 4. CÊp sè céng vµ cÊp sè nh©n.. +) Cho  u1 , u2 ,..., un ,... là cấp số cộng với công sai d. Khi đó: un  un1  d  u1  (n  1)d vµ n n Sn  u1  u2  ...  un  [u1  un ]  [2u1  (n  1)d] 2 2  +) Cho  u1 , u2 ,..., un ,... lµ cÊp sè nh©n víi c«ng béi q víi q  1 . Khi đó:. un  un1q  u1q. n 1. u1 (1  q n ) vµ Sn  u1  u2  ...  un  1 q. B - Giíi h¹n d·y sè D¹ng I : C¸c bµi to¸n giíi h¹n c¬ b¶n Phương pháp chung : +) sử dụng biểu thức liên hợp +) Sử dụng các định lý về giới hạn +) Sö dông c¸c tæng c¬ b¶n. Lưu ý : Ta có thể sử dụng định nghĩa để tìm giới hạn song trong các đề thi đại học thì việc sử dụng định nghĩa không có , nên trong chuyên đề này tôi chỉ đề cập các vấn đề liên quan thi đại học là chính . các bài toán bám sát đề thi đại học và thường sử dụng các định lý quan trọng của giới hạn .. 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> VÝ dô1 : T×m c¸c giíi h¹n sau :. . 3. n3  3n 2  2009  n. . 1/ lim ( n 2  n  1  n). 2 / lim. 13  23  ...  n3 3/ lim n n4  5.  1  1 1 4 / lim    ...   2 n n2  2 n2  n   n 1. Gi¶i : Nh©n víi biÓu thøc liªn hîp. n2  n  1  n. n. n. n 1. 1/ lim ( n 2  n  1  n)  lim n. 2 / lim. n. 2. n. . 3. 3. 2. n  n 1  n. . n  3n  2009  n  lim.  lim. n. 1 1 n  2 1 1 1  2 1 n n 1. 3n 2  2009. n 3. (n3  3n 2  2009) 2  n( 3 n3  3n 2  2009  n)  n 2. =1 n 2  n  1 13  23  ...  n3 1 3/ lim  lim  n n 4 n 4  5 4 n4  5 2. . .  1  1 1 4 / lim    ...   2 n n2  2 n2  n   n 1 1 1 1 Ta cã   n2  n n2  1 n2 1 1 1   n2  n n2  2 n2   1 1 1   n2  n n2  n n2 n 1 1 1 n Céng l¹i :    ...   n2  n n2  1 n2  2 n2  n n2  n   n  Ta cã : lim   1; lim    1 2 2 n n  n 1   n   1  1 1 VËy lim    ...   1 2 2 2 n n  1 n  2 n  n  . 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> VÝ dô 2 : T×m c¸c giíi h¹n sau :. 2009n  2008n1 1/ lim n 2009 n 1  2010 1  2  3  n   2/ Cho d·y  xn  sao cho xn  1  2 1  2 1  2  ...1  2   n  n *  n  n  n   n  TÝnh lim  ln xn  n. n.  2008  1  2008. n n 1  2009  2008  2009   1 Gi¶i : 1/ lim  lim n n 2009 n 1  2010 n 2009  1  2009  2010    2009  1  2  3  n   Gi¶i : 2/ Cho d·y  xn  sao cho xn  1  2 1  2 1  2  ...1  2   n  n *  n  n  n   n  TÝnh lim  ln xn  n. x2 Ta ®i chøng minh x   ln 1  x   x  x  0  (*) 2 x2 ThËt vËy xÐt f  x   ln 1  x   x   x  0  vµ g  x   x  ln 1  x  x  0  2 Dễ dàng chứng minh các hàm số đồng biến với x > 0 suy ra điều phải chứng minh (*) . 1  2 3 n      Ta cã : ln xn  ln 1  2   ln 1  2   ln 1  2   ...  ln 1  2   n   n   n   n  2 i i i  i  ¸p dông (*) 2  4  ln 1  2   2 i  1, n n n  n  n n  n  1 n  n  1 1 n  n  1 2n  1 VËy  4.  ln xn  2 6 2n 2n 2n 2 n  n  1 n  n  1 1 1 n  n  1 2n  1 1 Ta cã lim Vµ  .  lim  x x 6 2 2 2n 2 2n 4 2n 2 1 VËy lim  ln xn   n 2. . . 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> D¹ng 2 T×m giíi h¹n khi biÕt biÓu thøc truy håi cña d·y sè Phương pháp chung : +) Ta xác định số hạng tổng quát của d ãy số. Để xác định số hạng tổng quát ta thường sử dụng cấp số cộng ; cấp số nhân ; phương pháp quy nạp toán học ; hay có thể là phương trình tuyến tính sai phân hay chỉ là phép rút gọn đơn giản . . . . . . u1  1 * n Ví dụ 1 Cho dãy số (un) xác định bởi:   1  víi n  N un1  un    5  T×m lim un . n. Gi¶i. Theo gi¶ thiÕt ta cã: n 1 n2 n 3 1 1 1 1 1 un  un1    ; un1  un2    ; un2  un3    ;……..; u2  u1    . 5 5 5 5 Cộng từng vế các đẳng thức trên ta có: 2 3 n 1 2 3 n1 1 1 1 1 1 1 1 1 un  u1         ...    =1         ...    5 5 5 5 5 5 5 5   1 n  1 1     n n 5 1  5   5   5   1   = Ta cã: lim un  lim 1       1     . 1 n n 4 4 5     2   4   1 5 u1  2 VÝ dô 2 Cho dãy số  un  xác định bởi : un1  un  2  n  N *. T×m lim un n. Gi¶i. Ta cã d·y sè  un  chÝnh lµ d·y un  2  2  ........  2  2  n  dau. Ta chøng minh ®­îc d·y sè  un  cã giíi h¹n . §Æt lim un  a x. ChuyÓn qua giíi h¹n ta cã a  a  2  a  1; a  2 v× un  0 nªn lim un  2 x. VÝ dô 3. . . 2. Cho f  n   n 2  n  1  1 XÐt d·y un . Gi¶i :. . f 1 f  3 f  5  ... f  2n  1 n un  n  N * T×m nlim  f  2  f  4  f  6  ... f  2n . . 2. . . 2 f  n   n 2  n  1  1  n 2  1  n  1  1  . 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> f  2n  1  2n  1  1  f  2n   2n  12  1 2. 12  1 32  1  2n  1  1  1 Suy ra : un  2 . 2 ......... 3 1 5 1  2n  12  1 2n2  2n  1 2. Suy ra : lim n un  n. 1 2. VÝ dô 4. u1  1  Cho dãy số (un) xác định bởi:  víi n  1 un 2 u   u  n1 n 2009  a) CMR: (un) lµ d·y t¨ng. b) CMR: (un) lµ d·y kh«ng bÞ chÆn trªn. u u u  c) TÝnh giíi h¹n: lim  1  2  ...  n  . n u un1   2 u3. Gi¶i.. un 2 a) Ta cã: un1  un   0 víi n  1  un  lµ d·y t¨ng. 2009 b) (Phương pháp phản chứng) Gi¶ sö (un) lµ d·y bÞ chÆn trªn. Do nã lµ d·y t¨ng nªn nã cã giíi h¹n, tøc lµ:  lim un  a  a  1 . n . Mặt khác lấy giới hạn các vế của đẳng thức đã cho ta có: a2 a  a  a  0 (v« lý). 2009 Chøng tá (un) lµ d·y kh«ng bÞ chÆn trªn, tøc lµ: lim un   n . un1  un . c)Từ giả thiết ta biến đổi:. 2. 1 1 un un     un un1 2009un1 2009. un 1 1  2009(  ) un1 un un1. Suy ra:. u1 1 1 u 1 1 u 1 1  2009(  ) ; 2  2009(  ) ;; n  2009(  ) u2 u1 u2 u3 u2 u3 un1 un un1. u u 1 u  1  VËy lim  1  2  ...  n  = lim 2009    =2009 n u n u u u u 3 n 1  n 1   2  1 Cho dãy số (un) xác định bởi: VÝ dô 5 1 u1  5; un1  un2  un  9  n N * 5 n 1 §Æt vn   vn  n  N * . T×m xlim  u  2 k 1 k. . . 6 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 1  un  32  0 vµ un  u1  5 . ( nÕu d·y bÞ chÆn trªn th× cã 5 giới hạn ) . Giả sử dãy lim un  a  a  5  . (Phương pháp phản chứng) Gi¶i : Ta cã un1  un  x. Tõ gi¶ thiÕt chuyÓn qua giíi h¹n th× a . . . . 1 2 a  a  9  a  3 v« lý vËy lim un   x 5. . 1 2 uk  uk  9  5  uk 1  3   uk  3 uk  2  5 1 5 1 1     uk 1  3  uk  3 uk  2  uk  3 uk  2 1 1 1    uk  2 uk  3 uk 1  3 n 1 1 1 1 1 1 Do đó vn       VËy lim vn  x 2 u1  3 un1  3 2 un1  3 k 1 uk  2. MÆt kh¸c : uk 1 . Các bài tập tương tự . u1  0; u2  1  Bài 1. Cho dãy số (un) xác định bởi:  un1  un un 2  2 1 a) CMR: un1   un  1 2 b) Xác định công thức tổng quát của (un) theo n. c) T×m lim un n . 0  x n  1, n  1  Bài 2. Cho dãy số (xn) xác định bởi:  1 x n1 (1  x n )  4 a) CMR: (xn) lµ d·y sè t¨ng. b) T×m lim x n n . Bµi 3. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:. 1/ lim ( n 2  3n  1  n) n. 3/ lim (2n  3 8n3  1). 2 / lim (2n  4n 2  5n  1) n. n. 12  22  ...  n 2 4 / lim n 3n3  2009 Bµi 4. TÝnh c¸c giíi h¹n sau:  1  1 1    ...  a) lim  n 1.2 2 . 3 n .( n  1 )  . b) lim (1  n . 7 Lop12.net. 1 1 1 )( 1  )...( 1  ) 22 32 n2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> PhÇn ii : Giíi h¹n hµm sè A - C¸c kiÕn thøc cÇn nhí.. 1) §Þnh nghÜa. Cho hàm số f(x) xác định trên K có thể trừ điểm a K . Ta nói hàm số f(x) cã giíi h¹n lµ L ( hay dÇn tíi L) khi x dÇn tíi a nÕu víi mäi d·y sè  xn  xn  K , xn  an  N * sao cho khi lim xn  a th× lim f  xn   L x a L f  x   L hay f  x   Ta viÕt : lim x a. 2) Các định lý §Þnh lý 1 (Các phép toán về giới hạn hàm số ) ( víi lim f  x   A;lim f  x   B ) x a. x a. lim  f (x)  g(x)   lim f (x)  lim g(x) x a. x a. x a. lim  f (x).g(x)   lim f (x).lim g(x) x a. x a. x a. lim f (x) f (x) lim  x a  lim g(x)  0  x  a g(x) lim g(x)  x a  x a. lim f (x)  lim f (x)  f  x   0  x a. x a. Định lý 2:Nếu hàm số có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất Định lý 3:Cho 3 hàm số g(x),f(x),h(x) cùng xác định trong khoảng K chứa a và g(x)  lim h(x)  L thì g(x) ≤ f(x) ≤ h(x). Nếu lim x a x a. lim f (x)  L x a. 1  f (x) 1 f (x)   thì lim 0 Nếu lim x a x  a f (x). f (x)  0 thì lim Định lý 4: Nếu lim x a x a. Định lý 5:(giới hạn đặc biệt) lim x 0. sin ax x s inx  1  1 ; lim  1 ; lim x 0 x  0 sinx ax x. ax 1 x  0 sin ax *Các dạng vô định:. lim.   2) D¹ng     4) D¹ng  0   . 0  1) D¹ng   0  3) D¹ng     . Phương pháp chung : Khử dạng vô định +) Ph©n tÝch ra thõa sè +) Nhân với biểu thức liên hợp thường gặp 8 Lop12.net. . ;.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> A  B cã biÓu thøc liªn hîp A  B A  B cã biÓu thøc liªn hîp A  B 3. A  3 B cã biÓu thøc liªn hîp. 3. A2  3 AB  3 B 2. A  B cã biÓu thøc liªn hîp 3 A2  B 3 A  B 2 +) §Æt biÕn phô +) Thªm bít mét sè hoÆc mét biÓu thøc ..... 3. B- C¸c d¹ng to¸n . I ) d¹ng c¬ b¶n D¹ng I : Ph©n tÝch ra thõa sè M  lim. T×m giíi h¹n sau :. VÝ dô 1. Gi¶i : M= lim. x n  nx  n  1.  x  1. x1. 2. x n  nx  n  1.  x  1. x1.  lim. 2.  n  N *. ( x n  1)  n( x  1).  x  12. x1. x n1  x n2  ...  x  1  n ( x n1  1)  ( x n2  1)  ...  ( x  1) M  lim  lim x1 x1  x  1  x  1 M= VÝ dô 2. n  n  1 2.  . . . x ( x  1)  x  1. T×m giíi h¹n sau : Q  lim  x3  1 x 1. x x 1 2. Gi¶i : §©y lµ d¹ng  0    .. . Ta cã Q  lim   x  1 x 2  x  1 x 1. . . Do x   1 nªn Q  lim  x  x  1 . x 1. 2. x  x  1 ( x  1)  x  1 2. x  x  1 0 ( x  1) x 1 L­u ý : §©y lµ bµi to¸n c¬ b¶n nh­ng häc sinh rÊt dÔ viÕt sai khi viÕt :  1  Q  lim  x 2  x  1 x x 1  0 x  1 x 1  .  . . Q  lim  x 2  x  1. . D¹ng II.   . . Thªm bít nh©n liªn hîp. 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 1  4x  3 1  6x x 0 x2 1  4 x  1  2 x   1  2 x   3 1  6 x Gi¶i : N  lim x 0 x2  1  4 x  1  2 x  1  2 x   3 1  6 x  N  lim    x 0 x2 x2   Nh©n c¸c biÓu thøc liªn hîp   2 2 3   4x 12 x  8 x N  lim  2   2 2 x0 x ( 1  4 x  1  2 x ) 2 3 3  x 1  2 x   1  2 x  1  6 x  1  2 x       Rót gän vµ Kq : N = 5. VÝ dô 3. T×m giíi h¹n sau :. N  lim. VÝ dô 4. T×m giíi h¹n sau : P  lim  3  x  a  x  b  x  c    x  m  x  n   x Giải : Đây là dạng      Ta chuyển về các dạng vô định khác .. P  lim ( 3  x  a  x  b  x  c   x)  ( x   x  m  x  n  )   x  XÐt c¸c giíi h¹n sau : P1  lim ( 3  x  a  x  b  x  c   x)   x   ( 3 1  ay 1  by 1  cy   1 1 §Æt x  Ta cã P1  lim   y 0 y y   P2  lim  x   x  m  x  n    x  mn abc Nh©n víi biÓu thøc liªn hîp P1  vµ P2   2 3 abc mn VËy P   3 2 Ta cã bµi to¸n tæng qu¸t : a  a  ...an P  lim  n  x  a1  x  a1  ... x  an   x   1 2  x  n. D¹ng III §Æt biÕn phô VÝ dô 5. T×m giíi h¹n sau : Gi¶i : §Æt n 1  ax  y  x . R  lim x 0. n. 1  ax  1  n  N *; a  R * x. yn  1 khi x  0 th× y  1 a. 10 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> y 1 1 a  lim  y 1 y n  1 y 1 y n 1  y n  2  ...  11 n a a m 1  ax  n 1  bx D¹ng tæng qu¸t : T×m giíi h¹n 1/ lim x 0 x m n 1  ax 1  bx  1 2 / lim  n  n * x 0 x m 1  P( x)  1 2 2 Gi¶ sö P  x   a1 x  a2 x  ...  an x  n  N * .TÝnh 3/ lim x 0 x. Ta cã : R  lim. sin x 1 x 0 x sin f  x  x a 0 vµ Tæng qu¸t : lim  1 (*) víi f  x   x a f  x. II/ Giíi h¹n d¹ng : lim. 1) C¸c bµi to¸n c¬ b¶n :. C¸c giíi h¹n c¬ b¶n ( víi a  0; b  0 ):. sin ax a x 0 x. 1/ lim. sin ax a  x0 sin bx b. tan ax a x 0 x. 2 / lim. 3/ lim. 2) Phương pháp. 1  cos ax a 2  x 0 2 x2. 4 / lim. a) Phương pháp : B1) NhËn d¹ng giíi h¹n . B2) Sử dụng các công thức lượng giác ; nhân với biểu thức liên hợp Thêm bớt ;đặt biến phụ ....... . B3) Đưa bài toán về đúng dạng (*) . B4) T×m kÕt qu¶ . b) Yªu cÇu : +) Học sinh nhớ các công thức lượng giác - C«ng thøc céng - Công thức nhân đôi ; nhân ba ; hạ bậc - C«ng thøc biÕn tæng thµnh tÝch ; tÝch thµnh tæng +) Häc sinh nhí c¸c biÓu thøc liªn hîp .. 3) ¸p dông. A- Loại 1( sử dụng các phép biến đổi lượng giác ) Phương pháp : Trong phương pháp này tác giả hướng dẫn học sinh chủ yếu bằng phương pháp sử dụng các công thức lượng giác ; thêm bớt ;nhuần nhuyễn ; đua về dạng (*) VÝ dô 1 T×m c¸c giíi h¹n sau : 1  cos x A  lim x 0 x2. 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 2. x x  2sin sin   1  cos x 1 2  lim 2 =1/2 Gi¶i : Ta cã lim  lim   2 2 x 0 x 0 2 x 0  x  x x  2  ( Cã thÓ nh©n liªn hîp víi 1+cosx ) 2. cos ax  cos bx x 0 x2. VÝ dô 2 T×m c¸c giíi h¹n sau :. Gi¶i : Ta cã. B  lim. cos ax  cos bx  2lim x 0 x 0 x2. lim. sin. ab a b x sin x b2  a 2 2 2 = 2 x2. 1  cos x cos 2 x cos3 x x 0 x2 1  cos x  cos x  cos x cos 2 x  cos x cos 2 x  cos x cos 2 x cos3 x Gi¶i : C  lim x 0 x2 1  cos x (1  cos 2 x)cos x 1  cos3 x  cos x cos 2 x  C  lim     2 x 0 x2 x2  x  Làm tương tự bài 1 C = 7 x2  4 VÝ dô 4 T×m giíi h¹n sau : D  lim x x 2 cos 4 2 x 4  x  2  x  2  suy ra D  16  lim Gi¶i : D  lim  x x 2   x 2   cos sin   2  x   4 4  sin 3 x VÝ dô 5 T×m giíi h¹n sau : E  lim x 1  2cos x. VÝ dô 3 T×m giíi h¹n sau : C  lim. 3. Gi¶i: E  lim x. . 3. sin x 3  4sin 2 x  1  2cos x. . . . . sin x 3  4 1  cos 2 x  sin x  4cos 2 x  1     lim    lim   1  2cos x 1  2cos x x x 3. 3. Rót gän E   3. Các bài tập tương tự . 1/TÝnh c¸c giíi h¹n sau:. 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 1  cos2 x 1 1/ lim ;( ) ; x 0 xsin 2x 2. 2/ lim x 0. 1  sin x  cos x ; (-1); 1  sin x  cos x. sin(x  1) sin x  cos x ; 5/ lim ;(1)  x 1 x 2  4x  3 4x   x. x cos x  x ;(1); x 0 x 2sin x cos2 2. 3/ lim. 3 7 / lim(x  4)sin ;(3); x  x. 4/ lim. 4. 2/TÝnh c¸c giíi h¹n sau: 1  cos x cos 2 x cos3 x....cos nx 1/ lim  n  N * x 0 x2     cos  x  cos  cos x  tan( x  a ) tan( x  a )  tan 2 a 2  2    3/ lim 2 / lim 4 / lim x1 x0 sin(tan x ) x 0 1 x x2 x  5/ lim 1  x  tan 6 / lim tan 2 x tan(  x)  x1 2 4 x 4. B-Lo¹i 2 (Nh©n víi c¸c biÓu thøc liªn hîp) Phương pháp : Trong phương pháp này tác giả hướng dẫn học sinh chủ yếu bằng phương pháp sử dụng các biểu thức liên hợp ; thêm bớt nhân liên hợp chứa căn bậc 2;3 là chñ yÕu .(cã thÓ lµm b»ng c¸ch kh¸c) 2  1  cos x VÝ dô 1 T×m giíi h¹n sau : C  lim x 0 sin 2 x Gi¶i : Nh©n c¶ tö vµ mÉu víi biÓu thøc liªn hîp lim x 0. 2  1  cos x  lim x 0 sin 2 x. . 2  1  cos x. . . 2  1  cos x. . 2  1  cos x sin 2 x. 2  1  cos x.   lim x 0. . 1  cos x. . 2  1  cos x sin 2 x. x 2  1  cos x 2 2 lim  lim suy ra KQ: C = 2 x 0 x0 ( 2  1  cos x )sin 2 x 8 sin x 2sin 2. 1  cos x cos 2 x x 0 x2 Gi¶i : Thªm bít vµ nh©n liªn hîp . 1  cos x (1  cos 2 x )cos x  1  cos x  cos x  cos x cos 2 x B  lim  lim    2 x 0 x 0 x2 x2  x . VÝ dô2 T×m giíi h¹n sau : B  lim. 13 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> . .  (1  cos x) 1  cos x  (1  cos 2 x ) 1  cos 2 x cos x   B  lim   2 2 x 0  x (1  cos x)  x (1  cos 2 x )    sin 2 x sin 2 2 x cos x  B  lim  2  2  x0 x (1  cos x ) x (1  cos 2 x )   Các bài tập tương tự . TÝnh c¸c giíi h¹n sau: cos 2 x  3 cos x 1  cos x3 1/ lim 2 / lim x 0 x0 1  cos x sin 2 x. cos( x  1)  cos 2( x  1) 4 / lim x1 x2  1. x2 2 x2 sin x  sin 2. B=5/2. 1  cos 2 x x0 1  cos x. 3/ lim. sin 2  x. 5/ lim x1. 1  cos.  2. x 1. 1  cos x cos 2 x x 0 1 3 x 1. 6 / lim. 7 / lim. C-Loại 3 (đặt biến phụ) Phương pháp : Trong phương pháp này tác giả hướng dẫn học sinh chủ yếu bằng phương pháp sử dụng các biến phụ   cos  x  VÝ dô 1 T×m giíi h¹n sau : A  lim  2  x1 1 x Gi¶I: §Æt x-1= y Ta cã x=y+1 vµ khi : x  1 th× y  0.      cos  ( y  1)  cos  y   sin  2 2 2    lim 2  lim  Ta cã A  lim y 0 y 0 y 0 y y y. VÝ dô 2 T×m giíi h¹n sau : Gi¶i: §Æt x .  4.  y  2. . B  lim tan 2 x tan(  x)  4 x 4.  y Ta cã x  y .  4. vµ khi : x .  4. th× y  0.     Ta cã B  lim tan 2  y   tan( y )   lim tan  2 y   tan y  lim cot  2 y  tan y y 0 y 0 y 0 4 2   cos 2 y sin y cos 2 y 1 1 B  lim  lim  y 0 sin 2 y cos y y 0 2cos y cos y 2 14 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> VÝ dô 3 T×m giíi h¹n sau : A  lim 1  x  tan. x. 2 Gi¶i : §Æt y  1  x Ta cã x= 1-y vµ x  1 th× y  0  1  y  y   y  A  lim y tan  lim y tan    lim y cot  y 0 y 0 2 2  2 2  y 0 y cos 2 2 A  lim y y  y 0 sin 2 Các bài tập tương tự . Tính các giới hạn sau: (Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ đổi biến) x1.  1  lim   tgx  ;(0)  x   cos x  2. tgx  sin x 1 ;( ); 3 x 0 2 x.   lim   x  tgx;(1);  x  2  2. ;lim. 1  cos3x 9 ;( ) x 0 sin xtgx 4. lim.    1 1    1  sin x  1 lim tg2xtg   x  ;( ); lim   ;(  ); lim  tgx   ;( ); 2   x  tgx x 4 2 cos x 2 x x     2  sin  4 2  2. III/ Giíi h¹n d¹ng:. lim 1  x  tg x 1. 1  . Phương pháp : Dạng tổng quát S  lim  f  x   x a. g x. 1) NÕu lim f  x   A vµ lim g  x   B th× S  AB x a. x a. 2) NÕu A  1 vµ B   th× ta cã ngay kÕt qu¶ . 3) Nếu A=1 và B   thì ta đặt f(x)=1+h(x) Ta cã : S  lim 1  h( x) . g x. KÕt qu¶ : e (  -bÊt kú). x a. x. 1  1 4) §Æc biÖt : lim 1    e vµ lim 1  x  x  e x 0 x  x.  1  Tæng qu¸t : lim 1   x a f x    . f  x. x a   e víi f  x  . 1. x a 0 lim 1  f  x   f  x   e víi f  x   x a. T=0. nÕu a1  a2. x.  a x  b1  Ta cã kÕt qu¶ sau : T  lim  1   a1; a2  0  x a x  b  2 2 . 15 Lop12.net. T  . nÕu a1  a2. x 2 ;( ) 2 .

<span class='text_page_counter'>(16)</span> T e. x  1 VÝ dô 1 T×m giíi h¹n : A  lim  x  x    1 A  lim 1   x  x. Gi¶i :. 3 x2. b1 b2 a1. nÕu a1  a2. 3 x2. 3.   1  x   1 2  lim  1    1    e3 x   x    x   1. cos x  x2 VÝ dô 2 T×m giíi h¹n : B  lim  x0  cos 2 x   1. cos 2 x. cos x  cos 2 x  x2 cos x  cos 2 x  cos xcos 2 x  Gi¶i : B  lim 1  ( )   lim 1  ( ) x 0  x  0 cos 2 x cos 2 x   . cos x cos 2 x 1 cos 2 x x 2. x 3x 3 2sin sin cos x  cos 2 x 3 2 2 XÐt giíi h¹n: lim VËy B  e 2  lim  x 0 x 0 2 x2 x2 tan x VÝ dô 3 T×m giíi h¹n : C  lim sin x  x. . 2. Gi¶i : Ta cã C  lim sin x . tan x. x. §Æt y .  2. 2. x x 1. Khi đó C  lim  cos y . cot y. y 0.  2. 2sin 2. 2y y   lim 1  2sin 2  2sin 2 y 0  2. sin y.  y vµ x . y 2 cos y.  2. th× y  0. rót gän KQ: C=1. Bµi TËp TÝnh c¸c giíi h¹n x. x.  x 1  2 2) lim   ;(e ); x  x  1  .  h 1) lim 1   ;(e h ); x   x 4) lim. x 1. . x 1. . cos 4(x  1 ;. 1. 3) lim 1  sin x  x ;(e) x 0. 10x 1.  x 1  5) lim   x  x  1  . ;. 6) lim x cos 3x x 0. iV/ Giíi h¹n d¹ng Mò vµ l«garit:. e f  x  1 x a  1 f  x   0 Phương pháp : +) Dạng tổng quát : P  lim x a f  x . . Q  lim x a. ln 1  f  x   f  x. ex  1 1 x 0 x 16. +) D¹ng c¬ b¶n: 1/ lim. Lop12.net. ;. . . x a  1 f  x   0. . ln 1  x  1 x 0 x. 2 / lim.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> ax 1 +) KÕt qu¶ : 1/ lim  ln a  a  0; a  1 x 0 x log 1  x  1 2 / lim a   a  0; a  1 x 0 x ln a e ax  ebx VÝ dô 1 T×m giíi h¹n : A  lim x 0 x ax  e ax  1 1  ebx  e  1  1  ebx Gi¶i : Ta cã A  lim  lim     a b x 0 x 0 x x x   2. e x  cos x VÝ dô 2 T×m giíi h¹n : B  lim x 0 x2 2. 2. e x  cos x e x  1  1  cos x  lim Gi¶i : Ta cã B  lim x 0 x 0 x2 x2  e x2  1 1  cos x  3 B  lim  2   x 0 x 2  2  x a x  xa VÝ dô 3 T×m giíi h¹n : C  lim  a  0; a  1 x a x  a x a a x  xa  1 a a  x a a a Gi¶i : Ta cã C  lim  lim(a   )  a a  ln a  1  x a x  a x a xa  xa . ln x  ln a  a  0; a  1 x a xa. VÝ dô 4 T×m giíi h¹n : D  lim. a x a 1. 1. x x a x  a  x a a x a 1 Gi¶i : Ta cã D  lim ln    lim ln 1    x a x a a  a a  ln cos ax VÝ dô 5 T×m giíi h¹n : E  lim  a; b  0  x0 ln cos bx ln 1  cos ax  1 ln 1  cos ax  1  cos ax  1  cos ax  1 Gi¶i : Ta cã E  lim  lim   x0 ln 1  cos bx  1 x0 ln 1  cos bx  1  cos bx  1  cos bx  1 2 a E 2 b VÝ dô 6 T×m giíi h¹n : F  lim x ln x x 0. Gi¶i : Ta cã F  lim x ln x  lim ln x x  lim ln 1  x  1 x 0. x 0. F  lim ln 1  x  1. x. x 0. 1 x 1 x x 1 1. x 0. 17 Lop12.net. 1    lim  ln 1  x  1 x1  x 0  . x x 1. 0.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Bµi tËp TÝnh c¸c giíi h¹n D¹ng - L«garit 2. log (x  1)  1 2) lim 4 x 0 x 1. ex  3 x 2  1 1)lim (DHGT) 2 x 0 x  x1  4) lim x  a  1  a>0  x    sin x.  sin x  x-sin x 7) lim   x 0  x  x. x 0. sin x n.  sin x . lnx-1 x  e x-e. 6) lim. m. lnsin x   x 2 x2. 8) lim. a b c  9) lim   x 0 3   x. 5) lim. eax  ebx 3) lim x 0 sin ax  sin bx. x. 1 x.  a;b;c>0 . a 10) lim  x 0 . x+1. x 1. b c abc. x 1.   lntan   ax  4  12) lim x 0 sin bx. 1.  1+x2 x  x2 11) lim   x  0 1+x3x  .   . 1 x. (a;b;c>0). ln cos ax x  0 ln cos bx. 13) lim. a x  ab 14)lim xb x  b. V- SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN. Bµi to¸n:. TÝnh giíi h¹n. P x x  x0 Q  x . L  lim. D¹ng ( 0 ). 0. 1)Phương pháp chung: Ta biến đổi giới hạn trên về dạng sau: Ta ®­îc L = xlim x. 0. f ( x )  f ( x0 )  f '( x0 ) . ( công thức tính đạo hàm tại x0 ) x  x0. : 18 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> VÝ dô Cho hµm sè. y  [ f ( x )]g ( x ) , để tính giới hạn lim y mà: x  x0. 1) lim f ( x )  1 vµ lim g( x )   D¹ng 1 x  x0. . x  x0. 2) lim f ( x )   vµ lim g( x )  0. D¹ng   . 3) lim f ( x )  lim g( x )  0. D¹ng  0 . x  x0. x  x0. x  x0. x  x0. ChuyÓn vÒ d¹ng. 0. 0. 0 , råi ta ¸p dông 1 trong 3 d¹ng trªn. 0. Để tính giới hạn cụ thể ta làm các bước sau :. B1/ XÐt hµm sè f  x  phï hîp víi biÓu thøc bµi to¸n B2/ TÝnh f  a  =? Vµ. f ' x   ?. Vµ. f ' a   ?. B3/ Viết biểu thức theo công thức tính đạo hàm. B4/ KÕt qu¶ 2)C¸c vÝ dô minh ho¹: VÝ dô 1: TÝnh giíi h¹n sau A  lim x 1. 2x 1  3 x x 1. Gi¶i:. B1) XÐt f  x   2 x  1  3 x 2. 2 1 5  x 3  f ' 1  B2) f(1)=0 ; f '  x   3 2x  1 3 (  2 x 1  3 x  0 f 1 f  x   f 1 5 f x  lim  f ' 1  B3) A  lim x 1 x 1 x 1 x 1 3 B4) KL:A=5/3. VÝ dô 2: TÝnh giíi h¹n sau x 3  3x  2 B = lim . x 1 x 1. Gi¶i: XÐt. f ( x )  x 3  3 x  2 , ta cã: f (1)  0 ,. 19 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> f '( x )  3 x 2 . 3 3 3  f '(1)  3   . 2 2 2 3x  2. Khi đó: L = lim x 1. f ( x )  f (1) 3  f '(1)  . x 1 2. VÝ dô 3: TÝnh giíi h¹n C = lim x 0. 1  2 x  1  sin x 3x  4  2  x. .. Gi¶i: Viết lại giới hạn trên dưới dạng: 1  2 x  1  sin x x . C = lim x 0 3x  4  2  x x. XÐt f ( x )  1  2 x  1  sin x , ta cã f (0)  0 ; f '( x )  . 1  cos x  f '(0)  0. 2 x 1. §Æt g( x )  3 x  4  2  x , ta cã g(0)  0 ; g '( x ) . 3 1  1  g '(0)   . 4 2 3x  4. f ( x )  f (0) f '(0) x 0  0 . Khi đó: C = lim x 0 g ( x )  g (0) g '(0) x 0. Nhận xét: Để tính giới hạn trên bằng phương pháp thông thường ta phải làm như sau. 20 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>