Tổng hợp kiến thức môn Toán luyện thi ĐH - CĐ

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP 1.. 4.. Giai thừa : n! = 1.2...n 0! = 1 n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) ... n Nguyên tắc cộng : Trường hợp 1 có m cách chọn, trường hợp 2 có n cách chọn; mỗi cách chọn đều thuộc đúng một trường hợp. Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n. Nguyên tắc nhân : Hiện tượng 1 có m cách chọn, mỗi cách chọn này lại có n cách chọn hiện tượng 2. Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai hiện tượng là : m x n. Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác nhau. Số cách xếp : Pn = n !.. 5.. Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn ra k vật. Số cách chọn :. 6.. Chỉnh hợp : Có n vật khác nhau. Chọn ra k vật, xếp vào k chỗ khác nhau số cách :. 2. 3.. A nk  7. 1 1 1 1 1. n! k!(n  k )!. n! , A nk  Cnk .Pk (n  k)!. Chỉnh hợp = tổ hợp rồi hoán vị Tam giác Pascal : 1 2 3 4. Cnk . 1 3 6. Tính chất :. 1 4. C00 C10 C20 C30 C04. 1. C11 C12 C13 C14. C22 C32 C24. C33 C34. C44. C0n  Cnn  1, Cnk  Cnn k Cnk 1  Cnk  Cnk1. 8.. Nhị thức Newton : *. (a  b)n  C0n an b 0  C1n an1b1  ...  Cnn a0 b n a = b = 1 : .... C0n  C1n  ...  Cnn  2 n. Với a, b  {1, 2, ...}, ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa :. C 0n , C1n ,..., C nn *. (a  x)n  C0n an  C1n an1x  ...  Cnn x n Ta chứng minh được nhiều đẳng thức chứa. C 0n , C1n ,..., C nn. bằng cách :. - Đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = 1, 2, ... a = 1, 2, ... - Nhân với xk , đạo hàm 1 lần, 2 lần, cho x = 1, 2, ... , a = 1, 2, ... 1. - Cho a = 1, 2, ...,.  0. hay. 2. . 0. .  ... hay . Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x. Tìm số hạng độc lập với x :. Ckn a n k b k  Kx m. Giải pt : m = 0, ta được k. * (a + b)n : a, b chứa căn . Tìm số hạng hữu tỷ. k n k n. Ca Giải hệ pt :. m / p  Z  r / q Z. * Giải pt , bpt chứa. m p. b  Kc d k. r q. , tìm được k. A nk , Cnk ... : đặt điều kiện k, n  N* ..., k  n. Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng. mẫu số, đặt thừa số chung. * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc rồi xếp). * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp hoặc thiếu trường hợp. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà khi chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm như sau : số cách chọn thỏa p. = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p. Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác. * Vé số, số biên lai, bảng số xe ... : chữ số 0 có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải). * Dấu hiệu chia hết : - Cho 2 : tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. - Cho 4 : tận cùng là 00 hay 2 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 4. - Cho 8 : tận cùng là 000 hay 3 chữ số cuối hợp thành số chia hết cho 8. - Cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3. - Cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9. - Cho 5 : tận cùng là 0 hay 5. - Cho 6 : chia hết cho 2 và 3. - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75. II- ĐẠI SỐ 1.. a + b = c  a = c – b; ab = c . Chuyển vế :. a/b = c . a. 2n.  a  bc ;  b 0. b  c  0  b  0   a  c / b. a2 n1  b  a  2 n1 b.  b  a   b, a  2n. 2n.  b  a 2n b   a 0.  b  a a b  , a  log b  b   a a 0 b  0, c  0 b0 a  b  c  a  c  b ; ab  c    a  c/ b b0   a  c/ b 2.. Giao nghiệm :. x a xa  x  max{a, b} ;   x  min{a, b}  x  b x  b  . p  xa a  x  b(neáu a  b)  p  q   ;    VN(neáu a  b) q  xb   3. a.. Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm. Công thức cần nhớ : : chỉ được bình phương nếu 2 vế không âm. Làm mất. b  0 b  0 ab , a  b  2 2 a  b 0  a  b b  0 b  0 ab  2 a  0 a  b a . b (neáu a, b  0) ab   a .  b (neáu a, b  0). Lop12.net. phải đặt điều kiện..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> b.. .. : phá. .. bằng cách bình phương :. a . a. 2. Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09). a. 2. hay bằng định nghĩa :. a (neáu a  0)  a (neáu a  0). b  0 a b ; a  b  a  b a   b a  b  b  a  b. b  0 a  b  b  0hay  a   b  a  b. a  b  a2  b 2  0 c.. Mũ :. y  ax , x  R, y  0, y  neáu a  1, y  neáu 0  a  1.. a0  1 ; a m / n  1/ n am ; am .an  am  n am / an  am n ; (am )n  am.n ; an / bn  (a/ b)n an .bn  (ab)n ; am  an  (m  n,0  a  1)  a = 1 am  an  d.. m  n (neáu a  1) ,   aloga  m  n (neáu 0  a  1). log : y = logax , x > 0 , 0 < a  1, y  R y nếu a > 1, y nếu 0 < a < 1,  = logaa loga(MN) = logaM + logaN (  ) loga(M/N) = logaM – logaN (  ). loga M 2  2 loga M , 2 loga M  loga M 2 () logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc logbc = logac/logab,. log. a. M. 1 loga M . loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN  M = N. loga M  loga N . 0  M  N(neáu a  1) M  N  0(neáu 0  a  1). 4.. Khi làm toán log, nếu miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định. Mất log phải có điều kiện. Đổi biến :. a.. Đơn giản. b. c. d. 5. a.. Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t. Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f. Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx. Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện của t. Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên. Xét dấu : Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu. Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0. Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0, phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f. So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với  : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a  0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm. Với đẳng thức g(x1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt :. b. c. 6.. :. t  ax  b R, t  x 2  0, t  x  0, t  x  0, t  ax  0 , t  loga x  R. g  0   S  x1  x 2  P  x .x 1 2 . Biết S, P thỏa S2 – 4P  0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = 0 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * Dùng , S, P để so sánh nghiệm với 0 : x1 < 0 < x2  P < 0, 0 < x1 < x2 . x1 < x2 < 0 .   0  P  0 S 0 .   0  P  0 S 0 . * Dùng , af(), S/2 để so sánh nghiệm với  : x1 <  < x2  af() < 0  < x1 < x2 .   0   a.f ()  0    S/ 2 .  < x1 <  < x2 . 7. a.. b.. ; x1 < x2 <  .  a.f()  0   a.f()  0  .   0   a.f ()  0  S/ 2   . ; x1 <  < x2 <  .  a.f ()  0   a.f ()  0   . Phương trình bậc 3 : Viête : ax3 + bx2 + cx + d = 0 x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C thì x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = 0 Số nghiệm phương trình bậc 3 :  x =   f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a  0) : 3 nghiệm phân biệt . 2 nghiệm phân biệt .   0  f ()  0.   0   f ()  0 . 1 nghiệm.   0  f ()  0.  = 0  < 0 hay  f    = 0.  Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (C) : y = f(x) và (d) : y = m.  Phương trình bậc 3 không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao giữa (Cm) : y = f(x, m) và (Ox) : y = 0 3 nghiệm .  y '  0  y CÑ .y CT  0. 2 nghiệm .  y '  0  y CÑ .y CT  0. 1 nghiệm  y'  0 . c.. Phương trình bậc 3 có 3 nghiệm lập thành CSC : . d..  y '  0  y CÑ .y CT  0.  y '  0  y uoán  0. So sánh nghiệm với  :  x = xo  f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a  0) : so sánh nghiệm phương trình bậc 2 f(x) với . Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)  Không nhẩm được 1 nghiệm, m tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa  vào BBT.  Không nhẩm được 1 nghiệm, m không tách được sang 1 vế : dùng sự tương giao của (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox).  y'  0   y CÑ .y CT  0   y()  0 x  CÑ.  < x1 < x2 < x3 .   y'  0  y .y  0  CÑ CT   y()  0    x CT   y'  0  y .y  0  CÑ CT   y()  0  x CÑ  . x1 <  < x2 < x3 . x1 < x2 <  < x3 . Phương trình bậc 2 có điều kiện : f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a  0), x  . 2 nghiệm .  f ()  0    0. Vô nghiệm   < 0 . 9. a.. x1. x1.  y'  0   y CÑ .y CT  0   y()  0 x   CT. x1 < x2 < x3 <  . 8..  x1 x2 x3. , 1 nghiệm . x1.   0   f ()  0   0   f ()  0.   0   f ()  0. Nếu a có tham số, xét thêm a = 0 với các trường hợp 1 nghiệm, VN. Phương trình bậc 4 : Trùng phương :. +. bx2. t = x2  x = . t. 4 nghiệm . ax4.   0  P  0 S 0 . + c = 0 (a  0) . ; 3 nghiệm .  t  x2  0   f (t )  0. P  0  S 0. P0 2 nghiệm .   0 ;   S/ 2  0. 1 nghiệm . Lop12.net. P  0  S 0   0   S/ 2  0. . x2. . x2. x2. x3. x3. . x3.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> VN   < 0 .   0  P  0 S 0 . Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09).   <0  P0 S 0 .  0  t1  t 2   t 2  3 t1  t 2  9 t1   S  t1  t 2  P  t .t 1 2 . 4 nghiệm CSC . Giải hệ pt :. 1 . Tìm đk của t bằng BBT : t  2 x 1 . Tìm đk của t bằng BBT : t  R. x. b.. ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0. Đặt t = x +. c.. ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = 0. Đặt t = x –. d.. (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d. Đặt : t = x2 + (a + b)x. Tìm đk của t bằng BBT.. e.. (x + a)4 + (x + b)4 = c. Đặt :. 10. Hệ phương trình bậc 1 :. D=. a b a' b'. , Dx =. t x. ab , t  R. 2.  ax  by  c . Tính :   a' x  b' y  c'. c b c' b'. , Dy =. a c a' c'. D  0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D. D = 0, Dx  0  Dy  0 : VN D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết). 11. Hệ phương trình đối xứng loại 1 : Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đạt S = x + y, P = xy. ĐK : S2 – 4P  0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P  0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y. (, ) là nghiệm thì (, ) cũng là nghiệm; nghiệm duy nhất =m=? Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không. 12. Hệ phương trình đối xứng loại 2 : Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0. Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1. 13. Hệ phương trình đẳng cấp :.  ax 2  bxy  cy 2  d  2 2  a' x  b' xy  c' y  d'. Xét y = 0. Xét y  0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. Có thể xét x = 0, xét x  0, đặt y = tx. 14. Bất phương trình, bất đẳng thức : * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của. , .. , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng. khác cần lập bảng xét dấu. Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B rồi AB. * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự. * Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm. * Bất đẳng thức Côsi : a, b  0 :. ab  ab 2. Dấu = xảy ra chỉ khi a = b.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> a, b, c  0 :. Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09). abc 3  abc 3. Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c. * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2  (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d 15. Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m. Số nghiệm bằng số điểm chung. Nếu có điều kiện của x  I, lập BBT của f với x  I. 16. Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x  I : Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x  I. f(x)  m : (C) dưới (d) (hay cắt) f(x)  m : (C) trên (d) (hay cắt) III- LƯỢNG GIÁC + 1.. Đường tròn lượng giác : Trên đường tròn lượng giác, góc  đồng nhất với cung AM, đồng nhất với điểm M. Ngược lại, 1 điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2. Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội của.  1 ( 6 3. cung phần. 2. 2. 0. 2. 0. 2 M.  1 tư) và ( cung phần tư) 4 2 2 k x=+ :  là 1 góc đại diện, n : số điểm cách đều trên đường tròn lượng giác. tg n.  A 0 x+k2 . sin. 2. 3.. Hàm số lượng giác :. M. cos Cung liên kết : * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu  (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tgchiếu cotg hiệu ). xuyên chiếu  * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu. 4.. cotg. M.  2. (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu).. Công thức : a. Cơ bản : đổi hàm, không đổi góc. b. Cộng : đổi góc a  b, ra a, b. c. Nhân đôi : đổi góc 2a ra a. d. Nhân ba : đổi góc 3a ra a. e. Hạ bậc : đổi bậc 2 ra bậc 1. Công thức đổi bậc 3 ra bậc 1 suy từ công thức nhân ba. f. Đưa về. t  tg. a 2. : đưa lượng giác về đại số.. g. Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a  b) / 2. h. Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a  b. 5.. Phương trình cơ bản : sin = 0 cos = – 1 hay cos = 1  = k,. sin = 1   =.  + k2; sin = 2. –1   = –. cos = 0  sin = –1 hay sin = 1   =. 6..  + k2, 2.  + k, 2. cos = 1   = k2, cos = – 1   =  + k2 sinu = sinv  u = v + k2  u =  – v + k2 cosu = cosv  u =  v + k2 tgu = tgv  u = v + k cotgu = cotgv  u = v + k Phương trình bậc 1 theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2  c2 * Chia 2 vế cho. a2  b 2. , dùng công thức cộng đưa về phương trình cơ bản. Lop12.net. tâm.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) (cách khác : đưa về phương trình bậc 2 theo 7..  t2  1  2 sin  u   ,  2  t  2,sin u.cos u  4 2 . Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu : Đặt :. 9.. u ) 2. Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa các nhóm đối xứng về sin + cos và sin.cos. Đặt : t = sinu + cosu =. 8.. t  tg.  t 2 1  t  sin u  cos u  2 sin  u   , 0  t  2 ,sin u.cos u  4 2 . Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : Đặt :.  1  t2  t  sin u  cos u  2 sin  u   ,  2  t  2,sin u.cos u  4 2 . 10. Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : Đặt :.  1 t  t  sin u  cos u  2 sin  u   , 0  t  2 ,sin u.cos u  4 2 . 11. Phương trình toàn phương (bậc 2 và bậc 0 theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu  0, chia 2 vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = 1 + tg2u, đưa về phương trình bậc 2 theo t = tgu. 12. Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc 3 và bậc 1 theo sinu và cosu : chia 2 vế cho cos3u. * Bậc 1 và bậc – 1 : chia 2 vế cho cosu. 13. Giải phương trình bằng cách đổi biến : Nếu không đưa được phương trình về dạng tích, thử đặt : * t = cosx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi – x. * t = sinx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi  – x. * t = tgx : nếu phương trình không đổi khi thay x bởi  + x. * t = cos2x : nếu cả 3 cách trên đều đúng * t = tg. x 2. : nếu cả 3 cách trên đều không đúng.. 14. Phương trình đặc biệt : *. *. *. u0 u2  v2  0   v 0 uv uC  uC  vC vC . uA uA   v B uv  AB v  B .  sin u  1  sin u  1     cos v  1  cos v  1  sin u  1  sin u  1   sinu.cosv = – 1    cos v  1  cos v  1. * sinu.cosv = 1 . *. Tương tự cho : sinu.sinv =  1, cosu.cosv =  1. 15. Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg a. Dạng 1 :.  F(x)  F(y)  m (1)  (2) xy  n. . Dùng công thức đổi + thành nhân,. thế (2) vào (1) đưa về hệ phương trình :. xy a  xy  b. Lop12.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> b. Dạng 2 :. Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09).  F(x).F(y)  m  xyn. . Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân thành +..  F(x) / F(y)  m .  xyn a c ac ac    Dùng tỉ lệ thức : b d bd bd. c. Dạng 3 :. biến đổi phương trình (1) rồi dùng. công thức đổi + thành x. d. Dạng khác : tìm cách phối hợp 2 phương trình, đưa về các pt cơ bản. 16. Toán  : * Luôn có sẵn 1 pt theo A, B, C : A + B + C =  * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2. * A, B, C  (0, ) ; A/2, B/2, C/2  (0, /2) A + B  (0, ) ; (A + B)/2  (0, /2) ; A – B  (– , ) , (A – B)/2  (– /2, /2) Dùng các tính chất này để chọn k. * Đổi cạnh ra góc (đôi khi đổi góc ra cạnh) : dùng định lý hàm sin : a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA *. *. *. 1 1 abc S  ah a  ab sin C   pr 2 2 4R  p( p  a)( p  b)( p  c) 1 2 b 2  2 c2  a 2 Trung tuyến : m a  2 A 2 bc cos 2 Phân giác : ℓa = bc. IV- TÍCH PHÂN 1.. Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là 1 nguyên hàm của f  f là đạo hàm của F. Họ tất cả các nguyên hàm của f :.  f (x)dx = F(x) + C. *. u1  du  u  C ;  u du    1  C ,   – 1 du u u u u  u  ln u  C;  e du  e  C;  a du  a / ln a  C  sin udu   cos u  C ;  cos udu  sin u  C .  du / sin. 2. u   cot gu  C. b. *. (C  R).  f(x)dx  F(x). b a.  du / cos. ;. 2.  F(b)  F(a). a. *. a. a. b.  0 ;    a. a. b. c. b. c. a. b. ,   a. b. b. b. b. b. a. a. a. a. a.  (f  g)   f   g ;  kf  k  f 2.. Tích phân từng phần :.  udv  uv   vdu Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.. Lop12.net. u  tgu  C.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) a. b. c..  x e ,  x sin x ;  x cos x : u  x n  x ln x : u  ln x x x x x  e sin x ,  e cos x : u  e hay dv  e dx n x. n. n. n. từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ 3. a.. b.. c.. d.. Các dạng thường gặp : :  sin x. cos x m 2 n 1 :  cos x.sin x 2m 2n :  sin x. cos x 2m 2n :  tg x / cos x 2m 2n  cot g x / sin x : :  chứa a – u :  chứa u – a :  chứa a + u  R(sin x, cos x) , R : hàm hữu tỷ m. 2 n 1. u = tgx (n  0) u = cotgx u = asint. 2. 2. u = a/cost. 2. 2. u = atgt. u  tg. : thử đặt u . 0 . hạ bậc về bậc 1. 2. R đơn giản :. . u = cosx.. 2. R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx). / 2. u = sinx.. x 2. (n  0). : u = cosx : u = sinx : u = tgx  u = cotgx.  x 2.  : thử đặt u    x 0. e. f. g. h.. x. m. x. m. (a  bx n )p / q , (m  1) / n  Z : u q  a  bx n. m 1 p   Z : u q x n  a  bx n n q 1 2  dx /[(hx  k) ax  bx  c : hx  k  u  R(x, (ax  b) /(cx  d) , R là hàm hữu tỷ : u  (ax  b) /(cx  d) (a  bx n )p / q ,. i.. . 4.. Tích phân hàm số hữu tỷ :. chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk..  P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q * *. Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c ( < 0) Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :. xa. A A A2 An , (x  a)n  1   ...  2 xa x  a (x  a) (x  a)n Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09). A(2ax  b) B dx   ax 2  bx  c(  0)  2  2 (  0)   du /( u2  a2 ) : ñaët u  atgt   2 ax  bx  c ax  bx  c  ax  bx  c  5.. Tính diện tích hình phẳng :. a.. D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) :. b.. f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác. D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x). b. SD   f (x) dx a. b. (C') : y = g(x) :. SD   f (x)  g(x) dx a. c.. Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/. D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0. f(x). b. SD   f(x)  g(x) dx. /. a. g(x) x=a. x=b. g(y). y=b. b. SD   f(y)  g(y) dy. /. f(y) y=a. a. Với trường hợp ) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy. Với trường hợp ) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy. Chọn tính  theo dx hay dy để  dễ tính toán hay D ít bị chia cắt. Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm. Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm. .. .. . Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn. y  ...  6. a.. : treân, y  ... . : dưới, x  ... . : phaûi, x  ... . Tính thể tích vật thể tròn xoay : D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :. : traùi. . f(x). b. V    f (x)2 dx. a. b. a. b. b.. V    f (y) 2 dy. b a. f(y) f(x). a. b. c.. g(x). V    [f 2 (x)  g2 (x)]dx b. d.. V    [f 2 (y)  g2 (y)]dy a. b. a. a. b g(y). f(y). a f(x) a Lop12.net. f(x). -g(x). b a. c. b. hay. .

<span class='text_page_counter'>(12)</span> c. b. a. c. Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09). V    f 2 (x)dx    g2 (x)dx. e.. c. b. b. V    g (y)dy    f 2 (y)dy. f.. 2. a. f(y). c. c. -g(y). a Chú ý : xoay quanh (Ox) :  ...dx ; xoay quanh (Oy) :  ... dy. V- KHẢO SÁT HÀM SỐ. 1. a.. b. c.. 0 , dạng 1  : 0 P(x) (x  a)P1 (x) P Phân thức hữu tỷ : lim (daïng 0 / 0)  lim  lim 1 x a Q ( x ) xa (x  a)Q1 (x ) xa Q1 f (x) sin u Hàm lg : lim (dạng 0 / 0), dùng công thức lim 1 xa g(x ) u 0 u f (x) Hàm chứa căn : lim (daïng 0 / 0) , dùng lượng liên hiệp : xa g(x ) Tìm lim dạng. , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá 3. a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá d.. Hàm chứa mũ hay log (dạng 1) : dùng công thức. 2.. Đạo hàm :. a.. Tìm đạo hàm bằng định nghĩa :. lim (1  u)1/ u  e. u 0. f (x)  f (x o ) xxo x  xo. f ' (x 0 )  lim. Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm từng phía :. f/ (x o )  lim , f/ (x o )  lim . xxo. b.. xxo. /. /. Nếu f (x o )  f (x o ) thì f có đạo hàm tại xo.. Ý nghĩa hình học : k = tg = f/(xM). c.. d.. + : f f// + : f lõm f/. –:f f// – : f lồi. f/. , ,. f đạt CĐ tại M .  f / (x M )  0  //  f (x M )  0. f đạt CT tại M .  f / (x M )  0  //  f (x M )  0.  f(x). M. M là điểm uốn của f  f//(xM) = 0 và f// đổi dấu khi qua xM. e.. Tính đạo hàm bằng công thức : C/ = 0, (x)/ = x–1 , (lnx)/ = 1/x ,.  loga x  . 1 , (ex)/ = ex x ln a. (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u v)/ = u/  v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] . f/(x) * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : cơ số e) 2 vế , rồi đạo hàm 2 vế; áp dụng với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, f. 3.. thương, chứa n. .... Vi phân : du = Tiệm cận :. u/dx. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09). lim y  . x a. : tcđ. x=a x. lim y  b. x . a. . y. . . y = b : tcn.  . x y. lim [y  (ax  b)]  0. x . *. *. b. b. x.  y = ax + b : tcx. . . . y. . Vẽ đồ thị có tiệm cận : - t c đ : khi y càng tiến về   thì đường cong càng gần đường t c . - t c x :khi x và y càng tiến về   thì đường cong càng gần đường t c. - t c n :khi x càng tiến về   thì đường cong càng gần đường t c. Xét. y. P(x) Q( x ).  Có tcđ x = a khi Q(a) = 0, P(a)  0  Có tcn khi bậc P  bậc Q : với x  , tìm lim y bằng cách lấy số hạng bậc cao nhất của P chia số hạng bậc cao nhất của Q.  Có tcx khi P hơn Q 1 bậc, khi đó chia đa thức ta có :. *. f (x)  ax  b . P1 (x) , tcx là y = ax + b. Nếu Q = Q( x ). x – , có thể chia Honer. Biện luận tiệm cận hàm bậc 2 / bậc 1 :. y  ax  b . c dx  e. (d0).  a  0, c  0 : có tcđ, tcx  a = 0, c  0 : có tcn, tcđ.  c = 0 : (H) suy biến thành đt, không có tc. 4. Đồ thị các hàm thường gặp : a/ y = ax + b : a> b/ y = ax2 + bx + c 3 2 c/ y = ax + bx + c + d. a<0. 0 a>0. a=0. a<0. a> 0 :.  y > 0. a<0:.  y = 0.  y < 0. d/ y = ax4 + bx2 + c a>0 a<0. ab < 0. ab > 0. e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c  0). ad - bc > 0. f/ y =. ax 2  bx  c dx  e. ad > 0. ad - bc < 0. (ad  0).  y > 0 Lop12.net.  y = 0.  y < 0.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) ad < 0. x=a 5. ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) g(x) = – f(x) : đx qua (Ox). a x>a. x<a. b. y>b y=b y<b. (C/) : y =. f (x). (C/) : y =. f ( x ) : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = 0 đối xứng qua (Oy).. : giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên dưới y = 0 đối xứng qua (Ox).. 6. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m) a/ Điểm cố định : M(xo, yo)  (Cm), m  yo = f(xo, m), m  Am + B = 0, m (hay Am2 + Bm + C = 0, m) . A  0  B 0. (hay. A  0   B  0 ). Giải hệ, được M. C  0 . b/ Điểm (Cm) không đi qua, m : M(xo, yo)  (Cm), m  yo  f(xo,m), m  yo = f(xo, m) VN m  Am + B = 0 VN m (hay Am2 + Bm + C = 0 VN m) . Chú ý :. A C B. VN  B = 0 . A  0  B 0. B  0  A  BC VN. (hay. A  0 A  0  ). Giải hệ , được M. B 0     0  C  0 . c/ Điểm có n đường cong của họ (Cm) đi qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo)  yo = f(xo, m) có n nghiệm m. Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm của các loại phương trình : bậc 2, bậc 2 có điều kiện x  , bậc 3, trùng phương. 7. TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : a.. b.. (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) khi hệ phương trình sau có nghiệm :. . Nghiệm x của hệ là hoành. độ tiếp điểm. Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo. * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo. Dùng điều kiện tx tìm k. Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc 3 hay bậc 2 / bậc 1 thì số nghiệm x trong hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến). * // () : y = ax + b : (d) // ()  (d) : y = ax + m. Tìm m nhờ đk tx. *  () : y = ax + b (a  0) : (d)  ()  (d) : y =. c.. y C  y C /  / / y C  y C /. . 1 x + m. Tìm m nhờ đk tx. a. Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M  (C/) : g(x, y) = 0 sao cho từ M kẻ được đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ...), M(xo,yo)  (C/)  g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – xo) + yo; (d) tx (C) :. y C  y d  / y C  k. (1). Thế k vào. (1) được phương trình ẩn x, tham số xo hay yo. Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm được xo hay yo. 8. TƯƠNG GIAO : * Phương trình hđ điểm chung của (C) : y = f(x) và (C/) : y = g(x) là : f(x) = g(x). Số nghiệm pt = số điểm chung. * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm. Nếu pt hoành độ điểm chung tách được m sang 1 vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung. * Biện luận sự tương giao của (Cm) và (C/m) :. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09)  Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT của F; số điểm chung của (Cm) và (C/m) = số điểm chung của (C) và (d).  PThđ điểm chung, không tách được m, dạng f(x) = ax2 + bx + c = 0 (x  ) hay dạng bậc 3 : x =   f(x) = 0 : lập , xét dấu , giải pt f(x) = 0 để biết m nào thì  là nghiệm của f, với m đó, số nghiệm bị bớt đi 1. 9. CỰC TRỊ : * f có đúng n cực trị  f/ đổi dấu n lần..  f / (x o )  0  //  f (x o )  0  f / (x o )  0 f đạt cực tiểu tại xo   //  f (x o )  0. * f đạt cực đại tại xo . * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị  f có CĐ và CT . f/. >0. * f bậc 3 (hay bậc 2 / bậc 1) có cực trị :  Bên phải (d) : x =   y/ = 0 có 2 nghiệm  < x1 < x2.  Bên trái (d) : x =   y/ = 0 có 2 nghiệm x1 < x2 <  .  1 bên (Ox) .  2 bên (Ox) .   f /  0   yCD .yCT  0   f /  0   yCD .yCT  0. * Với hàm bậc 2 / bậc 1, các điều kiện yCĐ.yCT < 0 (>0) có thể thay bởi y = 0 VN (có 2 nghiệm.). * Tính yCĐ.yCT :  Hàm bậc 3 : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = 0.  Hàm bậc 2/ bậc 1 :. u v / u (x CÑ ).u / (x CT ) , dùng Viète với pt y/ = 0. / / v (x CÑ ).v (x CT ). y. yCĐ.yCT =. * Đường thẳng qua CĐ, CT :  Hàm bậc 3 : y = Cx + D  Hàm bậc 2 / bậc 1 : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị  ab  0, 3 cực trị  ab < 0 10. ĐƠN ĐIỆU : a. Biện luận sự biến thiên của hàm bậc 3 : i) a > 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < 0 và y’ = 0 vô nghiệm  hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii) a > 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2  hàm số đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2. Ngoài ra ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn. + hàm số tăng trên (, x1) + hàm số tăng trên (x2, +) + hàm số giảm trên (x1, x2) iv) a < 0 và y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2  hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn). Ta cũng có : + hàm số giảm trên (, x1) + hàm số giảm trên (x2, +) + hàm số tăng trên (x1, x2) b.. Biện luận sự biến thiên của y =. baäc 2 baäc1. i) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên từng khỏang xác định. ii) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên từng khỏang xác định.. Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) iii) Nếu a.m > 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực đại tại x1 và đạt cực tiểu tại x2 thỏa x1 < x2 và. x1  x2 p  . 2 m. iv) Nếu a.m < 0 và y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực tiểu tại x1 và đạt cực đại tại x2 thỏa x1 < x2 và. x1  x2 p  . 2 m. Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc 1 đồng biến (nghịch biến) trên miền x  I : đặt đk để I nằm trong miền đồng biến (nghịch biến) của các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc 2 y/ = 0 với . 11. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : a. Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang 1 vế : f(x) = m; lập BBT của f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị của f), số nghiệm = số điểm chung. c.. b.. Với pt mũ, log,. , .. , lượng giác : đổi biến; cần biết mỗi biến mới t được mấy biến cũ x; cần biết đk của t để. cắt bớt đồ thị f. 12. QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : Dựa vào tính chất điểm M, tìm 2 đẳng thức chứa xo, yo, m; khử m, được F(xo, yo) = 0; suy ra M  (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn tại  m ?  xo ? (hay yo ?)  Nếu xo = a thì M  (d) : x = a.  Nếu yo = b thì M  (d) : y = b. 13. TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : a. CM hàm bậc 3 có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc 1 có tâm đx (gđ 2 tc) tại I : đổi tọa độ : x = X + xI, y = Y + yI; thế vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy ra F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I. b. CM hàm bậc 4 có trục đx // (Oy) : giải pt y/ = 0; nếu x = a là nghiệm duy nhất hay là nghiệm chính giữa của 3 nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; thế vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy ra F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a. c. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ 4 pt 4 ẩn :.  x M  x N  2x I  y  y  2y  M N I   y M  f(x M )  y N  f(x N ). d.. Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt  (d) là. (d') : y = –. 1 x + m; lập pt hđ điểm chung của (C) và (d'); giả sử pt có 2 nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I của a. AB theo m; A, B đối xứng qua (d)  I  (d)  m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy ra yA, yB. 14. Tìm điểm M  (C) : y = ax + b +. c   y M  ax M  b  dx M  e   x M , y M  Z . . c dx  e. có tọa độ nguyên (a, b, c, d, e  Z) : giải hệ. c   y M  ax M  b  dx  e M  c  xM , Z  dx M  e. c   y M  ax M  b  dx M  e   x M  Z, dx M  e  ước số của c. 15. Tìm min, max của hàm số y = f(x) Lập BBT, suy ra miền giá trị và min, max. 16. Giải bất phương trình bằng đồ thị :. xa bx  xa fgaxb,fg  xb. f. f < g  a < x < b, f > g . g a Lop12.net. b.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1.. Tọa độ , vectơ : * (a,b)  (a/, b/) = (a  a/, b  b/) k(a, b) = (ka, kb) (a, b) = (a/, b/) .  a  a/  / bb. (a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/. (a, b)  a2  b2.  v.v /  / cos( v ,v )    / v .v. AB  (x B  x A , y B  y A ), AB  AB. MA  k MB x  kx B y  ky B , yM  A  xM  A (k  1) 1 k 1 k x  xB y  yB , yM  A M : trung điểm AB  x M  A 2 2 x A  x B  xC  x M  3 M : trọng tâm ABC   y A  y B  yC y M  3  M chia AB theo tỉ số k . (tương tự cho vectơ 3 chiều). * Vectơ 3 chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp : /. v  (a, b, c), v  (a' , b' , c' ) b c c a a b    v, v /   / / , / / , / /  b c c a a b .  .       [ v ,v / ]  v . v / .sin( v ,v / ). *.     [v, v / ]  v, v /           v  v /  v.v / = 0 ; v // v /  [ v ,v / ] = 0 ; v, v / , v //   /  //  [v, v ].v  0 1 S ABC  AB, AC  2 1 VS.ABC  AB, AC .AS 6. . . . . VABCD.A 'B'C'D'  [AB, AD].AA . /. . A, B, C thẳng hàng  AB // AC *  trong mp : H là trực tâm .  AH.BC  0   BH.AC  0. H là chân đường cao ha .  AH.BC  0   BH // BC. M là chân phân giác trong. A. . . MB  . AB MC AC. Lop12.net. đồng phẳng.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09). . M là chân phân giác ngòai. A. . MB  . AB MC AC. I là tâm đường tròn ngoại tiếp  IA = IB = IC.. . 2.. I là tâm đường tròn nội tiếp  I là chân phân giác trong của ABC. Đường thẳng trong mp :. v. * Xác định bởi 1 điểm M(xo,yo) và 1vtcp (d) :. B. . của ABM với M là chân phân giác trong. = (a,b) hay 1 pháp vectơ (A,B) :. x  x o  at x  xo y  yo , (d ) :   y  y  bt a b o . (d) : A(x – xo) + B(y – yo) = 0. x y  1 a b x  xA y  yA  xB  xA yB  yA. * (d) qua A(a, 0); B(0,b) : * (AB) :. * (d) : Ax + By + C = 0 có. v  ( B, A ) ; n  (A, B). * (d) // () : Ax + By + C = 0  (d) : Ax + By + * (d)  ()  (d) : – Bx + Ay + C/ = 0 * (d), (d/) tạo góc nhọn  thì :.   nd .nd / cos =   nd . nd /. * d(M,(d)) =. C. =0.  .   cos( n ,n ) d. d/. Ax M  By M  C A 2  B2. * Phân giác của (d) : Ax + By + C = 0 và (d/) : A/x + B/y + C/ = 0 là :. Ax  By  C A 2  B2. . A / x  B/ y  C/ A / 2  B/ 2. n d .n. d/. > 0 : phân giác góc tù + , nhọn –. n d .n. d/. < 0 : phân giác góc tù – , nhọn +. * Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm. 3. Mặt phẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M(xo, yo, zo) và 1 pháp vectơ :. n. = (A, B, C) hay 2 vtcp. v , v' .. (P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = 0. n. =[. v , v' ]. (P) : Ax + By + Cz + D = 0 có. n. = (A, B, C).. (P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c)  (P) : x/a + y/b + z/c = 1 * Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = 0 d(M,(P)) =. Ax o  By o  Cz o  D A 2  B2  C2. * (P) , (P/) tạo góc nhọn  thì : cos  = * (P)  (P/) . cos(n( P ) , n( P ') ). n( P )  n( P ') , (P) // (P/)  n( P ) // n( P '). 4. Đường thẳng trong không gian : * Xác định bởi 1 điểm M (xo, yo, zo) và 1 vtcp. v. = (a, b, c) hay 2 pháp vectơ :. Lop12.net. n , n'. :. A.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09). (d) :.  x  x o  at x  xo y  yo z  zo     y  y o  bt , (d ) : a b c  z  z  ct o  v  [ n , n' ]. x  xA y  yA z  zA   xB  x A y B  y A z B  z A  Ax  By  Cz  D  0 * (d) = (P)  (P/) :   A' x  B' y  C' z  D'  0 * (AB) :. * (d) qua A, vtcp. v. thì :. [AM, v ] d(M,(d)) =. v. *  là góc nhọn giữa (d), (d/) thì :. cos( vd , v / ). cos =. d. *  là góc nhọn giữa (d), (P) thì : sin =. cos( vd , n p ). v , (P) có pvt n. * (d) qua M, vtcp. v.n. (d) cắt (P) . :. 0. (d) // (P) . v.n. = 0 và M  (P). (d)  (P) . v.n. = 0 và M  (P). v. ; (d /) qua B, vtcp. * (d) qua A, vtcp (d) cắt (d/)  [ (d) // (d/)  [. :. v , v' ]  0 , [ v , v' ] AB. v , v' ] = 0. (d) chéo (d/)  [ (d)  (d/)  [. v'. =0. , A  (d/). v , v' ]  0 , [ v , v' ] AB. v , v' ] = 0. 0. , A  (d/). [ v , v' ] AB * (d) chéo (d/) : d(d, d/) =. [ v , v' ]. * (d) chéo (d/) , tìm đường  chung () : tìm. n  [ v , v' ] ; tìm (P) chứa (d), // n. ; () = (P)  * (d)  (P), cắt (d/)  (d) nằm trong mp  (P), chứa (d/). * (d) qua A, // (P)  (d) nằm trong mp chứa A, // (P). * (d) qua A, cắt (d/)  (d) nằm trong mp chứa A, chứa (d/). * (d) cắt (d/), // (d//)  (d) nằm trong mp chứa (d/), // (d//). * (d) qua A,  (d/)  (d) nằm trong mp chứa A,  (d/). * Tìm hc H của M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M,  (d), H = (d)  (P). * Tìm hc H của M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M,  (P) : H = (d)  (P). * Tìm hc vuông góc của (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d),  (P); (d/) = (P)  (Q) * Tìm hc song song của (d) theo phương () xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d) // (); (d/) = (P)  (Q). 5. Đường tròn : * Đường tròn (C) xác định bởi tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (P/).. * (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 có tâm I(–A,–B), bk R = Lop12.net. A 2  B2  C. ; tìm (P/) chứa (d/), //. n.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Phạm Thuỳ Linh – 12A10- THPT KT(06 – 09) * (d) tx (C)  d(I, (d)) = R, cắt  < R, không cắt  > R. * Tiếp tuyến với (C) tại M(xo,yo) : phân đôi t/độ trong (C) : (xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = 0 * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 thì PM/(C) = F(xM, yM) = MA.MB = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M  (C)  PM/(C) = 0 , M trong (C)  PM/(C) < 0, ngoài  > 0. * Trục đẳng phương của (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = 0 * (C), (C/) ngoài nhau  II/ > R + R/ : (có 4 tiếp tuyến chung); tx ngoài  = R + R/ (3 tiếp tuyến chung); cắt  <. R  R/ R  R/. < II/ < R + R/ (2 tt chung); tx trong  =. R  R/. (1 tt chung là trục đẳng phương) chứa nhau . (không có tt chung).. 6. Mặt cầu : * Mc (S) xđ bởi tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a)2 + (y – b2) + (z – c)2 = R2. * (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 có tâm I(–A,–B,–C), bk R =. A 2  B2  C2  D * (P) tx (S)  d(I,(P)) = R, cắt  < R, không cắt  > R. * Pt tiếp diện với (S) tại M : phân đôi tđộ (S). * Cho (S) : F(x, y, z) = 0. PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = 0  M  (S), < 0  M trong (S), > 0  M ngoài (S). * Mặt đẳng phương của (S) và (S/) : 2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = 0 * Tương giao giữa (S), (S/) : như (C), (C/). * Khi (S), (S/) tx trong thì tiết diện chung là mặt đẳng phương. * Khi (S), (S/) cắt nhau thì mp qua giao tuyến là mặt đẳng phương. 7. Elip : * cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c > 0 M  (E)  MF1 + MF2 = 2a. * (E) :. x2 y2  a2 b 2. = 1 (a > b > 0) : tiêu điểm : F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh A1(–a,0); A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiêu. cự : F1F2 = 2c, trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x =  a/e; bk qua tiêu : MF1 = a + exM, MF2 = a – exM; tt với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E), (E) tx (d) : Ax + By + C = 0  a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2. * (E) :. x2 y2   1 (a > b > 0) : không chính tắc; tiêu điểm : F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh A1(0,–a), A2(0,a), B1(– b 2 a2. b,0), B2(b,0), tiêu cự : F1F2 = 2c; trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y =  a/e; bán kính qua tiêu MF1 = a + eyM, MF2 = a – eyM; tiếp tuyến với (E) tại M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp xúc (d) : Ax + By + C = 0  a2B2 + b2 A2 = C2; a2 = b2 + c2 (Chú ý : tất cả các kết quả của trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc trên bằng cách thay x bởi y, y bởi x). 8. Hypebol : * Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho 0 < a < c. M  (H) . MF1  MF2 (H) :. = 2a. x2 y2  a2 b2. = 1 (pt chính tắc). tiêu điểm F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh tr.thực A1(–a,0), A2(a,0); đỉnh trục ảo B1(0,–b), B2(0,b); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B2 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x =  a/e; bán kính qua tiêu : M  nhánh phải MF1 = exM + a , MF2 = exM – a , M  nhánh trái MF1 = – exM – a, MF2 = –exM + a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H); (H) tx (d) : Ax + By + C = 0  a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tiệm cận y =  hình chữ nhật cơ sở : x =  a, y =  b; c2 = a2 + b2. (H) :. y2 x2   1 (pt không chính tắc) a2 b2. b x a. tiêu điểm F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh trục thực A1(0,–a), A2(0,a); đỉnh trục ảo B1(–b,0), B2(b,0); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B1 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : y =  a/e; bán kính qua tiêu : M  nhánh trên MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M  nhánh dưới MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM + a; tiếp tuyến với (H) tại M : phân đôi tọa độ (H); Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>