Một số đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn Toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường THPT Phan Châu Trinh ĐÀ NẴNG Đề số 13 I. PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y =. ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Môn thi: TOÁN – Khối D Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề). x-3 . x +1. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I ( -1;1) và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của đoạn MN. Câu II (2 điểm):. cos 3x + sin 2 x = 3 ( sin 3 x + cos 2 x ) ìï3 x 3 - y 3 = 4 xy í 2 2 ïî x y = 9. 1) Giải phương trình:. (. 2) Giải hệ phương trình:. ). (. ). Câu III (1 điểm): Tìm các giá trị của tham số m để phương trình: ( m - 2 ) 1 + x 2 + 1 = x 2 - m có nghiệm. Câu IV (1 điểm): Cho lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C ' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC). a . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' . 2 1 a2 b2 c2 Câu V (1 điểm): Chứng minh + + + ( ab + bc + ca ) ³ a + b + c với mọi số dương a; b; c . a+b b+c c+a 2 bằng. II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 1. Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): 1) Giải bất phương trình: 1 + log 2 x + log 2 ( x + 2 ) > log 2) Tính:. 2. (6 - x). ò ln x dx 2. Câu VII.a (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy). Lập phương trình đường thẳng qua M ( 2;1) và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4 . 2. Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 2 2 ïì y + x = x + y 1) Giải hệ phương trình : í x y +1 ïî2 = 3 cos 2 x - 1 2) Tìm nguyên hàm của hàm số f ( x ) = . cos 2 x + 1. æ è. 1ö 2ø. Câu VII.b (1 điểm): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ (Oxy) , cho điểm M ç 3; ÷ . Viết phương trình chính tắc của elip. (. ). đi qua điểm M và nhận F1 - 3; 0 làm tiêu điểm. ============================. Trần Sĩ Tùng Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Hướng dẫn: I. PHẦN CHUNG Câu I: 2) Gọi d là đường thẳng qua I và có hệ số góc k Þ PT d : y = k ( x + 1) + 1 .. x-3 = kx + k + 1 có 2 nghiệm phân biệt khác -1 . x +1 ìk ¹ 0 ï 2 Hay: f ( x ) = kx + 2kx + k + 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác -1 Û íD = -4k > 0 Û k < 0 ï f -1 = 4 ¹ 0 î ( ) Ta có: d cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt M, N Û PT :. Mặt khác: xM + xN = -2 = 2 xI Û I là trung điểm MN với "k < 0 . Kết luận: PT đường thẳng cần tìm là y = kx + k + 1 với k < 0 . Câu II: 1) PT Û cos 3x - 3 sin 3 x = 3 cos 2 x + sin 2 x Û. 1 3 3 1 cos 3x sin 3 x = cos 2 x + sin 2 x 2 2 2 2. p é x = - + k 2p ê pö pö æ æ 6 Û cos ç 3 x + ÷ = cos ç 2 x - ÷ Û ê 3ø 6ø è è ê x = - p + k 2p êë 10 5 2 2 2) Ta có : x y = 9 Û xy = ±3 . 3. (. · Khi: xy = 3 , ta có: x3 - y 3 = 4 và x . - y. (. ). 3. ) = -27. Suy ra: x3 ; - y 3 là các nghiệm của phương trình: X 2 - 4 X - 27 = 0 Û X = 2 ± 31 Vậy nghiệm của Hệ PT là x = 3 2 + 31, y = - 3 2 - 31 hoặc x = 3 2 - 31, y = - 3 2 + 31 .. (. ). 3 3 · Khi: xy = -3 , ta có: x3 - y 3 = -4 và x . - y = 27. ( ). Suy ra: x3 ; - y 3 là nghiệm của phương trình: X 2 + 4 X + 27 = 0 Câu III: Đặt t =. ( PTVN ). x 2 + 1 . Điều kiện: t ³ 1 . PT trở thành: ( m - 2 )( t + 1) = t 2 - m - 1 Û m = t +. Xét hàm số: f ( t ) = t +. 1 t+2. ( t ³ 1). t 2 + 4t + 3 1 1 = Þ f '(t ) = 1 2 2 t+2 (t + 2) (t + 2). 4 é t = -1 (loại ) f ¢(t ) = 0 Û ê . Dựa vào BBT, ta kết luận m ³ . 3 ë t = -3 (loại ) ì BC ^ AM Câu IV: Gọi M là trung điểm BC, hạ AH vuông góc với A¢M. Ta có: í Þ BC ^ ( AA ' M ) Þ BC ^ AH . î BC ^ AA ' a Mà AH ^ A ' M Þ AH ^ ( A ' BC ) Þ AH = . 2 1 1 1 a 6 = + Þ AA ' = . Mặt khác: 2 2 2 4 AH A' A AM 3a 3 2 Kết luận: VABC . A ' B ' C ' = . 16 a2 ab ab 1 Câu V: Ta có: =a³a=aab (1) a +b a+b 2 2 ab b2 1 c2 1 ³bbc (2), ³cca (3). b+c 2 c+a 2 a2 b2 c2 1 Cộng (1), (2), (3), ta có: + + + ab + bc + ca ³ a + b + c a +b b+c c+a 2 Tương tự:. (. II. PHẦN TỰ CHỌN 1. Theo chương trình chuẩn. Trần Sĩ Tùng Lop12.net. ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Câu VI.a: 1) Điều kiện: 0 < x < 6 .. (. ). BPT Û log 2 2 x 2 + 4 x > log 2 ( 6 - x ) Û 2 x 2 + 4 x > ( 6 - x ) Û x 2 + 16 x - 36 > 0 Û x < -18 hay 2 < x 2. 2. So sánh với điều kiện. Kết luận: Nghiệm của BPT là 2 < x < 6 .. ì 2 ìu = ln x 2 ïdu = dx 2) Đặt í . Suy ra : I = ò ln x 2 dx = x ln x 2 - ò 2dx = x ln x 2 - 2 x + C Þí x îdv = dx ïîv = x x y Câu VII.a: Gọi A ( a;0 ) , B ( 0; b ) là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: d : + = 1 . a b ì2 1 ï + =1 ì2b + a = ab Theo giả thiết, ta có: í a b . Û í ab = 8 î ï ab = 8 î · Khi ab = 8 thì 2b + a = 8 . Nên: b = 2; a = 4 Þ d1 : x + 2 y - 4 = 0 . · Khi ab = -8 thì 2b + a = -8 . Ta có: b 2 + 4b - 4 = 0 Û b = -2 ± 2 2 . + Với b = -2 + 2 2 Þ d 2 : (1 - 2 x ) + 2 (1 + 2 ) y - 4 = 0. + Với b = -2 - 2 2 Þ d3 : (1 + 2 x ) + 2 (1 - 2 ) y + 4 = 0 . 2. Theo chương trình nâng cao 2 2 ïì y + x = x + y Câu VI.b: 1) í x y +1 ïî2 = 3. (1). (*).. (2). éy = x ë y = 1- x. Từ (1) ta có: y 2 + x = x 2 + y Û ( y - x )( y + x - 1 = 0 ) Û ê. ì x = log 2 3. ï ìy = x 3 . · Khi: y = x thì (*) Û í x x +1 Û í î2 = 3 ï y = log 2 3 î. 3. ì x = log 6 9 ìy = 1 - x · Khi: y = 1 - x thì (*) Û í x 2- x Û í î2 = 3 î y = 1 - log 6 9 1 Þ F ( x ) = x - tan x + C cos 2 x x2 y2 Câu VII.b: PTCT elip (E) có dạng: 2 + 2 = 1(a > b > 0) . a b 2 2 ìa - b = 3 ìïa2 = 4 x2 y 2 ï . Vậy (E): + =1 Ta có: í 3 Û í 1 4 1 ïîb2 = 1 ï 2 + 2 =1 î a 4b 2) Ta có: f ( x ) = - tan 2 x = 1 -. =====================. Trần Sĩ Tùng Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>