Chương III: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – THPT Yên Mô B

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. CHÖÔNG III NGUYÊN HAØM, TÍCH PHÂN VAØ ỨNG DỤNG I. NGUYEÂN HAØM 1. Khaùi nieäm nguyeân haøm  Cho haøm soá f xaùc ñònh treân K. Haøm soá F ñgl nguyeân haøm cuûa f treân K neáu: F '( x )  f ( x ) , x  K  Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân K thì hoï nguyeân haøm cuûa f(x) treân K laø:  f ( x )dx  F ( x )  C , C  R.  Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chaát   f '( x )dx  f ( x )  C    f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx   kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k  0) 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp.  dx  x  C. . x  dx . x  1  C   1  1. dx.  x  ln x  C x  0  e dx  e  C x. x. ax  C 0  a  1 ln a cos xdx  sin x  C.    sin xdx   cos x  C. Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản.  kdx  kx  C. 1 ax  b    ax  b dx .  1.  1. a.  du  u  C  C   1. dx 1  ax  b  a ln ax  b  C x  0. e. ax  b. dx . 1 ax b e C a. a x dx .  . 1 dx  tan x  C cos 2 x 1 dx   cot x  C sin 2 x.  tan xdx   ln cos x  c  cot xdx  ln sin x  c. Nguyên hàm của những hàm số hợp. . u  du . u  1  C   1  1. du.  u  ln u  C u  0  e du  e  C u. u. au  C 0  a  1 ln a cos udu  sin u  C.    sin udu   cos u  C a u dx . 1.  cosax  bdx  a sinax  b  C 1.  sinax  bdx   a cosax  b  C  . 1 1 dx  tan ax  b   C 2 a cos ax  b  1 1 dx   cot ax  b   C 2 a sin ax  b . Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. Trang 1 Lop12.net. 1.  cos. 2. u. 1.  sin. 2. u. du  tan u  C du   cot u  C.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. 4. Phöông phaùp tính nguyeân haøm a) Phương pháp đổi biến số Nếu  f (u)du  F (u)  C và u  u( x ) có đạo hàm liên tục thì:.  f u( x ) .u '( x )dx  F u( x )  C. b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì:  udv  uv   vdu. VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân. Baøi 1.. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sau:. a) f ( x )  x 2 –3 x  d) f ( x ) . x. 2. x 2 1. 2. x 1. e) f ( x )  x  3 x  4 x. f) f ( x ) . . h) f ( x )  tan2 x. i) f ( x )  cos2 x. l) f ( x ) . 2. 2x4  3. c) f ( x ) . b) f ( x ) . ( x 2  1)2. g) f ( x )  2sin2 k) f ( x ) . 1 x. x2. cos 2 x. sin x.cos2 x  e x  o) f ( x )  e x  2  2  cos x  . sin x.cos x. n) f ( x )  e x  e x – 1. 2. x2 1. x. 2 3. x. m) f ( x )  2sin 3 x cos 2 x p) f ( x )  e3 x 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) f ( x )  x 3  4 x  5; F (1)  3 b) f ( x )  3  5cos x; F ( )  2. Baøi 2.. 3  5x 2 ; c) f ( x )  x. e) f (x )=. x3  1 x2. ;. g) f ( x )  sin 2 x.cos x; i) f ( x ) . F (e)  1. x2  1 ; d) f ( x )  x. F (2)  0. f) f ( x )  x x .   F '   0 3. h) f ( x ) . x3  3x3  3x  7 ( x  1)2. ;. F (0)  8. Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. F (1) . 1 x. 3x 4  2 x3  5. x2 x k) f ( x )  sin2 ; 2. Trang 2 Lop12.net. ;. 3 2. F (1)  2 ; F (1)  2    F   2 4.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm  f ( x )dx bằng phương pháp đổi biến số.  Daïng 1: Neáu f(x) coù daïng: Khi đó:. f(x) = g  u( x ) .u '( x ) thì ta ñaët t  u( x )  dt  u '( x )dx ..  f ( x )dx =  g(t)dt , trong đó  g(t)dt dễ dàng tìm được.. Chuù yù: Sau khi tính  g(t )dt theo t, ta phaûi thay laïi t = u(x)..  Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa. x  a sin t,. a2  x 2. hoặc. a2  x 2. Baøi 1.. Cách đổi biến. . t. . x  a cos t,. 2 2 0t . x  a tan t,. . x  a cot t,. hoặc. . . t. . 2 2 0t . Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): dx. a)  (5 x  1)dx. b) . d)  (2 x 2  1)7 xdx. e)  ( x 3  5)4 x 2 dx. 2. g)  x  1.xdx k)  sin 4 x cos xdx n) . e x dx. c)  5  2xdx. (3  2 x )5. 3x 2. h) . 5  2 x3 sin x l)  5 dx cos x. dx. 2. x. e 3. d)  g) . (1  x 2 )3. dx 4  x2 x 2 dx 1 x. 2. i) . x (1  x )2. m)  p) . dx. s) . ln3 x. dx. dx x2  5 dx. o)  x.e x 1dx. dx q)  r)  x x e 1 Bài 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2):. a) . x. f) . b) . dx 2 3. (1  x ). e)  x 2 1  x 2 .dx h) . Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. dx 2. x  x 1. Trang 3 Lop12.net. tan xdx cos2 x. e. x. x. dx. etan x cos2 x. dx. c)  1  x 2 .dx f) . dx 1  x2. i)  x 3 x 2  1.dx.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau:.  P( x ).e u dv. x. dx.  P( x ).cos xdx.  P( x ).sin xdx.  P( x ).ln xdx. P(x) cos xdx. P(x) sin xdx. lnx P(x). P(x) x. e dx. Tính caùc nguyeân haøm sau: a)  x.sin xdx b)  x cos xdx. c)  ( x 2  5)sin xdx. d)  ( x 2  2 x  3) cos xdx. e)  x sin 2 xdx. f)  x cos 2 xdx. g)  x.e x dx. h)  x 3e x dx. i)  ln xdx. k)  x ln xdx. l)  ln2 xdx. m)  ln( x 2  1)dx. n)  x tan2 xdx. o)  x 2 cos2 xdx. p)  x 2 cos 2 xdx. q)  x ln(1  x 2 )dx. r)  x.2 x dx. s)  x lg xdx. Baøi 1.. Baøi 2.. 2. Tính caùc nguyeân haøm sau: ln xdx. a)  e x dx. b) . d)  cos x dx. e)  x.sin x dx. f)  sin 3 xdx. h)  sin(ln x )dx. i)  cos(ln x )dx. g) . ln(ln x ) dx x. c)  sin x dx. x. Tính caùc nguyeân haøm sau: a)  e x .cos xdx b)  e x (1  tan x  tan2 x )dx c)  e x .sin 2 xdx. Baøi 3.. d)  g) . ln(cos x ) dx cos2 x. . x ln x  x 2  1 2. x 1. e) . dx. h) . Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. ln(1  x ) x2. f) . x cos2 x. dx 2. x3 1 x. dx. 2. dx. Trang 4 Lop12.net.  ln x  i)    dx  x .

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác định nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x) dễ xác định hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên haøm cuûa f(x). Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác định nguyên hàm của các hàm số f(x)  g(x), tức là:  F ( x )  G( x )  A( x )  C1   F ( x )  G( x )  B( x )  C2. (*) 1 2. Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra F ( x )   A( x )  B( x )  C là nguyên hàm của f(x). Baøi 1.. Tính caùc nguyeân haøm sau: sin x. cos x. dx a)  sin x  cos x. sin x. dx b)  sin x  cos x. sin 4 x. dx c)  sin x  cos x. cos x dx d)  sin x  cos x. e) . g)  2sin2 x.sin 2 xdx. h)  2 cos2 x.sin 2 xdx. k) . e x e x  e x. l) . dx. sin 4 x  cos4 x. ex e x  e x. dx. dx. f) . cos4 x. sin 4 x  cos4 x ex i)  x  x dx e e e x m)  x  x dx e e. dx. VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1. f(x) là hàm hữu tỉ: f ( x ) . P( x ) Q( x ). – Nếu bậc của P(x)  bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất ñònh). 1 A B   ( x  a)( x  b) x  a x  b. Chaúng haïn:. 1 ( x  m)(ax 2  bx  c) 1 ( x  a)2 ( x  b)2. . . A Bx  C  , với   b2  4ac  0 x  m ax 2  bx  c. A B C D    x  a ( x  a)2 x  b ( x  b)2. 2. f(x) laø haøm voâ tæ . + f(x) = R  x, m . ax  b   cx  d .  ñaët t  m. Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. ax  b cx  d. Trang 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 1. .    ( x  a)( x  b) . + f(x) = R  .  ñaët t  x  a  x  b.  f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên haøm cô baûn. Chaúng haïn: +. sin ( x  a)  ( x  b)  sin(a  b)  1 1 ,  sử dụng 1   .  sin(a  b)  sin( x  a).sin( x  b) sin(a  b) sin( x  a).sin( x  b) . +. sin ( x  a)  ( x  b)  sin(a  b)  1 1 ,  sử dụng 1   .  sin(a  b)  cos( x  a).cos( x  b) sin(a  b) cos( x  a).cos( x  b) . +. cos ( x  a)  ( x  b)  cos(a  b)  1 1 ,  sử dụng 1   .  cos(a  b)  sin( x  a).cos( x  b) cos(a  b) sin( x  a).cos( x  b) . + Neáu R( sin x,cos x )   R(sin x,cos x ) thì ñaët t = cosx + Neáu R(sin x,  cos x )   R(sin x,cos x ) thì ñaët t = sinx + Nếu R( sin x,  cos x )   R(sin x,cos x ) thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Baøi 1.. Tính caùc nguyeân haøm sau: dx. dx. a)  x ( x  1). b)  ( x  1)(2 x  3). dx. d) . 2. x  7 x  10 x dx g)  ( x  1)(2 x  1). k)  Baøi 2.. dx. e)  h)  l) . x ( x 2  1). dx. f) . 2. x  6x  9 x 2 x 2  3x  2 dx. c) . dx. 1  x3. i) . x2  1 dx x2  1 dx x2  4 x3. x 2  3x  2 x m)  3 dx x 1. dx. Tính caùc nguyeân haøm sau:. a) . 1. dx. b) . dx. e) . 1 x 1 1. d) . x4 x 3. k)  3. x x 2. 4. x  x 2 x dx. c) . dx. f)  dx x ( x  1). x x 3 x. (2 x  1)2  2 x  1. h)  1 x x l) . 1. dx. 1  x dx. dx. g) . x 1. dx x 2  5x  6. Tính caùc nguyeân haøm sau: a)  sin 2 x sin 5 xdx b)  cos x sin 3 xdx. 3. 1 x 1. dx. x. 1  x dx. i)  3 1 x x m) . dx x2  6x  8. Baøi 3.. cos 2 x. dx d)  1  sin x cos x 1  sin x. dx g)  cos x. dx. e)  2sin x  1 sin3 x. dx h)  cos x. Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. Trang 6 Lop12.net. c)  (tan2 x  tan 4 x )dx dx. f)  cos x i)  cos x cos 2 x cos3 xdx.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. II. TÍCH PHAÂN 1. Khaùi nieäm tích phaân  Cho haøm soá f lieân tuïc treân K vaø a, b  K. Neáu F laø moät nguyeân haøm cuûa f b. trên K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là  f ( x )dx . a. b.  f ( x )dx  F (b)  F (a). a.  Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:. b. . a. b. b. a. a. f ( x )dx   f (t )dt   f (u)du  ...  F (b)  F (a).  Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của y = f(x), trục Ox và b. hai đường thẳng x = a, x = b là: S   f ( x )dx a. 2. Tính chaát cuûa tích phaân 0.   f ( x )dx  0. b. a. 0. a. b. b. b. b. a. a. a. b. b. a. a.   kf ( x )dx  k  f ( x )dx (k: const).   f ( x )dx    f ( x )dx.    f ( x )  g( x )dx   f ( x )dx   g( x )dx. b. c. b. a. a. c.   f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx. b.  Neáu f(x)  0 treân [a; b] thì  f ( x )dx  0 a. b. b. a. a.  Neáu f(x)  g(x) treân [a; b] thì  f ( x )dx   g( x )dx 3. Phöông phaùp tính tích phaân a) Phương pháp đổi biến số b. . f  u( x ) .u '( x )dx . u( b ). . f (u)du. u( a ). a. trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xaùc ñònh treân K, a, b  K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b  K thì: b. b. b.  udv  uv a   vdu. a. a. Chuù yù:– Caàn xem laïi caùc phöông phaùp tìm nguyeân haøm. b. b. a. a. – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho  vdu dễ tính hơn  udv . Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. Trang 7 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYEÂN HAØM Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp định nghĩa b. tích phaân:.  f ( x )dx  F (b)  F (a). a. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân. Ví dụ 1: Tính các tích phân 1. a) I1 =  (3x  1)3dx 0. 2. e. b) I2 =.  x2. dx. 0. c) I3 =. 0. 3.  2 x  1dx. 1. Giải: 1. 1. 1 (3 x  1) 4 1 5 4 a) I1 =  (3x  1) dx = .   3  1  (1) 4    4 3 4 12  0 0 3. 2. b) I2 =  e c) I3 =. 0 0. 2.  x2. 1 dx = e  x  2 = – ( e – 2+2 – e2) = e2 –1 1 0 1. 3.  2 x  1dx = 3. 2 ln 2 x  1. 1. Vậy: I3 =. 0 1. 3 2. =  (ln1  ln 3). 3 ln 3 2. Ví dụ 2: Tính các tích phân a) J1 = b) J2 = c) J3 =. 2. x. 2.  1 dx 2. 0 1. 2x  3 dx 2  x 0. . 8. x  26 x dx 6 x.  1. Giải: a) Ta có: (x2 + 1)2 = (x2)2 +2.x2.1 + 12 = x4 + 2x2 + 1 2.  x5  206 x3 suy ra J1 =   x  1 dx =  ( x  2 x  1)dx =   2  x  = 3  5  0 15 0 0 2x  3 1  2  7. b) Ta có : 2 x 2 x 2. 2. 2. 2. 4. 2. Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. Trang 8 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 1. 2x  3 suy ra J2 =  dx = 2 x 0. 1. 1.  (2  7. 2  x )dx   2 x  7 ln 2  x  0. 1 0. = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 c). x  2 6 x x1/2  2 x1/6   x1/21/6  2  x1/3  2 1/6 6 x x 8. 8. suy ra J3 =. 101 3  3 3   2  dx   x 4/3  2 x  =  84/3  2  8   (  2) = 4  4 4 1  4. x. 1/3. 1. Ví dụ 3: Tính các tích phân  4. a) K1 =  s in3x.cos xdx 0.  8. b) K2 =  cos 2 2xdx 0 1. c) K3 =. e. 2 x 1.  1dx. 0. Giải: a) Ta có: sin3x.cosx =. 1  s in4x  s in2x  2. . suy ra. . 4. 1 1 1 4 1  cos 4 x  cos 2 x (s in4 x  s in2 x ) dx  0  = 2 2  4 2 0. 1 K1 = 2  8. b) K2 =  cos 2 2xdx 0. Ta có: cos22x =. 1  cos 4 x 2. . 1. c) K3 =. e. . 1 1 4  8 1   1 x  sin 4 x (1  cos 4 x ) dx  =   sin 0   2 4 8  0 2  8 4 8. 1 suy ra K2 = 2 2 x 1.  1 1     0  =      2 8 4.  1dx. 0. Ta có : e2x–1 – 1 = 0  e2x–1 = 1 = e0  2x – 1 = 0  x = Suy ra. 1 2. 1   0;1 2 1 2. 1. 1.  1 2 x 1   1 2 x 1  2 x 1 2 x 1 0 (e  1)dx  1 (e  1)dx =  2 e  x  0   2 e  x  1. K3 =. 2. 2. 1. 1 1. . 1.  1. 1. 1. 1. . =  e0     e 1  0  +  e  1   e0   =  e 1 +  e  1 2 2 2 2 2  2  2 2  Vậy K3 =. 1 1 e  e 1  1 2 2. Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. Trang 9 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. BAØI TAÄP Baøi 1.. a). Tính caùc tích phaân sau: 2. 2.  (x. 3.  2 x  1)dx. 1. 2. x. d) . 1 x. 2. 2. dx. g)  ( x  1)( x  x  1)dx 1. x2  2x. k) . x3. 1. Baøi 2.. dx. x. . 2. 4. . 4 dx x2. 1. x 1 dx x2 1 x. 1. 3. 1. 2 x  5  7x dx x. l) . . f)  ( x  . h)  ( x  x x  x )dx e2. c). 2. e. 2. 2. 1. i). . 1 x. 2.  x 2 )dx. . 4. x  23 x  44 x dx. 1. 8. m)   4 x  . 1.  dx 3 2  3 x  1. Tính caùc tích phaân sau: 2. 5. a)  x  1dx xdx. 2. d) 0. 1  x2. x2  x 2. 2. dx. 2. dx. b) . 1. Baøi 3.. e). 1. 2. 2. 2. 3 b)  ( x   e 3 x 1 )dx x 1 2. 3x. 2. e) 0. 3. 2. 1  x3. dx. c)  ( x 2  x x  3 x )dx 1. 4. f) 0 x x 2  9dx. Tính caùc tích phaân sau:  . . a)  sin(2 x  )dx 6. 0. 2.  6. . 0. b)  (2sin x  3cosx  x )dx c)   sin 3 x  cos 2 x  dx 3. . . 4. 3. tan x .dx. d) . cos2 x. 0. e)  3tan2 x dx .  2. 4. f)  (2 cot 2 x  5) dx . 4. 6. . . 2. dx. g)  1  sin x 0 Baøi 4.. . 1  cos x. h)  dx 1  cos x 0. 2. i)  sin2 x.cos2 xdx 0. Tính caùc tích phaân sau: 1 x. a) . e  e x. 0e. x. ln 2. d) 0. . e. x. ex. dx ex  1. 2 e cos x 0. g) . dx. e ln x. sin xdx. dx k) 1 x. 2. ( x  1).dx. b) . 2. x  x ln x. 1. 2 x e (1  1. e) . 4e. h) 1 1. x. x. e x )dx x. dx. c) 0 f) 0. e. i) 1. m) . 2x. 4. x. e 2. 1e. 1. 2. l) 0 xe x dx. Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. 1e. x. 2x. dx. 1  ln x dx x 1. x 0 1 e. Trang 10 Lop12.net. dx. dx.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. VẤN ĐỀ 2: TÍNH. TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ĐỔI BIẾN SỐ b. Dạng 1: Giả sử ta cần tính  g( x )dx . a. Nếu viết được g(x) dưới dạng: g( x )  f u( x ) .u '( x ) Thì. b. u( b ). a. u( a ).  g( x )dx  . f (u)du. Ví dụ 1: Tính các tích phân 2. a) J1 =. x  xe dx 2. 1. e. b) J2 =. 1  ln x dx x.  1. 1. c) J3 =.  x (x 3. 4.  1)5 dx. 0 2. d) J4 =. . 4  x 2 .xdx. . cos x dx (1  sin x) 4. 0  /2. e) J5 =. 0. Giải: 2. a) J1 =. x  xe dx 2. 1. + Đặt u = x2  du = 2xdx  xdx =. 1 du 2. x = 1  u = 12 = 1; x = 2  u = 22 = 4 2 4 1 u x2 1 4 1 1 + J1 =  xe dx =  e du = eu 1 = ( e4 – e1) = ( e4 – e) 2 2 2 2 1 1 + Đổi cận:. e. b) J2 =.  1. 1  ln x dx x. + Đặt u = 1  ln x  u2 = 1 + lnx  2udu =. 1 dx x. + Đổi cận: x = 1  u = 1  ln1 = 1; x = e  u = 1  ln e = 2 e. 1  ln x dx = x. 2. 2 2 ( 2)3  13 ) = (2 2  1) 3 3 1 1 1 Ghi nhớ: Học sinh có thể đặt: u = 1 + lnx  du = dx x. + J2 =. . 2.  u.2udu = 3 u. Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. 2. 3. 1. =. Trang 11 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 1.  x (x 3. c) J3 =. 4.  1)5 dx. 0. + Đặt u = x4 – 1  du = 4x3dx  x3dx =. 1 du 4. + Đổi cận: x = 0  u = 0 – 1 = –1; x = 1  u = 14 – 1 = 0 1 0 3 4 5 5 1 1 u6 x ( x  1) dx + J3 =  =  u du = 4 4 6 0 1. 0. =  1. 1 24. 2. . d) J4 =. 4  x 2 .xdx. 0. 4  x 2  u2 = 4 – x 2  2udu = – 2xdx  xdx = –udu. + Đặt u =. + Đổi cận: x = 0  u = x = 2 u = 2. + J4 =. 4  02 = 2;. 4  22 = 0. 0. 0. 2. 2. 4  x .xdx =  u.(  u )du =  u 2 du = 1 u 3 2 = 8 0. . 2. 0.  /2. . e) J5 =. 0. 3. 3. cos x dx (1  sin x) 4. + Đặt u = 1 + sinx  du = cosxdx + Đổi cận: x = 0  u = 1 +sin0 = 1;   x =  u = 1 + sin = 2 2.  /2. + J5 =.  0. 2. 2. du 2 4 cos x 1 3 2 7 dx = u = 4 =  u du = 4 1 u (1  sin x) 3 24 1 1. . Ví duï 2. Tính tích phaân sau : 1. 1. 0. 0. a ) I   (3 x  2)( x  1)6 dx b) J   x5 1  x3 dx.. Baøi giaûi a) Ñaët t = x+1  x = t – 1  dx = dt + Đổi cận: * x=0  t = 1 vaø x = 1  t = 2. I =. 2. 6  (3t  1)t dt  ( 1. 3t 8 t 7 2  ) 1… 8 7. b) Ñaët t = 1  x 3  x3 = 1 – t2  2t 2 dt  2 3 5  2tdt  (t  t )dt  x 5 1  x 3 dx  (1  t 2 ).t. 3 3 3 + Đổi cận: * x = 0  t = 1; * x = 1  t = 0 1 2 2 t4 t5 1 1  I =  (t 3  t 5 )dt  (  ) = 30 3 4 5 0 30.  x2 dx =. Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. Trang 12 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. Ví duï 3. Tính tích phaân sau: I =. 9. dx. 1. x. 1. Baøi giaûi Ñaët t = 1  x Khi ño ù x = t2 -2t + 1  dx = (2t -2)dt. dx. . . 1 x. 2t  2 dt t. + Đổi cận: x = 1  t = 2. x=9  t=4  I=. 4. 2.  (2  t )dt  (2t  2 ln t ). 4 2.  4  2 ln 2.. 2. Ví duï 4. ÑHK.A-2004. Tính tích phaân sau: I =. 2. 1 1. xdx x 1. Baøi giaûi Ñaët t = 1  x  1  x = t2 – 2t + 2  dx = (2t-2)dt + Đổi cận: x = 1  t = 1 x=2  t=2 2. 2. 2. (t 2  2t  2)(2t  2) 2t 3  6t 2  8t  4 4 dt   dt   (2t 2  6t  8  )dt t t t 1 1 1. I  (. 2t 3 11  3t 2  8t  4 ln t ) 12   4 ln 2 3 3. Ví duï 5. Tính tích phaân sau a)ÑHK.A-2003 : I =. 2 3. . 5. 4. dx. b) DHAN  1999 : J . x x 4 2. x 7. dx x 9 2. 2 2. c) K . . 3. dx x x2 1. Baøi giaûi a) Ñaët t = x 2  4  x2 = t2 -4  xdx = tdt. + Đổi cận: * x =. . xdx x2 x2  4. . tdt 1 1 1  (  )dt (t  4).t 4 t  2 t  2 2. 5  t=3. * x= 2 3  t = 4  I=. 4. 1 1 1 1 t2 4 1 5 (  )dt  ln ln 3  4 3 t2 t2 4 t2 4 3. b) + c) Làm tương tự. Ví duï 6. Tính tích phaân sau : I =. ln 2.  0. dx ex  7. Baøi giaûi Ñaët t = e x  7  ex = t2 – 7  exdx = 2tdt  Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. dx ex  7. . e x dx ex ex  7. Trang 13 Lop12.net. . 2tdt 1 1 1  (  )dt (t  7).t 7 t 7 t 7 2.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. + Đổi cận: * x = 0  t = 2 2. * x = ln2  t = 3 3. 1.  I=. . 7. (. 2 2. 1. . t 7. 1 t 7. 1. )dt . 7. ln. t 7 t 7. 3 2 2. . Ví duï 7. ÑHK.B-2006. Tính tích phaân sau : I =. 1 7. ln 5. e. x. ln 3. (ln. 3 7 3 7.  ln. dx  2e  x  3. Baøi giaûi Ñaët t = ex  dt = exdx . * x = ln3  t = 3 * x = ln4  t = 4. + Đổi cận: 4. I =. dx e x dx dt 1 1    (  )dt 2x x x x 2 t  2 t 1 e  2e  3 e 3e  2 t  3t  2. 1. t2. 1.  ( t  2  t  1)dt  ln t  1. 4 3. 4 3.  ln. 3. Ví duï 8. Tính tích phaân sau : a) ÑHTM-97 : I =. ln 2.  0. 1 ex dx 1 ex. c) ÑHBK – 2000 : I =. ln 2. e. . ln 3.  0. 2x. 1 ex. 0. b) HVQY – 97 : I = dx. Hướng dẫn a) Đặt t = ex, làm tương tự . b,c) Ñaët t  e x  1 . Ví duï 9. ÑHHH – 98. Tính tích phaân : I =. e.  x. 1. ln x 1  ln x. Baøi giaûi Ñaët t = 1  ln x  lnx = t2 – 1 . dx  2tdt x. t 2 1 dx  .2tdt  (2t 2  2)dt  t x. 1  ln x ln x. + Đổi cận:  I=. * x = 1 t = 1 *x=e  t= 2. 2. 2  (2t  2)dt  ( 1. 2t 3 42 2 .  2t ) 1 2  3 3. Ví duï 10. Tính tích phaân sau: a) ÑH.K.B – 2004.: I =. e.  1. b) J =. e. 1  3 ln x . ln x dx x.. ln x. 2  ln x dx ; x. 1. . 3. 2. Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. Trang 14 Lop12.net. dx. 1 1 ex. dx. 2 2 7 2 2 7. )..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. Baøi giaûi a) Ñaët t = 1  3 ln x t 2 1 dx 2tdt 1  3 ln x . ln x t 2  1 2tdt 2 4 2    dx  t. .  (t  t )dt  lnx = 3 x 3 x 3 3 9 + Đổi cận: * x = 1  t = 1. *t=e  t=2 2. 2 2 t 5 t 3 2 2 31 7 116 4 2 ; ( t  t ) dt  (  )1 (  ) 9 1 9 5 3 9 5 3 135.  I=. b) Làm tương tự.. BAØI TAÄP AÙP DUÏNG 1. 2a. 1) A   x . 1  3x .dx; B   x. 2a  x 2 .dx(a  0) 15. 8. 0. 0. a. 4. 0. 1. 2) A   x 2 . a 2  x 2 .dx; B   0. 3) A  . x  x 1 2. 1. 4) A . 2. dx. 1. dx. (a  0). x(1  x ) dx. ; B. ( x  1)( x  2). 1. 0. 1  x 2 .dx dx ; B  2 x x2 1 x  4 .  1. 2. 2. 5) A   1. 2 2. dx x. x  1 2. 1. 6) A   4 0. x dx x 1 3. 0. 7) (*) A   3 1. . ; B. x x 2  1.dx. 0. 7 2. dx. ; B3. ;A. 2x  1. 0. 3. x. 8. 3. dx 1 x. ; (*)B   0. ( x  1  2)dx x  2x  1  x  1 2. x  1 dx ; x 1 x 1. 1. 0. 8) A   4  x 2 dx; B   x 2  2 x  2 .dx 1. 0. 2. C 1. x 1 dx; D  x 2. 1. 1 x2 .dx x2.  1. 2. 1. 9) (HVNH THCM 2000) I   0. 10). x 3 .dx x  x2 1. a)(ÑH BKHN 1995) I . 2.  2. dx x. x 2  1. 1. b) .(HVKTQS 1998) I  . 1. 3. 11). (ÑHAN 1999) I . 4.  x. 7. dx x2  9. Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. Trang 15 Lop12.net. dx 1 x  x2 1.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 1. 12). (ÑHQG HN 1998) I   x 3 . 1  x 2 .dx 0. 2. 13). (ÑHSP2 HN 2000) I   1. 1. 14). (ÑHXD HN 1996) I  . dx x. x 3  1 ( x 2  1).dx x 1. 0. 15). (ÑHTM 1997) I . 7.  0. x 3 .dx 3. 1 x2 1. 16). x.dx. (ÑHQG TPHCM 1998) I  . 2x  1. 0. Baøi 3.. Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 1): 1. a)  x(1  x)19 dx. b). 0. d). 1. g). 2 3. . 5. dx. 0. n). h). x x2  4. ln3. k) . 0. .  0. e x dx. l). . ex  1. 3. 3. e.  1. . . 2. 2.  0. sin 2 x cos x  4 sin x 2. 2. dx. o). Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. 1. x5 0 x 2  1 dx. c). e)  x 1  x 2 dx. 2x  1. 0. x3 0 (1  x 2 ) 3 1. xdx. . 1. 1. f)  x 3 1  x 2 dx 0. ln 2. x5  2x3. dx. 1 x2. i) . 0. 2  ln x dx 2x. e. m).  1. ex 1  ex. dx. 1  3 ln x ln x dx x.  3. cos x. sin x 0 1  sin 2 x dx. Trang 16 Lop12.net. p). 6.  2 sin 0. sin 2 x dx x  cos 2 x. 2.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân . Dạng 2: Giả sử ta cần tính . f ( x )dx .. . Đặt x = x(t) (t  K) và a, b  K thoả mãn  = x(a),  = x(b) . b. b. . a. a.  g(t)  f  x(t) .x '(t).  f ( x )dx   f  x(t) x '(t)dt   g(t)dt. thì. Dạng 2 thường gặp ở các trường hợp sau: f(x) có chứa 2. a x. 2. a x. Cách đổi biến x  a sin t,. 2. hoặc 2. x 2  a2. hoặc. . t. . x  a cos t,. 2 2 0t . x  a tan t,. . x  a cot t, a x , sin t a x , cos t. hoặc. . . t. . 2 2 0t     t    ;  \ 0  2 2   t   0;   \   2. Ví dụ 1: Tính tích phân a) I1 =. 2. . 4  x 2 dx. 0 3. b) I2 =. 1.  9 x. 2. dx. 0. Giải: 2. a) I1 =. . 4  x 2 dx. 0.    + Đặt x = 2sint , t    ;   2 2.  dx = 2costdt. + Cận mới: x= 0  2sint = 0  sint = 0  t = 0  x = 2  2sint = 2  sint = 1  t =. 2. 2. + I1 =. . 4  x 2 dx =. . . . . 2. 2. 2. 2. 0. 0. 0.  0. 0. 4  4sin 2 t .2 cot dt = 4  1  sin 2 t .cot dt = 4  cos 2 t .cost dt =4  cos 2 tdt.  2.  . . 1. 2 0. I1 = 2  (1  cos 2t )dt = 2  t  s in2t  =  2 0. Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. Trang 17 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân 3. b) I2 =. 1.  9 x. 2. dx. 0.    + Đặt x = 3tant, t    ;   dx = 3(1 +tan2t)dt 2 2 . . + Cận mới: x = 0  3tant = 0  tant = 0  t = 0  x = 3  3tant = 3  tant = 1  t =. 4. 3. 1 + I2 =  dx = 9  x2 0. Vậy I2 =. . 3(1  tan 2 t ) 0 9  9 tan 2 t dt =. 3(1  tan 2 t ) 1 4 1 4 1  dt dt = = t0 = . 0 9(1  tan 2 t )  3 0 3 3 4. 4. Baøi giaûi: I =.  2. 4.  12 4. Ví duï 2. Tính tích phaân sau: I = 4. . . . 4 x  x 2 dx. 2 4. 4  ( x 2  4 x  4) dx   4  ( x  2) 2 dx; 2.  . Ñaët x - 2 = 2sint, t   ;   2 2 *x=0  t=0;x=3  t=.  2.  4  ( x  2) dx  4(1  sin x) .2 cos tdt  2 cos 2 tdt  (1  cos 2t )dt 2.  I=. 2. .  (1  cos 2t )dt  ...   . 0.  Toång quaùt 1 :. . a 2  x 2 dx . a 2 , a  0. 4. Phöông phaùp : Ñaët x = asint. a. Ví dụ 3. ĐHSP1-2000. Tính tích phân : I =  x 2 a 2  x 2 dx; với a > 0. 0. Baøi giaûi:.  . Ñaët x = asint. t   ;   2 2. *x=0  t=0 *x=a  t=.  2. a 2  x 2 dx  a 2 sin 2 t. a 2 (1  sin 2 t ) .a cos tdx  a 4 sin 2 t cos 2 tdx  .  I=. 4 2. a 8.  (1  cos 4t )dt  0. a 4 . 16. Ví duï 4. Tính tích phaân : I =. 5. 1. 5 x. 2. dx. 0. Baøi giaûi.   Ñaët x = 5 tant, t    ; . Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. . 2 2. Trang 18 Lop12.net. a4 a4 sin 2 2tdt  (1  cos 4t )dt 4 8.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. *x=0  t=0. *x= 5  t=. .  4. . 4 4 1 5 (1  tan 2 t ) 5 dx  dt  0 5  x 2 0 1  tan 2 t 0 5dt  4 5. .  Toång quaùt 2 :. a. x. 2. 0. 1 a dx  , a  0. 2 4 a. Phöông phaùp : Ñaët x = atant. 1. 1. Ví duï 5. Tính tích phaân sau :. a) I   0. a) I =. 1. 1 2. dx ; 1 2 3 0 (x  )  2 4. Ñaët x+ . . *x=0  t=.  6. dx ; b) HVTC  2000; J  2 x  x 1. 2.  0. xdx ; x  x2 1. 3    tan t. , t    ;  2  2 2. . ; x=1  t=. 3. 3 (1  tan 2 t ) 3 3 dx 3 3  2 dt  dt  . I =  2  1 2 3  1  tan t 2 12  0 (x  )  6 2 4 6 1 b) Đặt x2 +  3 tan t (Làm tương tự). 2 . . 1. 1 2. Ví duï 6. Tính tích phaân sau : I =. x dx. . 1 x4. 0.  . Ñaët x2 = sint, t   ;   2 2  xdx =. 1 cosxdx ; 2. 1 1 x4. *x=0  t=0 . 1 1  sin 2 x. . *x=. 1. t . 2 xdx 1  dx 1 x4 2. 1  cos x.  6. .  I=. 6. 1. .  2 dx  12 0. Ví duï 7. HVKTQS – 2001. Tính tích phaân sau: I =. b. a  x2 0 (a  x 2 ) 2 dx; a, b  0.. Hướng dẫn : Đặt x = a tan t a  x2 a (1  tan 2 t ) 1 cos 2t dx  . a. dt  ....  dt 2 2 2 2 2 2 (a  x ) a (1  tan t ) cos t a b .  I = ..... = a  b2. . Ví duï 8:. Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. Trang 19 Lop12.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân. BAØI TAÄP Tính các tích phân sau (đổi biến số dạng 2): a). 1 2. dx. . 1 x2. 0. d). 3. x 0. 0. g) . 1. dx 3. 2. dx x2  2x  2. b) e). k) . 2. dx x x2  1.  1.  (x 2.  1. 2 2. l) . Ñinh Xuaân Thaïch – THPT Yeân Moâ B. c)  x 2 4  x 2 dx. 4  x2. 0. h). 2. x 2 dx. 0. 2 3. 1. 0. 2. 1. dx  1)( x 2  2). x 1 dx x3 2. x2 1  x2. dx. Trang 20 Lop12.net. f). 1. x 0. i). 1. 4. xdx  x2 1 dx. . 1  x . 2 5. 0. 2. m)  x 2 x  x 2 dx 0.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>