Bài tập Phương trình - Hệ phương trình đại số

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. LỚP 12A2. Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I. Phương trình – Bất phương trình:  B  0 A B 2 A  B . . B  0  hay  2  A  B. B  0  A B 2 2  A  B A  B  A B  A  B. . 3. . B  0 AB A  0. . B  0  A  B  A  0  2 A  B. A  B  A B  A  B. A  3 B  3 C  A  B  3 3 A.B. . 3. . A  3 B  C ( thế. 3. A3 B  3C ). Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt t  f ( x) , t  f ( x)  g ( x) (với điều kiện tối thiểu là t  0 ) Đối với các phương trình có chứa tham số thì lập BBT để tìm điều kiện chính xác cho ẩn phụ t, Đối với phương trình có nhiều căn thức, đặt mỗi căn thức một ẩn. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn:. . . VD: Giải x 2  3  x 2  2 x  1  2 x 2  2 Phương pháp hàm số: Nếu y  f  t  là hàm đơn điệu thì f  x   f  t   x  t Bài tập: Giải các phương trình: 1). x  34  3 x  3  1. 3. 2). 3) x 2  x  12 x  1  36. 3  x  x2  2  x  x2  1. 4) 3 x  2 2 x 2  5 x  3  16  2 x  3  x  1. x  3  7  x  2x  8. 5). x 3  3 x 1. 6). 7). x  3  5  x  x 2  8 x  18. 8)  x  3 x 2  4  x 2  9. 9) Tìm m để pt, Bất phương trình sau có nghiệm: a). 2 x 2  (m  2) x  8  2  x. b) x  1  3  x   x 2  4 x  3  m. c) mx  x  3  m  1 B10:. A09: 2 3 3 x  2  3 6  5 x  8 x x A10: 1 1  2( x 2  x  1). 3 x  1  6  x  3 x 2  14 x  8  0. D10: 42 x . x 2. . 3.  2x  4x. . D11: log2 8  x 2  log 1 2. x 2. .  2x. 3.  4 x 4. . B11: Giải pt: 3 2  x  6 2  x  4 4  x 2  10  3 x. 1 x  1 x  2  0. CĐ09:. x  1  2 x  2  5x  1. CĐ11: x  x 2  2 x 3. 1 x 2  2 x 3. 4 a) Giải bất phương trình: 4  3.2 b) Tìm các giá trị thực của m để pt sau có nghiệm: x. 0. 6  x  2 (4  x )(2 x  2)  m  4( 4  x  2 x  2) CĐ 12: Phương trình – hệ phương trình. Trang 1 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. LỚP 12A2. 3 a) 4 x  x  ( x  1) 2 x  1  0. b) Giải bất phương trình: log2 (2 x ).log3 (3 x )  1 2. B12: x  1  x  4 x  1  3 x II. Hệ phương trình: 1. Hệ phương trình đối xứng loại 1: Cách giải: Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện của S, P và S 2  4 P . Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Giải hệ tìm S, P rồi dùng Vi-ét đảo tìm x, y.  x1  x2  S thì x1, x2 là nghệm của phương trình X2  SX + P = 0. x . x  P  1 2. Vi-ét đảo: Nếu 2 số x1, x2 có  Bài tập: Giải hệ phương trình  x y  xy  30 3 3  x  y  35 2.  xy ( x  y )  2 3 3 x  y  2. 2. 1. . 2. . x  y  1  1  4  x y 3.   x2  y 2  1  1  4  x2 y 2. 2 2  x  y  2 xy  8 2. 4. .  x . y4. 5. Tìm điều kiện m để hệ phương trình sau có nghiệm thực :  x  y  xy  m 2 2  x y  xy  3m  9.  x  4  y 1  4  x  y  3m 3 x  3 1 x  2. a. . 6. Giải phương trình:. b. . 3.  x 2  y 2  4 x  4 y  10  xy ( x  4)( y  4)  m. c. . 7. Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm: a. 1  x  1  x  m b. m  x  m  x  m c. 3 1  x  3 1  x  m 2. Hệ phương trình đối xứng loại 2: Cách giải: Trừ từng vế 2 phương trình ta được: (xy)g(x,y)=0. Khi đó xy=0 hoặc g(x,y)=0. + Trường hợp 1: xy=0 kết hợp với phương trình (1) hoặc (2) suy ra được nghiệm. + Trường hợp 2: g(x,y)=0 kết hợp với phương trình (1) + (2) suy ra nghiệm (trong trường hợp này hệ phương trình mới trở về hệ đối xứng loại 1) và thông thường vô nghiệm. Bài tập: Giải hệ phương trình  x3  3 x  8 y a.  3  y  3 y  8 x.  2 x  y   c.  2 y  x  .  x  4 y  1  1 b.   y  4 x  1  1. 3 x2 3 y2. d. x3  1  2 3 2 x  1. e. x3  3 3 3x  2  2. 3. Hệ phương trình đẳng cấp: Cách giải: Chia từng vế của 2 phương trình, đưa về một phương trình đẳng cấp mới có vế phải bằng 0 Bài tập: Giải hệ phương trình 2 2  x  2 xy  3 y  9. 2 2 3 x  2 xy  y  11 2 2  x  2 xy  5 y  25. a. . 3 2 2 x  3 x y  5 3 2  y  6 xy  7. b. . 2 2  x  4 xy  5 y  5. c. . 4. Một số hệ phương trình khác: Tổng hợp các kiến thức kết hợp với việc suy luận hợp lý, nhóm hạng tử chung và đặt ẩn phụ để giải.  3 y  x  y  x. B02 .  x  y  x  y  2 1 1   x  x  y  y 1 A03  . 2 y  x3  1 . .. HD:. 3. y  x  y  x   y  x   y  x . 2. Phương trình – hệ phương trình. 3. 3 1  . ĐS: 1;1 ,  ;  2 2. Trang 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. . HD: (1)   x  y  1  . LỚP 12A2.  1  5 1  5   1  5 1  5  1  ; ;  ,     0 , ĐS: 1;1 ,  xy  2 2 2 2    .  y 2 3 y  x2  B03:  . HD: Đối xứng loại 2. ĐS: 1;1 2 3 x  x  2  y2 1  3y log 1  y  x   log 4 y  1 A04:  4 HD: Tìm cách khử logarit để được: x  . 4  x 2  y 2  25  2.  x  1  2  y  1 .HD: Tìm cách khử logarit để được: x  y . 2 3 3log 9  9 x   log 3 y  3. ĐS:  3; 4  ĐS: 1;1 ,  2; 2 . B05: .  x  y  xy  3. HD: Đặt t  xy , bình phương hai vế phương trình thứ hai tìm được t=3.  x  1  y  1  4  xy  x  y  x 2  2 y 2 D08:  . ĐS: x = 5; y = 2 : Biến đổi xy  x  y  x 2  2 y 2  (x + y)(x 2y 1) = 0. x 2 y  y x  1  2 x  2 y  A06: . ( x 2  xy ) 2  2 x  9 4 3 2 2 17  x  2 x y  x y  2 x  9  B08:  2 .HD: Biến đổi thành:  . ĐS: x = 4; y = 6 x  6  x2 4  x  2 xy  6 x  6  xy  2  5 5  2  2 3 2 2  x  y  xy x  y  xy  4  x  y  x y  xy  xy   4 u  x 2  y A08:  : Biến đổi thành:  . Đặt:  . v  xy  x 4  y 2  xy 1  2 x    5  x 2  y 2  xy  5   4 4 2 2  x ( x  y  1)  3  0 log ( x  y )  1  log 2 ( xy ) xy  x  1  7 y A09:  2 2 2 B09:  D09  5 2 2 2 2 x  xy  y  81 3  x y  xy  1  13y ( x  y )  x 2  1  0. . . 2 2 x  y  3  2 x  y CĐ10:  2 2  x  2 xy  y  2 1 x  y  x  y  2  2. . 2 3  2 A11: 5 x y  4 xy  3y  2( x  y )  0 2 2 2  xy( x  y )  2  ( x  y ).  x 3  3 x 2  9 x  22  y 3  3y 2  9 y. A12: . . D12:  xy  x  2  0. 3 2 2 2 2 x  x y  x  y  2 xy  y  0. 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  x    k 2  x    k 2 sin x  sin    ; co s x  co s    1) PT cơ bản:  x      k 2  x    k 2 tan x  tan   x    k ; cot x  cot   x    k. 2) Pt lượng giác thường gặp: a) PT bậc nhất đối với sinx, cosx: Dạng asinx + b cosx = c. PP: Chia hai vế cho. a2  b2. Phương trình trở thành sin( x   ) . c 2. a  b2. Chú ý: phương trình có nghiệm khi: a2  b2  c 2 b) Phương trình đẳng cấp: a.sin 2 x  b.sin x.cos x  c.cos2 x  0 PP:  Nếu a = 0 hay c = 0 đưa về pt tích.  Nếu cả a  0 vaø c  0 Phương trình – hệ phương trình. Trang 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. LỚP 12A2. Cosx = 0, PT trở thành sin x = 0 : vô lý Nên cos x  0 , chia hai vế cho cos2x và đưa ptrình về bậc hai đối với tan x. c) Phương trình đối xứng: Dạng: a(sin x  cos x )  b sin x cos x  c  0 PP: Đặt t = sinx + cosx =. . 2 sin( x  ) , sin x.cos x  4. t2  1 2. ñieàu kieän :  2  t  2 ,. 3) Công thức cần nhớ:. 1  sin 4 x  cos4 x  1  2sin 2 x.cos2 x  1  sin 2 2 x 2 3  sin 6 x  cos6 x  1  3sin 2 x.cos2 x  1  sin 2 2 x 4 2      sin x  cos x  2 sin  x    1  sin 2 x   sin x  cos x   2sin 2  x   4 4    cos 2 x  cos2 x  sin 2 x   cos x  sin x  cos x  sin x   sin 2 x  1  cos2 x  1  cos x 1  cos x .  cos2 x  1  sin 2 x  1  sin x 1  sin x .  sin 2  2sin  cos .  cos 2  cos2   sin 2   2 cos2   1  1  2sin 2 .  sin 3  3sin   4sin3 .  cos3  4 cos3   3cos . Công thức cộng:. cos(   )  cos  cos   sin  sin  sin(   )  sin  cos   cos  sin . xy xy cos 2 2 Công thức biến đổi: xy xy cos x  cos y  2sin sin 2 2 Nguyên tắc chung để giải phương trình lượng giác: Biến đổi:  Đưa về 1 cung, 1 hàm.  Đặt t  Phân tích thành tích BÀI TẬP: Giải các phương trình: cos x  cos y  2 cos. xy xy cos 2 2 xy xy sin x  sin y  2 cos sin 2 2 sin x  sin y  2sin. 1. 2sin3x – cos2x + cosx = 0. 2. cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0. 3. tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx). 4. 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx). 5. 4(sin3xcos2x)=5(sinx1). 6. sinx4sin3x+cosx =0. 7. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx. 8. sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx. 9. 2sinx+cotx=2sin2x+1.HD: ta có: 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0. Đặt t=sinx, ĐK t  1 . =(4cosx–1)2. Phương trình lượng giác trong các đề thi ĐH 2 ( B 2003) sin 2 x 3) 5sin x  2  3(1  sin x) tan 2 x (B 2004). 1) cot x  tan x  4sin 2 x . x  x 2) sin 2 (  ) tan 2 x  cos 2  0 (D 2003) 2 4 2 4) (2 cos x  1)(2 sin x  cos x)  sin 2 x  sin x (D04) 6) 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0 ( B05)   3 8) cos 4 x  sin 4 x  cos( x  ) sin(3 x  )   0 (D05) 4 4 2. 5) cos 2 3 x. cos 2 x  cos 2 x  0 ( A 05) 2(cos6 x  sin 6 x )  sin x.cos x  0 (A06) 7) 2  2sin x x 9) cot x  sin x (1  tan x tan )  4 (B 06) 10) cos3 x  cos 2 x  cos x  1  0 (D 06) 2 11) (1  sin 2 x ) cos x  (1  cos2 x )sin x  1  sin 2 x (A07) Phương trình – hệ phương trình. Trang 4 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> TRƯỜNG THPT THỦ ĐỨC. LỚP 12A2 2. x x  13)  sin  cos   3 cos x  2 (D 07) 2 2 . 2. 12) 2sin 2 x  sin 7 x  1  sin x (B 07). 1 1 7   4sin(  x ) (A08) sin x sin( x  3 ) 4 2 3 3 15) sin x  3 cos x  sin x.cos2 x  3 sin 2 x.cos x (B08). 14). 16) 2sin x (1  cos 2 x )  sin 2 x  1  2 cos x (D08). 17). (1  2sin x) cos x  3 (A2009) (1  2sin x)(1  sin x). 18) sin x  cos x sin 2 x  3 cos 3 x  2(cos 4 x  sin 3 x) ( B09).   (1  sin x  cos 2 x) sin  x   1 4  19) 3 cos 5 x  2sin 3 x cos 2 x  sin x  0 ( D09) 20)  cos x (A10) 1  tan x 2 21) (sin 2 x  cos 2 x) cos x  2 cos 2 x  sin x  0 ( B10) 1  sin 2 x  cos 2 x  2 sin x sin 2 x ( A11) 22) sin 2 x  cos 2 x  3sin x  cos x  1  0 (D2010) 23) 1  cot 2 x sin 2 x  2 cos x  sin x  1  0 ( D11) 24) 25) sin 2 x cos x  sin x cos x  cos 2 x  sin x  cos x ( B11) tan x  3 5x 3x 26)CĐ11: cos 4 x  12sin 2 x  1  0 27) CĐ10: 4 cos cos  2  8sin x  1 cos x  5 2 2 2 28)CĐ09: 1  2sin x  cos x  1  sin x  cos x 29) A12: 3 s in2x  cos 2 x  2 cos x  1 30) B12: 2(cos x  3 sin x) cos x  cos x  3 sin x  1 31) D12: s in3x  cos 3 x  sin  cos x  2 cos 2 x. 32) CĐ 12: 2cos2x ++ sinx = sin3x. Bài tập tham khảo: Gải các phương trình sau:. . 1) 2 cos 2 (  x)  cos x sin 2 2 x  sin x sin 2 x  1 HD: biến đổi: s in2x(1  2 cos 2 x sin x  sin x)  0 4 3 2) sin x(1  cot x)  cos 2 x(cos x  sin x)  cos x  sin x. . 3) 2 cos 2 x  6 cos( x  )  2  s in2x 4 2 4) 2 cos x  3 s in2x  1  3( sinx  3 cos x) 5). 3(2 cos 2 x  cos x  2)  (3  2 cos x) sin x  0.   6) 2sin  2 x    4 cos x  1  0 6 . . 2 sin(2 x  )  2  3cos x  sin x 4   8) 1  2 sin  2 x    cos x  cos 3 x 4  3 9) 6sin x  cos x  5sin 2 x cos x 10) 3 s in2x(2 cos x  1)  2  cos 3 x  cos 2 x  3cos x. 7). 11) 3 cos 2 x  2 cos x(sin x  1)  0 12) 9sin x  6 cos x  6sin x cos x  2 cos 2 x  9  0  5   2 x   4(sin x  cos x) 13) sin 4 x  4sin   2  Phương trình – hệ phương trình. Trang 5 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>