Bài giảng Toán C1: Chương 3 - ThS. Huỳnh Văn Kha - Trường Đại Học Quốc Tế Hồng Bàng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (411.01 KB, 20 trang )
<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>
Chương 3
TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Huỳnh Văn Kha
Khoa Tốn – Thống Kê
</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>
Nội dung
1 Tích phân
Bài tốn tính diện tích – Định nghĩa tích phân
Định lý cơ bản của vi tích phân
Nguyên hàm
Đổi biến và tích phân từng phần – Tính tích phân
2 Tích phân suy rộng
Tích phân suy rộng loại I
Tích phân suy rộng loại II
Các tiêu chuẩn hội tụ
3 Ứng dụng của tích phân
</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3></div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4></div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5></div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>
Định nghĩa tích phân
Định nghĩa tích phân
Cho f là hàm xác định trên [a,b], ta chia [a,b] thành n
khoảng con với độ rộng ∆x = (b−a)/n. Gọi
x<sub>0</sub>(=a) < x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub> < · · · < x<sub>n</sub>(=b) là các đầu mút của
của các khoảng con đó. Trên mỗi khoảng con ta lấy
x<sub>i</sub>∗ ∈ [xi−1,xi]. Thì tích phân (xác định) của f từ a tới b
được định nghĩa là:
Z b
a
f(x)dx = lim
n→∞
n
X
i=1
f (x<sub>i</sub>∗)∆x
nếu nó tồn tại.
</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>
Ký hiệu dx chỉ nói lên rằng x là biến độc lập. Bản thân
dx trong ký hiệu tích phân khơng mang nghĩa gì cả. Cho
nên:
Z b
a
f(x)dx =
Z b
a
f(u)du =
Z b
a
</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>
Các tính chất của tích phân
Z b
a
kdx = k(b−a) với c là hằng số.
Z a
b
f(x)dx = −
Z b
a
f(x)dx;
Z a
a
f(x)dx = 0
Cho f,g khả tích trên [a,b], k ∈ <sub>R</sub> khi đó:
1.
Z b
a
[f(x) +kg(x)]dx =
Z b
a
f(x)dx +k
Z b
a
g(x)dx
2. Nếu c ∈ (a,b) thì f cũng khả tích trên các khoảng
[a,c] và [c,b]. Và khi đó:
Z b
a
f(x)dx =
Z c
a
f (x)dx +
Z b
c
</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>
3. Nếu f(x) ≥ 0,∀x ∈ [a,b] thì
Z b
a
f(x)dx ≥ 0.
Suy ra nếu f(x) ≥ g(x),∀x ∈ [a,b] thì
Z b
a
f(x)dx ≥
Z b
a
g(x)dx
4. Hàm |f| khả tích và
Z b
a
|f(x)|dx ≥
Z b
a
f(x)dx
Định lý
</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>
Định lý cơ bản của vi tích phân
Định lý cơ bản của vi tích phân 1
Cho f liên tục trên [a,b], đặt: F(x) =
Z x
a
f(t)dt
(a ≤x ≤ b). Thì F liên tục trên [a,b], khả vi trên (a,b)
và F0(x) = f(x).
Ví dụ: Tính đạo hàm của
1. F(x) =
Z x
0
p
1+ t2<sub>dt</sub><sub>.</sub>
2. F(x) =
Z x4
1
dt
</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>
Định lý cơ bản của vi tích phân 2
(Cơng thức Newton - Leibnitz)
Cho f liên tục trên [a,b], thì:
Z b
a
f(x)dx = F(b)−F(a)
Trong đó F là một nguyên hàm bất kỳ của f, nghĩa là
F0(x) =f(x).
Ví dụ:
Tính
Z π/4
0
</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>
Nguyên hàm
F được gọi là nguyên hàm của f nếu F0 = f.
Định lý cơ bản của phép tính vi tích phân khẳng
định sự tồn tại nguyên hàm của các hàm liên tục.
Nếu F là một nguyên hàm của f thì khi đó mọi
ngun hàm G của f đều có dạng G(x) = F(x) +C.
Tập các nguyên hàm của f được ký hiệu là:
Z
f(x)dx
</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>
Bảng một số nguyên hàm
1.
Z
xa dx = x
a+1
a+1 +C, với a 6= −1
2.
Z
dx
x = ln|x|+ C
3.
Z
ex dx = ex + C
4.
Z
ax dx = a
x
lna +C
5.
Z
sinx dx = −cosx + C
6.
Z
</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>
7.
Z <sub>dx</sub>
cos2<sub>x</sub> = tanx +C
8.
Z
dx
sin2x = −cotx + C
9.
Z
dx
√
1−x2 = arcsinx +C
10.
Z
dx
√
a2 <sub>−</sub><sub>x</sub>2 = arcsin
x
a
+C, a > 0
11.
Z <sub>dx</sub>
1+ x2 = arctanx +C
12.
Z
dx
a2 <sub>+</sub> <sub>x</sub>2 =
1
aarctan
x
a
</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>
Đổi biến
Quy tắc đổi biến cho tích phân bất định
Cho u = g(x) là hàm khả vi, miền giá trị của nó là I, và
f liên tục trên I. Khi đó:
Z
f(g(x))g0(x)dx =
Z
f(u)du.
Nhờ cơng thức này mà người ta xem dx như là vi phân.
Ví dụ: Tính
1.
Z
x3cos(x4 +2) dx
2.
Z
</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>
Quy tắc đổi biến cho tích phân xác định
Giả sử g0 là hàm liên tục trên [a,b] và f liên tục trên
miền xác định của u = g(x). Khi đó:
Z b
a
f(g(x))g0(x)dx =
Z g(b)
g(a)
f(u)du.
Ví dụ: Tính
3.
Z 2
1
dx
(3−5x)2
4.
Z e
1
lnx
x dx
5.
Z π/3
0
etanx
</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>
Giả sử f liên tục trên [−a,a], ta có:
1. Nếu f chẵn (nghĩa là f(−x) =f (x)) thì
Z a
−a
f (x)dx = 2
Z a
0
f(x)dx
2. Nếu f lẻ (nghĩa là f(−x) = −f (x)) thì
Z a
−a
</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>
Tích phân từng phần
Từ cơng thức đạo hàm một tích, ta có cơng thức sau.
Z
f(x)g0(x)dx = f (x)g(x)−
Z
g(x)f0(x)dx
hay
Z
udv = uv −
Z
vdu
Ví dụ: Tính
1.
Z
(2x −1)cos(3x) dx
2.
Z
lnx dx
3.
Z
</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>
Áp dụng công thức Newton-Leibnitz ta được:
Z b
a
f (x)g0(x)dx = f(x)g(x)|b<sub>a</sub> −
Z b
a
g(x)f0(x)dx
hay
Z b
a
udv = uv|b<sub>a</sub> −
Z b
a
vdu
Ví dụ: Tính
4.
Z 2
0
arctanx
2 dx
5.
Z 1
0
</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>
Một số ví dụ.
1.
Z
sin5xcos2x dx
2.
Z √
9−x2
x2 dx
3.
Z <sub>dx</sub>
x2√<sub>x</sub>2 <sub>−</sub><sub>9</sub>, với x > 3
4.
Z
dx
x2√<sub>x</sub>2 <sub>+</sub><sub>4</sub>
5.
Z 3
2
x3 +x
x −1 dx
6.
Z
x +5
</div>
<!--links-->
