Bài giảng ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI + DAP AN TOAN 9 PHAM HONG THAI

PHÒNG GD-ĐT HUYỆN LONG ĐIỀN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
THCS PHẠM HỒNG THÁI NĂM HỌC 2009-2010
-------------------------
MÔN THI : TOÁN
Thời gian : 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 2009
Bài 1 (4,0 đ)
a/Tính
1.98 2.97 3.96 ....... 98.1
1.2 2.3 3.4 4.5 ....... 98.99
A
+ + + +
=
+ + + + +
b/ Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì: (a
3
+ 11a )
M
6
Bài 2 (4,0 đ) Cho các biểu thức:
1 1 1
......
1 2 2 3 24 25
A = + + +
+ + +

1 1 1 1
........
1 2 3 24
B = + + + +
a/ Tính giá trị của A

b/ Chứng minh rằng B> 8
Bài 3 (4,0 đ)
a/ Giải phương trình sau: x-
15 17x − =
b/ Tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình:
5x
- y = 3x+2 - 2y-1
3
-1
Bài 4 (4,0 đ)
Cho tứ giác ABCD Có ADC + DCB = 90
0
. AD = BC, CD = a ; AB = b. Gọi M, N, P, Q lần
lượt là trung điểm của AB, AC, CD và BD. S là diện tích của tứ giác MNPQ
a/ Tứ giác MNPQ là hình gì?
b/Chứng minh S
2
( )
8
a b−
≥
Dấu “ =” xảy ra khi nào
Bài 5 (4,0 đ)
Cho nửa đường tròn đường kính BC=2R tâm O cố định. Điểm A di động trện nửa đường tròn.
Gọi H là hình chiếu của điểm A lên BC. Gọi Dvà E lần lượt la hình chiếu của H lên AC và AB. Xác
định vị trí điểm A sao cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó theo R ?
1
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ TOÁN 9
Bài 1(4,0 đ)
a/ Ta có: 1.98+2.97+3.96+…+98.1=1+(1+2)+(1+2+3)+….+(1+2+3+…..+97+98)= (1,0đ) =

1.2 2.3 3.4 98.99 1
..... (1.2 2.3 3.4 ..... 98.99)
2 2 2 2 2
+ + + + = + + + +
,
Vậy A=
1
2
(1,0 đ)
b/Ta có: a
3
+ 11a = (a
3
- a) + 12a = a(a -1)(a + 1) + 12a (0.5đ)
Vì
a Z∈
nên a; a -1; n + 1 là ba số nguyên liên tiếp
⇒
a(a– 1)
M
2 ;
a(a +1)(a – 1)
M
3 (0,5đ)
Vì (2, 3) = 1 nên a( a-1)( a+1)
M
6; 12 a
M
6 (0,5đ)
⇒

a( a -1)( a +1) + 12a
M
6 Vậy (a
3
+ 11a )
M
6 với
∀
a
∈
Z (0,5đ)
Bài 2( 4,0 đ)
a/
1 1 1
......
1 2 2 3 24 25
A = + + +
+ + +
=
2 1 3 2 25 24
.....
1 1 1
− − −
+ + +
(1,0 đ)
=
25 1 4− =
(1,0đ)
b/
1 1 1 1

.....
1 2 3 24
B = + + + +
=
2 2 2 2
......
1 1 2 2 3 3 24 24
+ + + +
+ + + +
(1,0đ)
>
2 2 2 2
......
1 2 2 3 3 4 24 25
+ + + +
+ + + +
= 2A = 8 (1,0đ)
Bài 3(4,0 đ)
a/: x-
15 17x − =
đk: x
≥
15
⇔
x – 15 -
15 2 0x − − =
(1) Đặt
15x t− =
(t
≥

0) (1,0 đ)
(1)
⇒
t
2
– t – 2 = 0

(1,0 đ)
b/
5x
y 3x 2 2y 1
3
− = + − −
- 1
⇔
5x
3x 2 2y 1 y 1
3
+ − − = − +
(1) (0,5 đ)
Ta có vế trái là một số vô tỷ. Vế phải là số hữu tỷ nên để phương trình có nghiệm
nguyên là cả hai vế của (1) bằng 0
3x 2 2y 1 0
5x
y 1 0
3

+ − − =



− + =


(1,0 đ)
Giải hệ phương trình ta được nghiệm là(3; 6) ( 0,5 đ)
Bài 4(4,0 đ)
2
1
2
1 ( )
2 15 19
t loai
t x x
= −



= = − ⇒ =


D
C
A
B
Q
N
M.
P
P
a/Chứng minh được MNPQ là hình thoi (0,75 đ)

Chứng minh được MNPQ là hình vuông (0,75 đ)
b/S(MNPQ)=
1
2
MP.QN=
1
2
QN
2
(0,5 đ)
Gọi P là trung điểm của AD
Ta có QN
≥
PN-PQ = (0,75 đ)
S
≥
1
2
( )
2
= ( )
2
(0,75 đ) Dấu “=” xảy ra khi QN= PN-PQ
Hay P; Q; N thẳng hàng khi đó tứ giác ABCD là hình thang (0,5 đ)
Bài 5 (4,0 đ)
Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật (1,0 đ)
S
(ADHE
)= AD.AE
≤

2 2 2 2
2 2 2
AD AE DE AH+
= =
(1,0 đ)
⇒
S
(ADHE)

≤
2 2 2
2 2 2
AH AO R
≤ =
(1,0 đ)
Vậy Max S
(ADHE
)=
2
2
R
Khi AD = AE
Hay A là điểm chính giữa của cung AB (1,0 đ)
3
2
a b−
2
a b−
8

a b−
O
B
C
A
H
D
E