19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

<span class='text_page_counter'>(1)</span>19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý 1/Định nghĩa. A  B  A  B  0  A  B  A  B  0. 2/Tính chất + A>B  B  A + A>B và B >C  A  C + A>B  A+C >B + C + A>B và C > D  A+C > B + D + A>B và C > 0  A.C > B.C + A>B và C < 0  A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C <D  0 < A.C < B.D + A > B > 0  A n > B n n + A > B  A n > B n với n lẻ + A > B  A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1  A m > A n + m > n > 0 và 0 <A < 1  A m < A n +A < B và A.B > 0. . 1 1  A B. 3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + An  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A  0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + -A <A= A + A  B  A  B ( dấu = xảy ra khi A.B > 0) + A  B  A  B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0) PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2  0 với M Ví dụ 1  x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3  2 (x + y + z) Giải: 1 2. a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx). . . 1 ( x  y ) 2  ( x z ) 2  ( y  z ) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R 2 Vì (x-y)2  0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2  0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z. =. Lop10.com. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức  0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y 2 Vậy x + y 2 + z 2  xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R Vậy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z  R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2 + (y-1) 2 +(z-1) 2  0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng : (y-z)2. 2. a2  b2  a  b   a)  ; 2  2 . b). a2  b2  c2  a  b  c    3 3  . 2. c) Hãy tổng quát bài toán. Giải: 2. a2  b2  a  b  a) Ta xét hiệu   2  2  2 a 2  b 2 a 2  2ab  b 2 1 1  = = 2a 2  2b 2  a 2  b 2  2ab = a  b 2  0 4 4 4 4. . . . . 2. a2  b2  a  b  Vậy   . 2  2 . Dấu bằng xảy ra khi a=b. b)Ta xét hiệu. . . a2  b2  c2  a  b  c  a2  b2  c2  a  b  c  1 2 2 2     = a  b   b  c   c  a   0 .Vậy 3 3 3 3     9 2. Dấu bằng xảy ra khi a = b =c 2. a 2  a 22  ....  a n2  a1  a 2  ....  a n  c)Tổng quát 1   n n   Tóm lại các bước để chứng minh A  B theo định nghĩa. Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2 Bước 3:Kết luận A  B Ví dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Giải:  m2   m2   m2   m2     mn  n 2     mp  p 2     mq  q 2     m  1  0  4   4   4   4  2. 2. 2. 2. m  m  m  m     n     p     q     1  0 (luôn đúng) 2  2  2  2  m m   2 n 0 n  m 2  m   p0  m2 p  Dấu bằng xảy ra khi  2  2  m n  p  q  1   q 0 m q   2  m  22 m  1  0   2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có : a 4  b 4  c 4  abc(a  b  c) a, b, c  0. Giải: Ta có : a 4  b 4  c 4  abc(a  b  c) ,. Lop10.com. 2. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức  a  b  c  a 2 bc  b 2 ac  c 2 ab  0 4. 4. 4.  2a 4  2b 4  2c 4  2a 2 bc  2b 2 ac  2c 2 ab  0. .  a2  b2. .  a2  b2. .   2a b  b 2. 2.   b 2. 2. 2.  c2.   2.  a2  b2  b2  c2 Đúng với mọi a, b, c..  c2. 2.   c 2.   c 2.   2b c  c 2. 2. 2. 2.  a2.   2a c 2. 2. 2.  2a 2 bc  2b 2 ac  2c 2 ab  0 2.  a2.   (a b 2. 2.  b 2 c 2  2b 2 ac)  (b 2 c 2  c 2 a 2  2c 2 ab). 2.  (a 2 b 2  c 2 a 2  2a 2 ab)  0. 2.  a2.   ab  bc   bc  ac   ab  ac  2. 2. 2. 2. 0. Phương pháp 2 : Dùng phép biến đổi tương đương Kiến thức: Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh là đúng.. Nếu A < B  C < D , với C < D là một bất đẳng thức hiển nhiên, hoặc đã biết là đúng thì có bất đẳng thức A < B .. Chú ý các hằng đẳng thức sau:. A  B 2  A 2  2 AB  B 2 A  B  C 2  A 2  B 2  C 2  2 AB  2 AC  2 BC A  B 3  A3  3 A 2 B  3 AB 2  B 3. Ví dụ 1: Cho a, b, c, d,e là các số thực chứng minh rằng b2  ab 4 b) a 2  b 2  1  ab  a  b c) a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  ab  c  d  e . a) a 2 . Giải: b2 2  ab  4a 2  b 2  4ab  4a 2  4a  b 2  0  2a  b   0 4 b2 (BĐT này luôn đúng). Vậy a 2   ab (dấu bằng xảy ra khi 2a=b) 4 b) a 2  b 2  1  ab  a  b  2(a 2  b 2  1   2(ab  a  b). a) a 2 .  a 2  2ab  b 2  a 2  2a  1  b 2  2b  1  0  (a  b) 2  (a  1) 2  (b  1) 2  0 Bất đẳng thức cuối đúng.. Vậy a 2  b 2  1  ab  a  b . Dấu bằng xảy ra khi a=b=1 c) a 2  b 2  c 2  d 2  e 2  ab  c  d  e   4 a 2  b 2  c 2  d 2  e 2   4ab  c  d  e . . . . . .  a 2  4ab  4b 2  a 2  4ac  4c 2  a 2  4ad  4d 2  a 2  4ac  4c 2  0  a  2b   a  2c   a  2d   a  2c   0 2. 2. 2. 2. Bất đẳng thức đúng vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng: a 10  b10 a 2  b 2  a 8  b 8 a 4  b 4  Giải:. a. 10.  a.      a a b a b b  a b b  a  0  a2b2(a2-b2)(a6-b6)  0.  b10 a 2  b 2  a 8  b 8 a 4  b 4.  a 8b 2. 2.  b2. 2. 8. 2. 12. 10. 2. 2 10. 2.  a2b2(a2-b2)2(a4+ a2b2+b4)  0. Bất đẳng thứccuối đúng vậy ta có điều phải chứng minh Lop10.com. 3. 12.  a 12  a 8 b 4  a 4 b 8  b12.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Ví dụ 3: cho x.y =1 và x  y. Chứng minh. x2  y2 2 2 x y. x2  y2 Giải:  2 2 vì :x  y nên x- y  0  x2+y2  2 2 ( x-y) x y.  x2+y2- 2 2 x+ 2 2 y  0  x2+y2+2- 2 2 x+ 2 2 y -2  0  x2+y2+( 2 )2- 2 2 x+ 2 2 y -2xy  0 vì x.y=1 nên 2.x.y=2  (x-y- 2 )2  0 Điều này luôn luôn đúng . Vậy ta có điều phải chứng minh. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: a/ P(x,y)= 9 x 2 y 2  y 2  6 xy  2 y  1  0 x, y  R b/ a 2  b 2  c 2  a  b  c (gợi ý :bình phương 2 vế) c/ Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn: x. y.z  1  1 1 1     x yz  x y z. Chứng minh rằng :có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1 Giải: Xét (x-1)(y-1)(z-1)=xyz+(xy+yz+zx)+x+y+z-1 1 x. 1 y. 1 z. 1. 1. 1. x. y. z. 1 x. 1 y. 1 z. =(xyz-1)+(x+y+z)-xyz(   )=x+y+z - (   )  0 (vì   < x+y+z theo gt)  2 trong 3 số x-1 , y-1 , z-1 âm hoặc cả ba sỗ-1 , y-1, z-1 là dương. Nếu trường hợp sau xảy ra thì x, y, z >1  x.y.z>1 Mâu thuẫn gt x.y.z=1 bắt buộc. phải xảy ra trường hợp trên tức là có đúng 1 trong ba số x ,y ,z là số lớn hơn 1 Ví dụ 5: Chứng minh rằng : 1 . a b c   2 ab bc ac. Giải: 1 1 a a    (1) ab abc ab abc b b c c  (2) ,  (3) Tương tự ta có : bc abc ac abc. Ta có : a  b  a  b  c . Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được : a b c    1 (*) ab bc ac a ac  Ta có : a  a  b  ab abc b ab  (5) , Tương tự : bc abc. (4) c cb  ca abc. (6). Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (4), (5), (6), ta được : a b c   2 ab bc ac. (**). Từ (*) và (**) , ta được : 1 . a b c    2 (đpcm) ab bc ac. Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ Kiến thức: a) x 2  y 2  2 xy b) x 2  y 2  xy dấu( = ) khi x = y = 0 Lop10.com 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức. c) x  y   4 xy 2. a b. b a. d)   2 Ví dụ 1 Cho a, b ,c là các số không âm chứng minh rằng (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x  y 2  4 xy Tacó a  b 2  4ab ; b  c 2  4bc ; c  a 2  4ac 2 2 2 2  a  b  b  c  c  a   64a 2 b 2 c 2  8abc   (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Phương pháp 4: Bất đẳng thức Cô sy Kiến thức: a/ Với hai số không âm : a, b  0 , ta có: a  b  2 ab . Dấu “=” xảy ra khi a=b b/ Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm : a1  a 2  ...  a n  n n a1 a 2 ..a n n.  a  a 2  ...  a n   a1 a 2 ..a n   1  n   Dấu “=” xảy ra khi a1  a 2  ...  a n. Chú ý : ta dùng bất đẳng thức Côsi khi đề cho biến số không âm. Ví dụ 1 : Giải phương trình :. 2x 4x 2x 3    x x x x 2 4 1 2 1 2  4. a  2 Giải : Nếu đặt t =2x thì pt trở thành pt bậc 6 theo t nên ta đặt  , a, b  0 x x. b  4. Khi đó phương trình có dạng :. a b 1 3    b 1 a 1 a  b 2. Vế trái của phương trình:  a   b   1   a  b 1   a  b 1   a  b 1    1    1    1  3     3  b 1   a 1   a  b   b 1   a 1   a  b  1 1  1 1   1  1  a  b  c        3  b  1  a  1  a  b   3  b 1 a 1 a  b   b 1 a 1 a  b . . 1 3 3 3 3 a  1b  1a  b . 3 3 2 2 a  1b  1a  b . Vậy phương trình tương đương với : a 1  b 1  a  b  a  b  1  2x  4x  1  x  0 .. Ví dụ 2 : Cho x, y , z > 0 và x + y + z = 1. Tìm GTLN của P = Giải : P = 3- (. x y z   x 1 y 1 z 1. 1 1 1   ) = 3 – Q. Theo BDT Côsi , nếu a, b, c > 0 thì x 1 y 1 z 1. a  b  c  3 3 abc . 1 1 1 1 1 1 1 9 1 1 1   33  a  b  c      9     a b c abc a b c abc a b c Lop10.com. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức 1 1 1 9     Suy ra Q = x 1 y 1 z 1 4 3 1 Vậy max P = .khi x = y = z = . 4 3. Ví dụ 3:. -Q  . 9 9 3 nên P = 3 – Q  3- = 4 4 4. Cho a, b, c >0 . Chứng minh rằng:. 1 1 1 abc  2  2  2abc a  bc b  ac c  ab 2. Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : a 2  bc  2a bc . 2 1 1 1 1       a  bc a bc 2  ab ac  2. Tương tự : 2 1 1 1 1  2 1 1 1 1       2      b   ac b ac 2  bc ab  c   ab c ab 2  ac bc  2 2 2 abc  2  2  2  a  bc b   ac c   ab 2abc 2. Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. Ví dụ 4 : CMR trong tam giác ABC :. a b c    3 (*) bca cab abc. Giải : Theo bất đẳng thức Côsi : a b c abc    33 (1) bca cab abc (b  c  a )(c  a  b)(a  b  c). Cũng theo bất đẳng thức Côsi : (b  c  a )(c  a  b) . 1 (b  c  a  c  a  b)  c (2) 2. Viết tiếp hai BDT tương tự (2) rồi nhân với nhau sẽ được (b  c  a )(c  a  b)(a  b  c)  abc abc   1 (3) (b  c  a )(c  a  b)(a  b  c). Từ (1),(3) suy ra (*). Dấu “=” xảy ra khi a = b = c hay ABC là đều . Ví dụ 5: 2 0  a  b  c  x y z  a  c  Cho  . Chứng minh rằng:  by  cz      4ac a b c 0  x, y, z. Giải: Đặt f ( x)  x 2  (a  c) x  ac  0 có 2 nghiệm a,c Mà: a  b  c  f (b)  0  b 2  (a  c)b  ac  0 ac y  a  c  yb  ac  a  c y b b x y z    xa  ac   ( yb  ac )  ( zc  ac )  a  c x  a  c y  (a  c) z a b c  x y z  xa  yb  zc  ac     a  c x  y  z  a b c b. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:. Lop10.com. 6. x  y  z 2.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức 2. xa  yb  zc ac x  y  z   a  c x  y  z  a. b. c. x y z 2 2  4xa  yb  zc ac     a  c  x  y  z  a b c.  x y z  a  c  x  y  z 2 (đpcm)  xa  yb  zc ac     4ac a b c 2. Phương pháp 5 Bất đẳng thức Bunhiacopski Kiến thức: Cho 2n số thực ( n  2 ): a1 , a 2 ,...a n , b1 , b2 ,..., bn . Ta luôn có: (a1b1  a 2 b2  ...  a n bn ) 2  (a12  a 22  ...  a n2 )(b12  b22  ...  bn2 ). Dấu “=” xảy ra khi  Hay. a a1 a 2   ....  n b1 b2 bn. b b1 b2   ....  n (Quy ước : nếu mẫu = 0 thì tử = 0 ) a1 a 2 an. Chứng minh: a  a 2  a 2  ...  a 2 1 2 n Đặt  2 2 2  b  b1  b2  ...  bn.  Nếu a = 0 hay b = 0: Bất đẳng thức luôn đúng.  Nếu a,b > 0: ai b ,  i  i i  1,2,...n , Thế thì:  12   22  ...   n2   12   22  ...   n2 a b 1 Mặt khác:  i  i   i2   i2 2 1 1  1 1   2  2  ...   n  n  ( 12   22  ....   n2 )  ( 12   22  ...   n2 )  1 2 2 Suy ra:  a1b1  a 2 b2  ...  a n bn  a.b. Đặt:  i . . . Lại có: a1b1  a 2 b2  ...  a n bn  a1b1  a 2 b2  ...  a n bn Suy ra: (a1b1  a 2 b2  ...  a n bn ) 2  (a12  a 22  ...  a n2 )(b12  b22  ...  bn2 )   i   i i  1,2,..., n  a a a  1  2  ....  n b1 b2 bn  1  1 .... n  n cùng dáu. Dấu”=” xảy ra   Ví dụ 1 :. Chứng minh rằng: x  R , ta có: sin 8 x  cos 8 x  Giải: Ta có: sin 2 x  cos 2 x  1, x  R Theo bất đẳng thức Bunhiacopski, ta có:. .  . . 1  sin 2 x.1  cos 2 x.1  sin 4 x  cos 4 x 12  12 . 1 1  sin 4 x  cos 4 x   sin 4 x  cos 4 x 2 4. . 1 8. . . 2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski một lần nữa: . 2 1 1 1  sin 4 x.1  cos 4 x.1   sin 8 x  cos8 x 12  12  sin 4 x  cos 4 x  4 4 8. . . . . Lop10.com. 7.  . .

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có các góc A,B,C nhọn. Tìm GTLN của: P  1  tan A. tan B  1  tan B. tan C  1  tan C. tan A. Giải: * Bất đẳng thức Bunhiacopski mở rộng Cho m bộ số, mỗi bộ số gồm n số không âm: (ai , bi ,..., ci )(i  1,2,...., m) Thế thì: (a1 a 2 ...a m  b1b2 ...bm  ...  c1c 2 ...c m ) 2  (a1m  b1m  ...  c1m )(a 2m  b2m  ...  c 2m )(a mm  bmm  ...  c mm ). Dấu”=” xảy ra   bô số (a,b,….,c) sao cho: với mỗi i = 1,2,…,m thì  t i sao cho: a  t i ai , b  t i bi ,..., c  t i ci , Hay a1 : b1 : ... : c1  a 2 : b2 : ... : c 2  a n : bn : ...c n a12  a 22  ...  a n2  3 Ví dụ 1: Cho  n  Z,n  2  a a a Chứng minh rằng: 1  2  ....  n  2 2 3 n 1. Giải: k  N * ta có:. . 1  k2. 1 1 k2  4. . 1 1  1   k   k   2  2 . 1 1 1   2 1 1 k k k 2 2.    1 1 1 1  1 1   1 1  1  1 1 2  2  2  ...  2      ...        5  5 7  1 1 3 1 3 2 3 n 3 n n  2  2 2 2 n  2 2 2 2 . Do đó theo bất đẳng thức Bunhiacopski: a a1 a 2   ....  n  a12  a 22  ...  a n2 2 3 n 1. Ví dụ 2:. 1 1 1 2  2  ...  2  3  2 (đpcm) 2 3 2 3 n. Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng: (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2. Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski: Tacó. ac+bd  a 2  b 2 . c 2  d 2. mà a  c 2  b  d 2  a 2  b 2  2ac  bd  c 2  d 2  a 2  b 2  2 a 2  b 2 . c 2  d 2  c 2  d 2  (a  c) 2  (b  d ) 2  a 2  b 2  c 2  d 2. Ví dụ 3: Chứng minh rằng : a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski Cách 1: Xét cặp số (1,1,1) và (a,b,c) ta có 12  12  12 (a 2  b 2  c 2 )  1.a  1.b  1.c 2  3 a 2  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2  2ab  bc  ac   a 2  b 2  c 2  ab  bc  ac Điều phải chứng minh Dấu bằng xảy ra khi a=b=c Phương pháp 6: Bất đẳng thức Trê- bư-sép Kiến thức: a1  a 2  .....  a n a  a  ...  a n b1  b2  ....  bn a1b1  a 2 b2  ....  a n bn .  thì 1 2 . n n n b1  b2  .....  bn. a)Nếu . Lop10.com. 8.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức a1  a 2  ....  a n b1  b2  ....  bn. Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi  a1  a 2  .....  a n thì b1  b2  .....  bn. b)Nếu . a1  a 2  ...  a n b1  b2  ....  bn a1b1  a 2 b2  ....  a n bn .  n n n a  a  ....  a n Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi  1 2 b1  b2  ....  bn Ví dụ 1: Cho  ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn bán kính R = 1 và sin A. sin 2a  sin B. sin 2 B  sin C. sin 2C 2 S  . sin A  sin B  sin C 3 S là diện tích tan giác. chứng minh rằng  ABC là tam giác đều.. . Giải: Không giảm tính tổng quát ta giả sư 0  A  B  C  . Suy ra: 2. sin A  sin B  sin C  sin 2a  sin 2 B  sin 2C. Áp dụng BĐT trebusep ta được:. sin A  sin B  sin C sin 2 A  sin 2 B  sin 2C    3sin A. sin 2 A  sin B. sin 2 B  sin C. sin 2C . sin A. sin 2 A  sin B. sin 2 B  sin C. sin 2C 1  (sin 2 A  sin 2 B  sin 2C ) sin A  sin B  sin C 3 sin A  sin B  sin C Dấu ‘=’ xảy ra    ABC dêu sin 2 A  sin 2 B  sin 2C . Mặt khác:. sin 2 A  sin 2 B  sin 2C  2 sin( A  B ). cos( A  B )  sin 2C.  2 sin C cos( A  B )  cos C  2 sin C cos( A  B )  cos( A  B )  2 sin C.2 sin A. sin B  4 sin A sin B sin C  (2 R sin A)(2 R sin B ). sin C  a.b. sin C  2 S ( 2). Thay (2) vào (1) ta có. sin A. sin 2a  sin B. sin 2 B  sin C. sin 2C 2 S  . sin A  sin B  sin C 3 Dấu ‘=’ xảy ra   ABC đều.. Ví dụ 2(HS tự giải): a/. Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. b/ c/. Cho x,y,z>0 và x+y+z=1 Cho a>0 , b>0, c>0. CMR:. 1 1 1   9 a b c CMR:x+2y+z  4(1  x)(1  y )(1  z ). CMR:. a b c 3    bc ca ab 2. d)Cho x  0 ,y  0 thỏa mãn 2 x  y  1. ;CMR:. x+y . Ví dụ 3: Cho a>b>c>0 và a 2  b 2  c 2  1 . Chứng minh rằng Lop10.com. 9. 1 5 a3 b3 c3 1    bc ac ab 2.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Giải:  a2  b2  c2 Do a,b,c đối xứng ,giả sử a  b  c   a  b  c  b  c a  c a  b. Áp dụng BĐT Trê- bư-sép ta có a2.. a b c a2  b2  c2  a b c  1 3 1  b2.  c2.  .   = . = bc ac ab 3 bc ac ab 3 2 2. Vậy. a3 b3 c3 1    bc ac ab 2. Ví dụ 4:. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=. 1 3. Cho a,b,c,d>0 và abcd =1 .Chứng minh rằng :. a  b  c  d 2  ab  c  bc  d  d c  a   10 2. 2. 2. Giải: Ta có a 2  b 2  2ab c 2  d 2  2cd 1 1 1 Do abcd =1 nên cd = (dùng x   ) ab x 2 1 Ta có a 2  b 2  c 2  2(ab  cd )  2(ab  )  4 (1) ab Mặt khác: ab  c  bc  d  d c  a  = (ab+cd)+(ac+bd)+(bc+ad) 1 1 1 =  ab     ac     bc    2  2  2 ab   ac   bc   2 2 2 2 Vậy a  b  c  d  ab  c  bc  d  d c  a   10. Phương pháp7 Bất đẳng thức Bernouli Kiến thức: a)Dạng nguyên thủy: Cho a  -1, 1  n  Z thì 1  a n  1  na . Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ a  0 n  1. khi . b) Dạng mở rộng: - Cho a > -1,   1 thì 1  a   1  na . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 0. a  0 .   1. - cho a  1,0    1 thì 1  a   1  na . Dấu bằng xảy ra khi va chỉ khi  Ví dụ 1 : Chứng minh rằng a b  b a  1, a, b  0 . Giải - Nếu a  1 hay b  1 thì BĐT luôn đúng - Nếu 0 < a,b < 1 Áp dụng BĐT Bernouli:. b 1  a  a  b a  1   1 a    ab  .    1    1 a  a a ab a  b Chứng minh tương tự: b a  . Suy ra a b  b a  1 ab b. b. Ví dụ 2: Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng 5. a5  b5  c5  a  b  c    . 3 3  . (1) Lop10.com. 10. (đpcm)..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Giải 5. 1  . 5. 5. 3a   3b   3c       3 abc abc abc. Áp dụng BĐT Bernouli:. 5b  c  2a   3a   b  c  2a  (2)    1    1 abc  abc abc  5. 5. Chứng minh tương tự ta đuợc: 5c  a  2b   3b     1 abc abc. (3). 5a  b  2c   3c     1 abc abc. (4). 5. 5. Cộng (2) (3) (4) vế theo vế ta có 5. 5. 5.  3a   3b   3c         3  (đpcm) abc abc abc. Chú ý: ta có bài toán tổng quát sau đây: “Cho a1 , a 2 ,...a n  0; r  1. Chứng minh rằng r. a1r  a 2r  ....  a nr  a1  a 2  ....  a n   .    n n   Dấu ‘=’  a1  a 2  ....  a n .(chứng minh tương tự bài trên).. Ví dụ 3: Cho 0  x, y, z  1 . Chứng minh rằng. 2. x. . .  2 y  2 z 2x  2 y  2z . 81 . 8. Giải Đặt a  2 x , b  2 y , c  2 z 1  a, b, c  2. 1  a  2  a  1a  2   0.  a 2  3a  2  0  a . 2  3 (1) a. Chứng minh tương tự: 2 3 b 2 c 3 c. b. ( 2) (3). Cộng (1) (2) (3) vế theo vế ta được  1 1 1  côsi  1 1 1 9  a  b  c  2     2 a  b  c 2    a b c a b c . 81  1 1 1  (a  b  c)     (đpcm) 8 a b c. Chú ý: Bài toán tổng quát dạng này “ Cho n số x1 , x 2 ,...., x n  a, b, c  1 Ta luôn có: Lop10.com. 11.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức. c. x1. c. x2.  ....  c. xn. c.  x1. c.  x2.  ....  c.  xn.  nc4c c  a. b. 2. a b. Phương pháp 8: Sử dụng tính chất bắc cầu Kiến thức: A>B và B>C thì A>C Ví dụ 1: Cho a, b, c ,d >0 thỏa mãn a> c+d , b>c+d Chứng minh rằng ab >ad+bc Giải: a  c  d b  c  d. a  c  d  0    b  d  c  0 ab-ad-bc+cd >cd  ab> ad+bc. Tacó  . (a-c)(b-d) > cd (điều phải chứng minh). 5 2 2 2 1 1 1 1 Ví dụ 2: Cho a,b,c>0 thỏa mãn a  b  c  . Chứng minh    3 a b c abc 2 2 2 2 Giải: Ta có :( a+b- c) = a +b +c +2( ab –ac – bc)  0 1 2 2 2 ( a +b +c ) 2 5 1 1 1 1     ac+bc-ab   1 Chia hai vế cho abc > 0 ta có 6 a b c abc.  ac+bc-ab . Ví dụ 3: Cho 0 < a,b,c,d <1 Chứng minh rằng (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d Giải: Ta có (1-a).(1-b) = 1-a-b+ab Do a>0 , b>0 nên ab>0  (1-a).(1-b) > 1-a-b (1) Do c <1 nên 1- c >0 ta có  (1-a).(1-b) ( 1-c) > 1-a-b-c  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > (1-a-b-c) (1-d) =1-a-b-c-d+ad+bd+cd  (1-a).(1-b) ( 1-c).(1-d) > 1-a-b-c-d (Điều phải chứng minh) Ví dụ 4: Cho 0 <a,b,c <1 . Chứng minh rằng: 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2 b  b 2 c  c 2 a Giải: Do a < 1  a 2  1 và Ta có 1  a 2 .1  b   0  1-b- a 2 + a 2 b > 0  1+ a 2 b 2 > a 2 + b mà 0< a,b <1  a 2 > a 3 , b 2 > b 3 Từ (1) và (2)  1+ a 2 b 2 > a 3 + b 3 . Vậy a 3 + b 3 < 1+ a 2 b 2 Tương tự b 3 + c 3  1  b 2 c ; c 3 + a 3  1  c 2 a Cộng các bất đẳng thức ta có : 2a 3  2b 3  2c 3  3  a 2 b  b 2 c  c 2 a Ví dụ 5 Chứng minh rằng : Nếu a 2  b 2  c 2  d 2  1998 thì ac+bd =1998 Giải: Ta có (ac + bd) 2 + (ad – bc ) 2 = a 2 c 2 + b 2 d 2  2abcd  a 2 d 2  b 2 c 2 - 2abcd = = a2(c2+d2)+b2(c2+d2) =(c2+d2).( a2+ b2) = 19982 rõ ràng (ac+bd)2  ac  bd 2  ad  bc 2  1998 2  ac  bd  1998 Ví dụ 6 (HS tự giải) : a/ Cho các số thực : a1; a2;a3 ….;a2003 thỏa mãn : a1+ a2+a3 + ….+a2003 =1 2  c hứng minh rằng : a 12 + a 22  a32  ....  a 2003. 1 2003. b/ Cho a;b;c  0 thỏa mãn :a+b+c=1 1 a. 1 b. 1 c. Chứng minh rằng: (  1).(  1).(  1)  8 Lop10.com. 12.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Dùng tính chất của tỷ số. Phương pháp 9: Kiến thức 1) Cho a, b ,c là các số dương thì a a ac  1 thì  b b bc a a ac b – Nếu  1 thì  b bc b. a – Nếu. 2) Nếu b,d >0 thì từ. a c a ac c     b d b bd d. ` Ví dụ 1: Cho a,b,c,d > 0 .Chứng minh rằng 1. a b c d    2 abc bcd cd a d ab. Giải: Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có a a ad 1  abc abc abcd a a  Mặt khác : abc abcd. (1) (2). Từ (1) và (2) ta có \. a a ad < < abcd abc abcd. (3). Tương tự ta có. b b ba   abcd bcd abcd c c bc   abcd cd a abcd d d d c   abcd d ab abcd. (4) (5) (6). cộng vế với vế của (3); (4); (5); (6) ta có a b c d     2 điều phải chứng minh abc bcd cd a d ab a c a ab  cd c  Ví dụ 2 :Cho: < và b,d > 0 .Chứng minh rằng < 2 b d b b d2 d a c ab cd ab ab  cd cd c   Giải: Từ <  2  2  2  2 b d b d b b d2 d2 d a ab  cd c  Vậy < điều phải chứng minh b b2  d 2 d 1. Ví dụ 3 : Cho a;b;c;dlà các số nguyên dương thỏa mãn : a+b = c+d =1000 a c. tìm giá trị lớn nhất của . b d. Giải: Không mất tính tổng quát ta giả sử : a  1 vì a+b = c+d c Lop10.com. 13. a b a b  Từ :  c d c d. . a ab b   c cd d.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức b a b  998    999 d c d a b 1 999 b/Nếu: b=998 thì a=1   =  Đạt giá trị lớn nhất khi d= 1; c=999 c d c d a b 1 Vậy giá trị lớn nhất của  =999+ khi a=d=1; c=b=999 c d 999. a/ Nếu :b  998 thì. Phương pháp 10: Phương pháp làm trội Kiến thức: Dùng các tính bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức về dạng tính được tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn. (*) Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn : S = u1  u2  ....  un Ta cố gắng biến đổi số hạng tổng quát u k về hiệu của hai số hạng liên tiếp nhau: uk  ak  ak 1. Khi đó :S = a1  a2  a2  a3  ....  an  an 1   a1  an 1 (*) Phương pháp chung về tính tích hữu hạn: P = u1u2 ....un Biến đổi các số hạng u k về thương của hai số hạng liên tiếp nhau: u k = Khi đó P =. ak ak 1. a a1 a2 a . ..... n  1 a2 a3 an 1 an 1. Ví dụ 1: Với mọi số tự nhiên n >1 chứng minh rằng 1 1 1 1 3    ....   2 n 1 n  2 nn 4 1 1 1   Giải: Ta có với k = 1,2,3,…,n-1 n  k n  n 2n 1 1 1 1 1 n 1   ...    ...    Do đó: n 1 n  2 2n 2n 2n 2n 2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng:. . . 1 1 1   ....   2 n 1 1 Với n là số nguyên 2 3 n 1 2 2    2 k 1  k Giải: Ta có k 2 k k  k 1 1. . . Khi cho k chạy từ 1 đến n ta có 1 > 2  2  1. . 1 2 3 2 2. . ………………. . 1  2 n 1  n n. . Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có 1  Ví dụ 3: Chứng minh rằng. n. k 1. Giải: Ta có. 1. k. 2. 2. . n  Z. 1 1 1 1    2 k k k  1 k  1 k Lop10.com. 14. . 1 1 1   ....   2 n 1 1 2 3 n.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Cho k chạy từ 2 đến n ta có 1 1  1 2 2 2 1 1 1   32 2 3 ................. 1 1 1 1 1 1    2  2  ....  2  1 2 n n 1 n 2 3 n. Vậy. n. 1. k k 1. 2. 2. Phương pháp 11: Dùng bất đẳng thức trong tam giác Kiến thức: Nếu a;b;clà số đo ba cạnh của tam giác thì : a;b;c> 0 Và |b-c| < a < b+c ; |a-c| < b < a+c ; |a-b| < c < b+a Ví dụ 1: Cho a;b;c là số đo ba cạnh của tam giác chứng minh rằng 1/ a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2/ abc>(a+b-c).(b+c-a).(c+a-b) Giải 1/Vì a,b,c là số đo 3 cạnh của một tam giác nên ta có 0  a  b  c  0  b  a  c 0  c  a  b . a 2  a (b  c)  2 b  b(a  c)  c 2  c ( a  b) . . Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta có: a2+b2+c2< 2(ab+bc+ac) 2/ Ta có a > b-c   a 2  a 2  (b  c) 2 > 0 b > a-c   b 2  b 2  (c  a ) 2 > 0 c > a-b   c 2  c 2  ( a  b) 2  0 Nhân vế các bất đẳng thức ta được. . . .  a 2b 2 c 2  a 2  b  c  b 2  c  a  c 2  a  b  2. 2. 2.  a 2b 2 c 2  a  b  c  b  c  a  c  a  b   abc  a  b  c  . b  c  a  . c  a  b 2. 2. . 2. Ví dụ2 (HS tự giải) 1/ Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác Chứng minh rằng ab  bc  ca  a 2  b 2  c 2  2(ab  bc  ca) 2/Cho a,b,c là chiều dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 2 Chứng minh rằng a 2  b 2  c 2  2abc  2 Phương pháp 12: Sử dụng hình học và tọa độ Ví dụ 1: Chứng minh rằng : c(a  c)  c(b  c)  ab , a  b  0 và b  c Giải Trong mặt phẳng Oxy, chọn u  ( c, b  c ) ; v ( a  c , c ) Thì u  b , v  a ; u.v  c(a  c)  c(b  c) Lop10.com. 15.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Hơn nữa: u.v  u . v . cos(u, v)  u . v  c(a  c)  c(b  c)  ab  (ĐPCM) Ví dụ 2: Cho 2n số: xi ; y i , i  1,2,..., n thỏa mãn: n.  i 1. xi2  y i2 . n. n. i 1. i 1.  xi   yi  1. Chứng minh rằng:. 2 2. Giải: Vẽ hình. y. MN. MK. H. M 1. x. O. x+y=1. Trong mặt phẳng tọa độ, xét: M 1 ( x1 , y1 ) : M 2 ( x1  x 2 , y1  y 2 ) ;…; M n ( x1    x n , y1    y n ) Giả thiết suy ra M n  đường thẳng x + y = 1. Lúc đó: OM 1  x12  y12 ,. M 1 M 2  x 22  y 22 , M 2 M 3  x32  y32 ,…, M n 1 M n  x n2  y n2. Và OM 1  M 1 M 2  M 2 M 3    M n 1 M n  OM n  OH  n. 2 2.  (ĐPCM). Phương pháp 13:. Đổi biến số.   xi2  y i2  i 1. 2 2. a b c 3    (1) bc ca ab 2 yzx zx y x yz Giải: Đặt x=b+c ; y=c+a ;z= a+b ta có a= ; b= ;c= 2 2 2 yzx zx y x yz 3    ta có (1)  2x 2y 2z 2 y z x z x y y x z x z y  1  1  1  3  (  )  (  )  (  )  6  x x y y z z x y x z y z y x z y z x   2 nên ta có điều   2; Bất đẳng thức cuối cùng đúng vì (   2; x y y z x z. Ví dụ1: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng. phải chứng minh Ví dụ2: Cho a,b,c > 0 và a+b+c <1. Chứng minh rằng 1 1 1  2  2 9 (1) a  2bc b  2ac c  2ab Giải: Đặt x = a 2  2bc ; y = b 2  2ac ; z = c 2  2ab . Ta có 2. Lop10.com. 16. x  y  z  a  b  c   1 2.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức 1 1 1 (1)     9 x y z. Với x+y+z < 1 và x ,y,z > 0 1 1 1 1    3. 3 x y z xyz. Theo bất đẳng thức Côsi ta có: x  y  z  3. 3 xyz , và:. x  y  z . 1  1  1   9 . Mà x+y+z < 1. Vậy. 1 1 1    9 (đpcm) x y z x y z 1 Ví dụ3: Cho x  0 , y  0 thỏa mãn 2 x  y  1 CMR x  y  5 2 2 Gợi ý: Đặt x  u , y  v  2u-v =1 và S = x+y = u  v  v = 2u-1. . thay vào tính S min Bài tập tự giải 1) Cho a > 0 , b > 0 , c > 0. CMR:. 2)Tổng quát m, n, p, q, a, b >0 CMR ma nb pc 1    bc ca ab 2. Phương pháp 14:. 25a 16b c   8 bc ca ab.  m. . n  p  m  n  p  2. Dùng tam thức bậc hai. Kiến thứ: Cho f(x) = ax2 + bx + c Định lí 1: a  0   0 a  0 f ( x)  0, x     0 a  0 f ( x)  0, x     0. f(x) > 0, x  . a  0 f ( x)  0, x     0. Định lí 2: Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1    x 2  a. f    0 Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm :  a. f    0  x1  x 2      0 S   2. Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm :  a. f    0    x1  x 2    0 S   2. Lop10.com. 17.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức   x    x. 1 2 Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm   f  . f    0. x    x   2  1. Ví dụ 1:Chứng minh rằng f x, y   x 2  5 y 2  4 xy  2 x  6 y  3  0 Giải: Ta có (1)  x 2  2 x2 y  1 5 y 2  6 y  3  0. (1).   2 y  1  5 y 2  6 y  3  4 y 2  4 y  1  5 y 2  6 y  3    y  1  1  0 2. 2. Vậy f x, y   0 với mọi x, y Ví dụ2: Chứng minh rằng: f x, y   x 2 y 4  2x 2  2. y 2  4 xy  x 2  4 xy 3 Giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với. .  1  y   4 y y. x 2 y 4  2 x 2  2 . y 2  4 xy  x 2  4 xy 3  0  ( y 2  1) 2 .x 2  4 y 1  y  x  4 y 2  0 2. 2 2 2 Ta có   4 y 2  1  16 y 2  0 2 Vì a = y 2  1  0 vậy f x, y   0 (đpcm) Phương pháp 15: Dùng quy nạp toán học Kiến thức: Để chứng minh bất đẳng thức đúng với n  n0 ta thực hiện các bước sau : 1 – Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n  n0 2 - Giả sử BĐT đúng với n =k (thay n =k vào BĐT cần chứng minh được gọi là giả thiết quy nạp ) 3- Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k +1 (thay n = k+1vào BĐT cần chứng minh rồi biến đổi để dùng giả thiết quy nạp) 4 – kết luận BĐT đúng với mọi n  n0 2. 2. 1 1 1 1  2  ....  2  2  n  N ; n  1 2 1 2 n n 1 1 Giải: Với n =2 ta có 1   2  (đúng). Vậy BĐT (1) đúng với n =2 4 2. Ví dụ1: Chứng minh rằng :. (1). Giả sử BĐT (1) đúng với n =k ta phải chứng minh BĐT (1) đúng với n = k+1 Thật vậy khi n =k+1 thì (1) . 1 1 1 1 1  2  ....  2   2 2 2 1 2 k (k  1) k 1. Theo giả thiết quy nạp . 1 1 1 1 1 1 1  2  ....  2   2   2 2 2 2 1 2 k (k  1) k k  1 k 1.  . 1 1 1 1 1  ....     2 2 2 1 (k  1) k  1 k  1 k k 11 1   k (k  2)  (k  1) 2  k2+2k<k2+2k+1 2 k (k  1). Điều này đúng .Vậy bất đẳng. thức (1)được chứng minh n. an  bn ab Ví dụ2: Cho n  N và a+b> 0. Chứng minh rằng  (1)  .  2. . 2. Giải: Ta thấy BĐT (1) đúng với n=1 Giả sử BĐT (1) đúng với n=k ta phải chứng minh BĐT đúng với n=k+1 Thật vậy với n = k+1 ta có Lop10.com. 18.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức ab   2 . (1)  . k 1. a k 1  b k 1 2. . k. a k 1  b k 1 ab ab (2)    . 2 2  2  a k  b k a  b a k 1  ab k  a k b  b k 1 a k 1  b k 1 .    Vế trái (2)  2 2 4 2 k 1 k 1 k 1 k k k 1 a b a  ab  a b  b   0  a k  b k .a  b   0 (3)  2 4. . . Ta chứng minh (3) (+) Giả sử a  b và giả thiết cho a  -b  a  b k.  ak  b  bk. . a. k. .  b k .a  b   0. (+) Giả sử a < b và theo giả thiết - a<b  a  b k  a k  b k  a k  b k .a  b   0 Vậy BĐT (3)luôn đúng ta có (đpcm) Ví dụ 3: Cho a  1 ,1  n   . Chứng minh rằng : (1  a) n  1  n.a Giải n=1: bất đẳng thức luôn đúng n=k ( k   ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1  a) k  1  k .a n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1  a) k 1  1  (k  1).a Ta có: (1  a) k 1  (1  a).(1  a) k  (1  a).(1  k .a)  1  (k  1)a  k .a 2  1  (k  1)a  Bất đẳng thức đúng với n= k+1 V ậy theo nguyên lý quy nạp: (1  a) n  1  n.a , n   k. 1 2. Ví dụ 4: Cho 1  n   a1 , a 2 ,, a n  0 thoả mãn a1  a 2    a n  . Chứng minh rằng: (1  a1 )(1  a 2 )  (1  a n )  1 2. 1 2 1 2. Giải n=1: a1   1  a1   Bài toán đúng n=k ( k   ): giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (1  a1 )(1  a 2 )  (1  a k ) . 1 2. 1 2 Ta có: (1  a1 )(1  a 2 )  (1  a k 1 )  (1  a1 )(1  a 2 )  (1  a k 1 )[1  (a k  a k 1 )  a k a k 1 ] 1 1  (1  a1 )(1  a 2 )  (1  a k 1 )[1  (a k  a k 1 )]  (Vì a1  a 2    a k 1  (a k  a k 1 )  ) 2 2  Bất đẳng thức đúng với n= k+1 1 Vậy theo nguyên lý quy nạp: (1  a1 )(1  a 2 )  (1  a n )  2 Ví dụ 5: Cho 1  n   , ai , bi  R, i  1,2,..., n . Chứng minh rằng:. n= k+1 . Ta cần chứng minh: (1  a1 )(1  a 2 )  (1  a k 1 ) . (a1b1  a 2 b2    a n bn ) 2  (a12  a 22    a n2 )(b12  b22    bn2 ). Giải n=1: Bất đẳng thức luôn đúng n=k ( k   ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (a1b1  a 2 b2    a k bk ) 2  (a12  a 22    a k2 )(b12  b22    bk2 ) Lop10.com. 19.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức n= k+1 . Ta cần chứng minh: (a1b1  a 2 b2    a k 1bk 1 ) 2  (a12  a 22    a k21 )(b12  b22    bk21 ) (1) Thật vậy: VP(1)  (a12  a 22    a k2 )(b12  b22    bk2 )  (a12    a k2 ).b 2 +  a 2 (b12  b22    bk2 )  a k21 .bk21  (a1b1  a 2 b2    a k bk )  2a1b1 a k 1bk 1  2a 2 b2 a k 1bk 1     2a k bk a k 1bk 1  a k21bk21  (a1b1  a 2 b2    a k bk ) 2  2 (a1b1  a 2 b2    a k bk ) a k 1bk 1  a k21 .bk21  (a1b1  a 2 b2    a k 1bk 1 ) 2. Vậy (1) được chứng minh Ví dụ 6: Cho 1  n   , ai , bi  R, i  1,2,..., n . Chứng minh rằng: (. a1  a 2    a n 2 a12  a 22    a n2 )  n n. Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng a1  a 2    a k 2 a12  a 22    a k2 )  k k 2 2 2 a  a    a k 1 2 a1  a 2    a k 1 )  n= k+1 . Ta cần chứng minh: ( 1 2 (1) k 1 k 1 a  a    a k 1 Đặt: a  2 3 k 1 VP(1)  (a12  k 2 a 2  2ka1 a ) k 1 2 2 2 a 22  a32    a k21  a12  a 22    a k21 1  2 2 a 2  a 3    a k 1 2  a  k  k . a  k  1  1 k 1 k k (k  1) 2  . n=k ( k   ):giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: (. Vậy (1) đựơc chứng minh Ví dụ 7: Chứng minh rằng: n n  4. Giải: n=2  . (n  1). n 1. 3. n n  (n  1) n 1 , n  , n  2  n n  (n  1) n 1. n=k  2 : giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: k k  (k  1) k 1 n= k+1:Ta c ó: k k (k  1) k 1  (k  1) k 1 (k  1) k 1  (k  1) 2 k  2 (k  1) 2  [(k  1) 2 ] k 1 (k  1) 2  (k 2  2k ) k 1 (k 2  2k ) (vì (k  1) 2  k 2  2k  1  k 2  2k )  k k (k  2) k  (k  1) k 1  (k  2) k  Bất đẳng thức đúng với n= k+1 Vậy n n  (n  1) n1 , n  , n  2 Ví dụ 8: Chứng minh rằng: sin nx  n sin x , n    , x  R Giải: n=1: Bất đẳng thức luôn đúng n=k :giả sử bất đẳng thức đúng, tức là: sin kx  k sin x n= k+1 . Ta cần chứng minh: sin(k  1) x  (k  1) sin x  a  b  a  b , a, b  R Ta có:   sin x , cos x  1, x  R. Nên:. sin( k  1) x  sin kx cos x  cos kx sin x.  sin kx . cos x  cos kx . sin x  sin kx .  . sin x  k sin x .  . sin x  (k  1) sin x Lop10.com. 20.

<span class='text_page_counter'>(21)</span>