Toán 11 - Dạng toán tìm giới hạn dãy tổng

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ ------- 0985.729.289. DẠNG TOÁN TÌM GIỚI HẠN DÃY TỔNG A. LÝ THUYẾT. u1  a  Bài toán : Cho dãy số dạng công thức truy hồi  tìm lim Sn   u  f ( u ) n n  1   * Cơ sở lý thuyết 1. Phương pháp chứng minh dãy số tăng, dãy số giảm 2. Các gới hạn đặc biệt của dãy số 3. Các định lý về giới hạn của dãy số 4. Quy tắc tìm giới hạn một tích một thương của dãy số 5. Phân tích đa thức thành nhân tử , tam thức bậc hai. * Các bước giải bài toán B1: Chứng minh dãy số tăng hoặc dãy số giảm B2: Tìm giới hạn của dãy số un B3: Phân tích un  f (un1 , un2 ) về dạng tổng Sn và tính tổng Sn , tính lim Sn B. BÀI TẬP Bài 9: Cho dãy số  un ; n = 1,2,… được xác định như sau:. u1  1  un 1  un (un  1)(un  2)(un  3)  1; n  1, 2,... n. Đặt S n . 1 (n =1,2,…). Tính lim S n n   2 i. u i 1. u1  1  Bài 10 Cho dãy số{un} thoả mãn:  . un2 u   un  n 1 2012  u u u Xét dãy số vn  1  2  ...  n , Với n = 1,2,… u 2 u3 un 1 Chứng minh rằng dãy số {vn} có giới hạn và tìm giới hạn đó. Bài 13 ( HSG Tỉnh LS 2011-2012 khối 11 ):. u1  2012. Cho dãy số (un) xác định như sau: . 2 u n 1  2012u n  u n u u u u Tìm lim( 1  2  3  ...  n ). u 2 u3 u 4 u n 1. (n  N*). Bài 15 Cho dãy số  U n  được xác định bởi : u1  5 n 1 2 1 u n  u n  9  ; n  N ; n  1 . Đặt v n   ;n  N ; n 1  5 k 1 u k  2 Tính lim v n. u n 1 . n . Bài 17 Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức. u1  1  Đặt S n =  u n 1  1  u1u 2 ...u n , n  1,2.... 1. Lop11.com. n. 1. u k 1. k. . Tìm lim S n n  .

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ ------- 0985.729.289. Bài 18 Cho dãy  x n  xác định như sau :  x1  1 (n  N*)  2  x n 1  x n  3x n  1 1 1 1 Đặt Sn    ...  (n  N*) . Tìm L imSn . x1  2 x 2  2 xn  2 1 Bài 20 Cho {un }xác định như sau: u1 = 8; u n 1  (u 2n  7u n  25) 3 1 1 1 Tính: C  lim(   ...  ) u3  2 un  2 n  u 2  2. Bài 24 Cho dãy số  U n  được xác định bởi :. u1  5 n 1 2 1 u n  u n  9  ; n  N ; n  1 . Đặt v n   ;n  N ; n 1  5 k 1 u k  2 Tính lim v n. u n 1 . n . Bài 25 Cho dãy (xn) : x1=1 ; n. Đặt y n   i 1.  2  cos 2 xn  cos 2  xn 1  2  2 cos 2 xn  2  cos 2. 1 , n  1 .Tìm  để dãy số (yn) có giới hạn hữu hạn và tìm 2 xi  1. giới hạn đó. Bài 26 Cho dãy ( xn ) thỏa: x1  4; xn 1 . n xn4  9 1 . Tính lim  3 3 n  xn  xn  6 k 1 xk  3. u 2n  2013.u n 2014 u u un Tính: B  lim( 1  2  ...  ) u3 1 u n 1  1 n  u 2  1. Bài 28 cho {un }xác định như sau: u1 = 2; u n 1 . DẠNG TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A. LÝ THUYẾT u1  a  1. Bài toán 1 : Cho dãy số dạng công thức truy hồi  tìm un    un  a. f (un1 )  g (n) u1  a  Loại 1:  với g(n) bậc k.    un  a.un1  g (n), n  2. TH1: a  1 , đặt un  un1  h(n) bậc của h(n) là k đồng nhất hệ số để tìm các hệ số h(n) dựa vào công thức truy hồi.. 2. Lop11.com. trong.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ ------- 0985.729.289 TH2: a  1 , đặt un  un1  h(n) bậc của h(n) là k +1 ( hệ số tự do là 0 ) đồng nhất hệ số để tìm các hệ số trong h(n) dựa vào công thức truy hồi. u1  a  Loại 2:   n   un  a.un1  b.a , n  2 * TH1: a  a , đặt un  un1  l.a n thay vào (*) đồng nhất hệ số để tìm l . TH2: a  a , đặt un  un1  l n.a n thay vào (*) đồng nhất hệ số để tìm l .  u1  a Loại 3 :   n   un  a.un1  b.a  g (n), n  2 * u1  a    Loại 4:  a.un1  b  un  , n  2 * (ad  bc)  c.un1  d    a.un1 1 1 c 1 TH1: b= 0 thì un  được   d .  đặt vn  vn  A.vn1  B c.un1  d un un1 a un đưa về loại 1 ( với bậc của h(n) là 0 ) A.an1 TH2: nếu b  0 thì đặt un  an  t thay vào (*) đưa về dạng an  như B.an1  C Trường hợp 1 khi b= 0 bằng cách chọn t để hệ số tự do bằng 0. u1  a, u2  b  2. Bài toán 2 Cho dãy số  tìm un ?    un  a.un1  b.un2 , n  3 + TH 1: Nếu phương trình đặc trưng l 2  a.l  b  0 có hai nghiệm phân biệt l1 , l2 thì số hạng tổng quát có dạng : un  a.l1  b.l2 tìm a, b bằng thay u1; u2 + TH 2: Nếu l 2  a.l  b  0 có nghiệm kép là l thì un  an  b.l n * Cơ sở lý thuyết 1. Công thức của cấp số cộng Dãy un  là cấp số cộng công sai d có dạng un1  un  d Số hạng tổng quát của cấp số cộng là un  u1  (n 1)d 2. Công thức của cấp số nhân Dãy un  là cấp số cộng công sai d có dạng un1  un q Số hạng tổng quát của cấp số cộng là un  u1.q n1 * Các bước giải bài toán B1: Tìm số hạng tổ quát của dãy số ( Tương ứng ở một trong các dạng trên ) B2: Giải quyết các yêu cầu khác của bài toán nếu có. B. BÀI TẬP u1  1 Bài 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) :  * un 1  3un  2(n  N ) u1  2 Bài 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) :  * un1  2un  3n  2(n  N ). 3. Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Biên soạn: Vũ Trí Hào THPT Vũ Lễ ------- 0985.729.289. u1  1 Bài 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) :  n 1 * un 1  3un  2 (n  N ). u1  1; u2  5 Bài 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy (un ) :  * un 2  5un 1  6un (n  N ) (1) u0  1; u1  2  Bài 5: Dãy số un  xác định như sau:  (với n = 1, 2,3,…). Tìm un un  2un 1 u  (2) n  1  3 (1)  x1  2  ( n  N *) Tìm công xn theo n. Bài 6: Cho dãy số(xn) xác định như sau:  3 xn  xn1  x  2 (2) n  x  2 (1)  1  Bài 7: Cho dãy số(xn) xác định như sau:  ( n  N *) Tìm công xn theo n. 2 xn1  xn  3x  4 (2) n 1 . (1)  x1  2  Bài 8: Cho dãy số(xn) xác định như sau:  (n  N *) Tìm công xn theo n. 9 xn1  24 (2)  xn  5 x  13 n 1   x0  2  Bài 9: Tìm số hạng tổng quát của dãy số  xn  :  2 xn  1 , n  1, 2...  xn1  x  2 n  2   x1  3 Bài 10: Cho dãy số  xn  :  , n  2,3... hãy tính tổng của 2014 số hạng đầu tiên x n  1  xn 1  2(2n  1) xn  1  của dãy số 1   x0  2 Bài 11: Cho dãy số ( xn ) xác định như sau :  với mọi xn  xn1  2(n  1) xn  1 . (n 2 xn ) . n  N .Tìm nlim . u1  3  Bài 12 Cho dãy số (un) xác định bởi  5un  3 un 1  3u  1 , n   * n  un  1 Xét dãy số (vn) với vn  , n   * . Chứng minh dãy số (vn) là một cấp số cộng. Tìm số un  1 hạng tổng quát của dãy số (un). u  11 Bài 13 : Cho dãy số (un) xác định bởi :  1 u n 1  10u n  1  9n, n  N. Tìm công thức tính un theo n.. 4. Lop11.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>