CHUYÊN ĐỀ 1 : CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (374.32 KB, 17 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ 1 : CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

Các dạng toán Đại số trong bài thi mơn Tốn:

Dạng 1: Rút gọn. Tính giá trị của biểu thức chứa căn thức bậc hai.
Phương pháp giải:

* Vận dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

* Vận dụng các công thức biến đổi căn thức bậc hai.
1)

√

A2=|A|

2) √AB=√A.√B ( víi A 0 vµ B 0 )
3)

√

A

B=

√A

√B ( víi A 0 vµ B > 0 )

√

A2B=|A|√B (víi B 0 )
5) A√B=

√

A2

B ( víi A 0 vµ B 0 )
A√B=−

√

A2B ( víi A < 0 vµ B 0 )
6)

√

A

B=

√AB

|B| ( víi AB 0 vµ B 0 )
7) A

√B=
A√B

B ( víi B > 0 )

8) C

√A ± B=

C(√A∓B)

A − B2 ( Víi A 0 vµ A B

2 )

9) C

√A ±√B=

C(√A∓√B)

A − B ( víi A 0, B 0 vµ A B

Chú ý:

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

B. BÀI TẬP

I.THỰC HIỆN PHÉP TÍNH – RÚT GỌN – BIN I BIU THC CHA CN

Bài 1: Tìm ĐKXĐ của c¸c biĨu thøc sau:

a) √2x+3 b)

√

−2x+1 c) 1

x d)

21x2

Bài 2: Phân tích thành nhân tư ( víi x 0 )

a) 2+√3+√6+√8 b) x2 - 5 c) x - 4 d) xx 1

Bài 3: Đa các biểu thức sau về dạng bình phơng.

a) 3+22 b) 38 c) 9+4√5 d) 23−8√7
Bµi 4 : Th c hi n phép tính.ự ệ

1. (√2+1).(√2−1) 2. (2√3)2 3. √28 : √7

4. (√3+1).(√3−1) 5. √2,5.√40 6. √50.√2

7. √0,09 8.



4 5



2 



4 5



2 9. √0,0001

10. 1+

√

11.

2−

√

27
9

12. 3

5−
1
2

√

11
25

Bài 5/Thực hiện phép tính:

1) √20−√5 2) 6√12−√20−2√27+√125
3) √12+√27 4) 3√2−√8+√50−4√32

5) √27−2√3+2√48−3√75 6) 3√2−4√18+√32−√50
Bài 6/Trục căn thức ở mẫu, rút gọn ( víi x ≥0, x ≠1 )

√

(4−√17)2 2. 2√3

√2 3.

√6+√14

2√3+√28 4.

x+1

√

x2−1

5. x
2

−5

x+√5 6.

2−√3 7.

√2+1

√2−1 8.

x√x −1
√x −1

√

20+

√

1
60 −2

❑

√

1
1510.

3
√5−√2+

√6+√2 11.

(

1
√5−√3+

√5+√3

)

.√5 12. (√20−√45+√5).√5

13. (5√3+3√5):√15 14. 1

3√48+3√75−√27−10

√

1
1
3

15.

(

√

1
5+

1
2√20−

5
4

√

5+√516.

)

:2√5

(2+√5)2
-(2+√5)2
Bài 7/* Chứng minh các đẳng thức sau:

a/ 2 3 2 3  6
b/ 1

√2+1+

1
√3+√2+

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

c/ 1

√2+1+

√3+√2+.. .+
1

√100+√99=9

(

√a

√a+2−
√a

√a −2+

4√a −1

a −4

)

:
1

a −4=−1

e/ √a+√b

2√a −2√b−

√a−√b

2√a+2√b−

2b
b − a=

2√b

√a −√b

II. RÚT GỌN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC

B i 1.à Cho biÓu thøc: A = xx x+11 x 1

x+1
a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.

b) Tính giá trÞ biĨu thøc A khi x = 9

4 .

c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.

Bài 2. Cho A =

1 1 1 1 1

1 x 1 x 1 x 1 x 2 x

   

  

   

   

    với x > 0 , x1

a. Rút gọn A

b. Tính A với x = 6 2 5
Bài 3. Cho biểu thức A= 2x

x+3−
x+1

3− x−

3−11x

x2−9 với x ≠ ±3

a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A < 2.

c/ Tìm x nguyên để A nguyên.

Bài 4 Cho biÓu thøc: P =

(

1− a√a

1−√a +√a

)

(

1+a√a

1+√a −√a

)

a) Rót gän P

b) Tìm a để P < 7−4√3

Cho biểu thức

1 1 1

1 2 1

a
M

a a a a a



 

  

   

  với a > 0 và a 1

a/ Rút gọn biểu thức M.

b/ So sánh giá trị của M với 1.

Bài 5 Cho biểu thức: A =

1 1 3

a 3 a 3 a

   

 

   

 

   

a) Rút gọn biểu thức sau A.

b) Xác định a để biểu thức A > 12

Bài 6 Cho A =





4 3 2

2 2

x x x

x x

   

 

     

 

      

  với x > 0 , x4

a. Rút gọn A

b. Tính A với x = 6 2 5
Bài 7 Cho biểu thức:P =

a 3 a 1 4 a 4

4 a

a 2 a 2

  

 



  (a  0; a  4)

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

b) Tính giá trị của P với a = 9

Bài 8 Cho biểu thức:N =

a a a a

1 1

a 1 a 1

     

 

   

     

   

1) Rút gọn biểu thức N.

2) Tìm giá trị của a để N = - 2016

Bài 9 Cho biểu thức P=

(

2√x
√x+3+

√x

√x+3−

3x+3
x −9

)

(

2√x −2
√x −3 −1

)

a. Rút gọn P.
b. Tìm x để P<−1

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 10 Cho A =

1 1 1

4 .

1 1

a a

a a a

     

  

   

   

 

  với x > 0 ,x1

a. Rút gọn A

b. Tính A với a =



4 15 . 10

 

 6 .





4 15



Bài 11 Cho biểu thức:

1− a¿2
¿

E=

(

√a −2
a −1 −

√a+2

a+2√a+1

)

2
¿

a) Rút gọn E b) Tìm Max E

Bài 12 Cho biÓu thøc: P =

(

√x

√x −1−
1

x −√x

)

(

1
√x+1+

x −1

)

a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tìm x để P = 6.

Bài 13 Cho A =

15 11 3 2 2 3

2 3 1 3

x x x

x x x x

  

 

    với x0 , x1

a. Rút gọn A. b.Tìm GTLN của A.
b. Tìm x để A =

2 c.CMR : A 
2
3


Bài 14 Cho A =

5 25 3 5

1 :

25 2 15 5 3

x x x x x

       

  

   

        

   

a. Rút gọn A b. Tìm x Z để A Z

Bài 15 Cho A =

2 9 3 2 1

5 6 2 3

a a a

a a a a

  

 

    với a 0 , a9 , a4.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bài 16 Cho A =

7 1 2 2 2

4 2 2 2 4

x x x x x

       

  

   

        

    với x > 0 , x4.

a. Rút gọn A. b. So sánh A với

A

Bài 17 Cho A =

1 1 1 1 1

1 x 1 x 1 x 1 x 2 x

   

  

   

   

    với x > 0 , x1

a. Rút gọn A b. Tính A với x = 6 2 5
Bài 18 Cho A =

2 3 3 2 2

: 1

3 3 3

x x x x

x

x x x

     

  

   

       

    với x0 , x9

a. Rút gọn A b. Tìm x để A < -

1
2

Bài 19 Cho A =

1 1 8 3 1

1 1

1 1 1

x x x x x

x x

x x x

       

  

   

        

    với x0 , x1

a. Rút gọn A

b. Tính A với x = 6 2 5
c . CMR : A 1

Bài 20 Cho biểu thức

1 1 1

1 2 1

a
M

a a a a a



 

  

   

  với a > 0 và a 1

a/ Rút gọn biểu thức M.

b/ So sánh giá trị của M với 1.

Bài 21 Cho biểu thức : A =

1 1 3

a 3 a 3 a

   

 

   

 

   

a) Rút gọn biểu thức sau A.

b) Xác định a để biểu thức A > 12

Bài 22 Cho A =





4 3 2

2 2

x x x

x x

   

 

     

 

      

  với x > 0 , x4

a. Rút gọn A

b. Tính A với x = 6 2 5
Bài 23 Cho biểu thức: P =

a 3 a 1 4 a 4

4 a

a 2 a 2

  

 



  (a  0; a  4)

a) Rút gọn P.

b) Tính giá trị của P với a = 9

Bài 24 Cho biểu thức: N =

a a a a

1 1

a 1 a 1

     

 

   

     

   

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

2) Tìm giá trị của a để N = - 2016

Bài 25 Cho biểu thức P=

(

2√x
√x+3+

√x

√x+3−

3x+3
x −9

)

(

2√x −2
√x −3 −1

)

a. Rút gọn P.
b. Tìm x để P<−1

c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

Bài 26 Cho A =

1 1 1

4 .

1 1

a a

a a a

     

  

   

     

  với x > 0 ,x1

a.Rút gọn A

b.Tính A với a =



4 15 . 10

 

 6 .





4 15



Bài 27 Cho biểu thức:

1− a¿2
¿

E=

(

√a −2
a −1 −

√a+2
a+2√a+1

)

2
¿

a) Rút gọn E b) Tìm Max E

Bài 28 Cho biÓu thøc: P =

(

√x

√x −1−
1

x −√x

)

(

1
√x+1+

x −1

)

a.Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b.Tìm các giá trị của x để P > 0
c.Tìm x để P = 6.

Bài 29 Cho A =

15 11 3 2 2 3

2 3 1 3

x x x

x x x x

  

 

    với x0 , x1

a.Rút gọn A. b.Tìm GTLN của A.
c. Tìm x để A =

2 d.CMR : A 
2
3


Bài 30 Cho A =

5 25 3 5

1 :

25 2 15 5 3

x x x x x

       

  

   

        

   

a. Rút gọn A b. Tìm x Z để A Z

Bài 31 Cho A =

2 9 3 2 1

5 6 2 3

a a a

a a a a

  

 

    với a 0 , a9 , a4.

a. Rút gọn A.
b. Tìm a để A < 1
c. Tìm a Z để A Z
Bài 32 Cho A =

7 1 2 2 2

4 2 2 2 4

x x x x x

       

  

   

        

    với x > 0 , x4.

b. Rút gọn A. b. So sánh A với

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 33 Cho A =

1 1 1 1 1

1 x 1 x 1 x 1 x 2 x

   

  

   

   

    với x > 0 , x1

a. Rút gọn A b. Tính A với x = 6 2 5
Bài 34 Cho A =

2 3 3 2 2

: 1

3 3 3

x x x x

x

x x x

     

  

   

       

    với x0 , x9

a. Rút gọn A b. Tìm x để A < -

1
2

Bài 35 Cho A =

1 1 8 3 1

1 1

1 1 1

x x x x x

x x

x x x

       

  

   

        

    với x0 , x1

a. Rút gọn A

b. Tính A với x = 6 2 5
c . CMR : A 1

CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT- BẬC HAI- HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I.HÀM SỐ BẬC NHẤT

1. Lý thuyết

1/Hµm sè y = ax + b lµ bËc nhÊt  a 0

2/ a) Tớnh chất : Hàm số xỏc định với mọi giỏ trị của x trờn R đồng biến khi a > 0 và
nghịch biến khi a < 0).

b) Đồ thị của h/s y = ax + b (a  0) là một đường thẳng luụn cắt trục tung tại điểm cú 
tung độ là b, song song với đường thẳng y = ax nếu a  0 và trựng với đt y = ax với b = 0.
3/ Cách tìm giao điểm của (d) với hai trục toạ độ

Cho x = 0 => y = b => (d) cắt trục tung tại A(0;b)

Cho y =0 => x = -b/a => (d) cắt trục hoành tại B( -b/a;0)
a gọi là hệ số góc, b là tung độ gốc của (d)

4/ Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b

Cho x = 0 => y = b => A (0;b)

Cho y =0 => x = -b/a => B( -b/a;0)

Vẽ đờng thẳng AB ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
5/ (d) đi qua A(xo; yo)  yo= axo + b

6/ Gọi  là góc tạo bởi đờng thẳng và tia Ox. Khi đó:
là góc nhọn khi a > 0, là góc tù khi a < 0

7/ (d) c¾t (d’)  a a’ (d) vu«ng gãc (d’)  a. a’ = -1








a a '

b b'



 




a a '

b b'

(d) trïng (d’)  (d)//(d’)

8/ (d) cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ là a  (d) đi qua A(a; 0)
9/ (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ b  (d) đi qua B(0; b)

10/ Cỏch tìm toạ độ giao điểm của (d) và (d’): Giải phơng trình HĐGĐ: ax + b = a’x
+ b’

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

2. Bài tập

Bµi 1 : Cho hµm sè y = (m + 5)x+ 2m – 10

a) Víi gi¸ trị nào của m thì y là hàm số bậc nhÊt

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến.

c) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A(2; 3)

d) Tìm m để đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9.

e) Tìm m để đồ thị cắt trục hồnh tại điểm có hồnh độ bằng 10.

f) Tìm m để đồ thị hàm số song song với đồ thị hàm số y = 2x -1

g) Chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m.

h) Tìm m để khoảng cách từ O tới đồ thị hàm số là lớn nhất

Bµi 2: Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3.

1) Tìm điều kiện của m để hàm số ln nghịch biến.

2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hồnh độ bằng 3.

Bµi 3. Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3.

1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1.
2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4).

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m.

4) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số tạo với trục tung và trục hồnh một tam giác có
diện tích bằng 1 (đvdt).

Bài 4. Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).
1) Viết phơng trình đờng thẳng AB.

2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng

thẳng AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2).

Bài 5. Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B



4 ; 0



và C



1 ; 4



a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua điểm C và song song với đờng thẳng y2x 3.
Xác định tọa độ giao điểm A của đờng thẳng (d) với trục hoành Ox.

b) Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm B và C. Tính góc
tạo bởi đờng thẳng BC và trục hồnh Ox (làm trịn đến phút).

c) Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) (kết quả làm
tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

II.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

1. lý thuyết

Xét 2 đường thẳng: ax+by=c ( d) và a'x +b'y=c' (d')
Hay

a c

y x (d)

b b

 

và

a ' c '

y (d ')

b ' b '

 

Hay hệ Cho hệ phương trình:

, 0 (d)

' ' ', ' 0 (d')
ax by c a

a x b y c a

  




  



 (d) cắt (d’)  ' '

a b

a b  Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

 (d) // (d’)  ' ' '

a b c

a  b  c  Hệ phương trình vô nghiệm.

 (d)  (d’)  ' ' '

a b c

a  b  c  Hệ phương trình có vơ số nghiệm
2. Bài tập

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

¿
4x −2y=3

6x −3y=5
¿{

¿
2x+3y=5

4x+6y=10
¿{

¿
3x −4y+2=0

5x+2y=14
¿{

¿
2x+5y=3

3x −2y=14
¿{

x√5−(1+√3)y=1
(1−√3)x+y√5=1

¿{
¿

0,2x+0,1y=0,3

3x+y=5
¿{
¿
7)
¿
x
y=
2
3

x+y −10=0
¿{

¿
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

(3x+2)(2y −3)=6 xy
(4x+5)(y −5)=4 xy

¿{
¿

2(x+y)+3(x − y)=4
(x+y)+2(x − y)=5

¿{
¿

(2x −3)(2y+4)=4x(y −3)+54
(x+1)(3y −3)=3y(x+1)−12

¿{
¿

¿
2y −5x

3 +5=

y+27

4 −2x

x+1

3 +y=

6y −5x

7
¿{
¿
5)
¿
1

2(x+2)(y+3)−
1

2xy=50
1

2xy−
1

2(x −2)(y −2)=32
¿{

(x+20)(y −1)=xy
(x −10)(y+1)=xy

¿{
¿

Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ và hệ phương trình
chứa tham số :

Bài tập 1: 1)

¿
1
x+
1
y=
1
12
8
x+
15

y =1

¿{
¿

2)

¿
2

x+2y+

y+2x=3

x+2y−

y+2x=1
¿{

3)

¿
3x
x+1−

y+4=4

2x
x+1−

y+4=9
¿{

4)

x2+y2=13

3x2−2y2=−6
¿{

5)

¿
3√x+2√y=16

2√x −3√y=−11
¿{

Bài tập 2: Cho hệ phương trình

mx+4y=10− m
x+my=4

¿{
¿

(m là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi m = √2

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y >
0

d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương

CHUYÊN ĐỀ 3: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG

TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Tóm tắt lí thuyết

Bớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình:
a) Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

b) Biểu diễn các đại lợng cha biết thông qua ẩn và các địa lợng đã biết.
c) Lập phơng trình biểu thị mối quan h gia cỏc i lng.

Bớc 2: Giải phơng tr×nh.

Bớc 3: Đối chiếu nghiệm của pt, hệ phơng trình (nếu có) với điều kiện của ẩn số để trả lời.
Chú ý: Tuỳ từng bài tập cụ thể mà ta có thể lập phơng trình bậc nhất một ẩn, hệ
phơng trình .

Khi đặt diều kiện cho ẩn ta phải dựa vào nội dung bài toán và những kiến thức thc t....

B. Cỏc Dng toỏn

Dạng 1: Toán về quan hệ các số.

*Những kiến thức cần nhớ:

+ Biểu diễn sè cã hai ch÷ sè : ab10ab ( víi 0<a9; 0 b 9;a, bN)

+ BiĨu diƠn sè cã ba ch÷ sè : abc100a 10b c ( víi 0<a9; 0b,c9;a, b, cN)
+ Tổng hai sè x; y lµ: x + y

+ Tổng bình phơng hai số x, y là: x2 + y2

+ Bình phơng của tổng hai số x, y là: (x + y)2.

+ Tổng nghịch đảo hai số x, y là:

1 1

xy.

*Bài tập

Bài 1: Đem một số nhân với 3 rồi trừ đi 7 thì đợc 50. Hỏi số đó là bao nhiêu?

Bài 2: Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng

5 sè thø nhÊt th× b»ng 
1

6 sè thø

hai.

Bài 3: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7. Nếu đổi
chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chục cho nhau thỡ s ú gim i 45 n v.

Đáp số:

Bi 1: Số đó là 19;

Bài 2: Hai số đó là 15 và 36
Bài 3: Số đó là 61

Dạng 2: Tốn chuyển ng

*Những kiến thức cần nhớ:

Nu gi qung ng l S; Vận tốc là v; thời gian là t thì:

S = v.t;

s s

v ; t

t v

 

Gäi vËn tèc thùc của ca nô là v1 vận tốc dòng nớc là v2 tì vận tốc ca nô khi xuôi dòng

nớc là

v = v1 + v2. Vân tốc ca nô khi ngợc dòng là v = v1 - v2

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài 1. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau 270 km đi ngược
chiều nhau và gặp nhau sau 3 giờ. Tính vận tốc của mỗi ơ tơ, biết rằng vận tốc của ô tô đi từ
A nhỏ hơn vận tốc của ô tô đi từ B là 10km/h.

Bài 2: Một ôtô đi trên đoạn đường AB với vận tốc 50Km/h , rồi tiếp tục từ B đến C với vận
tốc 45Km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 165 Km và thời gian ôtô đi trên đoạn đường
AB ít hơn thời gian ơtơ đi trên đoạn đường BC là

2 giờ. Tính thời gian ơtơ đi trên mỗi

đoạn đường AB , BC .

Bài 3: Một người đi xe đạp đự định đi hết quãng đường AB với vận tốc 10 km/h. Sau khi đi
dược nửa quãng đường với vận tốc dự định người ấy nghỉ 30 phút. Vì muốn đến được điểm
B kịp giờ nên người đi với vận tốc 15 km/h trên quãng đường còn lại. Tính qng đường
AB.

Bài 4 : Một ơ tơ và một mô tô khởi hành cùng một lúc từ hai địa điểm A và B cách nhau
200 km đi ngược chiều và gặp nhau sau 2,5 giờ. Tính vận tốc của ôtô và mô tô, biết rằng
vận tốc mô tô nhỏ hơn vận tốc ôtô là 20 km/h.

Bài 5 : Một ôtô đi trên đoạn đường AB với vận tốc 55 km/h, rồi tiếp tục từ B đến C với vận
tốc tăng thêm 5 km/h. Biết quãng đường tổng cộng dài 290 km và thời gian ôtô đi trên đoạn
đường AB ít hơn thời gian ơtơ đi trên đoạn đường BC là 1 giờ. Tính thời gian ơtơ đi trên
mỗi on ng AB v BC.

Dạng 3: Toán làm chung công việc

*Những kiến thức cần nhớ:

- Nu mt i lm xong cơng việc trong x giờ thì một ngày đội đó lm c

x công

việc.

- Xem toàn bộ công việc lµ 1

*

Bài tập

Bµi 1 : ( 198/24 – 500 BT chän läc )

Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể khơng chứa nớc thì sau 6 giờ đầy bể . Nếu vòi thứ nhất
chảy trong 2 giờ , vịi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì đợc 2

5 bể . Hỏi mỗi vòi chảy một mình

trong bao lâu thì đầy bể ?

Hng dn:

Gi x , y lần lợt là số giờ vòi thứ nhất , vòi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y > 0 )

Ta cã hÖ pt

¿
1

x+

y=

1
6
2

x+

y=

2
5

⇔

¿3

x+

y=

1
2
2

x+

y=

2
5

⇔

¿x=10
y=15

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

x = 10 , y = 15 thoả mÃn đk của ẩn . Vậy vòi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ , vòi thứ
hai chảy một mình mất 15 giờ .

Bi 2: Hai ngi dự định làm một cơng việc trong 12 giờ thì xong . Họ làm với nhau đợc 8
giờ thì ngời thứ nhất nghỉ , còn ngời thứ hai vẫn tiếp tục làm . Do cố gắng tăng năng suất
gấp đôi , nên ngời thứ hai đã làm xong công việc còn lại trong 3giờ 20phút . Hỏi nếu mỗi
ngời thợ làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì mất bao lâu mới xong cơng việc
nói trên ?

Hướng dẫn:

Gọi x , y lần lợt là thời gian ngời thợ thứ nhất và ngời thợ thứ hai làm xong công việc với
năng suất dự định ban đầu .

Một giờ ngời thứ nhất làm đợc 1

x (công việc )
Một giờ ngời thứ hai làm đợc 1

y (công việc )
Một giờ cả hai ngời làm đợc 1

12 (công việc )

Nên ta có pt : 1
x +

y =

12 (1)

trong 8 giờ hai ngời làm đợc 8. 1

12 =
2

3 (c«ng việc )

Công việc còn lại là 1 - 2

3 =
1

3 ( công việc )

Năng suất của ngời thứ hai khi làm một mình là 2. 1
y =

y (Công việc )
Mà thời gian ngời thứ hai hoàn thành công việc còn lại là 10

3 (giờ) nên ta cã pt

3 :
2

y =

3 hay

y

6 =
10

3 (2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ pt :

1
x +

y =

12 
¿

x=30
y=20

¿{
¿

y

6 =
10

Vậy theo dự định ngời thứ nhất làm xong công việc hết 30giờ và ngời thứ hai hết 20 giờ .

Bài tập 3:Hai ngời thợ cùng làm một công việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi ngời nửa việc thì
tổng số giờ làm việc là 12h 30ph . Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời chỉ làm việc đó trong

6 giờ. Nh vậy , làm việc riêng rẽ cả công việc mỗi ngời mất bao nhiêu thời gian ?

Hướng dẫn

Gọi thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 0 )
Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc là y ( y > 0 )
Ta có pt : x + y = 12 1

2 ( 1 )

thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong công việc là 2x => 1 giờ ngời thứ nhất làm
đ-ợc 1

2x c«ng viƯc

Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc là 2y => 1 giờ ngời thứ hai làm
đợc 1

2y c«ng viƯc

1 giờ cả hai ngi lm c 1

6 công việc nên ta cã pt :
1
2x +

1
2y =

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ pt :

x+y=121

2
1

2x+

1
2y=

1
6

⇔

¿x=5
y=15

2
¿

x=15

y=5
¿{

VËy nÕu làm việc riêng rẽ cả công việc một ngời làm trong 10 giờ còn ngời kia làm trong 5
giờ

4. Hai ngời thợ cùng làm một cơng việc thì xong trong 18 giờ. Nếu ngời thứ
nhất làm trong 4 giờ, ngời thứ hai làm trong 7 giờ thì đợc 1/3 cơng việc. Hỏi mỗi ngời
làm một mình thì mất bao lâu sẽ xong cơng việc?

5. Để hồn thành một công việc hai tổ phải làm trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm
chung thì tổ hai đợc điều đi làm việc khác. Tổ một đã hồn thành cơng việc còn lại
trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì bao lâu xong cơng việc đó?

6. Hai đội công nhân cùng đào một con mơng. Nếu họ cùng làm thì trong 2
ngày sẽ xong cơng việc. Nếu làm riêng thì đội hai hồn thành cơng việc nhanh hơn
đội một là 3 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để
xong công việc?

7. Hai thợ cùng đào một con mơng thì sau 2giờ 55 phút thì xong
việc. Nếu họ làm riêng thì đội 1 hồn thành cơng việc nhanh hơn đội 2 là 2 giờ. Hỏi
nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu giờ thì xong cơng việc?

8. Hai ngêi thỵ cïng sơn cửa cho một ngôi nhà thì 2 ngày xong viƯc. NÕu ngêi
thø nhÊt lµm trong 4 ngµy råi nghỉ ngời thứ hai làm tiếp trong 1 ngày nữa thì xong việc. Hỏi
mỗi ngời làm một mình thì bao lâu xong công việc?

Bi 9:Hai vũi nc cựng chy vào bể khơng có nước thì sau 5 giờ đầy bể. Nếu mở vòi thứ

nhất chảy trong 6 giờ và vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì được 1415 bể nước. Hỏi nếu mỗi
vòi chảy một mình thì sau bao lâu sẽ đầy bể?

Bài 10: Hai người cùng làm một công việc trong 7h 12 phút thì xong công việc. Nếu người
thứ nhất làm trong 4h người thứ hai làm trong 3h thì đựơc 50% công việc. Hỏi mỗi người
làm 1 mình trong mấy giờ thì xong cơng việc?

KÕt qu¶:

4) Ngêi thø nhÊt làm một mình trong 54 giờ. Ngời thứ hai làm một mình trong 27 giờ.
5) Tổ thứ nhất làm một mình trong 10 giờ. Tổ thứ hai làm một mình trong 15
giờ.

6) Đội thứ nhất làm một mình trong 6 ngày. Đội thứ hai làm một mình trong 3
ngày.

Dạng 4: Toán có nội dung hình học

*Kiến thức cần nhớ:

- Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlµ chiỊu réng; y lµ chiỊu dµi)

- DiƯn tÝch tam gi¸c

S x.y



( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng)

- Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a,b là các cạnh góc vng)

*Bài tâp :

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Bài 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Tính chiều dài, chiều rộng và diện tích của một khu vườn hình chữ nhật biết rằng nếu
giảm chiều dài đi 4m tăng chiều rộng lên 4m thì diện tích của khu vườn tăng thêm 32m2,
nếu giảm chiều dài đi 4 m và giảm chiều rộng đi 2m thì diện tích giảm đi 88 m2.

Bài 3: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 46 mét, nếu tăng chiều dài 5 mét và giảm
chiều rộng 3 mét thì chiều dài gấp 4 lần chiều rộng . Hỏi kích thước khu vườn đó là bao
nhiêu ?

Bài 19: Một hình chữ nhật có chu vi 110m. Hai lần chiều dài hơn ba lần chiều rộng là 10m. Tính
diện tích hình chữ nhật.

Bài 4 : Một khu vườn hình chữ nhật nếu tăng chiều rộng thêm 5m và giảm chiều dài đi 5m
thì diện tích khơng đổi. Nếu tăng chiều dài thêm 3m và giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích
giảm đi 60m2. Tính các kích thước của khu vườn.

Dng 5: Toán dân số, lÃi suất, tăng trởng
*Những kiến thøc cÇn nhí :

+ x% =

x
100

+ Dân số tỉnh A năm ngoái là a, tỷ lệ gia tăng dân số là x% thì dân số năm nay ca tnh A l

x
a a

100

x x x

Số dân năm sau lµ (a+a. ) (a+a. ).

100 100 100

*Bài tập:

Bài 1: Dân số của thành phố Hà Nội sau 2 năm tăng từ 200000 lên 2048288
người. Tính xem hàng năm trung bình dân số tăng bao nhiêu phần trăm.

Bài 2: Bác An vay 10 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một
năm đầu bác chưa trả được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để
tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác An phải trả là 11 881 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay
là bao nhiêu phần trăm trong một năm?

Kết quả:

Bài 1: Trung bình dân số tăng 1,2%. Bài 2: Lãi suất cho vay là 9% trong 1 năm

Bài tập tổng hợp

Bài 1: Hai gi¸ s¸ch cã chøa 450 cn. NÕu chun 50 cn tõ gi¸ thø nhÊt sang giá thứ hai
thì số sách ở giá thø hai sÏ b»ng 4

5 sè s¸ch ë giá thứ nhất. Tính số sách lúc đầu trong mỗi

giá sách.

Hớng dẫn giải: Gọi số sách ở giá thứ nhất lúc đầu là x (x nguyên dơng, x > 50)
Thì số sách ở giá thứ hai lúc đầu là 450 x (cuốn).

Khi chuyển 50 cuốn sách từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất là x 50 và ở
giá thứ hai là 500 x.

Theo bài ra ta có phơng trình:



500 x x 50
5

2500 5x 4x 200 9x 2700 x 300

  

       

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Bài 2: Hai giá sách có 400 cuốn. Nếu chuyển từ giá thứ nhất sang giá thứ hai 30
cuốn thì số sách ở giá thứ nhất bằng

5 số sách ở giá thứ hai. Tính số sách ban đầu

của mỗi giá sách?

Bài 3: Hai tổ sản suất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ
hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may đợc 1310 chiếc áo. Biết rằng trong mỗi ngày tổ
thứ nhất may đợc nhiều hơn tổ thứ hai 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may trong một ngày
đ-ợc bao nhiêu chiếc áo?

Híng dÉn gi¶i

Bài 4. Một cửa hàng có tổng cộng 28 chiếc Ti vi và Tủ lạnh. Giá mỗi cái Tủ lạnh là 15
triệu đồng, mỗi cái Ti vi là 30 triệu nếu bán hết 28 cái Tivi và Tủ lạnh này chủ cửa hàng sẽ
thu được 720 triệu. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu cái ?

Bài 5: Số tiền mua 7 cân cam và 7 cân lê hết 112 000 đồng . Số tiền mua 3 cân cam và 2
cân lê hết 41 000 đồng . Hỏi giá mỗi cân cam và mỗi cân lê là bao nhiêu đồng ?

Bài 6: Một ca nô dự định đi từ A đến B trong thời gian đã định. Nếu ca nô tăng 3 km/h thì
đến nơi sớm 2 giờ. Nếu ca nô giảm vận tốc 3 km/h thì đến nơi chậm 3 giờ. Tính chiều dài

khúc sơng AB.

Bài 7 : Một đoàn xe vận tải có 15 xe tải lớn và 4 xe tải nhỏ tất cả chở 178 tấn hàng. Biết
mỗi xe tải lớn chở nhiều hơn xe tải nhỏ là 3 tấn. Tính số tấn hàng mỗi xe tải từng loại đã
chở ?

Bài 8 : Một ôtô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian đã định. Nếu vận tốc ôtô tăng thêm
10 km/h thì đến B sớm hơn 30 phút so với dự định. Nếu vận tốc ôtô giảm đi 5 km/h thì đến
B muộn 20 phút so với dự định. Tìm quãng đường AB.

Kết quả:

Bài 2: Giá thứ nhất có 180 quyển. Giá thứ hai có 220 quyển.

CHUYÊN ĐỀ IV : PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ
I. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

a) Phương pháp

 Thông thường nếu ta gặp phương trình dạng : A B  C D , ta thường bình

phương 2 vế , điều đó đơi khi lại gặp khó khăn hãy giải ví dụ sau







3 A 3 B 3C A B 33 A B. 3 A 3 B C

      

và ta sử dụng phép thế :3 A3 B C ta được phương trình : A B 33 A B C C. . 
b) Ví dụ

Bài 1. Giải phương trình sau : x 3 3x 1 2 x 2x2

Giải: Đk x0

Bình phương 2 vế không âm của phương trình ta được:1



x3 3

 

x1



 x 2 x x



2 1



,
để giải phương trình này dĩ nhiên là khơng khó nhưng hơi phức tạp một chút .

Phương trình giải sẽ rất đơn giản nếu ta chuyển vế phương trình :

3x 1 2x2  4x x3

Bình phương hai vế ta có : 6x28x2  4x212x  x1

Thử lại x=1 thỏa

 Nhận xét : Nếu phương trình : f x

 

 g x

 

 h x

 

 k x

 

Mà có : f x

 

h x

 

g x

 

k x

 

, thì ta biến đổi phương trình về dạng :

 

f x  h x  k x  g x sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả 
Bài 2. Giải phương trình sau :

1 1 3

3
x

x x x x

x


      


Giải:

Điều kiện : x1

Bình phương 2 vế phương trình ?

Nếu chuyển vế thì chuyển như thế nào?
Ta có nhận xét :

. 3 1. 1

3
x

x x x x

x


    

 , từ nhận xét này ta có lời giải như sau :

(2) 3 1 1

3
x

x x x x

x



       



Bình phương 2 vế ta được:

2 2 1 3

1 2 2 0

3 1 3

x
x

x x x x

x x

  


        

   

Thử lại :x 1 3,x 1 3 l nghiệm

Qua lời giải trên ta có nhận xét : Nếu phương trình : f x

 

 g x

 

 h x

 

 k x

 

Mà có : f x h x

   

. k x g x

   

. thì ta biến đổi f x

 

 h x

 

 k x

 

 g x

 

2. Trục căn thức

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

Một số phương trình vơ tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình

luôn đưa về được dạng tích



x x A x 0

  

0 ta có thể giải phương trình A x

 

0 hoặc

chứng minh A x

 

0 vô nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có 
thể đánh gía A x

 

0 vơ nghiệm

b) Ví dụ

Bài 1 . Giải phương trình sau :





2 2 2 2

3x  5x 1 x  2 3 x  x 1  x  3x4
Giải:

Ta nhận thấy :



 







2 2

3x  5x1  3x  3x 3 2 x 2



 







2 2 2 3 4 3 2

x   x  x  x

Ta có thể trục căn thức 2 vế :





2 2

2 4 3 6

2 3 4

3 5 1 3 1

x x

x x x

x x x x

  



   

    

Dể dàng nhận thấy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình .

Bài 2. Giải phương trình sau: x212 5 3  x x25

Giải: Để phương trình có nghiệm thì :

2 12 2 5 3 5 0 5

3
x   x   x   x

Ta nhận thấy : x=2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về
dạng



x 2

  

A x 0, để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :









2 2
2 2
2 2
2 2
4 4

12 4 3 6 5 3 3 2

12 4 5 3

2 1

2 3 0 2

12 4 5 3

x x

x x x x

x x
x x
x x
x x
 
          
   
   
        
   
 

Dễ dàng chứng minh được : 2 2

2 2 5

3 0,

12 4 5 3

x x
x
x x
 
    
   

Bài 3. Giải phương trình :3 x2 1 x x3 1
Giải :Đk x32

Nhận thấy x=3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình

















2 3

2 3 2

3 3 9

1 2 3 2 5 3 1

2 5

1 2 1 4

x x x

x

x x x x

x
x x
 
  

 
            
 
   
 
 

Ta chứng minh :









2
2

2 3 2 3 2

3 3

1 1 2

1 2 1 4 1 1 3

x x

x x x

 
   
      
2
3
3 9
2 5
x x
x
 

 

Vậy pt có nghiệm duy nhất x=3

</div>

CHUYÊN ĐỀ 1 : CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC

<b>CHUYÊN ĐỀ 1 : CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC</b>

√

√

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

<sub>√</sub>

√

√









√

√

√

<sub>√</sub>

√

√

√

√

(

)

√

(

√

√

)

(

)

(

)

(

)





(

)

(

)



 







(

)

(

)

(

)





(

)

(

)



 







(

)

(

)

(

)

<b>CHUYÊN ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT- BẬC HAI- HỆ PHƯƠNG TRÌNH</b>









<b>CHUYÊN ĐỀ 3: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG</b>

<b>TRÌNH HOẶC HỆ PHƯƠNG TRÌNH</b>

<b>Dạng 1: Toán về quan hệ các số.</b>

<b>Dạng 2: Tốn chuyển ng</b>

<b>Dạng 3: Toán làm chung công việc</b>

<b>Dạng 4: Toán có nội dung hình học</b>

<b>Bài tập tổng hợp</b>