Giáo án Đại số NC 10 Chương 1 Bài 2: Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Trường THPT Phạm Thái Bường Tuần 1 Tiết 3 Ngày soạn: 30/08/2006 Ngày dạy: 07/09/2006. Tổ: Toán – Tin. Bài 2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC. I. Mục tiêu:  Về kiến thức: – Phân biệt được giả thiết, kết luận của định lý. – Biết sử dụng thuật ngữ: điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ. – Biết cách chứng minh phản chứng.  Về kỹ năng: – Chỉ rõ được giả thiết, kết luận của định lý. – Thành thạo cách phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ. – Vận dụng được cách chứng minh phản chứng.  Về tư duy và thái độ: – Tư duy logic. – Hiểu rõ các định lý, mệnh đề phát biểu theo dạng nào. II. Chuẩn bị phương tiện dạy học: Bảng phụ – Kết quả của mỗi hoạt động. III. Phương pháp dạy học: Gợi mở, vấn đáp thông qua các hoạt động điều kiển tư duy. IV. Tiến trình bài học và các hoạt động: 1. Ổn định lớp 2. Kiểm tra bài cũ Hoạt động của thầy. Hoạt động của trò. Gọi học sinh lên bảng. Hs lên bảng trả bài. Nêu khái niệm mệnh đề, mệnh đề kéo  Mệnh đề (1,5đ).  Mệnh đề kéo theo (1,5đ). theo và mệnh đề tương đương. Áp dụng: Cho hai mệnh đề:  Mệnh đề tương đương (1,5đ). P: “ ∆ABC cân” a) Phát biểu P  Q: “Nếu ∆ABC cân Q: “ ∆ABC có hai trung tuyến bằng nhau” thì tam giác đó có 2 trung tuyến bằng a) Phát biểu mệnh đề P  Q; P  Q. nhau” (1,5đ). b) Mệnh đề P  Q có đúng không? P  Q: “∆ABC cân khi và chỉ khi tam giác đó có 2 trung tuyến bằng nhau” (1đ). b) Mệnh đề đúng (1đ).  Trong trường hợp mệnh đề P  Q đúng thì ta nói nó là một định lý, P gọi là giả thiết và Q gọi là kết luận của định lý. Và ta có thể phát biểu mệnh đề này theo cách khác, cụ thể ta nghiên cứu bài sau: . 3. Giảng bài mới Hoạt động của thầy. Hoạt động của trò.  HĐ 1: Nhắc lại khái. Nội dung 1. Định lý và chứng minh định lý:  Trong toán học, định lý là một mệnh đề đúng. Nhiều định lý được phát biểu dưới dạng:. niệm định lý và cách chứng minh.. Lop10.com. 9.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Trường THPT Phạm Thái Bường Hoạt động của thầy  Từ việc kiểm tra bài cũ, GV hình thành cho hs biết định lý và chỉ rõ đâu là giả thiết, đâu là kết luận của định lý.. Để chứng minh định lý ta có thể chứng minh trực tiếp hoặc gián tiếp. Chứng minh trực tiếp nghĩa là từ giả thiết và các kiến thức cơ bản chứng minh điều kết luận. . Theo ví dụ trên ta sử dụng giả thiết để chứng minh kết luận. GV cần để hs chọn một vài giá trị của n để xem kết quả đúng không. Thử nhiều khó nên ta cần chứng minh, cần phân tích n thành một biểu thức để tính n2 –1.. Tổ: Toán – Tin Hoạt động của trò. Nội dung.  Cho một số ví dụ về “x ∈ X, P(x)  Q(x)” (1) mệnh đề P(x)  Q(x) và Trong đó P(x) và Q(x) là nhận xét tính đúng sai những mệnh đề chứa biến, X là của các mệnh đề đó. một tập hợp nào đó. Chứng minh định lý dạng (1)  Nếu mệnh đề đúng thì là dùng suy luận và những kiến ta chứng minh thế nào, thức đã biết để khẳng định rằng và nhắc lại đâu là giả mệnh đề (1) là đúng, tức là cần thiết, kết luận trong định chứng tỏ rằng x ∈ X mà P(x) lý. đúng thì Q(x) đúng.. Phép chứng minh trực tiếp: + Lấy x tuỳ ý thuộc X mà P(x) đúng. + Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết để chỉ ra rằng Q(x) đúng.. . . Thử một vài giá trị của VD1: Chứng minh định lý sau: “Với n ∈ A , nếu n lẻ thì n2 –1 n. chia hết cho 4”. Giải:  Nếu n chẵn thì ta phân tích thế nào? (n = 2k), Ta có n lẻ  n = 2k + 1, k ∈ A sau đó phân tích n lẻ.  n2 –1 = 4k2 + 4k + 1 –1 = 4k(k +1) 2  n –1 chia hết cho 4. .  Đôi khi ta chỉ dùng giả thiết để chứng minh phần  Học sinh về nhà chép  Phép chứng minh phản chứng: kết luận gặp khó khăn. Vì 2 cách chứng minh trực + Giả sử x0 ∈ X sao cho P(x0) vậy có cách chứng minh tiếp trong SGK. đúng và Q(x0) sai, tức là mệnh gián tiếp nhờ phản đề (1) là mệnh đề sai. chứng, nghĩa là phủ định + Dùng suy luận và những điều kết luận. Cụ thể: kiến thức toán học đã biết để đi đến mâu thuẫn.. Hướng dẫn hs phủ định phần kết luận.  Cần lưu ý cho hs về phần giả sử, hầu như hs không hiểu mà chỉ giả sử giả thiết sai trước. . Hãy phủ định lại điều VD2: Chứng minh phản chứng: “Nếu a + b < 2 thì một trong 2 số kết luận trên. a ≥ 1 hoặc b ≥ 1 (sai, a và b nhỏ hơn 1”. Giải: cần dùng từ “và” ). Giả sử a ≥ 1 và b ≥ 1  Nhận xét: trái giả thiết Ta có: a + b ≥ 2 (trái giả thiết) thì điều giả sử có đúng Vậy một trong 2 số a và b phải không. nhỏ hơn 1. . 2. Điều kiện cần, điều kiện đủ: Cho định lý dưới dạng: “x ∈ X, P(x)  Q(x)” (1) P(x) được gọi là giả thiết và Q(x) là kết luận của định lý..  HĐ2: Từ định lý “x∈X, P(x)  Q(x)”, phát biểu theo điều cần, điều kiện đủ.. 10. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Trường THPT Phạm Thái Bường Hoạt động của thầy  Có thể phát biểu định lý P  Q theo cách sau: Điều kiện đủ để có Q là có P, và điều kiện cần để có P là có Q.. Tổ: Toán – Tin Hoạt động của trò. Hs sử dụng các thuật ngữ trên phát biểu định lý đã cho.  Phát biểu: điều kiện cần, điều kiện đủ theo cách đặt các từ này ở vị  Cho một số ví dụ để hs trí đầu câu. áp dụng: “Nếu ∆ABC vuông thì nó có một góc  Cho một số ví dụ khác trong bằng tổng hai góc về việc áp dụng các còn lại”. Hoặc: “Nếu tứ thuật ngữ này. giác có tổng 2 góc bằng 1800 thì nó nội tiếp được trong một đường tròn”. . Nội dung Chú ý: (1) còn được phát biểu: P(x) là điều kiện đủ để có Q(x). Hoặc Q(x) là điều kiện cần để có P(x). . VD3: Xét định lý: “Với mọi số tự nhiên n, nếu n chia hết cho 24 thì nó chia hết cho 8”.  “n chia hết cho 24 là điều kiện đủ để n chia hết cho 8”.  “n chia hết cho 8 là điều kiện cần để n chia hết cho 24”.. 3. Định lý đảo, điều kiện cần Hs phát biểu mệnh đề và đủ:  Các em đã học mệnh Xét mệnh đề đảo của định lý đề P  Q và mệnh đề Q(x)  P(x), và nhận xét dạng (1): “x ∈ X, Q(x)  P(x)”. đảo Q  P, đối với định nó đúng hay sai. lý cũng tương tự, nó Mệnh đề trên có thể đúng hay cũng có định lý thuận và  Nếu mệnh đề đảo trên sai. Nếu nó đúng thì ta gọi nó là đúng thì nó có phải là định lý đảo của định lý thuận(1). đảo. Cụ thể: định lý không? Định lý thuận và đảo gộp lại  Cần lưu ý các kí hiệu: thành một định lý: “ “ phát biểu là “Nếu ...  Phát biểu định lý ở ví “x ∈ X, P(x)  Q(x)”. thì...”, hoặc “điều kiện dụ 4 đặt “điều kiện cần Khi đó ta nói: P(x) là điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, ... và đủ” ở vị trí đầu câu. cần và đủ để có Q(x). còn kí hiệu “ “ phát biểu “khi và chỉ khi”, “điều VD4: Theo em hs trả bài: “ kiện cần và đủ”,.... ∆ABC cân là điều kiện cần và đủ . để tam giác đó có 2 đường trung tuyến bằng nhau”. 4. Củng cố: Các em cần biết đâu là giả thiết, đâu là kết luận của định lý, và biết phát biểu định lý trên bằng thuật ngữ: điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ. Trong đó có cách chứng minh mới, là chứng minh bằng phản chứng, nghĩa là ta giả sử kết luận sai và chứng minh điều mâu thuẫn giả thiết. 5. Dặn dò: Làm bài tập trang 12 và phần luyện tập trang 13, 14.. Lop10.com. 11.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trường THPT Phạm Thái Bường. Tổ: Toán – Tin. BÀI TẬP ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC. Tuần 2 Tiết 4 Ngày soạn: 30/08/2006 Ngày dạy: 07/09/2006. I. Mục tiêu:  Về kiến thức: Biết phát biểu định lý dưới dạng “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, “điều kiện cần và đủ”, phân biệt đâu là giả thiết, đâu là kết luận của định lý, và đặc biệt biết cách chứng minh bằng phản chứng.  Về kỹ năng: – Thành thạo cách phát biểu điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ. – Thành thạo cách chứng minh phản chứng.  Về tư duy: – Tư duy logic. – Hiểu rõ các định lý, mệnh đề phát biểu theo dạng nào.  Về thái độ: cẩn thận, chính xác trong các cách phát biểu. II. Chuẩn bị phương tiện dạy học: Phiếu trả lời ngắn – Kết quả của mỗi hoạt động. III. Phương pháp dạy học: Gợi mở, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm. IV. Tiến trình bài học và các hoạt động: 1. Ổn định lớp 2. Kiểm tra bài cũ Hoạt động của thầy. Hoạt động của trò. Cho hs lên trả bài theo câu hỏi:  Hs làm trên bảng: a) Phát biểu 2 cách chứng minh một a) Cách chứng minh trực tiếp (2đ). Cách chứng minh gián tiếp (2đ). định lý (trực tiếp và gián tiếp). b) Áp dụng: Dùng phản chứng, chứng b) Giả sử n lẻ thì n = 2k + 1, k ∈ A . minh định lý sau: “n ∈ A *, nếu n2  n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 chẵn thì n chẵn”.  n2 lẻ vì (4k2 + 4k) chẵn và 1 là lẻ, nên trái giả thiết.  Để hiểu rõ cách chứng minh này, và sử Vậy n lẻ. (4đ). dụng đúng các thuật ngữ: điều kiên cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ, ta xét một số bài sau: . 3. Giảng bài tập Hoạt động của thầy. Hoạt động của trò. Nội dung. Đây là định lý, có dạng P(x)  Q(x), nhưng khi xét mệnh đề đảo thì chưa biết đúng hay sai, nên chưa khẳng định là định lý đảo.. Hs tự phát biểu mệnh đề trên.  Hãy giải thích tại sao không gọi là định lý đảo.. 6/ Phát biểu mệnh đề đảo của định lý: “Trong một tam giác cân, hai đường cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau”. Mệnh đề đảo đó đúng hay sai?. . 12. . Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Trường THPT Phạm Thái Bường Hoạt động của thầy. Tổ: Toán – Tin Hoạt động của trò. Hs vẽ tam giác có hai đường cao bằng nhau và xét tam giác đó thế nào. . Nhắc lại cách chứng minh bằng phản chứng là giả sử kết luận sai, chứng minh điều trái giả thiết.  Nhắc nhở hs dễ sai phủ định của dấu “≥ “ là “≤ “.  Hỏi hs thấy biểu thức trên giống hằng đẳng thức nào? . Nhắc lại mệnh đề: P(x)  Q(x) có thể phát biểu: Điều kiện đủ để có Q(x) là có P(x).  Chú ý: điều kiện này chưa phải là điều kiện cần. Chẳng hạn: cho a  2  1; b  1  2 thì a + b = 2 là số hữu tỉ nhưng a và b là số vô tỉ. . Nội dung Mệnh đề đảo:”Nếu tam giác có hai đường cao bằng nhau thì tam giác đó cân”.  Mệnh đề đảo trên đúng. .  Nêu lại cách chứng 7/ Chứng minh định lý sau bằng minh bằng phản chứng. phản chứng: “Nếu a, b là 2 số dương thì  Hs có thể thấy căn bậc a + b ≥ 2 ab ”. hai bình phương cho dễ: Giải: (a + b)2 < 4ab Giả sử a + b < 2 ab  (a –b)2 < 0 (sai).  a – 2 ab + b < 0  ( a  b )2 < 0 (sai). Vậy a + b ≥ 2 ab . Hs có thể phát biểu: “a và b là hai số hữu tỉ là điều kiện đủ để tổng a+b là số hữu tỉ (phát biểu đúng).. . Hãy so sánh cách phát biểu giữa điều cần và  Hỏi hs xét điều kiện đủ điều kiện đủ. có đúng không? Ta thấy 10 chia hết 5  Hs có thể phát biểu: nhưng không chia hết “Một số tự nhiên chia hết cho 5 là điều kiện cần để cho 15. nó chia hết cho 15”. . 8/ Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu định lý: “Nếu a và b là hai số hữu tỉ thì tổng a + b cũng là số hữu tỉ”.  Điều kiện đủ để tổng a + b là số hữu tỉ là cả hai số a và b đều là số hữu tỉ.. 9/ Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lý: “Nếu một số tự nhiên chia hết cho 15 thì nó chia hết cho 5”.  Điều kiện cần để một số tự nhiên chia hết cho 15 là nó chia hết cho 5.. 10/ Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần và đủ” để phát biểu  Hs hãy phát biểu định định lý: “Một tứ giác nội tiếp lý trên bằng “điều kiện được trong một đường tròn khi cần và đủ” đặt ở đầu và chỉ khi tổng 2 góc đối diện câu và cuối câu. của nó là 1800 “.. Đây là một định lý nên sử dụng thuật ngữ trên hiển nhiên là mệnh đề đúng nhưng cũng giải thích cho hs biết về định  Xét mệnh đề đúng hay lý này.  Điều kiện cần và đủ để một tứ sai (có thể giải thích). giác nội tiếp được trong một đường tròn là tổng 2 góc đối diện của nó là 1800.. . 11/ Chứng minh định lý sau Nhắc lại cách chứng bằng phản chứng: minh bằng phản chứng. “Nếu n là số tự nhiên và n2 chia hết cho 5 thì n chia hết cho 5”. Giải: . Lop10.com. 13.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Trường THPT Phạm Thái Bường. Hoạt động của thầy Nhắc nhở hs dễ sai khi giả sử n2 không chia hết cho 5 rồi chứng minh ngược lại.. Tổ: Toán – Tin. Hoạt động của trò. Nội dung. Hãy cho biết số không Giả sử n không chia hết cho 5 chia hết cho 5, thì khi Ta có: n = 5k  1, chia cho 5 dư bao nhiêu. hoặc n = 5k  2, k ∈ A (dư 1, 2, 3, 4).  Nếu n = 5k  1  n2 = 25k2  10k +1  Trong 4 trường hợp  Hs có thể xét 4 trường 2 trên có thể gom 2 trường hợp của n rồi bình  n 2 = 5k(5k  2) + 1  n không chia hết cho 5 (trái hợp chính là n = 5k  1 phương lên. giả thiết n2 chia hết cho 5). và n = 5k  2, rồi bình phương lên xem n2 có  Hãy nêu cách khai chia hết cho 5 hay không. triển hằng đẳng thức  Nếu2n = 5k2 2  n = 25k  20k +4 (a – b)2 = ?  n2 = 5k(5k  4) + 4  n2 không chia hết cho 5 (trái giả thiết n2 chia hết cho 5). Vậy n chia hết cho 5 (đpcm). . . 4. Củng cố: Các em cần nắm vững các cách phát biểu: điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ (rất hay dễ nhầm lẫn) và tính đúng sai của nó. Nhớ cách chứng minh bằng phản chứng là ta phủ định kết luận và chứng minh điều mâu thuẫn giả thiết. 5. Dặn dò: Làm các bài luyện tập trang 13, 14, 15.. 14. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>