Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức có điều kiện tích các biến bằng 1

<span class='text_page_counter'>(1)</span>MỘT PHÝÕNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ÐẲNG THỨC CÓ ÐIỀU KIỆN TÍCH CÁC BIẾN BẰNG 1. LÊ XUÂN ÐẠI (GV Trýờng THPT Chuyên Vĩnh Phúc) Có một số bài toán bất ðẳng thức (BÐT) với n biến số dýõng a1 ,a 2 ,...,a n thoả mãn ðiều kiện tích của chúng bằng 1 (ta thýờng xét với n=3). Có khá nhiều phýõng pháp ðể giải quyết các bài k. k. k. x  x  x  toán dạng này. Bài viết này giới thiệu một kỹ thuật ðổi biến số a1   2  , a 2   3  ,..., a n   1  ,  x1   x2   xn . trong đó x1 , x 2 ,..., x n dýõng (ta thýờng chọn k=1) Xin ðýa ra một số ví dụ minh hoạ cho phýõng pháp này Thí dụ 1. Cho ba số a,b,c dýõng thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng: a b c 3    (1) ab  1 bc  1 ca  1 2. x y. y z. Lời giải. Tồn tại x,y,z dýõng sao cho a  , b  ,c . z , khi đó BĐT cần chứng minh trở thành x. x/y y/z z/x 3    (x / z)  1 (y / x)  1 (z / y)  1 2 xz xy yz 3     (2) xy  yz xz  yz xy  xz 2. BĐT (2) đúng theo BĐT NesbitỖs. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. Thí dụ 2. Cho ba số a,b,c dýõng thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng: 3. a b c 1 1 1    abc   b c a a b c. x y. y z. Lời giải. Tồn tại x,y,z dýõng sao cho a  , b  ,c . 3. (1). z , khi đó BĐT cần chứng minh trở thành x. x 2 y2 z 2 x y z y z x         yz xz xy y z x x y z. (2). Ta có (2)  x 3  y3  z 3  3xyz  x 2 y  xy 2  y 2 z  yz 2  x 2 z  xz 2 pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, if you can print from a windows application you can use pdfMachine. Get Lop10.com yours now!. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> BĐT này đúng theo BĐT Schur. Vậy bài toán đýợc chứng minh Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1. Thí dụ 3. Cho bốn số a,b,c,d dýõng thoả mãn abcd=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1    2 a(1  b) b(1  c) c(1  d) d(1  a) x y. z x. t z. Lời giải. Tồn tại x,y,z,t dýõng sao cho a  , b  ,c  ,d . (1). y . Khi đó BĐT (1) trở thành: t. y x z t     2 (2) xz zt yt xy. Áp dụng BÐT Cauchy-Schwarz ta ðýợc: y x z t (x  y  z  t)2     x  z z  t y  t x  y y(x  z)  x(z  t)  z(y  t)  t(x  y). Ta chứng minh. (x  y  z  t) 2  2 (3) là xong y(x  z)  x(z  t)  z(y  t)  t(x  y). Ta có (3)  x 2  y 2  z 2  t 2  2(yz  xt)  (x  t) 2  (y  z)2  0 . Do đó BĐT (3) đúng Vậy (1) ðýợc chứng minh. Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d=1. Thí dụ 4 (IMO 2000). Cho ba số dýõng a,b,c thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng: 1  1  1   a  1   b  1   c  1    1 b  c  a . x y. y z. Lời giải. Tồn tại x,y,z dýõng sao cho a  , b  ,c . z , khi đó BĐT cần chứng minh trở thành x. (x  y  z )( y  z  x )( z  x  y )  xyz. BĐT này đã quá quen thuộc với chúng ta. Bài toán đýợc chứng minh. Thí dụ 5 (IMO 2008). Cho ba số x,y,z khác 1 thoả mãn xyz=1. Chứng minh rằng: x2 y2 z2    1 (1) (x  1) 2 (y  1) 2 (z  1)2 a b. b c. c a. Lời giải. Tồn tại a,b,c dýõng sao cho x  , y  , z  , khi đó BĐT cần chứng minh trở thành pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, if you can print from a windows application you can use pdfMachine. Get Lop10.com yours now!. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2. 2. 2.  a   b   c        1 ab   bc  ca  2. . 2. 1  a  b   b  c   c  a   1    1    1  4  a  b   b  c   c  a . Ðể chứng minh BÐT (2) ta ðặt u . 2.    1 (2) . ab bc ca ,v  ,t  , ta có ngay ab bc ca. (u  1)(v  1)(t  1)  (u  1)(v  1)(t  1)  uv  vt  ut  1 .. Khi đó BĐT (2) týõng đýõng với u 2  v 2  t 2  2( u  v  t )  1  ( u  v  t ) 2  2( u  v  t )  2( uv  vt  ut )  1  ( u  v  t ) 2  2( u  v  t )  1  0  ( u  v  t  1) 2  0. Vậy bài toán ðýợc chứng minh hoàn toàn. Chắc các bạn đã cảm thấy quá ấn týợng với lời giải trên phải không. Thí dụ 6. Cho ba số x,y,z dýõng thoả mãn xyz=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3  2  2  (1) x  xy y  yz z  zx 2 2. Lời giải. Tồn tại a,b,c dýõng sao cho x  a. thành. b  ac. Ta có a b  ac. ac . . b. . c. . c  ab. . a  bc. b c a ,y  ,z  , khi đó BĐT cần chứng minh trở a b c. 3 2. ac ab bc ; ab  ; bc  . Do đó 2 2 2. b. . c  ab. Ta sẽ chứng minh:. c a  bc. . 2a 2b 2c   a  2b  c a  b  2c 2a  b  c. a b c 3    (2) a  2 b  c a  b  2 c 2a  b  c 4. Áp dụng BÐT Cauchy-schwar ta ðýợc:. pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, if you can print from a windows application you can use pdfMachine. Get Lop10.com yours now!. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> a b c (a  b  c) 2    a  2b  c a  b  2c 2a  b  c a (a  2b  c)  b (a  b  2c)  c(2a  b  c) . (a  b  c) 2 (a  b  c) 2 3   2 (a  b  c)  (ab  bc  ca ) (a  b  c)2  1 (a  b  c) 2 4 3. Vậy BÐT (2) ðýợc chứng minh, ta có ðiều phải chứng minh. Ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1. Cuối cùng là bài tập cho các bạn luyện tập. Bài 1. Cho bốn số x,y,z,t dýõng thoả mãn xyzt=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1  2  2  2 2 x  xy y  yz z  zt t  tx 2. Bài 2. Cho nãm số a,b,c,d,e dýõng thoả mãn abcde=1. Chứng minh rằng: a  abc b  bcd c  cde d  dea e  eab 10      1  ab  abcd 1  bc  bcde 1  cd  cdea 1  de  deab 1  ea  eabc 3. Bài 3. Cho n số dýõng x1 , x 2 ,..., x n (n  3) thoả mãn x1x 2 ...x n  1 . Chứng minh rằng: 1 1 1   ...  1 1  x1  x1x 2 1  x 2  x 2 x 3 1  x n  x n x1. Bài 4. Cho a,b,c dýõng thoả mãn abc=1. Chứng minh rằng: 2 2 2   1 2 2 2 2 (a  1)  b  1 (b  1)  c  1 (c  1)  a 2  1 2. pdfMachine A pdf writer that produces quality PDF files with ease! Produce quality PDF files in seconds and preserve the integrity of your original documents. Compatible across nearly all Windows platforms, if you can print from a windows application you can use pdfMachine. Get Lop10.com yours now!. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>