Một số Bài tập chọn lọc về hệ phương trình

<span class='text_page_counter'>(1)</span>D. Một số Bài tập chọn lọc về hệ phương trình . ạng 1: Một số hệ phương trình cơ bản . Bài tập 1: Giải hệ phương trình. Bài 1:Giải hệ phương trình.  xy( x  2)  3. a) . 2 x  2 x  y  4  xy  x  1  7y b)  2 2 2  x y  xy  1  13y.  x(x  y  1)  3  0 5 c) (x  y) 2  1  0  x2. (x, y  A ) ĐH K’ B 2009. (x, y  R) ĐH K’ D 2009. Bµi 2  2 x  y x 26  2 2 2  x 2  y 2  xy  3  x  y  x y  1  2 xy     x y 4 y e.  f . x y 5 g.  3 h.  3 ( x  y )(1  xy )  1  xy xy  yx  2 2 2 2    x  y  24  x  xy  y  0    x y  x y   x y  4  2  x  y  x 2 y 2  3 xy  x  2y  x  6   y x y x     y Bµi i.  j.  k.  l.  1 1 2 2   xy  1 1 1 x y 2  x  2 xy  6 y  0   x y 4 x  y    x y 4    y x  x y tËp 2: Bµi Bµi 3 Giải hệ phương trình .  x2 y2 1  1 1 2 2 2 2    x  y  xy  3 x y   x x  1  1    4 2 2 a.  2 b.  c.   y  1 x  1 2 y y 2 2 2  x  y  xy  x y  x 3 y 3  xy  x 2 y 2  1  4 y 3  3 xy  x  y  1   Bài tập 3: Giải hệ phương trình .  3  x  y x 2  y 2  7 2  4 x 2  2 xy  3  x3 y 3  1  2 y 3 x  3y x  4  a.  3 b.  c.  2 d. 2 2 2 2 2 2 x y  x  2 y  y  3 xy  4 x  y x  y  175  y  2 xy  2 Bài tập 4: Giải hệ phương trình . Bµi 1: Mét sè hÖ d¹ng c¬ b¶n  xy ( x  1)( y  1)  m 1) Cho hệ phương trình  2 2 x  y  x  y  8 a) Gi¶i hÖ khi m=12 b) Tìm m để hệ có nghiệm 1 1   a 2) Cho hệ phương trình  x y  x2  y 2  a2  2  Tìm a để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 2 2  x  xy  y  1 3) Cho hệ phương trình  2 2  x  3 xy  2 y  m Tìm m để hệ có nghiệm x  y  a 4) Cho hệ phương trình  2 2 2 x  y  6  a a) Gi¶i hÖ khi a=2 b) T×m GTNN cña F=xy+2(x+y) biÕt (x,y) lµ nghiÖm cña hÖ ( y  1) 2  m  x 5) Cho hệ phương trình  ( x  1) 2  m  y Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất  x  2  y  2 6)   y  2  x  2  x  1  y  1  3 7)   x y  1  y x  1  x  1  y  1  m a) Gi¶i hÖ khi m=6 b) Tìm m để hệ có nghiệm Bµi 2:  y2  2 3 y   x2  (KB 2003)  2 3 x  x  2  y2 HD: Th1 x=y suy ra x=y=1 TH2 chó y: x>0 , y> 0 suy ra v« nghiÖm Bµi 3: 2 x 2 y  xy 2  15  3 8 x  y 3  35 HD: Nhóm nhân tử chung sau đó đặt S=2x+y vµ P= 2x.y §s : (1,3) vµ (3/2 , 2) Bµi 4:  x 3  3 x  y 3  3 y (1)    x 6  y 6  1 (2)  HD: tõ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 hµm sè : f t   t 3  3t trên [-1,1] áp dụng vào phương trình (1) Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất  2 a2 2 x  y  y   2 2 y 2  x  a  x. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x  y HD:  3 2 2 2 x  x  a xÐt f ( x)  2 x 3  x 2 lËp BBT suy ra KQ Bµi 6:  x  2  y  2   y  2  x  2 HD Bình phương 2 vế, đói xứng loại 2  xy  x 2  a ( y  1) Bµi 7:  xác định a để hệ có nghiệm duy nhất  xy  y 2  a ( x  1) HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8  xy  10  20  x 2 (1) Bµi 8:   xy  5  y 2 (2) 5  y2 5  y HD : Rut ra x  y y 5 C« si x   y  2 5 y x 2  20 theo (1) x 2  20 suy ra x,y 3 x  y  x  y (1)  Bµi 9:  (KB 2002)  x  y  x  y  2 HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)  x  1  y  2  a Bµi 10:  Tìm a để hệ có nghiệm  x  y  3a HD: từ (1) đặt u  x  1, v  y  2 được hệ dối xứng với u, - v Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2 nghiệm trái dấu. Bµi tËp ¸p dông 6 x 2  xy  2 y 2  56 1)  2 5 x  xy  y 2  49.  x 2  x  y 2  y 2.  2 KD 2003  x  y 2  3( x  y ). ( x 2  2 x)(3 x  y )  18 3,  2  x  5 x  y  9  0.  x 3  y 3  7( x  y ) 4  2 .  x  y 2  x  y  2. HD: t¸ch thµnh nh©n tö 4 nghiÖm.  xy  y 2  12 2)  2.  x  xy  26  m. 3). Tìm m để hệ có nghiệm. ( x  y ) 2 . y  2 dÆt t=x/y cã 2 nghiÖm  3  x  y 3  19. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  x( x  2)(2 x  y )  9. 4) . đặt X=x(x+2) và Y=2x+y. 2 x  4x  y  6.  x y  x y 2 5)  2 2 2 2. (1).  x  y  x  y  4. đổi biến theo v,u từ phương trình số (1). 1  x 3 y 3  19 x 3 6)  §Æt x=1/z thay vµo ®­îc hÖ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)  y  xy 2  6 x 2 7). 1 1  x  x  y  y (KA 2003)  2 y  x 3  1 . HD: x=y V xy=-1 CM x 4  x  2  0. v« nghiÖm b»ng c¸ch t¸ch hoÆc hµm sè kq: 3 nghiÖm. ( x  1) 2  y  a 8)  xác định a để hệ có nghiệm duy nhất ( y  1) 2  x  a. HD sử dụng ĐK cần và đủ.  2x 2y  3  9)  y HD bình phương 2 vế x  x  y  xy  3 .  x y 7   1  x xy 10)  y HD nh©n 2 vÕ cña (1) víi   x xy  y xy  78. xy. HỆ PHƯƠNG TRÌNG ĐỐI XỨNG LOẠI I Giải các hệ phương trình sau : 2 2  x  xy  y  1  x  y  5 1,  2 2,  4 (NT  98) ( MTCN  99) 2 2 2 4  x  x y  y  13  x y  y x  6 2 2  x y  y x  30 3,  3 ( BK  93) 3  x  y  35 2 2  x  y  xy  7 5,  4 ( SP1  2000) 4 2 2  x  y  x y  21.  x y 7   1  x xy ( HH  99) 7,  y   x xy  y xy  78. 3 3  x  y  1 4,  5 ( AN  97) 5 2 2  x  y  x  y.  x  y  xy  11 6,  2 (QG  2000) 2  x  y  3( x  y )  28 1  ( x  y )(1  xy )  5  (NT  99) 8,  ( x 2  y 2 )(1  1 )  49  x2 y2. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 1  x  y  x  y  4  x ( x  2)(2 x  y )  9  ( AN  99) 10,  2 9,  ( AN  2001) x  4x  y  6 x2  y2  1  1  4  x2 y2 y xy 7  x 2  xy  y 2  4  xy  x  y  11  x 2  y 2  13  x  1)  2)  2 3) 4)  2  2 y 2 3 x 3y 16  x   xy  x  y  2  x y  xy  30 3( x  y )  2 xy  9  0.  x 2 y  xy 2  30 5)  3  x  y 3  35 1) (0;2); (2;0).  x  y  4  x 4  y 4  34 7)  8)   x  y  xy  4 x  y  2 2) (2; 3),(3;2),(1  10;1  10),(1  10;1  10) 3) (1;5),(5;1),(2;3),(3;2).  x y  y x  6 6)   x 2 y  xy 2  20. 10 10 10 10 ; 2  ),(2  ; 2  ) 5) (2;3);(3;2) 6) (1;4),(4;1) 2 2 2 2 7) (4;4) 8) (1  2;1  2),(1  2;1  2) ìï x + y + xy = 5 ìï x = 1 ìï x = 2 ïí 9. ïí 2 . Đáp số: Ú ïí . ïï x + y 2 + xy = 7 ïï y = 2 ïï y = 1 î î î 2 2 ìï x = - 3 ìï x + xy + y = 3 ïìï x = - 1 ïìï x = 3 ï ï Ú Ú 10. í . Đáp số: í . í í ïï y = - 1 ïï y = - 3 ïï y = 3 ïï 2x + xy + 2y = - 3 î î îï îï ìï x + y + 2xy = 2 ìï x = 2 ìï x = 0 11. ïí 3 . Đáp số: ïí Ú ïí . ïï x + y 3 = 8 ïï y = 0 ïï y = 2 î î î ìï x 3 - y 3 = 7 ìï x = - 1 ìï x = 2 12. ïí . Đáp số: ïí Ú ïí . ïï xy(x - y) = 2 ïï y = - 2 ïï y = 1 î î î ìï ìï 1 - 37 ïï x = 1 + 37 ìï x - y + 2xy = 5 ìï x = 2 ìï x = - 1 ïï x = 4 4 Ú ïí Ú ïí Ú ïí 13. ïí 2 .Đápsố: ïí . ïï y = 1 ïï y = - 2 ïï ï ïï x + y 2 + xy = 7 1 37 1 + 37 ïï y = î î î ïï y = ïîï îï 4 4 1 ïìï )= 5 ïï (x + y)(1 + xy ï 14. í . Đáp Số: ïï 2 1 2 ïï (x + y )(1 + 2 2 ) = 49 xy ïî ìï ì ì ìï x = - 1 ï x = 7 - 3 5 ïï x = 7 + 3 5 ïï x = - 1 ï ïí ï ï Úí Úí Ú ïí . 2 2 7 3 5 ïï ïï ïï y = ïï y = 7 + 3 5 y = 1 y = 1 ïî ïî ïî ïî 2 2 ìï x y + y x = 30 ïì x = 4 ïìï x = 9 ï 15. í . Đáp số: ïí Úí . ïï x x + y y = 35 ïï y = 9 ïï y = 4 î î ïî ìï x y 7 ïï ìï x = 4 ìï x = 9 + = +1 ï ïí 16. í y (chú ý điều kiện x, y > 0). Đáp số: Ú ïí . x xy ïï ïï y = 9 ïï y = 4 î î ïïî x xy + y xy = 78. 4) (3; 2),(2;3),(2 . Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> (. ). ìï 2(x + y) = 3 3 x 2y + 3 xy 2 ïì x = 8 ïì x = 64 ï 17. í 3 . Đáp số: ïí Ú ïí . ïï x + 3 y = 6 ïï y = 64 ïï y = 8 î î ïî 2 y2 x y 5  xy  x  y  3  x 2  y 2  x  y  12  x  18.  2 19.  20.  3 2 x 2 y xy 2 y 3  x   x  y  x  y  xy  6  x( x  1) y ( y  1)  36 2 x  1  y(y  x)  4y  2 (x  1)(y  x  2)  y. 6. 21.. ìï x 2 + y 2 + z2 = 8 8 8 18. Cho x, y, z là nghiệm của hệ phương trình : ïí . Chứng minh - £ x, y, z £ . ïï xy + yz + zx = 4 3 3 î ìï x 2 + xy + y 2 = m + 6 19. Tìm m để hệ phương trình : ïí có nghiệm thực duy nhất. ïï 2x + xy + 2y = m î ïì x + xy + y = m + 1 20. Tìm m để hệ phương trình :: ïí 2 có nghiệm thực x > 0, y > 0. ïï x y + xy 2 = m î ìï x + y = m ï 21. Tìm m để hệ phương trình : í có nghiệm thực. ïï x + y - xy = m ïî ìï x 2 + y 2 = 2(1 + m) 22. Tìm m để hệ phương trình : ïí có đúng 2 nghiệm thực phõn biệt. ïï (x + y)2 = 4 î ïì x + y = 2m - 1 23. Cho x, y là nghiệm của hệ phương trình : ïí 2 . Tìm m để P = xy nhỏ nhất. ïï x + y 2 = m2 + 2m - 3 î  x  y  1 24. Tìm m để hệ phương trình : có nghiệm:   x x  y y  1  3m  x  2  y  3  5 25.Tìm m để hệ phương trình : có nghiệm:  x  y  m Bài tập hệ phương trình Giải các hệ phương trình sau : 2 2 2 2  x  xy  y  1  x  y  5  x y  y x  30 ( NT  98) ( BK  93) ( MTCN  99)  4  3  2 2 2 2 4 3  x  x y  y  13  x  y  35  x y  y x  6 3 3  x 2  y 2  xy  7  x  y  xy  11  x  y  1 ( AN  97) ( SP1  2000)  2 (QG  2000)  5  4 2 5 2 2 4 2 2  x  y  x  y  x  y  x y  21  x  y  3( x  y )  28 1 1 1    x y 7 ( x  y )(1  )  5 xy  4      1  xy x y   x xy ( HH  99)  (NT  99)  ( AN  99)  y  ( x 2  y 2 )(1  1 )  49 x2  y2  1  1  4  x xy  y xy  78   x2 y2 x2 y2. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>   x ( x  2)(2 x  y )  9 ( AN  2001)   2 x  4x  y  6   x (3 x  2 y )( x  1)  12 ( BCVT  97)  2 x  2y  4x  8  0. x 2  x  y  1  x  y 2  x  y  1  y  18 x2  x  y  1  x  y2  x  y  1  y  2. ( AN  99).  y  xy 2  6 x 2 x  y  4 ( SP 1  2000) ( HVQHQT  2001)   2 2 3 3 2 2 2 1  x y  5 x ( x  y )( x  y )  280 1 3  2x   2 2 2  2 x  3 x  y  2  x  3 x  y  x 3  3 x  8 y y x  ( QG  99) ( QG  2000) ( MTCN  98) (QG  98)   2  2  3 2 1 3 y  3 y  8 x 2 y  3 y  x  2  y  3 y  x   2 y   x y   2 x  y   2 y  x  .  y2  2 3 3 y   x  5  y  2  7 x2 x2  (NN1  2000)  ( KhèiB  2003) ( TL  2001)  2 3  y  5  x  2  7 3 x  x  2  y2 y2. 3 x 2  2 xy  16 1  x 3 y 3  19 x 3  x 2  2 xy  3 y 2  9 ( HH  TPHCM )  ( TM  2001)  2 ( HVNH  TPHCM )  2 2 2 2 2  x  3 xy  2 x  8  y  xy  6 x 2 x  13 xy  15 y  0 2 y( x 2  y 2 )  3 x ( M § C  97)  2 2  x ( x  y )  10 y. Phần I: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI 1. giải phương trình: a). x 4  8 x 3  7 x 2  36 x  36  0 b) 5 x  1  3x  2  x  1. g). x3  3x 2  x  3  0 h) x 2  x  1 3 x 2  3 x  1  0. 2( x 2  2 x)  x 2  2 x  3  9  0 d) 25 x  10 x  22 x 1 ( HVNHKD  1998). i) x 4  x 2  6 x  8  0 j) 2 x 4  3 x 3  16 x 2  3 x  2  0 k) ( x  1)( x  1)( x  3)( x  5)  9. c). e). f). 2..  3 x  3 y  4   xy  27  x  y  4 ( HVQHQT  2000)  2 2 3 3 x  y x  y   280. ( x  1) 4  ( x  3) 4  12 m) x 4  4 x 3  3 x 2  8 x  10  0 l). n). x  x2  1  x  x2  1  2. giải các hệ phương trình: 9 x 2  4 y 2  36  2 x  y  5 2 2  x  4 xy  y  1 b)  2  y  3 xy  4 a).  x 2  xy  y 2  1   x  y  xy  3  x 2  y 2  58 d)   x  y  10 c). e).  x 2  y 2  28   xy  4. Lop10.com.  x 2  xy  y 2  4   x  xy  y  2  x y 13    6 g)  y x x  y  5  f).

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  x 2  y 2  164 h)  x  y  2  x2  x  y  y 2  8 i)   x  xy  y  5. 2y   x  1  y 2 t)   y  2x 1  x2   1  y2 x   1  y2  u)  2 y  1 x  x  y  xy  11  1  x2 (DHQG-2000)   2 2 2 2  x  y  3( x  y )  28 2 x  3 xy  y  15 v)  2 2  x  xy  2 y  8 2 2  x  xy  y  13 2 2 j)   x  2 xy  3 y  9 x  y   2  w)  2 ( DHSPTPHCMKA, B  2000) 2 2 x  2 xy  y  2 2 2    x  xy  y  2( x  y )  31 k) 2 2  2 x  4 xy  y  1  x  xy  y  11 x)  2 2 2 2 3 x  2 xy  2 y  7 x  y  x  y  2 l)   xy  x  y  1  xy  90 l)  x  y  9  x2  x  y  y 2  4 m)   x( x  y  1)  y ( y  1)  2 n). o).  x 2  xy  y 2  x  y  6   xy  x  y  3 7 1 1    xy  2 x y 2( x  y )  3 xy . 2 2 2 x  3 x  y  2 p)  2 ( DHQGKB  2000) 2 2 y  3 y  x  2. y  x  3 y  4  x q)  ( DHQGKA  1997)  y  3x  4 x y  r). 2 2  x  2 y  2 x  y  2 2  y  2 x  2 y  x. 2 2 x  xy  3 x s)  2 2 y  xy  3 y. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 3..  x 2  2 xy  y 2  17 iải các hệ phương trình sau:  2 2 3 x  2 xy  2 y  11 3 x 2  2 xy  160 6 x 2  xy  2 y 2  56 a)  2  2 2 2  x  3 xy  2 y  8 5 x  xy  y  49  x 2  xy  y 2  5  b)  y 2 x 5 2  x  y  2  xy   x 2  2 xy  3 y 2  0 c)   x x  y y  2  x 2  13 x  4 y d)  2  y  13 y  4 x  1 1  2  2  y  x e)   1  2 1  2  y x . g. Lop10.com.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>